Prefazione. Michele Bricchi

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1 Prefazione In questi Appunti abbiamo cercato di dare forma scritta alle Lezioni di Matematica per le Scienze Sociali, IV e V periodo, tenute durante l Anno Accademico 2002/2003 dai proff. R. Paoletti e C. Morpurgo. Si è cercato di tenere la trattazione degli argomenti scelti ad un livello elementare, dando molto spazio alla risoluzione di esercizi (molti dei quali sono stati discussi anche in classe), evitando approfondimenti e ricorrendo il meno possibile a formule complesse. Ringrazio, oltre che i docenti titolari del corso, gli altri tre tutors che mi hanno affiancato durante le esercitazioni: il dott. S. Bassis, il dott. A. Della Vedova ed in particolare la dott.ssa V. Doldi, per l aiuto prezioso offerto. Michele Bricchi i

2 1. IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA In questi Appunti tratteremo alcuni temi elementari di carattere matematico. Perciò, nonostante la materia che presenteremo non sarà complicata, è bene premettere alcune osservazioni di carattere generale riguardanti il linguaggio che si usa in contesti matematici. Cercheremo infatti di mettere in luce la specificità di tale linguaggio: è ben vero che si parlerà e si scriverà sempre in italiano, tuttavia la matematica ha delle regole di espressione tutte sue; non di rado si ricorre addirittura a formule in cui compaiono simboli non in uso nella lingua corrente, ed è bene che lo studente cominci ad avere dimestichezza con questo modo di esprimersi e con questi simboli. Cominciamo con il dire che in matematica certe parole vogliono dire una ed una sola cosa, a differenza della lingua corrente in cui una stessa parola od espressione ha talora sfumature differenti o addirittura significati diversi, a seconda del contesto in cui è inserita. Ad esempio, se Tizio dicesse di avere una macchina, tutti penseremmo subito che Tizio vuol dire di possedere una ed una sola automobile. Ma nel fare questa deduzione noi abbiamo aggiunto molto di più di quanto Tizio abbia in realtà detto. Abbiamo infatti pensato che la parola una significasse una e soltanto una, ovvero una e non più di una, e non, magari almeno una. Parimenti, abbiamo pensato che macchina significasse automobile e non, ad esempio, tosa-erba o telaio meccanico (tutte macchine, a ben guardare). E vero che tutti questi dubbi sono presto fugati nel corso del discorso: dal contesto si capisce infatti subito se Tizio intende dire di possedere almeno un tosa-erba o di avere una buona utilitaria, e non più di una. In matematica non ci si può però affidare al contesto, né al semplice buon senso dell ascoltatore, né, ovviamente, si può far riferimento ad elementi imponderabili e soggettivi di chi parla o scrive, di chi ascolta o di chi legge. 1

3 Capitolo Proposizioni, variabili e predicati Consideriamo le seguenti due affermazioni: a) Tizio è più alto di Caio; b) Tizio è molto alto. Ora, la prima affermazione è o vera o falsa. Potrebbe essere difficile appurarlo, potendo le due altezze differire di pochissimo, eppure tutti coloro in grado di giudicare le due altezze concorderebbero: o Tizio è più alto di Caio, oppure no: la frase a) ha un contenuto oggettivo. D altro canto, la seconda affermazione è condizionata da giudizi soggettivi: per qualcuno potrebbe sembrare che Tizio sia molto alto, per altri che sia solo alto. Insomma, non tutti concorderebbero sulla verità o la falsità della frase b), che quindi ha un contenuto soggettivo. In matematica le frasi di tipo a) si chiamano proposizioni, mentre quelle del tipo b) devono essere assolutamente scartate. Dunque, una proposizione è una frase (di senso compiuto) o vera o falsa, senza mezzi termini. Come ulteriore esempio segnaliamo la frase seguente: il numero è un numero primo. Ebbene, non è del tutto ovvio se questa frase sia vera (in effetti, essa è vera), ma nessuno deve avere dubbi sul fatto che essa o è certamente vera o è certamente falsa, comunque difficile risulti appurarlo, pertanto essa rientra a buon diritto nella categoria delle proposizioni. Esaminiamo ora la frase: x è più alto di y. Ora questa frase non è né vera, né falsa, infatti non conosciamo x e y. Tuttavia, ogniqualvolta a x e ad y viene dato un nome, ad esempio ad x viene dato il nome Tizio e ad y viene dato il nome Caio, ebbene allora la frase diventa una proposizione, in quanto è possibile decidere della sua verità o della sua falsità in maniera precisa. Frasi di tal fatta si chiamano predicati, mentre x e y sono chiamate variabili. Dunque un predicato è una frase dipendente da certe variabili tale che ogni volta che alle variabili vengono sostituiti valori consentiti essa diventa una proposizione. 2

