LEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1

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1 LEZIONE Sfere nello spazio. In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici non lineari, circonferenze e sfere nello spazio A 3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del tutto analoghe alle proprietà delle sfere nello spazio ci limiteremo ad esaminare quest ultimo caso. Definizione Sia A 3, ϱ R, ϱ > 0. Definiamo sfera S(, ϱ) di centro e raggio ϱ il luogo dei punti P A 3 tali che d(p, ) = ϱ. z ρ S(,ρ) O y x Figura 10.1 Poiché entrambe le quantità ai due membri dell equazione d(p, ) = ϱ sono positive, questo è equivalente alla condizione d(p, ) 2 = ϱ 2. Esprimiamo tale condizione in coordinate: se = (x, y, z ) A 3, si ottiene l equazione cartesiana della sfera nello spazio (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 = ϱ 2. Svolgendo i conti otteniamo la cosiddetta equazione della sfera di centro = (x, y, z ) e raggio ϱ (10.1.2) x 2 + y 2 + z 2 2x x 2y y 2z z + x 2 + y 2 + z 2 ϱ 2 = 0 : ciò significa che S(, ϱ) = { (x, y, z) x 2 +y 2 +z 2 2x x 2y y 2z z +x 2 +y 2 +z 2 ϱ 2 = 0 }. 1 Typeset by AMS-TEX

2 SFERE NELLO SPAZIO Esempio La sfera di centro = (0, 2, 1) e raggio ϱ = 1 ha equazione (x 0) 2 + (y + 2) 2 + (z 1) 2 1 = x 2 + y 2 + z 2 + 4y 2z + 4 = 0. Si noti che, essendo noi interessati al luogo dei punti che annullano l Equazione (10.1.2) e non all equazione stessa, possiamo ad essa sostituire un qualsiasi suo multiplo non nullo: quindi, per ogni λ R non nullo, abbiamo anche S(, ϱ) = { (x, y, z) λ(x 2 +y 2 +z 2 2x x 2y y 2z z+x 2 +y 2 +z 2 ϱ 2 ) = 0 }. Esempio Ricordando l Esempio , osserviamo che anche equazione 2x 2 2y 2 2z 2 8y + 4z 8 = 0 è un equazione cartesiana della sfera di centro = (0, 2, 1) e raggio ϱ = 1. Si ha, dunque, un equazione di grado 2 nelle coordinate del punto generico. Tale equazione ha due caratteristiche principali. La prima è che manca dei monomi misti (cioè in xy, xz, yz). La seconda è che i coefficienti dei termini quadratici sono non nulli ed uguali fra loro. Viceversa supponiamo di avere un equazione di grado 2 con tali proprietà. A patto di dividere per il coefficiente comune dei termini quadratici, abbiamo un equazione della forma (10.1.5) x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 : ci domandiamo se l Equazione (10.1.5) rappresenta una sfera e, in caso affermativo, come calcolare il suo centro ed il suo raggio. onfrontando le Equazioni (10.1.2) e (10.1.5) deduciamo che dovrebbero esistere x, y, z R e ϱ R positivo per cui valgano le relazioni quindi α = 2x, β = 2y, γ = 2z, δ = x 2 + y 2 + z 2 ϱ 2, x = α 2, y = β 2, z = γ 2, 4ϱ2 = α 2 + β 2 + γ 2 4δ. Abbiamo perciò la seguente Proposizione L insieme S = { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 } è una sfera in A 3 se e solo se α 2 + β 2 + γ 2 4δ > 0. Se ciò accade, risulta S = S(, ϱ) ove ( = α ) 2, β 2, γ α2 + β, ϱ = 2 + γ 2 4δ. 2 2 Per semplicità, qualora valga la condizione α 2 +β 2 +γ 2 4δ < 0 per l Equazione (10.1.5), si dice che essa rappresenta una sfera immaginaria (o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari) o che l insieme S = { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 } che con tale condizione sui coefficienti è l insieme vuoto, è una sfera immaginaria (o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari).

