Universitá degli Studi dell Insubria Facoltá di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

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1 Universitá degli Studi dell Insubria Facoltá di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Appunti per i Corsi di Metodi Matematici della Fisica 1 (primo modulo) per la Laurea in Fisica, e Metodi Matematici della Fisica per la Laurea in Matematica Italo Guarneri Anno Accademico novembre 2014

2 INDICE 1. Richiami sui numeri complessi Il campo C e il piano di Gauss La Funzione Esponenziale, e le Funzioni Circolari Spazi Metrici Definizioni Successioni Convergenti Completezza Compattezza Continuitá Funzioni Continue su un Compatto Il Piano Complesso Esteso Funzioni di una variabile Complessa Funzioni Olomorfe Condizioni di Cauchy-Riemann Rappresentazioni Conformi, Regole di Derivazione Funzione Inversa La Radice Quadrata La radice n ma Il Logaritmo Derivata della Funzione Inversa L Integrale Curvilineo Cammini Regolari Integrale Curvilineo Campi Conservativi Il Teorema Integrale di Cauchy, e le sue conseguenze Funzioni Olomorfe, come campi vettoriali Primitive di una Funzione Olomorfa La Formula Integrale di Cauchy Integrali del tipo di Cauchy Formula Integrale di Cauchy

3 Indice Funzioni Armoniche Principio del Massimo Modulo Teorema di Liouville Funzioni Analitiche Serie di Funzioni Olomorfe Convergenza Uniforme Teorema di Weierstrass Sviluppi in Serie di Potenze Richiamo : il Criterio della Radice Serie di Potenze Sviluppi di un Integrale del tipo di Cauchy Sviluppo di Taylor Serie Notevoli Singolaritá e Residui Punti Singolari Isolati Sviluppo di Laurent Classificazione delle Singolaritá Isolate Singolaritá all Infinito Teorema dei Residui Calcolo del Residuo in una Singolaritá Polare Applicazioni Cenni sul Prolungamento Analitico Il Teorema Fondamentale Ricostruzione di una funzione analitica, dal suo sviluppo di Taylor locale Prolungamento Analitico lungo un cammino Monodromia e Polidromia Funzioni Analitiche Complete Superficie di Riemann Alcuni Integrali di Funzioni Polidrome Equazioni Differenziali Esistenza e unicitá delle soluzioni Nell intorno di un punto ordinario Prolungamento analitico delle Soluzioni Struttura dello spazio delle soluzioni Punti Singolari Equazione di Eulero Soluzioni Fondamentali Singolaritá Regolari Equazione di Bessel

4 Indice Funzioni di Bessel di 1a specie Funzioni di Bessel di 2a specie Andamento delle funzioni di Bessel di ordine reale, e argomento reale Equazioni della classe di Fuchs Equazione di Gauss

5 1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI. 1.1 Il campo C e il piano di Gauss. Un numero complesso é una coppia ordinata di numeri reali (x, y). La notazione universalmente adottata per indicare il generico numero complesso é z, e l insieme dei numeri complessi viene indicato con C. Se z = (x, y) allora i numeri reali x e y vengono detti rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z; in simboli, si scrive x = R(z) e y = I(z). Nell insieme C sono definite le seguenti operazioni di addizione e prodotto: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) (x, y)(x, y ) = (xx yy, xy + x y), (1.1) e si verifica che tali operazioni conferiscono a C la struttura algebrica di corpo commutativo. Il sottoinsieme di C costituito da tutti e soli i numeri complessi della forma (x, 0) é in evidente corrispondenza biunivoca con R, ed anzi risulta essere un sotto-corpo di C, algebricamente isomorfo a R. Pertanto esso viene senz altro identificato con R, che diviene in tal modo un sottoinsieme dell insieme dei numeri complessi. Si verifica facilmente che z = (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) vale per ogni complesso (x, y). Dato che (x, 0) e (y, 0) sono stati identificati con i reali x e y, si puó scrivere z = x + iy, (1.2) a patto di indicare con i il numero complesso (0, 1), che é chiamato la unitá imaginaria. Usando la definizione del prodotto é immediato verificare che i 2 = ( 1, 0) cioé i 2 = 1. La (1.2) é la rappresentazione rettangolare del numero complesso z. Questa rappresentazione é assai conveniente, perché permette di eseguire calcoli algebrici sui numeri complessi, servendosi delle usuali regole del calcolo letterale, a cui basta aggiungere la regola i 2 = 1. Si puó stabilire una corrispondenza biunivoca fra il piano Cartesiano e C, associando al punto di ascissa x e ordinata y il numero complesso z = x + iy. Il piano Cartesiano, inteso come immagine geometrica di C, si dice il piano complesso, o Piano di Argand-Gauss, e gli assi prendono rispettivamente i nomi di Asse Reale, e Asse Immaginario. Di solito si usa la stessa lettera ( p.es. z) per indicare un punto del piano complesso e il numero complesso ad esso corrispondente. Si chiama coniugazione complessa la applicazione di C in sé stesso che al numero z = x + iy fa corrispondere il numero z = x iy, che vien detto il complesso coniugato di z (e viene spesso denotato anche z). L operazione di coniugazione complessa ha le proprietá: (z ) = z, (z + z ) = z + z, (zz ) = z z.

