Prefazione. Michele Bricchi

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Prefazione. Michele Bricchi"

Transcript

1 Prefazione In questi Appunti abbiamo cercato di dare forma scritta alle Lezioni di Matematica per le Scienze Sociali, IV e V periodo, tenute durante l Anno Accademico 2002/2003 dai proff. R. Paoletti e C. Morpurgo. Si è cercato di tenere la trattazione degli argomenti scelti ad un livello elementare, dando molto spazio alla risoluzione di esercizi (molti dei quali sono stati discussi anche in classe), evitando approfondimenti e ricorrendo il meno possibile a formule complesse. Ringrazio, oltre che i docenti titolari del corso, gli altri tre tutors che mi hanno affiancato durante le esercitazioni: il dott. S. Bassis, il dott. A. Della Vedova ed in particolare la dott.ssa V. Doldi, per l aiuto prezioso offerto. Michele Bricchi i

2 1. IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA In questi Appunti tratteremo alcuni temi elementari di carattere matematico. Perciò, nonostante la materia che presenteremo non sarà complicata, è bene premettere alcune osservazioni di carattere generale riguardanti il linguaggio che si usa in contesti matematici. Cercheremo infatti di mettere in luce la specificità di tale linguaggio: è ben vero che si parlerà e si scriverà sempre in italiano, tuttavia la matematica ha delle regole di espressione tutte sue; non di rado si ricorre addirittura a formule in cui compaiono simboli non in uso nella lingua corrente, ed è bene che lo studente cominci ad avere dimestichezza con questo modo di esprimersi e con questi simboli. Cominciamo con il dire che in matematica certe parole vogliono dire una ed una sola cosa, a differenza della lingua corrente in cui una stessa parola od espressione ha talora sfumature differenti o addirittura significati diversi, a seconda del contesto in cui è inserita. Ad esempio, se Tizio dicesse di avere una macchina, tutti penseremmo subito che Tizio vuol dire di possedere una ed una sola automobile. Ma nel fare questa deduzione noi abbiamo aggiunto molto di più di quanto Tizio abbia in realtà detto. Abbiamo infatti pensato che la parola una significasse una e soltanto una, ovvero una e non più di una, e non, magari almeno una. Parimenti, abbiamo pensato che macchina significasse automobile e non, ad esempio, tosa-erba o telaio meccanico (tutte macchine, a ben guardare). E vero che tutti questi dubbi sono presto fugati nel corso del discorso: dal contesto si capisce infatti subito se Tizio intende dire di possedere almeno un tosa-erba o di avere una buona utilitaria, e non più di una. In matematica non ci si può però affidare al contesto, né al semplice buon senso dell ascoltatore, né, ovviamente, si può far riferimento ad elementi imponderabili e soggettivi di chi parla o scrive, di chi ascolta o di chi legge. 1

3 Capitolo Proposizioni, variabili e predicati Consideriamo le seguenti due affermazioni: a) Tizio è più alto di Caio; b) Tizio è molto alto. Ora, la prima affermazione è o vera o falsa. Potrebbe essere difficile appurarlo, potendo le due altezze differire di pochissimo, eppure tutti coloro in grado di giudicare le due altezze concorderebbero: o Tizio è più alto di Caio, oppure no: la frase a) ha un contenuto oggettivo. D altro canto, la seconda affermazione è condizionata da giudizi soggettivi: per qualcuno potrebbe sembrare che Tizio sia molto alto, per altri che sia solo alto. Insomma, non tutti concorderebbero sulla verità o la falsità della frase b), che quindi ha un contenuto soggettivo. In matematica le frasi di tipo a) si chiamano proposizioni, mentre quelle del tipo b) devono essere assolutamente scartate. Dunque, una proposizione è una frase (di senso compiuto) o vera o falsa, senza mezzi termini. Come ulteriore esempio segnaliamo la frase seguente: il numero è un numero primo. Ebbene, non è del tutto ovvio se questa frase sia vera (in effetti, essa è vera), ma nessuno deve avere dubbi sul fatto che essa o è certamente vera o è certamente falsa, comunque difficile risulti appurarlo, pertanto essa rientra a buon diritto nella categoria delle proposizioni. Esaminiamo ora la frase: x è più alto di y. Ora questa frase non è né vera, né falsa, infatti non conosciamo x e y. Tuttavia, ogniqualvolta a x e ad y viene dato un nome, ad esempio ad x viene dato il nome Tizio e ad y viene dato il nome Caio, ebbene allora la frase diventa una proposizione, in quanto è possibile decidere della sua verità o della sua falsità in maniera precisa. Frasi di tal fatta si chiamano predicati, mentre x e y sono chiamate variabili. Dunque un predicato è una frase dipendente da certe variabili tale che ogni volta che alle variabili vengono sostituiti valori consentiti essa diventa una proposizione. 2

