C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi

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1 C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dare la definizione di luogo geometrico. 2) Indicare almeno due luoghi geometrici. 3) Dare la definizione di asse di un segmento come luogo geometrico. 4) Dare la definizione di bisettrice come luogo geometrico. 5) Dare la definizione di circonferenza. 6) Dare la definizione di cerchio. 7) Dire come è formato il luogo dei punti equidistanti da due rette parallele. 8) Dato un segmento AB dire come è formato il luogo dei centri dei quadrati avente diagonale AB. 9) Completare osservando la figura. I punti e sono interni alla circonferenza. I punti e sono esterni alla circonferenza. I punti, e appartengono al cerchio. I punti e non appartengono al cerchio. Il punto appartiene alla circonferenza. 10) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. 11) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. Esercizi C7-1

2 12) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. 13) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. 14) Tracciare con riga e compasso la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. Esercizi C7-2

3 15) Tracciare con riga e compasso la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. 16) Tracciare con riga e compasso la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura. 17) Tracciare con il compasso, dopo aver determinato il centro contando i quadretti, la circonferenza avente diametro AB. Esercizi C7-3

4 18) Tracciare con il compasso, dopo aver determinato il centro contando i quadretti, la circonferenza avente diametro AB. 19) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente diametro AB. 20) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente diametro AB. 21) Completa osservando la figura. Le corde della circonferenza rappresentate in figura sono i segmenti, e. Il diametro della circonferenza rappresentato in figura è il segmento. I raggi della circonferenza rappresentati in figura sono i segmenti,,. Esercizi C7-4

5 22) Data la figura seguente completa al posto dei puntini. Gli angoli al centro sono, Colora il settore circolare delimitato dai punti C, D ed E. Colora l arco delimitato dai punti A e B. Disegna le corde AB e DE. Dal fatto che AB>DE si può dedurre che la corda è più vicina al centro C. Dal fatto che AB>DE si può dedurre anche che l arco è maggiore dell arco, infine si può anche dedurre che l angolo è maggiore dell angolo. 23) Dato un punto P interno a una circonferenza si disegni la corda passante per P di lunghezza minore. 24) Data la figura seguente indica quali sono le rette secanti, quelle tangenti e quelle esterne alla circonferenza. 25) Data la figura seguente disegna le distanze delle rette dal centro della circonferenza utilizzando riga e compasso. Esercizi C7-5

6 26) Si tracci con riga e compasso la retta tangente alla circonferenza in figura passante per il punto A. 27) Dare la definizione di angolo alla circonferenza. 28) Tracciare un angolo alla circonferenza con due rette secanti che insiste sull arco AB. 29) Tracciare un angolo alla circonferenza con una retta tangente e una secante che insiste sull arco AB. 30) Dire quali degli angoli indicati sono angoli al centro e quali sono angoli alla circonferenza, e dire su quale arco insistono. L angolo ˆ BDEè un angolo e insiste sull arco. L angolo ˆ DCAè un angolo e insiste sull arco. L angolo ˆ FCAè un angolo e insiste sull arco. L angolo ˆ DBA è un angolo e insiste sull arco. L angolo ˆ CFGè un angolo e insiste sull arco. Esercizi C7-6

7 31) Tracciare con riga e compasso le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto A. 32) Tracciare con riga e compasso le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto A. 33) Tracciare con riga e compasso le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto A. 34) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente centro C e tangente alla retta r. Esercizi C7-7

8 35) Dare la definizione di poligono inscritto in una circonferenza. 36) Dare la definizione di poligono circoscritto ad una circonferenza. 37) Dare la definizione di circonferenza circoscritta a un poligono. 38) Dare la definizione di circonferenza inscritta in un poligono. 39) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente centro C e tangente alla retta r. 40) Determinare le misure di tutti gli angoli in figura. 41) Data la seguente circonferenza disegnare un poligono inscritto in essa con riga e compasso. 42) Data la seguente circonferenza disegnare un poligono circoscritto ad essa con riga e compasso. Esercizi C7-8