6 1. Richiami sui numeri complessi. 6 Asse Immaginario z=x+iy ρ φ y 0 x Asse Reale Fig. 1.1: Coordinate nel piano complesso. Nel piano complesso, la coniugazione é la riflessione rispetto all asse reale. Valgono le equazioni: R(z) = x = 1 2 (z + z ), I(z) = y = 1 2i (z z ). (1.3) La rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi si ottiene riferendo il piano complesso a coordinate polari ρ, ϕ (vedi la Fig.1.1). La coordinata ρ é la distanza del punto z dall origine. Si chiama il modulo di z, e viene indicato con z. Valgono le z 2 = R(z) 2 + I(z) 2 = zz, z + z z + z, z z z z, zz = z z, z = z. (1.4) L angolo ϕ si chiama l argomento del numero z, viene talvolta denotato arg(z), e si intende espresso in radianti, e misurato positivam. nel verso antiorario, a partire dal semiasse reale positivo. Esso non é definito per z = 0, e per z 0 é definito soltanto a meno di multipli interi di 2π. Pertanto la attribuzione dell argomento a un numero complesso non é univoca. Di solito (ma non sempre) conviene rimuovere questa ambiguitá convenendo che arg(z) vada scelto in un intervallo prefissato, solitamente [0, 2π) oppure ( π, π]. Cosi facendo, tuttavia, la corrispondenza fra i numeri complessi e i loro argomenti non risulta continua; per es., se si decide 0 arg(z) < 2π, allora punti simmetrici rispetto al semiasse reale positivo ed arbitrariamente vicini l uno all altro hanno argomenti la cui differenza é arbitrariamente vicina a 2π. Risulta evidentemente R(z) = z cos(arg(z)), I(z) = z sin(arg(z)), (1.5) Servendosi di queste equazioni é facile verificare che l argomento del prodotto di due numeri complessi z,z é eguale alla somma dei loro argomenti. Di conseguenza, l argomento della

7 1. Richiami sui numeri complessi. 7 potenza n ma di z 0 é n volte l argomento di z. Mediante questa regola é immediato provare che, per ogni intero n, ogni numero z 0 possiede esattamente n radici n me distinte w 1, w 2,... w n, che hanno tutte modulo dato dalla radice n ma aritmetica del modulo di z, e i cui argomenti sono arg(w j ) = arg(z)/n + 2πj/n, (j = 1, 2,... n). 1.2 La Funzione Esponenziale, e le Funzioni Circolari. Definiamo, per z = x + iy complesso arbitrario, e z e x [cos(y) + i sin(y)]. (1.6) dove e x é la funzione esponenziale reale. Mediante z e z resta definita una applicazione di C in sé, che si dice la funzione esponenziale complessa. Occorre notare che (1.6) é qui data come una definizione, e come tale non deve essere dimostrata. E possibile definire la funzione esponenziale complessa in altre maniere; avendo qui adottato la definizione (1.6), queste altre definizioni verranno nel seguito dimostrate. A mó di giustificazione della definizione (1.6) si puó (per ora) notare che: 1) ogni volta che z é un numero reale, nella (1.6) si deve porre z = x e y = 0 e cosi la definizione (1.6) ricade nella funzione esponenziale reale; 2) per ogni coppia di complessi z, z, dalla (1.6) e dalle formule di addizione delle funzioni circolari segue che e z+z = e z e z, e dunque la definizione (1.6) conserva, nel campo complesso, una fondamentale proprietá dell esponenziale reale. La funzione esponenziale definita in (1.6) ha ulteriori importanti particolaritá: Teorema 1: La funzione e z non si annulla mai. Dim.: Sia z = x + iy e e z = 0. Siccome e x 0 qualunque sia il reale x, da (1.6) segue che deve essere cos(y) = 0 e simultaneamente sin(y) = 0, ma questo é impossibile. Teorema 2: La funzione esponenziale assume infinite volte ogni valore complesso diverso da 0. Inoltre é periodica di periodo 2πi, cioé, z C, risulta e z+2πi = e z. Dim. Sia z 0, e denotiamo ρ = z e ϕ = arg(z). Cerchiamo soluzioni w C per l equazione: Essa richiede che e w = z. (1.7) e w = ρ ; arg(e w ) = ϕ + 2nπ, (n Z). La (1.6) mostra che e w = e R(w) e che arg(e w ) = I(w). Ne consegue che R(w) = ln(ρ) ; I(w) = ϕ + 2πn, (n Z). (1.8)