4 Capitolo 1 Un altro esempio di predicato è: x > 5. Infatti, ogni volta che ad x si sostituisce un numero, la frase scritta diventa una proposizione, la quale è appunto o indiscutibilmente vera o indiscutibilmente falsa. Invece, la frase x è un bel numero non è un predicato, dal momento che sostituendo ad x un numero non si ottiene una proposizione, ma una frase la cui verità o falsità dipende da giudizi soggettivi Esercizio. La frase per ogni numero n > 1 il numero n 2 è un numero primo è una proposizione, un predicato o non è nessuna delle due? 1.2. I quantificatori Una proposizione matematica non può dunque essere fraintendibile, pertanto occorre una certa attenzione nel formularla. Valutiamo il seguente esempio: Teorema. Per ogni coppia di punti distinti del piano esiste una ed una sola retta che li contiene. Come abbiamo imparato, si tratta effettivamente di una proposizione. La geometria elementare insegna inoltre che questa proposizione è effettivamente vera (ed è per questo motivo che la si chiama Teorema ). Andiamo ora un po oltre, cercando di studiarne meglio la struttura. Questa proposizione comincia con le parole per ogni : si tratta di un esempio di quantificatore. I quantificatori principali in matematica sono tre, e precisamente per ogni ; esiste ; esiste un unico!. I segni che compaiono di fianco ad ogni quantificatore sono i simboli che possono essere impiegati al posto delle parole per designare la medesima cosa. Ne impareremo presto altri, tanto che l intero Teorema può essere riformulato semplicemente così: p, q Π : p q! r R : p r, q r, (2.1) 3

5 Capitolo 1 dove abbiamo convenuto di indicare con Π il piano della geometria elementare e con R l insieme delle rette tracciabili su tale piano. Il segno di interpunzione : non ha la stessa funzione che esso riveste nella lingua italiana, ma va letto come se vi fosse scritto tale che (o tali che ). Dunque, la frase in simboli scritta qui sopra comincia ad acquistare un senso compiuto: il quantificatore iniziale significa, come abbiamo appena visto, per ogni, poi seguono i punti p e q e poi ancora si ha il simbolo, il quale significa appartenente (o appartenenti, a seconda di ciò che lo precede). Fino ad ora, quindi, la frase significa: per ogni p e q appartenenti al piano Π tali che... Ora si ha il segno, il quale significa diverso. In generale, quando si vuole negare un qualunque simbolo, basta mettere una sbarretta obliqua sul simbolo da negare. In questo caso negare = significa appunto dire diverso. Altri simboli negati sono, ad esempio, non appartenente ; non per ogni ; non esiste. Così, l intera formula diventa chiara: per ogni p e q appartenenti al piano, tali che p è diverso da q (e dunque p e q sono distinti), esiste un unica (ecco un altro quantificatore) retta r tale che sia p che q vi appartengono. Una volta sviscerata la frase si cerca di renderla in italiano accettabile e ne esce il Teorema enunciato sopra Esempio. Ora il lettore dovrebbe essere in grado di riconoscere nella formuletta che segue il famoso Quinto Postulato di Euclide, con l informazione che se r e s indicano due rette, allora la scrittura r s significa che r è parallela a s: p Π, r R : p r! s R : s r, p s. A parole quanto abbiamo scritto si traduce dicendo: per ogni punto p del piano e per ogni retta r che giace su tale piano e non contenente p, esiste una ed una sola retta s passante per p e parallela a r Esercizio. a) Cosa significa a parole il predicato (supponendo che le variabili in gioco siano numeri): x y : x + y = 0? b) E vero che x : y x y = 0? 4

6 Capitolo I connettivi Una volta acquisita una certa dimestichezza con i quantificatori, bisogna cercare di capire come collegare tra loro le parti di una proposizione, oppure più proposizioni, per formarne una più grande. Ora tale operazione è stata fatta sopra tacitamente, usando le congiunzioni e oppure o nel corso degli enunciati. Vediamo ora i connettivi più importanti nel dettaglio. Essi sono: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione =, equivalenza. Negazione. Se P è una proposizione, allora la negazione di P, ovvero P, è la proposizione che afferma l esatto contrario di P. In generale, la proposizione P è vera se e solo la proposizione P è falsa. Se, ad esempio P fosse: allora P è la proposizione: Tizio ha più francobolli di Caio, è falso che Tizio abbia più francobolli di Caio, oppure, equivalentemente: Tizio non ha più francobolli di Caio. Si badi che la proposizione: Tizio ha meno francobolli di Caio è più precisa di P, in quanto esclude che Tizio e Caio abbiano lo stesso numero di francobolli. Dunque si presti attenzione quando si negano le proposizioni. 5

7 Capitolo 1 Ecco un esempio più complicato: supponiamo che P sia la proposizione seguente (incidentalmente, vera) per ogni numero naturale n, esiste un numero primo maggiore di n. Cosa significa negare P? asserire che Significa affermare che P è falsa, ovvero, è falso che per ogni numero naturale n esiste un numero primo maggiore di n. Ora, è sempre meglio cercare di spostare la negazione più all interno che si può nella proposizione, in quanto la frase acquista maggior chiarezza. Allora, se è falso che per ogni numero succede una tal cosa, significa che esiste un eccezione, ovvero, nel nostro caso, che esiste almeno un numero naturale n tale che non esiste alcun numero primo p maggiore di n. Guardiamo in simboli cosa succede. La proposizione P si traduce in questo modo: n N, p primo: p > n. La negazione di P abbiamo scoperto dunque essere n N : p primo, p n. Si è notato lo scambio dei quantificatori nel passaggio da P a P? In generale per proposizioni molto complicate, l uso dei simboli torna molto utile, in quanto si riesce a negare tali proposizioni complesse con un certo grado di automatismo. Ma su questa questione non spendiamo altre parole. Congiunzione. La congiunzione è un connettivo molto naturale: se P e Q sono due proposizioni, la proposizione P Q (si legge P e Q ) è la proposizione che asserisce sia P che Q. Se ad esempio P fosse: 3 è un numero primo (vera) e Q fosse: 4 è un numero dispari (falsa), la proposizione P Q sarebbe: 3 è un 6