4 Capitolo 1 Un altro esempio di predicato è: x > 5. Infatti, ogni volta che ad x si sostituisce un numero, la frase scritta diventa una proposizione, la quale è appunto o indiscutibilmente vera o indiscutibilmente falsa. Invece, la frase x è un bel numero non è un predicato, dal momento che sostituendo ad x un numero non si ottiene una proposizione, ma una frase la cui verità o falsità dipende da giudizi soggettivi Esercizio. La frase per ogni numero n > 1 il numero n 2 è un numero primo è una proposizione, un predicato o non è nessuna delle due? 1.2. I quantificatori Una proposizione matematica non può dunque essere fraintendibile, pertanto occorre una certa attenzione nel formularla. Valutiamo il seguente esempio: Teorema. Per ogni coppia di punti distinti del piano esiste una ed una sola retta che li contiene. Come abbiamo imparato, si tratta effettivamente di una proposizione. La geometria elementare insegna inoltre che questa proposizione è effettivamente vera (ed è per questo motivo che la si chiama Teorema ). Andiamo ora un po oltre, cercando di studiarne meglio la struttura. Questa proposizione comincia con le parole per ogni : si tratta di un esempio di quantificatore. I quantificatori principali in matematica sono tre, e precisamente per ogni ; esiste ; esiste un unico!. I segni che compaiono di fianco ad ogni quantificatore sono i simboli che possono essere impiegati al posto delle parole per designare la medesima cosa. Ne impareremo presto altri, tanto che l intero Teorema può essere riformulato semplicemente così: p, q Π : p q! r R : p r, q r, (2.1) 3

5 Capitolo 1 dove abbiamo convenuto di indicare con Π il piano della geometria elementare e con R l insieme delle rette tracciabili su tale piano. Il segno di interpunzione : non ha la stessa funzione che esso riveste nella lingua italiana, ma va letto come se vi fosse scritto tale che (o tali che ). Dunque, la frase in simboli scritta qui sopra comincia ad acquistare un senso compiuto: il quantificatore iniziale significa, come abbiamo appena visto, per ogni, poi seguono i punti p e q e poi ancora si ha il simbolo, il quale significa appartenente (o appartenenti, a seconda di ciò che lo precede). Fino ad ora, quindi, la frase significa: per ogni p e q appartenenti al piano Π tali che... Ora si ha il segno, il quale significa diverso. In generale, quando si vuole negare un qualunque simbolo, basta mettere una sbarretta obliqua sul simbolo da negare. In questo caso negare = significa appunto dire diverso. Altri simboli negati sono, ad esempio, non appartenente ; non per ogni ; non esiste. Così, l intera formula diventa chiara: per ogni p e q appartenenti al piano, tali che p è diverso da q (e dunque p e q sono distinti), esiste un unica (ecco un altro quantificatore) retta r tale che sia p che q vi appartengono. Una volta sviscerata la frase si cerca di renderla in italiano accettabile e ne esce il Teorema enunciato sopra Esempio. Ora il lettore dovrebbe essere in grado di riconoscere nella formuletta che segue il famoso Quinto Postulato di Euclide, con l informazione che se r e s indicano due rette, allora la scrittura r s significa che r è parallela a s: p Π, r R : p r! s R : s r, p s. A parole quanto abbiamo scritto si traduce dicendo: per ogni punto p del piano e per ogni retta r che giace su tale piano e non contenente p, esiste una ed una sola retta s passante per p e parallela a r Esercizio. a) Cosa significa a parole il predicato (supponendo che le variabili in gioco siano numeri): x y : x + y = 0? b) E vero che x : y x y = 0? 4