8 1. Richiami sui numeri complessi. 8 Dato che z 0 per ipotesi, risulta ρ > 0 e quindi il logaritmo di ρ é ben definito. Ciascuno degli infiniti numeri complessi w n = ln( z ) + iarg(z) + 2πni, (n Z) (1.9) é dunque una soluzione di e w = z. Infine, se z = x + iy, e z+2πi = e x (cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)) = e x (cos(y) + i sin(y)) = e z. Ciascuna soluzione w di e w = z puó essere chiamata un logaritmo di z. Si é cosi provato che ogni numero complesso non nullo ammette infiniti logaritmi distinti. Mettendo assieme le equazioni (1.5) e la definizione (1.6) si trova che per ogni complesso z 0 vale z = z e i arg(z). (1.10) Questo modo di scrivere i numeri complessi é noto come la rappresentazione polare. Definizione 1: Il sottoinsieme di C costituito dai numeri di modulo 1 si chiama il cerchio unitario, e verrá denotato S. Esso é un sottogruppo moltiplicativo di C, e si identifica coi numeri complessi della forma e iϕ con ϕ R. Le funzioni circolari possono essere definite nel campo complesso mediante: sin(z) = 1 ( e iz e iz), 2i cos(z) = 1 2 ( e iz + e iz). (1.11) A (molto) parziale giustificazione di queste definizioni, si osservi che per z reale esse ricadono nelle funzioni trigonometriche reali, come si vede subito usando la (1.6). Ulteriori funzioni trigonometriche, quali tangente e cotangente, si definiscono a partire da (1.2), utilizzando le stesse relazioni che valgono nel caso reale. Esercizio 1: Si verifichi che la relazione sin 2 (z) + cos 2 (z) = 1 rimane valida nel campo complesso. Esercizio 2: La diseguaglianza sin(z) 1, ben nota nel campo reale, rimane ancora valida nel campo complesso?

9 2. SPAZI METRICI. 2.1 Definizioni. Sia X un insieme arbitrario non vuoto, sulla natura dei cui elementi non si formula alcuna assunzione. X si dice uno spazio metrico, se in esso é definita una distanza : Definizione 2: Si dice distanza su X una funzione d : X X R che goda delle seguenti proprietá: 1) x, y X, d(x, y) 0, e inoltre d(x, y) = 0 se, e solo se, x = y; 2) x, y X, d(x, y) = d(y, x), 3) x, y, z X, d(x, y) d(x, z) + d(y, z) (la diseguaglianza triangolare.). Nota 1: Su uno stesso insieme X é in generale possibile definire differenti distanze (v. sotto), e cosi dar luogo a spazi metrici diversi. esempi Proposizione 1: x, y, z X vale la 2nda diseguaglianza triangolare : Dim.: riscrivendo le diseguaglianze triangolari: si ottiene d(x, y) d(x, z) d(y, z). (2.1) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), d(y, z) d(x, y) + d(x, z) d(x, y) d(x, z) d(y, z), d(x, y) d(y, z) d(x, z), (2.2) che sono equivalenti alla singola diseguaglianza (2.1). Considereremo gli esempi seguenti di spazi metrici: Esempi: (1) X = R, d(x, y) = x y. (2) X = C, d(z, z ) = z z. (3) X = C, d(z, z ) = R(z) R(z ) + I(z) I(z ). (4) X = C, d(z, z ) = 0 se z = z, e d(z, z ) = 1 se z z. (5) X = R n, lo spazio delle n ple ordinate di numeri reali x (x 1, x 2,... x n ) con d(x, y) = { n } 1/2 x j y j 2. j=1

10 2. Spazi Metrici. 10 Esercizio 3: Provare che (1)(2)(3)(4) sono spazi metrici. Nota 2: L esempio (2) é quello direttamente rilevante a questo corso. Ogni volta che ci si riferirá a C come spazio metrico si sottintenderá che la metrica é quella di questo esempio. Lo stesso vale per l esempio (5), di cui (1) é un caso particolare. Riferendosi a R n con n 1 si sottintenderá sempre che la distanza sia quella euclidea sopra specificata. Se x é un punto dello spazio metrico X con la distanza d, allora per ogni ϵ > 0 si puó definire B ϵ (x) {y X d(x, y) < ϵ}. (2.3) che si chiama una sfera ( o palla, o bolla; in inglese, ball ) aperta di centro x e raggio ϵ. Esercizio 4: Cosa sono le palle aperte nei casi degli esempi (2) e (3)? Esercizio 5: Sia X l intervallo chiuso [a, b] R, con la distanza d(x, y) = x y. Cosa sono le palle aperte di centro a? Definizione 3: Sia A un sottoinsieme di X. Si dice che un punto x X é un punto interno di A se ϵ > 0 in modo che B ϵ (x) A. Si dice che A X é un intorno di x X, se x é un punto interno di A. Si noti che ogni punto interno ad A é un punto di A; ma il viceversa non é necessariamente vero. Definizione 4: Si dice che A X é un sottoinsieme aperto di X se ogni punto di A é un punto interno di A; equivalentemente, se A é un intorno di ogni suo punto. Per A X, il complemento di A in X verrá denotato con A c. Definizione 5: Si dice che B X é un sottoinsieme chiuso di X, se il suo complemento B c é aperto. A differenza dal linguaggio comune, i termini aperto e chiuso non sono l uno la negazione dell altro. Si trovano facilmente esempi di insiemi che non sono né aperti né chiusi; ed anche di insiemi, che sono al tempo stesso aperti e chiusi. Per es., X stesso é un tale insieme. Esercizio 6: Costruire esempi di sottoinsiemi di C che non sono aperti né chiusi. Esercizio 7: Provare che, nell esempio (4), ogni insieme costituito da un singolo punto é al tempo stesso aperto e chiuso. Esercizio 8: Provare che ogni palla aperta (2.3) é un insieme aperto nel senso della definizione 4. Definizione 6: Un punto x X si dice punto di frontiera di un insieme E X, se ogni intorno di x contiene sia elementi di E, sia elementi di E c. La frontiera di E é l insieme di tutti i punti di frontiera di E.