8 Capitolo 1 numero primo e 4 è un numero dispari (falsa). In generale, la proposizione P Q è vera se e solo se entrambe le proposizioni P e Q sono vere. Disgiunzione. La disgiunzione è un connettivo pure molto naturale: se P e Q sono due proposizioni, la proposizione P Q (si legge P oppure Q ) è la proposizione che asserisce o P oppure Q. Se ad esempio P fosse di nuovo: 3 è un numero primo (vera) e Q fosse: 4 è un numero dispari (falsa), la proposizione P Q sarebbe: 3 è un numero primo oppure 4 è un numero dispari (vera). In generale, la proposizione P Q è vera se e solo se almeno una fra le proposizioni P e Q è vera. Implicazione. L implicazione è il connettivo più delicato: se P e Q sono due proposizioni, la proposizione P Q (si legge P implica Q, oppure se P allora Q ) è la proposizione che asserisce che da P si deduce Q. Se ad esempio P fosse: 3 è un numero primo (vera) e Q fosse: 4 è un numero dispari (falsa), la proposizione P Q sarebbe: se 3 è un numero primo allora 4 è un numero dispari (falsa). Si osservi che P Q è equivalente alla proposizione ( P ) Q: infatti dire se P allora Q significa dire che o non vale P, oppure vale Q, ci si pensi un po. Pertanto, la proposizione P = Q è vera se e solo se non si ha che la proposizione P (premessa) è vera e Q (tesi) è falsa. Si prenda ad esempio l implicazione: se fa bel tempo, Tizio va a trovare Caio. 7

9 Capitolo 1 Ora, se per caso piovesse, tutti penserebbero che Tizio non andrebbe da Caio, ma questa deduzione aggiuntiva non è consentita sul piano logico-deduttivo: l unica cosa che è certa è che se fa bel tempo Tizio va da Caio. Equivalentemente si può dire che se Tizio non va a trovare Caio, allora senz altro non fa bel tempo. Ma il cattivo tempo non impedisce a Tizio di andare da Caio. La nostra proposizione è dunque equivalente alla seguente affermazione: o non fa bel tempo, oppure Tizio va da Caio. In ultimo, (lo ribadiamo ancora) osserviamo che se P Q è vera, ciò non significa che Q sia vera, ma semplicemente che è vero che da P si deduce Q. Ad esempio se P fosse 2 < 1 (falsa) e Q fosse 3 < 2 (pure falsa), allora l implicazione 2 < 1 3 < 2 sarebbe vera, in quanto la conclusione è deducibile dalla premessa, bastando aggiungere semplicemente 1 ad ambo i membri della disuguaglianza contenuta nella premessa stessa. Equivalenza. In ultimo, prendiamo in esame l equivalenza: se P e Q sono due proposizioni, allora P Q (si legge P se e solo se Q, oppure P è equivalente a Q ) è la proposizione che è vera se e solo se P e Q sono contemporaneamente vere o contemporaneamente false, ovvero, sono equivalenti. Ad esempio la proposizione 2 < 1 se e solo se 3 < 2 è vera, poiche premessa e conclusione sono entrambe false. Invece, la proposizione il numero naturale 10 è divisibile per 2 se e solo se esso è divisibile per 4. è una proposizione falsa, in quanto è ben vero che 10 è divisibile per 2, ma è falso che 10 è divisibile per 4. In generale, la proposizione P Q è vera se e solo se le proposizioni P e Q sono entrambe vere o entrambe false. 8

10 Esercizio risolto. Si consideri la seguente proposizione: ( (P Q) ) = ( ( P ) (Q R) ). Capitolo 1 Si dica, usando le regole di riduzione viste sopra, se essa è vera o falsa, supponendo che P e R siano vere e Q sia falsa. Soluzione. Se P è vera e Q è falsa, allora la disgiunzione P Q è vera e quindi la sua negazione (P Q) è falsa. La disgiunzione Q R è vera, poiché almeno una delle due proposizioni Q o R è vera. Dato poi che P è vera, si ha che P è falsa. Pertanto la congiunzione ( P ) } {{ } falsa (Q R) } {{ } vera risulta nel suo complesso falsa. Dunque, l implicazione (P Q) = ( ( P ) (Q R) ). } {{ } } {{ } falsa falsa è vera, poiché, come abbiamo appena visto, se la premessa è falsa e la tesi è falsa, l implicazione è vera Esercizio. Si consideri la seguente proposizione: ( (P Q) ) ( ( P ) ( Q) ). Si dica, usando le regole di riduzione viste sopra, se essa è vera o falsa, supponendo che P sia falsa e Q sia vera. 9