3 LEZIONE 10 3 Esempio Si consideri l equazione x 2 + y 2 + z 2 + 3x 2y + 1 = 0. Poiché ( 2) = 3 > 0 tale equazione è l equazione di una sfera S in A 3. Il suo centro è = ( 3/2, 1, 0), il suo raggio ϱ = 3/2. Invece l equazione x 2 + y 2 + z 2 + 3x 2y + 2 = 0 non rappresenta una sfera nel senso della Definizione poiché ( 2) = 1 < 0: rappresenta, invece, una sfera immaginaria irconferenze nello spazio. Definizione Sia π A 3 un piano, π, ϱ R, ϱ > 0. Definiamo circonferenza (π,, ϱ) del piano π, di centro e raggio ϱ il luogo dei punti P π tali che d(p, ) = ϱ. z ρ S O y x Figura 10.2 Per rappresentare la circonferenza (π,, ϱ) ci possono essere vari modi. Il più comodo è quello di pensarla come intersezione del piano π con S(, ϱ). ioè se π ha equazione ax + by + cz = d e = (x, y, z ), si ottengono le seguenti cartesiane per (π,, ϱ) (10.2.2) { ax + by + cz = d (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 = ϱ 2.

4 IRONFERENZE NELLO SPAZIO Esempio Nel piano π di equazione x + y + z = 3 si consideri il punto = (1, 1, 1). Allora la circonferenza del piano π di centro e raggio ϱ = 1 ha equazioni cartesiane { x + y + z = 3 x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 2 = 0. ome nel caso della sfera ci poniamo ora il problema inverso a quello della rappresentazione. ioè dato il sistema della forma (10.2.4) { ax + by + cz = d x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0, ci domandiamo se esso rappresenta una circonferenza e, in caso affermativo, come calcolare il suo centro ed il suo raggio (il piano d appartenenza è, evidentemente, quello d equazione ax + by + cz = d). hiaramente, affinché il Sistema (10.2.4) rappresenti una circonferenza è, innanzi tutto, necessario che l equazione x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 rappresenti una sfera S(, ϱ) di centro e raggio ϱ. Se ciò accade, allora occorre e basta che il piano π di equazione ax+by +cz = d e la sfera S(, ϱ) abbiano punti in comune: ciò accade se e solo se ha distanza d(, π) da α minore di ϱ. S(,ρ) d(,α) ' ρ ρ' α Figura 10.3 Sia ora = π S(, ϱ). In tale caso il centro della circonferenza al è la proiezione ortogonale sul piano π: invece è il raggio ϱ di soddisfa la relazione ϱ 2 = ϱ 2 + d(π, ) 2, da cui si deduce (10.2.5) ϱ = ϱ 2 d(π, ) 2. Se, invece, d(, π) > ϱ, il Sistema (10.2.4) non ha soluzioni, cioè π S(, ϱ) =.

5 LEZIONE 10 5 S(,ρ) ρ α d(,α) ' Figura 10.4 Esempio Si consideri il piano π h d equazione x + y + z = 1 + h, h R. Sia poi S la sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z 1 = 0. Vogliamo individuare i valori di h R tali che S π h sia una circonferenza. A tale scopo osseriamo che S ha centro nel punto = (1, 1, 1) e raggio ϱ = 2. Poiché d(, π h ) = 2 h 3 segue che S π h è una circonferenza se e solo se 2 h < 6: svolgendo i calcoli ciò significa che S π h è una circonferenza se e solo se h ] 4, 8[. Siano h e ϱ h rispettivamente il centro ed il raggio di tale circonferenza, cioè (π h, h, ϱ h ) = S π h. Per determinare ϱ h utilizziamo la Formula (10.2.5): otteniamo ( ) 2 2 h h h ϱ h = =. 3 3 Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del centro h si noti che la retta u per e perpendicolare a π h ha equazioni parametriche x = 1 + t y = 1 + t z = 1 + t. Dunque ( 1 + h h = u π h =, 1 + h, 1 + h )

6 IRONFERENZE NELLO SPAZIO Più interessante è il caso in cui d(, π) = ϱ. In questo caso si ha che l intersezione π S(, ϱ) = P 0 si riduce ad un solo punto. In questo caso π è l unico piano passante per P 0 e perpendicolare a P 0. S(,ρ) ρ α P0 Introduciamo allora la seguente Figura 10.5 Definizione Sia data la sfera S(, ϱ) A 3 e sia P 0 S(, ϱ). Definiamo piano tangente a S(, ϱ) nel punto P 0, l unico piano per P 0 perpendicolare a P 0. Una retta tangente a S(, ϱ) in P 0 è una qualsiasi retta passante per P 0 e contenuta nel piano tangente a S(, ϱ) nel punto P 0. Si noti che il piano tangente è lo stesso per tutte le sfere passanti per P 0 ed aventi centro sulla retta per P 0 e : infatti il centro di tali sfere ha coordinate (x 0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 )) per un opportuno t R non nullo, dunque il piano tangente in P 0 ha in tal caso equazione t(x 0 x )(x x 0 ) + t(y 0 y )(y y 0 ) + t(z 0 z )(z z 0 ) = 0 cioè, semplificando t, (x 0 x )(x x 0 ) + (y 0 y )(y y 0 ) + (z 0 z )(z z 0 ) = 0. Sia ora una circonferenza intersezione del piano π. È solo questione di facili conti verificare che i piani tangenti in P 0 alle sfere S contenenti passano tutti per una stessa retta r π. Tale retta interseca solo in P 0 ed ha la proprietà di essere perpendicolare al vettore P 0 ove π è il centro di. Esempio Siano = (1, 1, 1), ϱ = 3. Allora S(, ϱ) A 3 ha equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z = 0 e contiene P 0 = (2, 2, 2). Il piano tangente a S(, ϱ) in P 0 ha dunque equazione (2 1)(x 2) + (2 1)(y 2) + (2 1)(z 2) = 0,

7 cioè x + y + z = 6. La retta LEZIONE 10 7 x = 2 + t y = 2 2t z = 2 + lt è tangente a S(, ϱ) in P 0 se e solo se l = 1. Osservazione Un caso interessante di circonferenze sono quelle contenute nel piano xy, cioè quelle le cui equazioni cartesiane sono della forma { z = 0 ( ) x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0, (si veda il Sistema (10.2.4)). Il Sistema ( ) è equivalente a { z = 0 ( ) x 2 + y 2 + αx + βy + δ = 0, che rappresenta la circonferenza data come intersezione del piano xy con un cilindro circolare avente asse perpendicolare a tale piano. Spesso si parla allora della circonferenza nel piano di equazione x 2 + y 2 + αx + βy + δ = 0. Quanto detto sopra per le sfere continua a valere, con le dovute modifiche, per le circonferenze nel piano xy (calcolo del centro e del raggio, circonferenze immaginarie, calcolo della retta tangente, etc.) Intersezione di due sfere. Si considerino ora due sfere in A 3, diciamo S( 1, ϱ 1 ) e S( 2, ϱ 2 ). La struttura dell intersezione S( 1, ϱ 1 ) S( 2, ϱ 2 ) è legata strettamente alla distanza d( 1, 2 ). Si possono verificare tre casi principali. Nel primo caso d( 1, 2 ) > ϱ 1 + ϱ 2 oppure d( 1, 2 ) < ϱ 1 ϱ 2 : le due sfere non possono avere punti in comune e sono, rispettivamente, esterne o interne l una all altra. S(,ρ) S(,ρ) S(',ρ') ' ' S(',ρ') Figura 10.6

8 INTERSEZIONE DI DUE SFERE Nel secondo caso d( 1, 2 ) = ϱ 1 + ϱ 2 oppure d( 1, 2 ) = ϱ 1 ϱ 2 : le due sfere hanno esattamente un punto in comune. Si dicono tangenti, rispettivamente, esternamente o internamente. S(,ρ) S(,ρ) P 0 S(',ρ') ' ' S(',ρ') Figura 10.7 P 0 Nel terzo caso ϱ 1 ϱ 2 < d( 1, 2 ) < ϱ 1 + ϱ 2 : in questo caso le due sfere hanno punti in comune S(,ρ) ' S(',ρ') Figura 10.8 Tali punti descrivono una circonferenza avente centro sulla retta che unisce i punti 1 e 2. Vogliamo determinarne le equazioni cartesiane. Si osservi preliminarmente che 1 2, cioè le due sfere non sono concentriche. Se le equazioni delle due sfere sono rispettivamente (10.3.1) x 2 + y 2 + z 2 + α 1 x + β 1 y + γ 1 z + δ 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 + α 2 x + β 2 y + γ 2 z + δ 2 = 0 allora tale condizione si traduce nella disuguaglianza (α 1, β 1, γ 1 ) (α 2, β 2, γ 2 ). Le coordinate dei punti di soddisfano le due equazioni di S( 1, ϱ 1 ) e S( 2, ϱ 2 ), dunque soddisfano anche l equazione ottenuta sottraendo membro a membro le due Equazioni (10.3.1): in particolare le coordinate dei punti di soddisfano anche l equazione di primo grado (α 1 α 2 )x + (β 1 β 2 )y + (γ 1 γ 2 )z + (δ 1 δ 2 ) = 0 :

9 LEZIONE 10 9 poiché (α 1, β 1, γ 1 ) (α 2, β 2, γ 2 ) tale equazione rappresenta, nello spazio A 3, un piano π che contiene. Dunque possiamo scrivere = π S( i, ϱ i ). Si noti che il piano π è perpendicolare a 1 2 = (α 1 α 2 ) ı + (β 1 β 2 ) j + (γ 1 γ 2 ) k 0. Definizione Date le due sfere S 1 e S 2 non concentriche, rispettivamente di equazione Il piano π di equazione x 2 + y 2 + z 2 + α 1 x + β 1 y + γ 1 z + δ 1 = 0, x 2 + y 2 + z 2 + α 2 x + β 2 y + γ 2 z + δ 2 = 0. (α 1 α 2 )x + (β 1 β 2 )y + (γ 1 γ 2 )z + (δ 1 δ 2 ) = 0 viene detto piano radicale della coppia di sfere S 1 e S 2. Esempio Si considerino le due sfere S 1 e S 2 rispettivamente di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 2y + 4z + 5 = 0, x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 2y 4z + 1 = 0. Allora il centro di S 1 è 1 = (1, 1, 2), mentre il centro di S 2 è 2 = ( 1, 1, 2), quindi d( 1, 2 ) = 5. Poiché e ϱ 1 = ϱ 2 = 1 si deduce che S 1 S 2 = : di più le sfere sono esterne l una all altra. Esempio Si considerino le due sfere S 1 e S 2 rispettivamente di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x 4z + 4 = 0, x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 2 = 0. Allora il centro di S 1 è 1 = (1, 0, 2), mentre il centro di S 2 è 2 = (1, 1, 1), quindi d( 1, 2 ) = 2. Per quanto riguarda i raggi abbiamo ϱ 1 = ϱ 2 = 1. oncludiamo che = S 1 S 2 è una circonferenza: calcoliamone centro e raggio. A tale scopo osserviamo prima che il piano radicale π, che contiene, ha equazione y z + 1 = 0. La retta passante per 1 e 2 ha equazioni x = 1 y = 1 + t z = 1 t.

10 INTERSEZIONE DI DUE SFERE oncludiamo che il centro di è = (1, 1/2, 3/2). Per quanto riguarda il raggio ϱ, poiché d( 1, π) = 1/ 2, segue che ϱ = ϱ 2 1 d( 1, π) 2 = 1/ 2. Quanto visto sopra circa l intersezione di due sfere può essere utile per la determinazione di sfere che soddisfano certe proprietà come, per esempio, contenere una circonferenza data o essere tangenti ad un piano dato. Esempio Si consideri la circonferenza di equazioni { x 2 + y 2 + z 2 7 = 0 x + y + z 3 = 0. Una sfera contenente è perciò S 1 di equazione x 2 + y 2 + z 2 7 = 0. Per quanto osservato sopra, ogni altra sfera S contenente deve avere un equazione della forma x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 tale che (x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ) (x 2 + y 2 + z 2 7) = λ(x + y + z 3), cioè x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = x 2 + y 2 + z λ(x + y + z 3) per un opportuno λ R. Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera contenente e passante per P 0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che λ( ) = 0, ovvero λ = 3. Pertanto la sfera cercata ha equazione x 2 + y 2 + z 2 3x 3y 3z + 2 = 0.

11 Esempio Si consideri il piano π di equazione LEZIONE x + y + z 3 = 0 e sia P 0 = (1, 1, 1): si noti che P 0 π. Vogliamo determinare le sfere tangenti a π in P 0. ogni sfera di questo tipo ha centro in un punto della retta per P 0 perpendicolare a π, cioè in un punto t avente coordinate (1 + t, 1 + t, 1 + t), quindi ha equazione della forma x 2 + y 2 + z 2 2(1 + t)x 2(1 + t)y 2(1 + t)z t + t 2 ϱ 2 = 0 Poiché P 0 appartiene a tale sfera si ha necessariamente t 2 = ϱ 2. A questo punto si osserva facilmente che tale equazione si può anche scrivere come (x 1) 2 + (y 1) 2 + (z 1) 2 + λ(x + y + z 3) = 0 con λ = 2t. Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera tangente a π e passante per P 0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che ( 1) 2 + ( 1) 2 2λ( ) = 0, ovvero λ = 1. Pertanto la sfera cercata ha equazione x 2 + y 2 + z 2 x y z = 0.