11 2. Spazi Metrici Successioni Convergenti. Si ricorda che una successione in X é una funzione s : N X. Definizione 7: Si dice che una successione s in X converge, se s X in modo che, ϵ > 0, la successione s sta definitivamente in B ϵ (s ); ossia, ϵ > 0, n ϵ intero tale che d(s n, s ) < ϵ per ogni n > n ϵ. Il punto s si dice il limite della successione. Nota 3: La definizione é equivalente a: lim d(s n, s ) = 0. n Nota 4: Vista la Def.4, si puó anche dire, equivalentemente, che una successione converge a un certo limite se essa sta definitivamente in ogni intorno di quel punto. Esercizio 9: Provare che il limite di una successione convergente é unico. Proposizione 2: Una successione di numeri complessi z n = x n + iy n converge al limite z = x + iy se, e soltanto se, lim x n = x, lim y n = y. (2.4) n n Dim.: dal teorema di Pitagora : d(z n, z ) = z n z = (x n x ) 2 + (y n y ) 2, si vede che se valgono le (2.4), allora z n converge a z (v. la Nota 4). Sempre dal teorema di Pitagora segue che i cateti non sono mai maggiori dell ipotenusa: x n x z n z, y n y z n z e quindi se z n converge a z allora valgono le (2.4). Esercizio 10: Quali sono le successioni convergenti nel caso dell esempio (4)? Quali sottoinsiemi di X siano aperti ( o chiusi) e quali no dipende dalla metrica che si é introdotta in X, cioé dalla definizione di distanza che si é scelta. Puó tuttavia accadere che le famiglie di insiemi aperti costruite a partire da metriche (distanze) diverse risultino identiche. In quel caso gli spazi metrici, pure diversi, posseggono esattamente le stesse successioni convergenti. Esercizio 11: Servendosi dei risultati dell Esercizio 4, provare che ogni insieme aperto dello spazio metrico dell Esempio (2) é anche aperto per lo spazio metrico dell Esempio (3), e viceversa. Definizione 8: Si dice che un punto x X é un punto limite di un sottoinsieme D X, se si puó trovare una successione di punti di D, distinti da x, che ha per limite x. L insieme dei punti limite di un insieme D verrá denotato Lim(D).

12 2. Spazi Metrici. 12 Teorema 3: Un sottoinsieme B di X é chiuso se, e solo se, contiene tutti i propri punti limite; e cioé, se Lim(B) B. Dim.: Passando ai complementi, la tesi é equivalente a: un insieme A é aperto se, e solo se, il suo complemento A c non ha punti limite in A. Dunque mostriamo dapprima che se A non é aperto, allora Lim(A c ) non é vuoto, e contiene almeno un punto di A. Infatti A non aperto implica che almeno un punto x A non é interno a A, e dunque, per ogni ϵ > 0, si puó trovare in B ϵ (x) almeno un punto di A c. In particolare, per ogni n intero si puó trovare in B 1/n (x) un punto x n A c e dunque x A. La successione {x n } converge ad x perché d(x n, x) < 1/n, e quindi x é un punto limite di A c, che appartiene ad A. Viceversa, mostriamo che se A c ha un punto limite x in A allora A non é aperto. Infatti deve esistere una successione {x n } di punti di A c che converge a x e dunque é definitivamente in ogni intorno di x, senza essere mai in A. Dunque A non é un intorno del suo punto x e quindi non é un insieme aperto. Definizione 9: Dato D X si chiama chiusura di D, e si denota D, l insieme D D Lim(D). Esercizio 12: Provare che B X é chiuso, se e solo se B = B. Proposizione 3: La chiusura D di D X é un insieme chiuso, ed é il piú piccolo insieme chiuso che contiene D, nel senso che risulta D B per ogni B X chiuso, tale che D B. Dim.: Proviamo che D é chiuso: se x é un punto limite di D, allora per ogni intero n la palla B 1/n (x) contiene un punto x n D Lim(D). Si puó sempre assumere che questo punto sia in D; infatti, se fosse in Lim(D) ma non in D, allora, visto che B 1/n (x) contiene, assieme a x n, tutta una palla aperta di centro x n (Esercizio 8), si potrebbe sempre trovare in questa palla un punto x n D, e usarlo per rimpiazzare x n. Dunque D non ha punti limite che non siano punti limite di D, e cosi contiene tutti i propri punti limite. Grazie al Teor.3, D é chiuso. Sia ora D B con B chiuso, e sia x D. Se x D, allora anche x B; e se invece x é punto limite di D, allora é anche un punto limite di B, e quindi é in B perché B é chiuso (v. il Teorema 3). Definizione 10: D X si dice denso se D = X; equivalentemente, se ogni punto di X che non é un punto di D é un punto limite di D. Un esempio classico é fornito dall insieme Q dei razionali, che é un sottoinsieme denso di R (esempio (1)). Esercizio 13: Provare che la frontiera ( Def.6) di un insieme é un insieme chiuso.