11 2. GLI INSIEMI La nozione di insieme riveste in matematica un ruolo di primaria importanza: potremmo dire, anche se rimarremo vaghi, che il concetto di insieme rappresenta, alla stessa stregua delle operazioni elementari, l alfabeto della matematica. Mediante l uso degli insiemi è infatti possibile definire oggetti più evoluti e complicati. Tali oggetti più complicati servono poi per definire oggetti ancora più strutturati, e via dicendo. Continuando il paragone con la nostra lingua, potremmo osservare come la Divina Commedia sia un insieme di cantiche, le quali, a loro volta, sono formate da canti, che a loro volta sono formati da terzine, a loro volta formate da endecasillabi, a loro volta formati da parole. E le parole sono solo (!) sequenze finite di lettere dell alfabeto. Dunque una cosa elementarissima come il nostro alfabeto ha permesso la creazione di un capolavoro. Del tutto similmente, la teoria degli insiemi, a prima vista piuttosto semplice, consente (assieme ad altre nozioni primitive) di creare un linguaggio matematico capace di esprimere idee e nozioni sofisticate, teoremi di grande fascino e teorie capaci di rivoluzionare il pensiero dell uomo. Noi in questo capitolo avremo naturalmente pretese assai più modeste: cercheremo di presentare le prime nozioni riguardanti la teoria degli insiemi nella versione più elementare che ci è possibile Definizioni e prime proprietà Cominciamo con il precisare che cosa intendiamo con la parola insieme Definizione. Chiameremo insieme una qualunque collezione di oggetti (che verranno detti elementi dell insieme) distinti e ben determinati Esempio. Sono effettivamente insiemi la collezione delle lettere dell alfabeto italiano, oppure la totalità degli esseri umani, o anche il gruppo delle squadre di calcio di serie A. 10

12 Capitolo Esempio. Non costituiscono un insieme, invece, la collezione di tre città (non sappiamo quali sono!), cinque monete finlandesi da 1 euro (non le possiamo distinguere!) e il gruppo degli uomini alti (cosa intendiamo per alto? E una proprietà soggettiva!) Useremo di preferenza le lettere maiuscole A, B,... per indicare gli insiemi e le lettere minuscole a, b, c,..., per indicarne gli elementi. Per indicare che un dato elemento a sta nell insieme A, diremo che a appartiene ad A e indicheremo questa relazione con a A. C Inter Milan Juventus Chievo Lazio Figura 2.1: rappresentazione dell insieme C mediante diagramma di Eulero-Venn. Ci sono tre modi per rappresentare gli insiemi: per elencazione: si scrivono esplicitamente tutti gli elementi dell insieme (e l ordine in cui si scrivono è indifferente); ad esempio C = {Chievo, Inter, Juventus, Lazio, Milan}; mediante diagrammi di Eulero-Venn: gli insiemi vengono rappresentati graficamente come recinti ovali, si veda ad esempio la Figura 2.1; per proprietà caratteristica: si scrive la proprietà che deve avere ogni elemento per appartenere all insieme voluto; ad esempio, C = { x è una squadra di calcio: x è tra le prime cinque }. L elencazione è certamente il modo più intuitivo per introdurre un dato insieme. E però vero che se l insieme consta di molti elementi, la mera 11

13 Capitolo 2 elencazione di tutti questi elementi può diventare spossante. D altro canto vi sono casi in cui l elencazione degli elementi di un dato insieme è proprio impossibile. Se ad esempio volessimo indicare matematicamente l insieme di tutti i numeri pari, non potremmo certo elencarli tutti! In questi casi è certamente preferibile (se non obbligatorio) ricorrere al metodo della proprietà caratteristica. Per i numeri pari potremmo procedere in questo modo: P = {n è un numero: n è pari} e leggeremo: P è l insieme dei numeri n tali che n è pari. In tal modo, anche se non compaiono affatto i numeri pari nella definizione dell insieme P, si è capito con esattezza chi sono i suoi elementi. Ad esempio, 4 appartiene a P in quanto è un numero pari, 5 non appartiene a P in quanto è un numero, ma non è pari, ed infine la lettera q non appartiene a P in quanto non è nemmeno un numero. Tra tutti gli insiemi che si possono definire, ce n è uno particolarmente facile, che però bisogna tenere bene in mente Definizione. L insieme che non contiene nessun elemento si chiama insieme vuoto e si denota con il simbolo. Dunque, l insieme vuoto non contiene alcun elemento: ecco due esempi di insiemi che sono uguali all insieme vuoto: A = {n è un numero: n è dispari e multiplo di 4}, B = {x è un uomo: x è padre di suo nonno}. Come si vede, i due insiemi non possono contenere alcun elemento: nel primo caso perché nessun numero dispari può essere multiplo di 4, altrimenti sarebbe pari, e nel secondo caso perché nessun uomo può essere padre di un proprio avo! Quindi A = B = Definizione. Un insieme A si dice finito se esso contiene un numero finito di elementi (o non ne contiene nessuno), mentre si dice infinito in caso contrario. Nel caso in cui un certo insieme A sia finito, il numero dei suoi elementi (0, nel caso in cui non ve ne siano) si chiama cardinalità di tale insieme e si denota con A. 12

14 Capitolo Relazioni insiemistiche Passiamo ora alle relazioni tra insiemi e cominciamo con il precisare quando due insiemi sono uguali Definizione. Due insiemi A e B sono uguali quando essi contengono gli stessi elementi. Ad esempio i due insiemi A = {a, b, c} e B = {b, c, a} sono uguali: essi infatti contengono gli stessi tre elementi. Anche l insieme C = {x è una lettera: x è una delle prime tre lettere dell alfabeto} è uguale ad A e B, per la stessa ragione Definizione. Un insieme A è incluso in un insieme B, e scriveremo A B, quando ogni elemento di A è anche elemento di B. Se A è incluso in B, diremo anche che B include A e scriveremo B A. Se A è incluso in B, allora si dice anche che A è un sottoinsieme di B. Per convenzione assumiamo che A, qualunque sia A, in altri termini l insieme vuoto è sempre un sottoinsieme di ogni altro insieme A Osservazione. Osserviamo che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso. Dunque ogni insieme non vuoto ha sempre due sottoinsiemi distinti: l insieme vuoto e se stesso. Questi due sottoinsiemi vengono spesso chiamati sottoinsiemi banali (o impropri). Insieme universo. Per evitare confusioni o paradossi è bene pensare che gli insiemi che si esaminano siano contenuti in un insieme più grande, detto insieme universo (o ambiente), di volta in volta specificato (o comunque tacitamente sottinteso). Ad esempio, quando parleremo dell insieme dei numeri pari, o dei numeri dispari, o dei numeri 13