9 43) Dato il poligono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso con riga e compasso. 44) Dato il poligono in figura disegnare la circonferenza inscritta in esso con riga e compasso. 45) Disegnare due circonferenze secanti, si trovino i punti di intersezione e si tracci la retta passante per i punti di intersezione (che è detta asse radicale). 46) Disegnare due circonferenze tangenti internamente e la retta tangente comune. 47) Disegnare due circonferenze tangenti esternamente e la retta tangente comune. 48) Disegnare due circonferenze interne non concentriche. 49) Disegnare due circonferenze interne concentriche. 50) Si disegni, se possibile, la retta tangente comune a due circonferenze concentriche. 51) Date due circonferenze tangenti internamente si tracci l unica retta tangente a entrambe. 52) Date due circonferenze secanti si traccino le due rette tangenti a entrambe. 53) Date due circonferenze tangenti esternamente si traccino le tre rette tangenti a entrambe. 54) Date due circonferenze esterne si traccino le quattro rette tangenti a entrambe. 55) Date due circonferenze di raggi r 1=2 e r 2=3 la distanza tra i loro centri è 1. Come sono le circonferenze? 56) Date due circonferenze di raggi r 1=2 e r 2=3 la distanza tra i loro centri è 2. Come sono le circonferenze? 57) Date due circonferenze di raggi r 1=2 e r 2=3 la distanza tra i loro centri è 3. Come sono le circonferenze? 58) Date due circonferenze di raggi r 1=2 e r 2=3 la distanza tra i loro centri è 5. Come sono le circonferenze? 59) Date due circonferenze di raggi r 1=2 e r 2=3 la distanza tra i loro centri è 6. Come sono le circonferenze? 60) Una circonferenza di raggio r=3 ha il centro a distanza 4 da una retta. La retta è esterna, tangente o secante la circonferenza? 61) Una circonferenza di raggio r=3 ha il centro a distanza 3 da una retta. La retta è esterna, tangente o secante la circonferenza? 62) Una circonferenza di raggio r=3 ha il centro a distanza 2 da una retta. La retta è esterna, tangente o secante la circonferenza? Esercizi C7-9

10 63) Dato il triangolo equilatero in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso. 64) Dato il quadrato in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso. 65) Dato il pentagono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso. 66) Dato l esagono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso. Esercizi C7-10

11 67) Dato l ottagono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso. 68) Data una circonferenza disegnare un triangolo equilatero inscritto in essa con riga e compasso. 69) Data una circonferenza disegnare un quadrato inscritto in essa con riga e compasso. 70) Data una circonferenza disegnare un esagono inscritto in essa con riga e compasso. 71) Data la figura seguente determinare la misura dell angolo ˆ CDA. 72) Data la figura seguente determinare la misura dell angolo ˆ CDB. 73) Data la figura seguente determinare la misura dell angolo ˆ CDA. Esercizi C7-11

12 74) Data la figura seguente e sapendo che BD è parallelo ad AC determinare la misura dell angolo ˆ CDA. 75) Data la figura seguente determinare la misura dell angolo ˆ CBD. 76) Data la figura seguente e sapendo che BD BC determinare la misura dell angolo ˆ BAC. 77) Data la figura seguente e sapendo che AC CD determinare la misura dell angolo ˆ CBD. Esercizi C7-12