6 Capitolo I connettivi Una volta acquisita una certa dimestichezza con i quantificatori, bisogna cercare di capire come collegare tra loro le parti di una proposizione, oppure più proposizioni, per formarne una più grande. Ora tale operazione è stata fatta sopra tacitamente, usando le congiunzioni e oppure o nel corso degli enunciati. Vediamo ora i connettivi più importanti nel dettaglio. Essi sono: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione =, equivalenza. Negazione. Se P è una proposizione, allora la negazione di P, ovvero P, è la proposizione che afferma l esatto contrario di P. In generale, la proposizione P è vera se e solo la proposizione P è falsa. Se, ad esempio P fosse: allora P è la proposizione: Tizio ha più francobolli di Caio, è falso che Tizio abbia più francobolli di Caio, oppure, equivalentemente: Tizio non ha più francobolli di Caio. Si badi che la proposizione: Tizio ha meno francobolli di Caio è più precisa di P, in quanto esclude che Tizio e Caio abbiano lo stesso numero di francobolli. Dunque si presti attenzione quando si negano le proposizioni. 5

7 Capitolo 1 Ecco un esempio più complicato: supponiamo che P sia la proposizione seguente (incidentalmente, vera) per ogni numero naturale n, esiste un numero primo maggiore di n. Cosa significa negare P? asserire che Significa affermare che P è falsa, ovvero, è falso che per ogni numero naturale n esiste un numero primo maggiore di n. Ora, è sempre meglio cercare di spostare la negazione più all interno che si può nella proposizione, in quanto la frase acquista maggior chiarezza. Allora, se è falso che per ogni numero succede una tal cosa, significa che esiste un eccezione, ovvero, nel nostro caso, che esiste almeno un numero naturale n tale che non esiste alcun numero primo p maggiore di n. Guardiamo in simboli cosa succede. La proposizione P si traduce in questo modo: n N, p primo: p > n. La negazione di P abbiamo scoperto dunque essere n N : p primo, p n. Si è notato lo scambio dei quantificatori nel passaggio da P a P? In generale per proposizioni molto complicate, l uso dei simboli torna molto utile, in quanto si riesce a negare tali proposizioni complesse con un certo grado di automatismo. Ma su questa questione non spendiamo altre parole. Congiunzione. La congiunzione è un connettivo molto naturale: se P e Q sono due proposizioni, la proposizione P Q (si legge P e Q ) è la proposizione che asserisce sia P che Q. Se ad esempio P fosse: 3 è un numero primo (vera) e Q fosse: 4 è un numero dispari (falsa), la proposizione P Q sarebbe: 3 è un 6

8 Capitolo 1 numero primo e 4 è un numero dispari (falsa). In generale, la proposizione P Q è vera se e solo se entrambe le proposizioni P e Q sono vere. Disgiunzione. La disgiunzione è un connettivo pure molto naturale: se P e Q sono due proposizioni, la proposizione P Q (si legge P oppure Q ) è la proposizione che asserisce o P oppure Q. Se ad esempio P fosse di nuovo: 3 è un numero primo (vera) e Q fosse: 4 è un numero dispari (falsa), la proposizione P Q sarebbe: 3 è un numero primo oppure 4 è un numero dispari (vera). In generale, la proposizione P Q è vera se e solo se almeno una fra le proposizioni P e Q è vera. Implicazione. L implicazione è il connettivo più delicato: se P e Q sono due proposizioni, la proposizione P Q (si legge P implica Q, oppure se P allora Q ) è la proposizione che asserisce che da P si deduce Q. Se ad esempio P fosse: 3 è un numero primo (vera) e Q fosse: 4 è un numero dispari (falsa), la proposizione P Q sarebbe: se 3 è un numero primo allora 4 è un numero dispari (falsa). Si osservi che P Q è equivalente alla proposizione ( P ) Q: infatti dire se P allora Q significa dire che o non vale P, oppure vale Q, ci si pensi un po. Pertanto, la proposizione P = Q è vera se e solo se non si ha che la proposizione P (premessa) è vera e Q (tesi) è falsa. Si prenda ad esempio l implicazione: se fa bel tempo, Tizio va a trovare Caio. 7