15 Capitolo 2 A B Figura 2.2: B è sottoinsieme di A. primi, penseremo sempre che tutti questi sottoinsiemi siano contenuti nell insieme universo costituito da tutti i numeri. Se consideriamo l insieme delle prime cinque squadre di serie A o l insieme delle ultime otto, o l insieme delle squadre il cui nome inizia per C, allora penseremo che tutti questi insiemi siano immersi nell insieme universo costituito dalla totalità di tutte le squadre di serie A Definizione. Sia dato un insieme A. Si chiama insieme delle parti di A l insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A. Indicheremo tale insieme con il simbolo P(A). Ad esempio, sia A = {x, y, z}. Allora (ricordiamoci che e A sono sottoinsiemi di A!) P(A) = {, {x, y, z}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} }. Da ricordare. In seguito osserveremo che se A ha cardinalità n, allora P(A) ha cardinalità 2 n : nel nostro caso A = 3, ed infatti abbiamo verificato che P(A) = 2 3 = 8. Esaminiamo ora alcune proprietà dell inclusione. Proprietà riflessiva : A A; Proprietà antisimmetrica : se A B e B A, allora A = B; Proprietà transitiva : se A B e B C, allora A C. Della prima proprietà abbiamo già parlato, quanto alla seconda essa dice che se A è incluso in B e B è incluso in A, allora l unica possibilità è che A = B. In ultimo, la transitività esprime un fatto intuitivamente ovvio: se un certo insieme A è contenuto in B, ed a sua volta B è contenuto in C, allora anche A è contenuto in C. 14

16 Capitolo Operazioni tra insiemi Ora esaminiamo quattro operazioni fondamentali nella teoria degli insiemi: unione, intersezione, differenza e complementazione. Ricordiamo che tutti gli insiemi che consideriamo sono da considerarsi contenuti in un insieme universo X, fissato una volta per tutte. Ecco le definizioni: Definizione. Siano dati due insiemi A e B contenuti in X. Allora l unione di A e B, denotata con A B, è l insieme i cui elementi appartengono o ad A, oppure a B. a a b b c cc d d A f e g h h i l l i B Figura 2.3: l intera parte ombreggiata rappresenta l unione di A e B Definizione. Siano dati due insiemi A e B contenuti in X. Allora l intersezione di A e B, denotata con A B, è l insieme i cui elementi appartengono sia ad A, sia a B. a b e g h i A c d f l B Figura 2.4: la parte ombreggiata rappresenta l intersezione di A e B. 15

17 Capitolo Definizione. Siano dati due insiemi A e B contenuti in X. Allora la differenza di A e B, denotata con A \ B è l insieme i cui elementi appartengono ad A ma non a B. c A b a d f e g h l i B Figura 2.5: la parte ombreggiata rappresenta la differenza di A e B Definizione. Sia dato un insieme A contenuto in X. Allora il complementare di A, denotato con A c, è l insieme i cui elementi non appartengono ad A. A c b a d f e g h h i l l i B X Figura 2.6: la parte ombreggiata rappresenta il complementare di A: si osservi come questo dipenda da X. Ad esempio se X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 7}, allora abbiamo che A B = {1, 2, 3, 4, 7}, A B = {1, 3}, A \ B = {2, 4}, B \ A = {7}, A c = {5, 6, 7} e B c = {2, 4, 5, 6}. 16

18 Capitolo Osservazione. Direttamente dalla definizione si ha che A B = B A, e analogamente A B = B A. Per contro A \ B non è uguale (in generale) a B \A, e l esempio appena discusso mostra infatti che questi due ultimi insiemi possono non coincidere. Ad ogni modo si osservi che A \ B = A B c. Si possono dimostrare le seguenti formule (alcune sono immediate, altre meriterebbero qualche considerazioni aggiuntiva): 1. A c = X \ A 2. (A c ) c = A (( ) c è involutorio) 3. A A = A (idempotenza di ) 4. A A = A (idempotenza di ) 5. A \ A = 6. A A c = X (non contradditorietà) 7. A (B C) = (A B) C (associatività di ) 8. A (B C) = (A B) C (associatività di ) 9. (A B) c = A c B c (legge di De Morgan) 10. (A B) c = A c B c 11. A (B C) = (A B) (A C) (distributività di rispetto a ) 12. A (B C) = (A B) (A C) (distributività di rispetto a ) Grazie alle proprietà 8, possiamo scrivere impunemente A B C, senza preoccuparci di specificare se intendiamo A (B C) o (A B) C, dato che si tratta della stessa cosa. Analogamente (grazie alla proprietà 7), per la scrittura A B C. Si osservi l analogia di questa proprietà con quella della consueta operazione + : anche qui si ha che a + (b + c) = (a + b) + c e pertanto risulta non ambigua la scrittura a + b + c. Al contrario l operazione di differenza per gli insiemi non gode di questa proprietà: non è vero che A\(B\C) = (A\B)\C. Per rendersene conto, si consideri il seguente esempio: X = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c}, B = {a, b, g, f}, C = {a, g}. Ora, A \ (B \ C) = A \ {b, f} = {a, c}, 17