13 2. Spazi Metrici Completezza. Definizione 11: Una successione {x n } nello spazio metrico X si dice una successione di Cauchy se risulta lim n,m d(x n, x m ) = 0. ossia se, per ogni ϵ > 0, si puó trovare un intero n ϵ in modo che d(x n, x m ) < ϵ risulti vero ogni volta che n > n ϵ e m > n ϵ. Proposizione 4: Ogni successione convergente é una successione di Cauchy. Dim.: immediato, dalla diseguaglianza triangolare: d(x n, x m ) d(x n, x ) + d(x m, x ). Il viceversa non é necessariamente vero. Il controesempio classico é fornito da X = Q, l insieme dei numeri razionali, con la distanza ordinaria d(r, r ) = r r. Per ogni intero n, si definisca q n come il piú grande intero tale che qn 2 < n ; esso é quindi definito dalle due diseguaglianze ( qn 10 n ) 2 < 2 < ( ) qn + 1 2, (2.5) che sono ambedue strette, o altrimenti 2 sarebbe il quadrato di un numero razionale. Il numero razionale r n q n 10 n é il miglior approssimante per difetto di 2 con n cifre decimali. La prima di queste diseguaglianze rimane verificata se q n viene sostituito da 10q n e n viene sostituito da n + 1, e ció significa che q n+1 10q n. Ció implica che la successione degli r n é non decrescente. Per ogni coppia di interi n e m vale rm 2 < 2 < (q n + 1) n ; dunque, se m > n, allora 10 n r n r m < r n + 10 n. (2.6) Dato ϵ > 0, si prenda n ϵ in modo che 10 n < ϵ per n > n ϵ ; la (2.6) mostra che se m > n > n ϵ allora r n r m < ϵ, e perció la successione {r n } é di Cauchy in Q. Essa non puó avere limite in Q, perché il suo limite é 2 / Q. Definizione 12: Uno spazio metrico si dice completo se in esso ogni successione di Cauchy é convergente. Dunque lo spazio Q non é completo. Invece, come é noto, Teorema 4: R é uno spazio metrico completo. Nei primi corsi di calcolo questo teorema é talvolta enunciato come sufficienza della condizione di Cauchy per la convergenza di successioni reali. Corollario 1: C ed R n sono spazi metrici completi. Dim.: Sia z n = x n +iy n una succ. di Cauchy di numeri complessi. Siccome x n x m z n z m ad anche y n y m z n z m, ne scende che le successioni {x n } e {y n } sono di Cauchy in R, dunque ammettono limiti x e y. E immediato verificare che la successione z n converge al limite z = x + iy. La dimostrazione per R n é simile.

14 2. Spazi Metrici Compattezza. Ricordiamo che si dice sottosuccessione di una successione s : N X data, ogni successione in X che possa scriversi come s j dove j : N N é una funzione strettamente crescente. Ricordiamo anche che ogni sottosuccessione di una successione convergente é anch essa convergente, allo stesso limite; ed anche che successioni non-convergenti possono nondimeno avere sotto-successioni convergenti, l esempio piú ovvio essendo la successione ( 1) n. Definizione 13: Un sottoinsieme K di uno spazio metrico X si dice relativamente compatto se ogni successione di punti di K ammette (almeno) una sottosuccessione convergente. Si dice compatto se é chiuso ed é relativamente compatto. Dunque in un compatto K ogni successione ammette una sottosucc. che converge, e il cui limite é un punto di K. Definizione 14: Un sottoinsieme D C si dice limitato, se é interamente contenuto in una palla (2.3). Esercizio 14: Si mostri che ogni successione convergente di punti di C é limitata. Proposizione 5: Se K C é compatto, allora é limitato. Dim.: Sia, per assurdo, K compatto e non limitato. Allora, per ogni n intero, si puó trovare un punto x n K in modo che x n / B n (0), e cioé che x n n. Nessuna sottosuccessione della successione é limitata, dunque non esistono sottosuccessioni convergenti. Teorema 5: (Bolzano-Weierstrass) Un sottoinsieme K di C é compatto, se, e solo se, é chiuso e limitato. Nota 5: La definizione 14, e tutte le proposizioni seguenti, sono valide per ogni spazio metrico R n (n 1) 2.5 Continuitá. In questa sezione si considerano applicazioni f : X X fra spazi metrici X, X con le distanze rispettive d e d. Queste verranno generalmente chiamate mappe salvo il caso in cui X = R oppure X = C, nel qual caso verranno chiamate funzioni, a valori reali o complessi, definite nello spazio X. Se E X, e G X, si useranno le notazioni: f(e) {y X y = f(x) per qualche x E}, f 1 (G) {x X f(x) G}. Si noti che la seconda di esse non sottintende che la mappa f possieda una mappa inversa f 1 : Y X Definizione 15: Si dice che il limite di f in x 0 X é y 0 X, e si scrive y 0 = lim x x0 f(x), se ogni volta che G X é un intorno di y 0 si puó trovare δ > 0 in modo che B δ (x 0 ) \ {x 0 } f 1 (G).