9 Capitolo 1 Ora, se per caso piovesse, tutti penserebbero che Tizio non andrebbe da Caio, ma questa deduzione aggiuntiva non è consentita sul piano logico-deduttivo: l unica cosa che è certa è che se fa bel tempo Tizio va da Caio. Equivalentemente si può dire che se Tizio non va a trovare Caio, allora senz altro non fa bel tempo. Ma il cattivo tempo non impedisce a Tizio di andare da Caio. La nostra proposizione è dunque equivalente alla seguente affermazione: o non fa bel tempo, oppure Tizio va da Caio. In ultimo, (lo ribadiamo ancora) osserviamo che se P Q è vera, ciò non significa che Q sia vera, ma semplicemente che è vero che da P si deduce Q. Ad esempio se P fosse 2 < 1 (falsa) e Q fosse 3 < 2 (pure falsa), allora l implicazione 2 < 1 3 < 2 sarebbe vera, in quanto la conclusione è deducibile dalla premessa, bastando aggiungere semplicemente 1 ad ambo i membri della disuguaglianza contenuta nella premessa stessa. Equivalenza. In ultimo, prendiamo in esame l equivalenza: se P e Q sono due proposizioni, allora P Q (si legge P se e solo se Q, oppure P è equivalente a Q ) è la proposizione che è vera se e solo se P e Q sono contemporaneamente vere o contemporaneamente false, ovvero, sono equivalenti. Ad esempio la proposizione 2 < 1 se e solo se 3 < 2 è vera, poiche premessa e conclusione sono entrambe false. Invece, la proposizione il numero naturale 10 è divisibile per 2 se e solo se esso è divisibile per 4. è una proposizione falsa, in quanto è ben vero che 10 è divisibile per 2, ma è falso che 10 è divisibile per 4. In generale, la proposizione P Q è vera se e solo se le proposizioni P e Q sono entrambe vere o entrambe false. 8

10 Esercizio risolto. Si consideri la seguente proposizione: ( (P Q) ) = ( ( P ) (Q R) ). Capitolo 1 Si dica, usando le regole di riduzione viste sopra, se essa è vera o falsa, supponendo che P e R siano vere e Q sia falsa. Soluzione. Se P è vera e Q è falsa, allora la disgiunzione P Q è vera e quindi la sua negazione (P Q) è falsa. La disgiunzione Q R è vera, poiché almeno una delle due proposizioni Q o R è vera. Dato poi che P è vera, si ha che P è falsa. Pertanto la congiunzione ( P ) } {{ } falsa (Q R) } {{ } vera risulta nel suo complesso falsa. Dunque, l implicazione (P Q) = ( ( P ) (Q R) ). } {{ } } {{ } falsa falsa è vera, poiché, come abbiamo appena visto, se la premessa è falsa e la tesi è falsa, l implicazione è vera Esercizio. Si consideri la seguente proposizione: ( (P Q) ) ( ( P ) ( Q) ). Si dica, usando le regole di riduzione viste sopra, se essa è vera o falsa, supponendo che P sia falsa e Q sia vera. 9

11 2. GLI INSIEMI La nozione di insieme riveste in matematica un ruolo di primaria importanza: potremmo dire, anche se rimarremo vaghi, che il concetto di insieme rappresenta, alla stessa stregua delle operazioni elementari, l alfabeto della matematica. Mediante l uso degli insiemi è infatti possibile definire oggetti più evoluti e complicati. Tali oggetti più complicati servono poi per definire oggetti ancora più strutturati, e via dicendo. Continuando il paragone con la nostra lingua, potremmo osservare come la Divina Commedia sia un insieme di cantiche, le quali, a loro volta, sono formate da canti, che a loro volta sono formati da terzine, a loro volta formate da endecasillabi, a loro volta formati da parole. E le parole sono solo (!) sequenze finite di lettere dell alfabeto. Dunque una cosa elementarissima come il nostro alfabeto ha permesso la creazione di un capolavoro. Del tutto similmente, la teoria degli insiemi, a prima vista piuttosto semplice, consente (assieme ad altre nozioni primitive) di creare un linguaggio matematico capace di esprimere idee e nozioni sofisticate, teoremi di grande fascino e teorie capaci di rivoluzionare il pensiero dell uomo. Noi in questo capitolo avremo naturalmente pretese assai più modeste: cercheremo di presentare le prime nozioni riguardanti la teoria degli insiemi nella versione più elementare che ci è possibile Definizioni e prime proprietà Cominciamo con il precisare che cosa intendiamo con la parola insieme Definizione. Chiameremo insieme una qualunque collezione di oggetti (che verranno detti elementi dell insieme) distinti e ben determinati Esempio. Sono effettivamente insiemi la collezione delle lettere dell alfabeto italiano, oppure la totalità degli esseri umani, o anche il gruppo delle squadre di calcio di serie A. 10