19 Capitolo 2 mentre (A \ B) \ C = {c} \ {a, g} = {c}. Come si vede i due insiemi non coincidono. Si osservi l analogia con l operazione di sottrazione tra numeri: anche in questo caso non vale la proprietà associativa; infatti (a b) c non è in generale uguale a a (b c) (si costruisca un esempio!) Esercizio risolto. Ridurre in forma più semplice l insieme ( A c (A B) ) \ ( B (B \ A) c) c, (3.1) sfruttando le regole elencate sopra. Soluzione. Poniamo ( A c (A B) ) \ ( B (B \ A) c) c. } {{ } } {{ } = I = II Occupiamoci della parte I dell espressione: A c (A B) = (A c A) (A c B) = X (A c B) = A c B, grazie alle regole 12 e 6. Per quanto riguarda il membro II dell espressione abbiamo ( B (B \ A) c ) c = B c ( (B \ A) c) c = B c (B \ A) = B c (B A c ) = (B c B) (B c A c ) = X (B c A c ) = B c A c, 18

20 grazie alle regole 10, 2, 12 e 6. Dunque, in definitiva la nostra espressione iniziale è uguale a (A c B) \ (A c B c ) = (A c B) (A c B c ) c = (A c B) ( (A c ) c (B c ) c) = (A c B) (A B) = (A c A B) (B A B) = (A B) = A B. Sicché l intera espressione (3.1) altri non è che l insieme A B. Capitolo 2 A B X Figura 2.7: qui è ombreggiato l insieme I dell Esercizio 2.3.6, cioè l insieme A c (A B). A B X Figura 2.8: qui è ombreggiato l insieme II dell Esercizio 2.3.6, cioè l insieme (B (B \ A) c ) c. 19

21 Capitolo 2 A B X Figura 2.9: qui è ombreggiato l insieme I \ II dell Esercizio 2.3.6, cioè l insieme A B Esercizio. Ridurre in forma più semplice l insieme ( A (A B c ) ) ( A \ (B \ A) ). (3.2) 2.4. Contare gli elementi Se A ha n elementi e B ha m elementi, quanti elementi ha A B? E A B? In questo paragrafo diamo le formulette che rispondono a queste domande Proposizione. Siano A e B due insiemi non vuoti di cardinalità finita. Allora si hanno le seguenti relazioni: A B = A + B A B, A B = A + B A B, A \ B = A A B = A B B Esempio. Se, ad esempio A = {a, b, c, d, e} e B = {a, f}, abbiamo che A = 5, B = 2, A B = 1, A B = 6, A \ B = 4 e B \ A = 1. 20

22 Capitolo Partizioni Ora veniamo ad un altro concetto importante nella teoria degli insiemi Definizione. Dato un insieme non vuoto A, una partizione di A è una collezione qualunque di sottoinsiemi non vuoti di A tali che ogni elemento di A appartiene ad uno ed uno solo di tali sottoinsiemi. Se A = {a, b, c, d, e, f}, quelli che seguono sono tutti esempi di possibili partizioni di A: P 1 = { {a}, {b, c}, {d, e, f} } ; P 2 = { {a, b, c}, {d}, {e, f} } ; P 3 = { {a, b, c, d, e, f} } ; P 4 = { {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f} } ; P 5 = { {a, f}, {b, e}, {c, d} }. Come si vede in ognuno degli esempi si ha che ogni elemento di A sta in uno ed in uno solo dei sottoinsiemi non vuoti di volta in volta scelti, i quali, quindi, costituiscono una partizione di A. Nel caso in cui A sia l insieme dei numeri naturali, una possibile partizione è data dai seguenti sottoinsiemi: A 1 = {1}, A 2 = {2, 3}, A 3 = {4, 5, 6},... In questo modo costruiamo un infinità di sottoinsiemi, i quali costituiscono una partizione di A: infatti ognuno di questi sottoinsiemi è non vuoto, in più è chiaro dalla loro costruzione che ogni numero sta in uno ed uno solo di tali sottoinsiemi. Attenzione. Non è detto che una partizione di un insieme infinito sia infinita: ad esempio la partizione P = { {numeri pari}, {numeri dispari} } è una partizione dell insieme dei numeri naturali che ha solo due elementi! 21

23 Capitolo 2 A15 A4 A2 A3 A6 A10 A5 A1 A8 A7 A11 A13 A14 A12 A9 A Figura 2.10: i 15 sottoinsiemi A i ; i =1,2,...,15 rappresentano, in maniera schematica, una partizione di un certo insieme A Prodotto cartesiano In questo paragrafo consideriamo un altra operazione tra due insiemi: il prodotto cartesiano. Consideriamo due insiemi non vuoti A e B. Supponiamo, per il momento, che A e B siano due insiemi finiti. Per facilitare la comprensione di quanto diremo supponiamo che A sia l insieme delle quattro giacche che Tizio ha nell armadio, diciamo A = {giacca 1, giacca 2, giacca 3, giacca 4 }. L insieme B è invece l insieme delle tre cravatte che Tizio ha sempre nell armadio: B = {cravatta 1, cravatta 2, cravatta 3 }. Ora, l insieme A B (prodotto cartesiano di A e B) indica tutti gli abbinamenti tra giacche e cravatte, precisamente gli elementi di A B sono: (giacca 1, cravatta 1 ), (giacca 1, cravatta 2 ), (giacca 1, cravatta 3 ), (giacca 2, cravatta 1 ), (giacca 2, cravatta 2 ), (giacca 2, cravatta 3 ), (giacca 3, cravatta 1 ), (giacca 3, cravatta 2 ), (giacca 3, cravatta 3 ), (giacca 4, cravatta 1 ), (giacca 4, cravatta 2 ), (giacca 4, cravatta 3 ). 22