15 2. Spazi Metrici. 15 Si verifica facilmente (Esercizio!) che questa definizione é equivalente alla seguente: Definizione 16: lim x x0 f(x) = y 0 se, e solo se, per ogni successione {x n } in X convergente a x 0 con x n x 0 risulta che la successione {f(x n )} é convergente in X a y 0. Definizione 17: Una mappa f : X X si dice continua in un punto x 0 X se lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Si dice che la f é continua su X, se é continua in ogni punto di X. Assieme alla Def.15, questa definizione implica: Proposizione 6: f é continua in x 0 X se, e solo se, f 1 (G) é un intorno di x 0, ogni volta che G X é un intorno di f(x 0 ). Grazie alla definizione di intorno (Def.3) questa a sua volta implica: Teorema 6: f : X X é continua, se, e solo se, per ogni sottoinsieme aperto A di X risulta che l insieme f 1 (A ) {x X f(x) A } é un sottoinsieme aperto di X. Teorema 7: Siano X, X, X spazi metrici, e siano f : X X e g : X X mappe continue. Allora la mappa g f : X X é continua. Dim.: esercizio. Definizione 18: Due spazi metrici X e X si dicono omeomorfi se esiste una mappa f : X X biettiva e continua, la cui inversa f 1 : X X anch essa continua. Due spazi metrici omeomorfi possono essere in un certo senso identificati da un punto di vista topologico. Esercizio 15: Provare che una sfera ed un cubo in R 3 sono omeomorfi, se si usa in ambedue la distanza euclidea. Assumiamo ora X = C oppure X = R, con la distanza canonica. Esercizio 16: Sia x 0 X fissato. Provare che f : X R definita da f(x) = d(x, x 0 ) é una funzione continua su X. Concluderne che la funzione su C a valori in R definita da z z é continua. Esercizio 17: Provare che le funzioni definite su C a valori in R definite da z R(z), da z I(z), e da z z sono continue. Concluderne che se f : X C é continua, allora R(f) : X R, I(f) : X R, e f : X R sono anch esse continue. Teorema 8: Siano f : X C e g : X C funzioni continue, e sia a C arbitrario. Definiamo le funzioni f + g : X C, af : X C, fg : X C: (f + g)(x) f(x) + g(x), (af)(x) af(x), (fg)(x) = f(x)g(x). Ciascuna di esse é una funzione continua. Dim.: esercizio.

16 2. Spazi Metrici Funzioni Continue su un Compatto. Teorema 9: (Weierstrass): Sia f : X R una funzione continua sullo spazio metrico X, e sia K X un sottoins. compatto di X. Allora f ammette massimo e minimo in K: e cioé, esistono punti x K e x + K, tali che, x K, f(x ) f(x) f(x + ). Dim.: dimostriamo anzitutto che f é superiormente limitata su K, cioé che esiste M R tale che f(x) M, x K. Se ció non fosse vero, per ogni n intero si potrebbe trovare x n K tale che f(x n ) > n. Per definizione di compattezza, la successione {x n } ammetterebbe una sottosuccessione {x j(n) } convergente a un qualche x K. Allora, essendo f continua, dovrebbe valere f(x ) = lim f(x j(n) ). Visto che f(x j(n) ) > j(n) per costruzione, ció porta n all assurdo f(x ) = +. Si é cosí provato che l insieme {f(x) x K} é superiormente limitato: sia dunque M il sue estremo superiore. Per ogni n N, si potrá trovare x n K in modo che f(x n ) > M 1/n. Per la compattezza di K, {x n } ha almeno una sottosuccessione convergente {x j(n) }, e sia x + il suo limite. Per la continuitá di f, risulta M f(x + ) = lim n f(x j(n) ) lim n (M 1/j(n)) = M dunque f(x + ) = M, cioé x + é un punto di massimo. La dimostrazione per il minimo segue osservando che il minimo di f(x) é massimo di f(x), che é anch essa una funzione continua. Cammini in uno Spazio Metrico. Un qualunque sottinsieme Y di uno spazio metrico X puó essere esso stesso inteso come uno spazio metrico, con la stessa definizione di distanza. Ció é vero in particolare per un qualunque intervallo chiuso [a, b] R. Definizione 19: Si chiama cammino (inglese: path) in uno spazio metrico X una mappa continua γ da un intervallo chiuso [a, b] R in X. Il sottoinsieme γ X definito da γ {γ(t) a t b} si chiama la traccia, o sostegno, del cammino γ. I punti γ(a) X e γ(b) X si dicono gli estremi del cammino γ. Esercizio 18: Per t [0, 1] si ponga γ 1 (t) = e 2πit. Si mostri che γ 1 é un cammino in C, e si individui la traccia di γ 1. Si osservi poi che γ 2 (t) = e 4πit definisce un cammino γ 2 in C, che é diverso da γ 1, e tuttavia ha la stessa traccia. Esercizio 19: Mostrare che la traccia di un cammino é un insieme compatto. Definizione 20: Un sottoinsieme D X si dice connesso per archi se, comunque si scelgano x 1 D e x 2 D, esiste un cammino γ : [a, b] X tale che γ(a) = x 1, e γ(b) = x 2, e inoltre, t [a, b], γ(t) D. Definizione 21: Un cammino γ : [a, b] C si dice chiuso se i suoi estremi coincidono, cioé se γ(a) = γ(b). Un cammino γ si dice semplice se γ(t 1 ) = γ(t 2 ), t 1 t 2 é possibile solo, al piú, se t 1 = a e t 2 = b.

17 2. Spazi Metrici. 17 Definizione 22: Il cammino inverso di un cammino γ : [a, b] X é il cammino γ : [ b, a] X definito da ( γ)(t) = γ( t). Se γ 1 : [a, b] X e γ 2 : [c, d] X sono cammini tali che c = b e γ 2 (c) = γ 1 (b), il cammino somma γ 1 + γ 2 : [a, d] X é definito da (γ 1 + γ 2 )(t) = γ 1 (t) per a t b, e (γ 1 + γ 2 )(t) = γ 2 (t) per c t d]. Definizione 23: Siano γ 1 : [a, b] X e γ 2 : [c, d] X due cammini in X. Se esiste una funzione reale continua f : [a, b] [c, d], strettamente crescente, tale che f(a) = c e f(b) = d, in modo che risulti γ 1 = γ 2 f, allora si dice che i cammini γ 1 e γ 2 sono equivalenti. Due cammini equivalenti hanno la stessa traccia, e differiscono solo per una riparametrizzazione. La funzione f rappresenta un cambiamento di parametro. Esercizio 20: Si dica se i due cammini dell esercizio 18 sono equivalenti. Esercizio 21: Mostrare che la relazione fra cammini stabilita dalla definizione 23 é effettivamente una relazione di equivalenza. Esercizio 22: Mostrare che ogni cammino γ : [a, b] X ha un cammino equivalente definito sull intervallo [0, 1] Definizione 24: Una curva in X é una classe di equivalenza di cammini. Una curva chiusa (risp., semplice) é una classe di equivalenza di cammini chiusi (risp., semplici). Nota 6: E facile vedere (Esercizio!) che: se due cammini γ 1 e γ 2 sono equivalenti; se uno dei due é semplice (risp., chiuso) allora anche l altro é semplice (risp., chiuso); se due cammini sono equivalenti, i loro cammini inversi (v. la Def.22) sono equivalenti; che somme (v. la Def. 22) di cammini equivalenti sono equivalenti. Si potrá pertanto parlare della curva inversa di una curva data, ed anche della curva somma di curve date. Definizione 25: Una curva chiusa e semplice in C si dice una curva di Jordan. Teorema 10: (di Jordan) Sia γ la traccia di una curva di Jordan. L insieme C \ γ non é connesso per archi, ed é unione di due aperti disgiunti, uno dei quali é limitato, e l altro no. Essi si dicono rispettivam. il dominio interno e il dominio esterno alla curva. Nel seguito, il dominio interno a una curva di Jordan γ verrá sovente denotato Int(γ). Una curva di Jordan possiede un verso, che é quello in cui viene percorsa da tutti i cammini semplici che la rappresentano. Definizione 26: Una curva di Jordan si intende orientata positivamente nel verso che lascia a sinistra la parte di piano ad essa interna.

18 2. Spazi Metrici. 18 Fig. 2.1: Proiezione Stereografica Polare.

19 2. Spazi Metrici Il Piano Complesso Esteso. La retta reale estesa R = R {, + } si ottiene aggiungendo alla retta reale R due punti all infinito. Allo stesso ordine di idee appartiene la costruzione del cosiddetto piano complesso esteso C, che si ottiene aggiungendo a C un punto all infinito, denotato. L insieme cosi ottenuto viene dotato di una topologia, che lo rende omeomorfo ad una sfera. Illustriamo per sommi capi questa costruzione. La sfera di Riemann. Sia Σ la superficie sferica di raggio 1 in R 3, centrata in (0, 0, 0). Il polo Nord di questa sfera é il punto: N (0, 0, 1), e il piano equatoriale é il piano {Z = 0}, che identifichiamo senz altro con il piano complesso C. Tanto la sfera, che il suo piano equatoriale, sono spazi metrici con la distanza che ereditano, in quanto sottoinsiemi, da R 3. Definiamo una mappa σ : C Σ come segue. Per z C, tracciamo la retta per z ed N. Questa retta interseca Σ, oltre che in N, in un unico altro punto P ; allora definiamo σ(z) = P. I punti del piano esterni all equatore vengono mappati nell emisfero boreale, quelli interni all equatore vengono mappati nell emisfero australe, e i punti che si trovano sull equatore vengono mappati in sé stessi. Questa mappa é iniettiva, ed anche continua. Tuttavia non é suriettiva, perché nessun punto in C ha per immagine N. Pertanto la mappa σ 1 é definita solo su Σ\{N }. La mappa σ 1 é nota come Proiezione Stereografica Polare. Ora modifichiamo l ordinaria distanza in C, ridefinendo d(z 1, z 2 ) = d(σ(z 1 ), σ(z 2 )). E facile verificare, che con questa nuova distanza C é uno spazio metrico equivalente a C con la vecchia distanza d, nel senso che gli insiemi aperti sono gli stessi, e dunque anche le successioni convergenti sono le stesse. Aggiungiamo a C un nuovo elemento, ossia passiamo a C C { }. Definiamo la mappa σ : C Σ mediante σ(z) = σ(z) per z C, e σ( ) = N. E immediato verificare che questa mappa é biettiva da C su Σ. Infine facciamo di C uno spazio metrico, definendovi la distanza d(z 1, z 2 ) = d( σ(z 1 ), σ(z 2 )) per ogni coppia z 1, z 2 C; in tal modo, le distanze fra i punti di C rimangono le stesse, e in piú d(z, ) = d(σ(z), N ). Gli intorni in C di ogni punto z C sono ancora intorni di quel punto in C; quanto al nuovo punto, per δ > 0 abbastanza piccolo la palla B δ ( ) é la proiezione stereografica di una calotta polare, ed é quindi la parte di piano esterna ad un certo cerchio. Ne scende che il dominio esterno ad una qualunque curva di Jordan é un intorno di. Infine, σ é continua assieme alla sua inversa. Lo spazio C si chiama il piano complesso esteso, ed é per costruzione omeomorfo alla sfera Σ. Per questa ragione, viene talvolta chiamato Sfera di Riemann. La costruzione di C come spazio metrico comporta :

20 2. Spazi Metrici. 20 Proposizione 7: Una successione {z n } converge a : lim n z n =, se essa é definitivamente fuori da ogni palla (e quindi da ogni insieme limitato). Il limite a di una funzione f : C C definito in un intorno di esiste ed é eguale ad a C, se per ogni ϵ > 0 si puó trovare R > 0 in modo che f(z) B ϵ (a) ogni volta che z > R. Esercizio 23: Mostrare che C é compatto. La sfera di Bloch. L introduzione in C di un elemento improprio puó essere effettuata anche in un altro modo. Consideriamo lo spazio C 2 \ {(0, 0)} delle coppie ordinate di numeri complessi (z 1, z 2 ), da cui escludiamo (0, 0). Introduciamo una relazione: (z 1, z 2 ) (z 1, z 2) se, e solo se, z 1 z 2 z 2 z 1 = 0, vale a dire, se i numeri z 1, z 2 si ottengono dai numeri z 1, z 2 moltiplicandoli per uno stesso fattore complesso diverso da 0. E facile vedere che questa é una relazione di equivalenza in C 2 \ {0, 0}. L insieme quoziente si chiama linea proiettiva complessa CP 1. In Fisica Teorica vien detto sfera di Bloch, e i suoi elementi qubits. Possiamo stabilire una mappa da C a CP 1 come segue; a z C associamo la classe di equivalenza di cui (z, 1) é rappresentante; a associamo la classe di tutte le coppie del tipo (z, 0) con z 0. Si puó anche dire che al punto di CP 1 rappresentato da (z 1, z 2 ) C 2 \ {(0, 0)} corrisponde z = z 1 /z 2 C, intendendo che z 1 /0 =. Questa corrispondenza é biunivoca, e permette di identificare, in senso topologico, CP 1 con il piano complesso esteso e quindi con una sfera, che é appunto detta sfera di Bloch. La corrispondenza fra la sfera Σ e CP 1 ha aspetti importanti per la Fisica (v. Complementi). Esercizio 24: Si consideri una trasformazione lineare non-singolare in C 2 : z 1 = Az 1 + Bz 2, z 2 = Cz 1 + Dz 2 ; (AD BC 0). Si verifichi che punti equivalenti in C 2 \ {0, 0} hanno immagini equivalenti sotto questa trasformazione. Quindi essa definisce una trasformazione in CP 1 e di conseguenza una trasformazione in C. Si dica quale é quest ultima trasformazione. ( Rispo.: v. la Sez , eq.(9.37).) Nota 7: Nel piano complesso esteso esiste un solo punto all infinito, dunque espressioni come z tende a, che fanno riferimento a una direzione particolare, non hanno significato. Esercizio 25: Provare che per ogni intero positivo n : lim z zn =, e per ogni intero n negativo lim z zn = 0.

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