12 Capitolo Esempio. Non costituiscono un insieme, invece, la collezione di tre città (non sappiamo quali sono!), cinque monete finlandesi da 1 euro (non le possiamo distinguere!) e il gruppo degli uomini alti (cosa intendiamo per alto? E una proprietà soggettiva!) Useremo di preferenza le lettere maiuscole A, B,... per indicare gli insiemi e le lettere minuscole a, b, c,..., per indicarne gli elementi. Per indicare che un dato elemento a sta nell insieme A, diremo che a appartiene ad A e indicheremo questa relazione con a A. C Inter Milan Juventus Chievo Lazio Figura 2.1: rappresentazione dell insieme C mediante diagramma di Eulero-Venn. Ci sono tre modi per rappresentare gli insiemi: per elencazione: si scrivono esplicitamente tutti gli elementi dell insieme (e l ordine in cui si scrivono è indifferente); ad esempio C = {Chievo, Inter, Juventus, Lazio, Milan}; mediante diagrammi di Eulero-Venn: gli insiemi vengono rappresentati graficamente come recinti ovali, si veda ad esempio la Figura 2.1; per proprietà caratteristica: si scrive la proprietà che deve avere ogni elemento per appartenere all insieme voluto; ad esempio, C = { x è una squadra di calcio: x è tra le prime cinque }. L elencazione è certamente il modo più intuitivo per introdurre un dato insieme. E però vero che se l insieme consta di molti elementi, la mera 11

13 Capitolo 2 elencazione di tutti questi elementi può diventare spossante. D altro canto vi sono casi in cui l elencazione degli elementi di un dato insieme è proprio impossibile. Se ad esempio volessimo indicare matematicamente l insieme di tutti i numeri pari, non potremmo certo elencarli tutti! In questi casi è certamente preferibile (se non obbligatorio) ricorrere al metodo della proprietà caratteristica. Per i numeri pari potremmo procedere in questo modo: P = {n è un numero: n è pari} e leggeremo: P è l insieme dei numeri n tali che n è pari. In tal modo, anche se non compaiono affatto i numeri pari nella definizione dell insieme P, si è capito con esattezza chi sono i suoi elementi. Ad esempio, 4 appartiene a P in quanto è un numero pari, 5 non appartiene a P in quanto è un numero, ma non è pari, ed infine la lettera q non appartiene a P in quanto non è nemmeno un numero. Tra tutti gli insiemi che si possono definire, ce n è uno particolarmente facile, che però bisogna tenere bene in mente Definizione. L insieme che non contiene nessun elemento si chiama insieme vuoto e si denota con il simbolo. Dunque, l insieme vuoto non contiene alcun elemento: ecco due esempi di insiemi che sono uguali all insieme vuoto: A = {n è un numero: n è dispari e multiplo di 4}, B = {x è un uomo: x è padre di suo nonno}. Come si vede, i due insiemi non possono contenere alcun elemento: nel primo caso perché nessun numero dispari può essere multiplo di 4, altrimenti sarebbe pari, e nel secondo caso perché nessun uomo può essere padre di un proprio avo! Quindi A = B = Definizione. Un insieme A si dice finito se esso contiene un numero finito di elementi (o non ne contiene nessuno), mentre si dice infinito in caso contrario. Nel caso in cui un certo insieme A sia finito, il numero dei suoi elementi (0, nel caso in cui non ve ne siano) si chiama cardinalità di tale insieme e si denota con A. 12

14 Capitolo Relazioni insiemistiche Passiamo ora alle relazioni tra insiemi e cominciamo con il precisare quando due insiemi sono uguali Definizione. Due insiemi A e B sono uguali quando essi contengono gli stessi elementi. Ad esempio i due insiemi A = {a, b, c} e B = {b, c, a} sono uguali: essi infatti contengono gli stessi tre elementi. Anche l insieme C = {x è una lettera: x è una delle prime tre lettere dell alfabeto} è uguale ad A e B, per la stessa ragione Definizione. Un insieme A è incluso in un insieme B, e scriveremo A B, quando ogni elemento di A è anche elemento di B. Se A è incluso in B, diremo anche che B include A e scriveremo B A. Se A è incluso in B, allora si dice anche che A è un sottoinsieme di B. Per convenzione assumiamo che A, qualunque sia A, in altri termini l insieme vuoto è sempre un sottoinsieme di ogni altro insieme A Osservazione. Osserviamo che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso. Dunque ogni insieme non vuoto ha sempre due sottoinsiemi distinti: l insieme vuoto e se stesso. Questi due sottoinsiemi vengono spesso chiamati sottoinsiemi banali (o impropri). Insieme universo. Per evitare confusioni o paradossi è bene pensare che gli insiemi che si esaminano siano contenuti in un insieme più grande, detto insieme universo (o ambiente), di volta in volta specificato (o comunque tacitamente sottinteso). Ad esempio, quando parleremo dell insieme dei numeri pari, o dei numeri dispari, o dei numeri 13

15 Capitolo 2 A B Figura 2.2: B è sottoinsieme di A. primi, penseremo sempre che tutti questi sottoinsiemi siano contenuti nell insieme universo costituito da tutti i numeri. Se consideriamo l insieme delle prime cinque squadre di serie A o l insieme delle ultime otto, o l insieme delle squadre il cui nome inizia per C, allora penseremo che tutti questi insiemi siano immersi nell insieme universo costituito dalla totalità di tutte le squadre di serie A Definizione. Sia dato un insieme A. Si chiama insieme delle parti di A l insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A. Indicheremo tale insieme con il simbolo P(A). Ad esempio, sia A = {x, y, z}. Allora (ricordiamoci che e A sono sottoinsiemi di A!) P(A) = {, {x, y, z}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} }. Da ricordare. In seguito osserveremo che se A ha cardinalità n, allora P(A) ha cardinalità 2 n : nel nostro caso A = 3, ed infatti abbiamo verificato che P(A) = 2 3 = 8. Esaminiamo ora alcune proprietà dell inclusione. Proprietà riflessiva : A A; Proprietà antisimmetrica : se A B e B A, allora A = B; Proprietà transitiva : se A B e B C, allora A C. Della prima proprietà abbiamo già parlato, quanto alla seconda essa dice che se A è incluso in B e B è incluso in A, allora l unica possibilità è che A = B. In ultimo, la transitività esprime un fatto intuitivamente ovvio: se un certo insieme A è contenuto in B, ed a sua volta B è contenuto in C, allora anche A è contenuto in C. 14

16 Capitolo Operazioni tra insiemi Ora esaminiamo quattro operazioni fondamentali nella teoria degli insiemi: unione, intersezione, differenza e complementazione. Ricordiamo che tutti gli insiemi che consideriamo sono da considerarsi contenuti in un insieme universo X, fissato una volta per tutte. Ecco le definizioni: Definizione. Siano dati due insiemi A e B contenuti in X. Allora l unione di A e B, denotata con A B, è l insieme i cui elementi appartengono o ad A, oppure a B. a a b b c cc d d A f e g h h i l l i B Figura 2.3: l intera parte ombreggiata rappresenta l unione di A e B Definizione. Siano dati due insiemi A e B contenuti in X. Allora l intersezione di A e B, denotata con A B, è l insieme i cui elementi appartengono sia ad A, sia a B. a b e g h i A c d f l B Figura 2.4: la parte ombreggiata rappresenta l intersezione di A e B. 15

17 Capitolo Definizione. Siano dati due insiemi A e B contenuti in X. Allora la differenza di A e B, denotata con A \ B è l insieme i cui elementi appartengono ad A ma non a B. c A b a d f e g h l i B Figura 2.5: la parte ombreggiata rappresenta la differenza di A e B Definizione. Sia dato un insieme A contenuto in X. Allora il complementare di A, denotato con A c, è l insieme i cui elementi non appartengono ad A. A c b a d f e g h h i l l i B X Figura 2.6: la parte ombreggiata rappresenta il complementare di A: si osservi come questo dipenda da X. Ad esempio se X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 7}, allora abbiamo che A B = {1, 2, 3, 4, 7}, A B = {1, 3}, A \ B = {2, 4}, B \ A = {7}, A c = {5, 6, 7} e B c = {2, 4, 5, 6}. 16

18 Capitolo Osservazione. Direttamente dalla definizione si ha che A B = B A, e analogamente A B = B A. Per contro A \ B non è uguale (in generale) a B \A, e l esempio appena discusso mostra infatti che questi due ultimi insiemi possono non coincidere. Ad ogni modo si osservi che A \ B = A B c. Si possono dimostrare le seguenti formule (alcune sono immediate, altre meriterebbero qualche considerazioni aggiuntiva): 1. A c = X \ A 2. (A c ) c = A (( ) c è involutorio) 3. A A = A (idempotenza di ) 4. A A = A (idempotenza di ) 5. A \ A = 6. A A c = X (non contradditorietà) 7. A (B C) = (A B) C (associatività di ) 8. A (B C) = (A B) C (associatività di ) 9. (A B) c = A c B c (legge di De Morgan) 10. (A B) c = A c B c 11. A (B C) = (A B) (A C) (distributività di rispetto a ) 12. A (B C) = (A B) (A C) (distributività di rispetto a ) Grazie alle proprietà 8, possiamo scrivere impunemente A B C, senza preoccuparci di specificare se intendiamo A (B C) o (A B) C, dato che si tratta della stessa cosa. Analogamente (grazie alla proprietà 7), per la scrittura A B C. Si osservi l analogia di questa proprietà con quella della consueta operazione + : anche qui si ha che a + (b + c) = (a + b) + c e pertanto risulta non ambigua la scrittura a + b + c. Al contrario l operazione di differenza per gli insiemi non gode di questa proprietà: non è vero che A\(B\C) = (A\B)\C. Per rendersene conto, si consideri il seguente esempio: X = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c}, B = {a, b, g, f}, C = {a, g}. Ora, A \ (B \ C) = A \ {b, f} = {a, c}, 17

19 Capitolo 2 mentre (A \ B) \ C = {c} \ {a, g} = {c}. Come si vede i due insiemi non coincidono. Si osservi l analogia con l operazione di sottrazione tra numeri: anche in questo caso non vale la proprietà associativa; infatti (a b) c non è in generale uguale a a (b c) (si costruisca un esempio!) Esercizio risolto. Ridurre in forma più semplice l insieme ( A c (A B) ) \ ( B (B \ A) c) c, (3.1) sfruttando le regole elencate sopra. Soluzione. Poniamo ( A c (A B) ) \ ( B (B \ A) c) c. } {{ } } {{ } = I = II Occupiamoci della parte I dell espressione: A c (A B) = (A c A) (A c B) = X (A c B) = A c B, grazie alle regole 12 e 6. Per quanto riguarda il membro II dell espressione abbiamo ( B (B \ A) c ) c = B c ( (B \ A) c) c = B c (B \ A) = B c (B A c ) = (B c B) (B c A c ) = X (B c A c ) = B c A c, 18

20 grazie alle regole 10, 2, 12 e 6. Dunque, in definitiva la nostra espressione iniziale è uguale a (A c B) \ (A c B c ) = (A c B) (A c B c ) c = (A c B) ( (A c ) c (B c ) c) = (A c B) (A B) = (A c A B) (B A B) = (A B) = A B. Sicché l intera espressione (3.1) altri non è che l insieme A B. Capitolo 2 A B X Figura 2.7: qui è ombreggiato l insieme I dell Esercizio 2.3.6, cioè l insieme A c (A B). A B X Figura 2.8: qui è ombreggiato l insieme II dell Esercizio 2.3.6, cioè l insieme (B (B \ A) c ) c. 19

21 Capitolo 2 A B X Figura 2.9: qui è ombreggiato l insieme I \ II dell Esercizio 2.3.6, cioè l insieme A B Esercizio. Ridurre in forma più semplice l insieme ( A (A B c ) ) ( A \ (B \ A) ). (3.2) 2.4. Contare gli elementi Se A ha n elementi e B ha m elementi, quanti elementi ha A B? E A B? In questo paragrafo diamo le formulette che rispondono a queste domande Proposizione. Siano A e B due insiemi non vuoti di cardinalità finita. Allora si hanno le seguenti relazioni: A B = A + B A B, A B = A + B A B, A \ B = A A B = A B B Esempio. Se, ad esempio A = {a, b, c, d, e} e B = {a, f}, abbiamo che A = 5, B = 2, A B = 1, A B = 6, A \ B = 4 e B \ A = 1. 20

22 Capitolo Partizioni Ora veniamo ad un altro concetto importante nella teoria degli insiemi Definizione. Dato un insieme non vuoto A, una partizione di A è una collezione qualunque di sottoinsiemi non vuoti di A tali che ogni elemento di A appartiene ad uno ed uno solo di tali sottoinsiemi. Se A = {a, b, c, d, e, f}, quelli che seguono sono tutti esempi di possibili partizioni di A: P 1 = { {a}, {b, c}, {d, e, f} } ; P 2 = { {a, b, c}, {d}, {e, f} } ; P 3 = { {a, b, c, d, e, f} } ; P 4 = { {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f} } ; P 5 = { {a, f}, {b, e}, {c, d} }. Come si vede in ognuno degli esempi si ha che ogni elemento di A sta in uno ed in uno solo dei sottoinsiemi non vuoti di volta in volta scelti, i quali, quindi, costituiscono una partizione di A. Nel caso in cui A sia l insieme dei numeri naturali, una possibile partizione è data dai seguenti sottoinsiemi: A 1 = {1}, A 2 = {2, 3}, A 3 = {4, 5, 6},... In questo modo costruiamo un infinità di sottoinsiemi, i quali costituiscono una partizione di A: infatti ognuno di questi sottoinsiemi è non vuoto, in più è chiaro dalla loro costruzione che ogni numero sta in uno ed uno solo di tali sottoinsiemi. Attenzione. Non è detto che una partizione di un insieme infinito sia infinita: ad esempio la partizione P = { {numeri pari}, {numeri dispari} } è una partizione dell insieme dei numeri naturali che ha solo due elementi! 21

23 Capitolo 2 A15 A4 A2 A3 A6 A10 A5 A1 A8 A7 A11 A13 A14 A12 A9 A Figura 2.10: i 15 sottoinsiemi A i ; i =1,2,...,15 rappresentano, in maniera schematica, una partizione di un certo insieme A Prodotto cartesiano In questo paragrafo consideriamo un altra operazione tra due insiemi: il prodotto cartesiano. Consideriamo due insiemi non vuoti A e B. Supponiamo, per il momento, che A e B siano due insiemi finiti. Per facilitare la comprensione di quanto diremo supponiamo che A sia l insieme delle quattro giacche che Tizio ha nell armadio, diciamo A = {giacca 1, giacca 2, giacca 3, giacca 4 }. L insieme B è invece l insieme delle tre cravatte che Tizio ha sempre nell armadio: B = {cravatta 1, cravatta 2, cravatta 3 }. Ora, l insieme A B (prodotto cartesiano di A e B) indica tutti gli abbinamenti tra giacche e cravatte, precisamente gli elementi di A B sono: (giacca 1, cravatta 1 ), (giacca 1, cravatta 2 ), (giacca 1, cravatta 3 ), (giacca 2, cravatta 1 ), (giacca 2, cravatta 2 ), (giacca 2, cravatta 3 ), (giacca 3, cravatta 1 ), (giacca 3, cravatta 2 ), (giacca 3, cravatta 3 ), (giacca 4, cravatta 1 ), (giacca 4, cravatta 2 ), (giacca 4, cravatta 3 ). 22

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