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

I Insiemi e funzioni

I Insiemi e funzioni I Insiemi e funzioni 1. INSIEMI ED OPERAZIONI SU DI ESSI 1.1. Insiemi Dal punto di vista intuitivo, il concetto di insieme può essere fatto corrispondere all atto mentale mediante il quale associamo alcuni

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alberto Pinto Corso di Matematica - NUCT 1 Insiemi 1.1 Generalità Diamo la definizione di insieme secondo Georg Cantor, matematico

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ

G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ 1. Definizione di funzione Definizione 1.1. Siano X e Y due insiemi. Una funzione f da X a Y è un sottoinsieme del prodotto cartesiano: f X Y, tale che

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

FUNZIONI. N indica l insieme dei numeri naturali; Z indica l insieme dei numeri relativi interi; Q indica l insieme dei numeri razionali;

FUNZIONI. N indica l insieme dei numeri naturali; Z indica l insieme dei numeri relativi interi; Q indica l insieme dei numeri razionali; 1 FUNZIONI Introduzione Una lingua è fatta di parole; essa si impara soprattutto con la pratica. La matematica, per esprimere i concetti logici, usa un proprio alfabeto fatto di simboli; anche questo si

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Se ad ogni elemento di A la relazione R associa un solo elemento di B, allora essa prende il nome di applicazione (funzione) di A in B.

Se ad ogni elemento di A la relazione R associa un solo elemento di B, allora essa prende il nome di applicazione (funzione) di A in B. 6. APPLICAZIONI o FUNZIONI Dati due insiemi A e B, sia R A B una relazione di A in B. Fissato un elemento x A può capitare che ad esso la relazione R associ un solo elemento di B, o che ne associ più di

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

La Logica Proposizionale. (Algebra di Boole)

La Logica Proposizionale. (Algebra di Boole) 1 ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE ANGIOY La Logica Proposizionale (Algebra di Boole) Prof. G. Ciaschetti 1. Cenni storici Sin dagli antichi greci, la logica è intesa come lo studio del logos, che in greco

Dettagli

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008. Parte 1: NOZIONI DI BASE

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008. Parte 1: NOZIONI DI BASE Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008 Parte 1: NOZIONI DI BASE 1 Indice 1 Nozioni introduttive 3 1.1 Insiemi..................................... 3 1.2 Operazioni tra insiemi.............................

Dettagli

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 2 Indice I INSIEMI E NUMERI 5 1 Insiemi e applicazioni 7 1.1 Insiemi..................................... 7 1.2 Operazioni tra insiemi.............................

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

NUMERI E SUCCESSIONI

NUMERI E SUCCESSIONI NUMERI E SUCCESSIONI Giovanni Maria Troianiello 1 Notazioni insiemistiche. Numeri naturali, interi, razionali Notazioni insiemistiche Si sa cosa s intende quando si parla di insieme (o famiglia, o classe)

Dettagli

Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari

Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari Insiemi e funzioni Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari ottobre 2007 Indice 1 Insiemi 3 1.1 Inclusione............................... 5 1.2 Famiglie di insiemi..........................

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Dispense del corso di Logica a.a. 2015/16: Problemi di primo livello. V. M. Abrusci

Dispense del corso di Logica a.a. 2015/16: Problemi di primo livello. V. M. Abrusci Dispense del corso di Logica a.a. 2015/16: Problemi di primo livello V. M. Abrusci 12 ottobre 2015 0.1 Problemi logici basilari sulle classi Le classi sono uno dei temi della logica. Esponiamo in questa

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero

APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA Margherita Roggero A.A. 2005/2006 M. Roggero - Appunti ed Esercizi di Matematica Discreta Introduzione Queste note contengono gli appunti del corso di Matematica

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

1. I limiti delle funzioni.

1. I limiti delle funzioni. 1. I iti delle funzioni. 1.1. Considerazioni introduttive. La nozione di ite di una funzione reale di variabile reale costituisce una naturale generalizzazione della nozione di ite di una successione.

Dettagli

Matematica 3. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [2015-16]

Matematica 3. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [2015-16] Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [05-6] Indice I Numeri e Funzioni Numeri 3. Premessa............................................. 3. Tipi di numeri..........................................