13 DIMOSTRAZIONI 78) Si dimostri che la retta passante per il punto medio di un segmento AB e perpendicolare ad esso è formata da punti equidistanti dagli estremi del segmento AB. 79) Si dimostri che i punti equidistanti da A e B sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. 80) Si dimostri che la retta che divide in due parti congruenti un angolo è formata dai punti equidistanti dai lati dell angolo. 81) Si dimostri che i punti equidistanti dai lati dell angolo formano una retta che divide l angolo in due parti congruenti. 82) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O e raggi r e r sono esterne se e solo se OO >r+r. 83) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O e raggi r e r sono tangenti esternamente se e solo se OO r+r. 84) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O e raggi r e r sono secanti se e solo se r-r <OO <r+r. 85) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O e raggi r e r sono tangenti internamente se e solo se OO r-r. 86) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O e raggi r e r sono interne se e solo se OO <r-r. 87) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O e raggi r e r sono concentriche se e solo se O O. 88) Si dimostri che una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune. 89) Si dimostri che in un poligono circoscritto a una circonferenza allora le bisettrici degli angoli si incontrano nel centro della circonferenza. 90) Si dimostri che in un poligono inscritto a una circonferenza allora gli assi dei lati si incontrano nel centro della circonferenza. 91) Dato il punto A esterno alla circonferenza di centro C si costruiscano le rette tangenti alla circonferenza passanti per A. Tali rette intersecano la circonferenza in B e D. Si dimostri che gli angoli BCD ˆ e BAD ˆ sono supplementari. 92) Data una circonferenza di centro C sia AB una sua corda. Si dimostri che gli angoli BAC ˆ e ABC ˆ sono congruenti. 93) Data una circonferenza di centro C sia AB una corda e sia CH la sua distanza dal centro della circonferenza. Si dimostri che se AB=2CH allora BAC ˆ ABC ˆ π. 4 94) Dato un trapezio inscrittibile in una circonferenza si dimostri che esso è isoscele. 95) Dato un parallelogramma inscrittibile in una circonferenza si dimostri che esso è un rettangolo. 96) Data una circonferenza di centro C e raggio CA si disegni una corda BD della circonferenza parallela al raggio CA in modo AD<AB. Si dimostri che la retta passante per A e B è bisettrice dell angolo CBD. ˆ 97) Data una circonferenza di centro C e diametro AB si tracci una corda AD passante per A e una corda BE ad essa parallela passante per B. Si dimostri che le corde AD e BE sono congruenti. 98) Sia dato un triangolo isoscele ABC con base AB. Si tracci una circonferenza con centro in C che intersechi i lati obliqui del triangolo in D ed E. Si dimostri che la retta passante per D ed E è parallela alla base AB. 99) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele. Si prolunghino le rette passanti per le corde AB e DE e si trovi il loro punto di intersezione F. Si dimostri che FC è bisettrice dell angolo formato dalle due corde. 100) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele con un punto F in comune. Si dimostri che FC è bisettrice dell angolo formato dalle due corde. 101) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele con un punto F in comune in modo che AF<BF e DF<EF. Si dimostri che AF DF e che BF EF. 102) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele con un punto F in comune in modo che AF BF e DF EF. Si dimostri che AB e DE sono diametri della circonferenza. 103) Date due corde congruenti AB e BD in una circonferenza di centro C si dimostri che CB è bisettrice degli angoli ACD ˆ e ABD. ˆ 104) Data la circonferenza di centro C si traccino due rette tangenti alla circonferenza parallele tra loro che intersechino la circonferenza in A e B. Si dimostri che AB è un diametro della circonferenza. 105) Data una circonferenza di diametro AB si dimostri che le tangenti alla circonferenza passanti per A e B sono parallele. 106) Data una circonferenza di centro C si considerino le tangenti alla circonferenza passanti per il punto A esterno ad essa che intersechino la circonferenza in due punti B e D. Si indichi con E il punto di intersezione tra la circonferenza e il segmento AC. Sapendo che l angolo BAC ˆ π si dimostri che il triangolo CDE è equilatero. Si 6 dimostri inoltre che E è il punto medio del segmento AC. 107) Data una circonferenza di centro C si consideri una corda AB congruente al raggio della circonferenza e la retta r tangente alla circonferenza passante per A. La retta r interseca il prolungamento della retta CB in un punto D. Calcolare l ampiezza dell angolo ABD. ˆ 108) Data una circonferenza di centro C si considerino le tangenti alla circonferenza passanti per il punto A esterno ad essa che intersechino la circonferenza in due punti B e D. Si indichi con E il punto di intersezione tra la circonferenza e il segmento AC. Sapendo che l angolo BAC ˆ π si dimostri che ABCD è un quadrato e si calcoli 4 l ampiezza dell angolo ˆ AED. 109) Data una circonferenza di centro C e un suo arco di circonferenza AB sia D il punto medio dell arco di circonferenza. Si dimostri cha la tangente alla circonferenza passante per D è parallela alla retta passante per A e B. 110) Data una circonferenza di centro C si considerino due corde non congruenti AB e DE che si intersechino in F, tali che DF<FE e BF<FA. Si dimostri che i triangoli ABD e EBD hanno gli angoli congruenti. 111) Data una circonferenza di centro C si considerino due corde non congruenti AB e DE che si intersechino in F, tali che DF<FE e BF<FA. Si dimostri che i triangoli AFD e EFD hanno gli angoli congruenti. Esercizi C7-13

14 112) Data una circonferenza di centro C e diametro AB sia r la retta passante per A e per un punto D appartenente alla circonferenza. Si prolunghi il segmento BD di un segmento DE BD. Si dimostri che AB AE. 113) Data una circonferenza di centro C e diametro AB sia r la retta passante per A e B e sia E un punto esterno alla circonferenza tale che E r e AB BE. La retta passante per A ed E interseca la circonferenza in D. Si dimostri che la retta passante per B e D è bisettrice dell angolo ABE. ˆ 114) Dato un triangolo ABC si traccino le altezze AD e BE. Si dimostri che il quadrilatero AEDB è inscrittibile in una circonferenza. 115) Data una circonferenza di centro C avente diametro AB si traccino le tangenti alla circonferenza r ed s passanti per A e per B. Si consideri una retta t tangente alla circonferenza in D che intersechi le rette r ed s in E ed F. Si dimostri che l angolo ECF ˆ è retto. (Si considerino tutti gli angoli con vertice in C). 116) Dato un trapezio ABDE di base maggiore AB circoscritto a una circonferenza di centro C si dimostri che gli angoli ACB ˆ e ECD ˆ sono supplementari. (Si consideri l esercizio precedente). 117) Dato un pentagono regolare ABCDE si traccino le corde AC e BD che si intersecano in F. Determinare l ampiezza dei quattro angoli di vertice F. Dimostra poi che AEDF è un rombo. 118) Data una circonferenza di centro C si consideri un arco di circonferenza AB con punto medio D tale che l angolo ADB ˆ 108. Sia E il simmetrico di D rispetto al segmento AB. Si prolunghino AE e BE che intersechino la circonferenza in F e G rispettivamente. Si dimostri che ADBFG è un pentagono regolare. 119) Data una circonferenza di centro C si consideri un arco di circonferenza AB con punto medio D tale che l angolo ADB ˆ 108. Sia E il simmetrico di D rispetto al segmento AB. Si prolunghino AE e BE che intersechino la circonferenza in F e G rispettivamente. Si dimostri che BEF è isoscele. 120) Date due circonferenze di centri C e C congruenti e secanti in A e B si consideri la retta r passante per C e A che interseca la circonferenza di centro C in D. Sia poi s la retta passante per C e C che interseca la circonferenza di centro C in E. Si dimostri che DC'E ˆ 3 DCE ˆ. 121) Date due circonferenze di centri C e C non congruenti e secanti in A e B si traccino le tangenti ad esse passanti per il punto A. Le due tangenti intersecano la circonferenza di centro C in un punto D e la circonferenza di centro C in un punto E. Si dimostri che D, B ed E sono allineati. 122) Date due circonferenze di centri C e C congruenti e tangenti in un punto T si considerino due raggi CD e C D paralleli dalla stessa parte della retta CC. Si dimostri che DTD' ˆ π. 2 Esercizi C7-14