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1

APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 Gino Tironi Stesura provvisoria del 24 settembre, 2007. ii Indice 1 Insiemi e logica 1 1.1 Preliminari......................................... 1 1.2 Cenni di

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 2 Logica delle proposizioni

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu 1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella diversa, in modo

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

1 Insiemi e terminologia

1 Insiemi e terminologia 1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Dispense di Probabilità e Statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Generalità Nel corso di questo libro con la dicitura esperimento aleatorio indicheremo

Dettagli

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Scheda I. La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Dopo Menecmo, Archita, Eratostene molti altri, sfidando gli dei hanno trovato interessante dedicare il loro tempo per trovare una

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Fondamenti di calcolo booleano

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Fondamenti di calcolo booleano Breve introduzione storica Nel 1854, il prof. Boole pubblica un trattato ormai famosissimo: Le leggi del pensiero. Obiettivo finale del trattato è di far nascere la matematica dell intelletto umano, un

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) [# Aii [10 pagine]] Algebre di Boole Un algebra di Boole è una struttura 1. Definizione e proprietá B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non

Dettagli

Fondamenti di Informatica II

Fondamenti di Informatica II Fondamenti di Informatica II Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 1/8

Dettagli

PRIMAVERA IN BICOCCA

PRIMAVERA IN BICOCCA PRIMAVERA IN BICOCCA 1. Numeri primi e fattorizzazione Una delle applicazioni più rilevanti della Teoria dei Numeri si ha nel campo della crittografia. In queste note vogliamo delineare, in particolare,

Dettagli

Matematica di base. Marco Di Francesco. October 28, 2015

Matematica di base. Marco Di Francesco. October 28, 2015 Matematica di base Marco Di Francesco October 28, 2015 2 Chapter 1 Insiemi, numeri e introduzione alle funzioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi permette di definire in modo sintetico e generale i problemi

Dettagli

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi: Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA I

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA I Corso di Laurea in Matematica Dispense del corso di ALGEBRA I a.a. 2012 2013 2 Cos è l anima?. Al negativo è facile da definire: per l appunto ciò che si affretta a rintanarsi quando sente parlare di serie

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Programma precorso di matematica

Programma precorso di matematica Programma precorso di matematica a.a. 015/16 Quello che segue è il programma dettagliato del precorso. Si fa riferimento al testo [MPB] E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base, Pitagora

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

Tecniche di DM: Link analysis e Association discovery

Tecniche di DM: Link analysis e Association discovery Tecniche di DM: Link analysis e Association discovery Vincenzo Antonio Manganaro vincenzomang@virgilio.it, www.statistica.too.it Indice 1 Architettura di un generico algoritmo di DM. 2 2 Regole di associazione:

Dettagli

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Liceo Scientifico Statale P. Paleocapa, Rovigo XX Settimana della Cultura Scientifica e Tecnologica 19 marzo 2010 Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Prof.

Dettagli

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se.

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se. I Polinomi Michele Buizza 1 Insiemi In questa prima sezione ricordiamo la simbologia che useremo in questa breve dispensa. Iniziamo innanzitutto a ricordare i simboli usati per i principali insiemi numerici.

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

IL CONCETTO DI FUNZIONE

IL CONCETTO DI FUNZIONE IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Algebra booleana. Si dice enunciato una proposizione che può essere soltanto vera o falsa.

Algebra booleana. Si dice enunciato una proposizione che può essere soltanto vera o falsa. Algebra booleana Nel lavoro di programmazione capita spesso di dover ricorrere ai principi della logica degli enunciati e occorre conoscere i concetti di base dell algebra delle proposizioni. L algebra

Dettagli

Matematica Discreta. Gianfranco Niesi. Appunti per il corso di. C.S. in Informatica. Dipartimento di Matematica A.A. 2005-2006

Matematica Discreta. Gianfranco Niesi. Appunti per il corso di. C.S. in Informatica. Dipartimento di Matematica A.A. 2005-2006 Appunti per il corso di Matematica Discreta C.S. in Informatica UNIVERSITÀ DI GENOVA A.A. 2005-2006 Gianfranco Niesi Dipartimento di Matematica URL: http://www.dima.unige.it/ niesi 4 ottobre 2005 2 Indice

Dettagli

RELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :

RELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà : RELAZIONI INARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama relazione binaria (o corrispondenza) di A in, e si indica con f : A, (oppure R ) una

Dettagli

RELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4

RELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4 RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora

Dettagli

G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia

G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia Definizione 1.1 Relazione. Dati due insiemi A e B un sottoisieme R A B è detto una relazione binaria tra A e B. Se A = B allora

Dettagli

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme.

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Esercizi difficili sul calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Le parole a caso

Dettagli

Elementi di teoria degli insiemi

Elementi di teoria degli insiemi Elementi di teoria degli insiemi 1 Insiemi e loro elementi 11 Sottoinsiemi Insieme vuoto Abbiamo già osservato che ogni numero naturale è anche razionale assoluto o, in altre parole, che l insieme dei

Dettagli

Dall italiano alla logica proposizionale

Dall italiano alla logica proposizionale Rappresentare l italiano in LP Dall italiano alla logica proposizionale Sandro Zucchi 2009-10 In questa lezione, vediamo come fare uso del linguaggio LP per rappresentare frasi dell italiano. Questo ci

Dettagli

Tavola riepilogativa degli insiemi numerici

Tavola riepilogativa degli insiemi numerici N : insieme dei numeri naturali Z : insieme dei numeri interi Q : insieme dei numeri razionali I : insieme dei numeri irrazionali R : insieme dei numeri reali Tavola riepilogativa degli insiemi numerici

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

Predicati e Quantificatori

Predicati e Quantificatori Predicati e Quantificatori Limitazioni della logica proposizionale! Logica proposizionale: il mondo è descritto attraverso proposizioni elementari e loro combinazioni logiche! I singoli oggetti cui si

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli