MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

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1 MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

2 La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse. Più precisamente si può affermare che assegnato un punto C, detto centro, prende nome di circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C. PC = PQ = costante = raggio r La distanza tra il centro C ed ognuno dei punti prende nome di raggio. L equazione della circonferenza Determiniamo l equazione di una generica circonferenza di centro C(α; β) e raggio r. Sappiamo che un generico punto P(x; y) appartiene alla circonferenza se e solo se PC = r che si può esprimere anche come PC = r. È possibile scrivere PC con la formula di distanza fra due punti ovvero PC = (x α) + (y β) che elevando ambedue i membri al quadrato diventa PC = (x α) + (y β) Che può essere quindi integrata nella relazione precedente con il raggio (x α) + (y β) = r Ovvero l equazione generica della circonferenza. Svolgendo i calcoli si può ottenere che: x + y αx βx + α + β r = 0 Ponendo a = α, b = β, c = α + β r Si ottiene l equazione semplificata: x + y + ax + by + c = 0 e Dato il punto C(; -) ricaviamo l equazione della circonferenza di centro C ed r = 3. PC = 3 PC = 9 PC = (x ) + (y + ) Consideriamo P(x; y) un punto appartenente alla circonferenza. Scriviamo la formula di distanza tra P e C(; -). 3 (x ) + (y + ) = 9 Inseriamo la formula nella relazione con il raggio.

3 x + x + y + + y = 9 x + y x + y = 0 Svolgiamo i calcoli ed otteniamo l equazione della circonferenza. La condizione di realtà Non è possibile però affermare che l equazione x + y + ax + by + c = 0 rappresenti sempre una circonferenza, è dunque una condizione necessaria ma non sufficiente. Se poniamo infatti a = 0 e b = 0, e c come numero positivo il risultato dell equazione risulta effettivamente impossibile x + y = c. e x + y + 6 = 0 x + y = 6 impossibile Dall equazione della circonferenza si possono ricavare due informazioni: le coordinate del centro C(α; β) e la misura del raggio. Poiché abbiamo posto a = α, b = β, c = α + β r Possiamo anche affermare che α = a β = b C( a ; b ) r = α + β c = ( a ) + ( b ) c Quest ultima condizione è particolarmente importante per definire la realtà della circonferenza: l equazione x + y + ax + by + c = 0 rappresenta una circonferenza se e solo se ( a ) + ( b ) c 0 poiché il radicando non può essere un numero negativo. Con r = 0 la circonferenza degenera nel suo centro. Retta e circonferenza La posizione di una retta rispetto ad una circonferenza dipende dalla distanza d della retta dal centro della circonferenza. Considerando una retta di raggio r si hanno le possibili relazioni con d: d > r, la retta è esterna dunque non ha punti in comune con la circonferenza; d = r, la retta è tangente ed il punto in comune è uno solo; d < r, la retta è secante, vi sono due distinti punti in comune. Per stabilire la posizione di una circonferenza di equazione x + y + ax + by + c = 0 rispetto ad una retta a x + b y + c = 0 è sufficiente mettere a sistema le due equazioni: le soluzioni (x; y) del sistema infatti corrispondono alle coordinate dei punti di intersezione. Applicando il metodo di sostituzione, e studiando il segno del discriminante Δ dell equazione risolvente si possono avere tre casi: Δ < 0, ovvero il sistema non ha equazioni reali e quindi la retta è esterna alla circonferenza; Δ = 0, indica due soluzioni reali e coincidenti, e quindi la retta è tangente alla circonferenza; Δ > 0, per cui il sistema ha due soluzioni reali e distinte, e la retta è secante. e Studiamo la retta 3x y + = 0 rispetto la circonferenza x + y + 3x 3y = 0 x + y + 3x 3y = 0 3x y + = 0 Mettiamo a sistema le due equazioni 3

4 3 x + y + 3x 3y = 0 y = 3x + x + y + 3x 3y = 0 y = 3x + x + ( 3 x + ) + 3x 3( 3 x + ) = 0 y = 3 x + x + 9 x x + 3x 9 x 3 = 0 Lavoro sulla seconda equazione per poter utilizzare il metodo di sostituzione. Applico il metodo di sostituzione. Lavoro sull equazione risolvente. 5 3 x 3x + 3x 3 = 0 3 x = 3 3x = 3 x = Ottengo la soluzione dell equazione. x = ; x = 6 7 3( ) y + = 0 x = = y x = 3() y + = 0 x = Sostituisco il primo valore nell equazione della retta e trovo y =. Sostituisco il secondo valore nell equazione della retta e trovo y = -. Le rette tangenti Dati un punto P(x 0 ; y 0 ) ed una circonferenza qualsiasi di equazione x + y + ax + by + c = 0, si possono verificare tre casi: P è esterno alla circonferenza, le rette passanti per esso e tangenti alla circonferenza sono due; P appartiene alla circonferenza, una sola tangente; P è interno alla circonferenza e non esistono rette tangenti passanti per esso. Se P è esterno alla circonferenza l equazione della retta tangente si può ricavare seguendo due metodi: metodo: Δ = 0 Si scrive l equazione del fascio di rette passanti per P y y 0 = m(x x 0 ); si mette quest equazione a sistema con quella generica della circonferenza. Si ricava la y dell equazione del fascio di rette e si sostituisce nell equazione della circonferenza, ottenendo una risolvente in x i cui coefficienti sono funzioni del parametro m. Si impone la condizione di tangenza Δ = 0, in quanto affinché la retta sia tangente per P è necessario che l equazione ammetta due soluzioni coincidenti. Si risolve l equazione di secondo grado rispetto ad m, ottenuta con Δ = 0. Se P è esterno alla circonferenza allora m m, se esso appartiene alla circonferenza m = m. e Troviamo le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x + y x + y + 7 = 0 condotte per P(0; ). y = mx + x + y x + y + 7 = 0 Mettiamo a sistema il fascio di rette passanti per P con l equazione della circonferenza.

5 x + (mx + ) x + (mx + ) + 7 = 0 Per sostituzione otteniamo l equazione risolvente. 3 x + m x + mx + x + mx = 0 Eseguo i calcoli. x ( + m ) + x(m 6) + 0 = 0 Raccolgo per x ed impongo Δ/ = 0. 5 (m 6) ( + m ) 0 = 0 Svolgo i calcoli. 6 m + 36 m 0 0m = 0 Ottengo l equazione in m. 6m m + 6 = 0 7 m + 3m = 0 Divido per ± 9 ( ) = 3 ± 5 Risolvo l equazione e trovo i due valori di m. 9 m = m = y = mx + y = m = x + m = y = mx + y = x + m = m = Inseriamo i due valori di m nel fascio e troviamo le equazioni delle tangenti. t : y = x + t : y = x + metodo: distanza retta-centro = raggio Si determinano anzitutto le coordinate del centro C ed il raggio r della circonferenza. Si scrive l equazione del fascio di rette passanti per P e la si pone in forma implicita mx y + y 0 mx 0 = 0. Si applica la formula della distanza di un punto P(x 0 ; y 0 ) da una retta ax + by + c = 0; d = ax 0+by 0 +c, per esprimere la distanza del centro C da una generica retta del fascio. a +b Si pone tale distanza come uguale al raggio e si risolve l equazione in m ottenuta. Quindi si sostituiscono i valori di m trovati nell equazione del fascio di rette. e Troviamo le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x + y x = 0 condotte per P( 9 ; 0). x 0 = a = = C(; 0) Determiniamo le coordinate del centro C(x 0 ; y 0 ). r = = Determiniamo il raggio. 3 y = mx 9 m mx y 9m = 0 Scriviamo l equazione implicita del fascio di rette passanti per P. m() (0) 9m d = m + = 5m 6m + 6 Calcoliamo la distanza di C(; 0) dal fascio. 5

6 5 5m = 6m + 6 5m = 6m + 6 Portiamo il denominatore al secondo membro ed elevo entrambi al quadrato m = 6 9 Risolviamo l equazione 7 m = ± 3 t : y = 3 x 3 t : y = 3 x 3 Determiniamo l equazione delle rette tangenti sostituendo m nel fascio. Quando il punto P appartiene alla circonferenza è possibile utilizzare anche i seguenti metodi. 3 metodo: retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC Anzitutto si determinano le coordinate del centro C della circonferenza. Si trova il coefficiente angolare m della retta r passante per P e per C: m = y P y C x P x C. Si calcola il coefficiente angolare m della retta perpendicolare a r come antireciproco di m. Si scrive l equazione della tangente: y y 0 = m (x x 0 ). e Troviamo l equazione delle retta tangente alla circonferenza x + y x 6y 0 = 0 nel suo punto P(5; 5) x 0 = a = = y 0 = b = 6 = 3 C(; 3) m = y P y C x P x C = = = Determiniamo le coordinate del centro C(x 0 ; y 0 ). Troviamo m della retta passante per P e per C. 6

7 3 m = m = y = x + 5 Nel fascio di rette passanti per P inseriamo m che è antireciproco di m, e trovo la tangente. metodo: formule di sdoppiamento Si scrive l equazione della circonferenza x + y + ax + by + c = 0. Se P ha coordinate (x 0 ; y 0 ), si eseguono le seguenti sostituzioni: x xx 0 y yy 0 x x+x 0 y y+y 0 L equazione della retta tangente può essere espressa come: xx 0 + yy 0 + a (x + x 0) + b (y + y 0) + c = 0 e Troviamo l equazione delle retta tangente alla circonferenza x + y x y 0 = 0 nel suo punto P(; 6) x + 6y x + y = 0 Utilizziamo la formula di sdoppiamento. x + 6y x y 0 = 0 3x + y 3 = 0 Svolgiamo i calcoli ed ottengo l equazione della tangente. Ricavare l equazione di una circonferenza Nell equazione della circonferenza x + y + ax + by + c = 0 sono presenti tre coefficienti (a; b; c). Per poterli determinare occorrono dunque altrettante informazioni geometriche, indipendenti tra loro, sulla circonferenza dette condizioni, corrispondenti a tre equazioni algebriche nelle incognite a, b e c. Le coordinate di un punto della circonferenza costituiscono una condizione, poiché permettono di impostare un equazione su tre incognite. Le coordinate del centro corrispondono a due condizioni, poiché da esse si possono determinare sia a che b. La misura del raggio equivale ad una condizione. Sono possibili diversi casi. Note le coordinate del centro C(x 0 ; y 0 ) ed il raggio r Si trovi l equazione della circonferenza partendo da quella generica (x x 0 ) + (y y 0 ) = r e Determiniamo l equazione della circonferenza di centro C(; 3) e di raggio r = 0. (x x 0 ) + (y y 0 ) = r (x ) + (y 3) = 0 Sostituiamo nell equazione generica della circonferenza le coordinate di C e la misura del raggio. x 8x y 6y + 9 = 0 Svolgiamo i calcoli. 3 x + y 8x 6y = 0 x + y 8x 6y + 5 = 0 Riordiniamo e sommiamo i termini noti. Otteniamo l equazione richiesta. 7

8 Note le coordinate degli estremi di un diametro Se sono note le coordinate A(x 0 ; y 0 ) e B(x ; y ) degli estremi di un diametro. Il centro è il punto medio C( x 0+x ; y 0+y ) del segmento AB ed il raggio è la metà della distanza tra A e B. Ottenuti il centro ed il raggio è possibile trovare la circonferenza dall equazione generica. e Troviamo l equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi A(; ) e l origine. 3 x C = = y C = = r = AO = () + () = 0 (x ) + (y ) = ( 0 ) x + x + y + y 5 = 0 x + y x y = 0 Calcoliamo C. Otteniamo C(; ) Calcoliamo r. Applichiamo la formula generica e ricaviamo così la circonferenza. Il raggio elevato al quadrato è 0 = 5 Noto il centro ed un punto In questo caso si calcola il raggio r, e dunque si trova l equazione della circonferenza partendo da quella generica (x x 0 ) + (y y 0 ) = r. e Troviamo l equazione della circonferenza avente come centro il punto di intersezione delle rette x + y = 0 e 3x y = 6, e passante per P(; 3). x + y = 0 y = x + 3x y = 6 y = 3x 6 y = + C(; 0) x = y = x + x + = 3x 6 Calcoliamo C, mettendo a sistema le due rette. PC = r = ( ) + ( 3) = = 3 (x ) + (y + 0) = 0 x + y x = 0 Calcoliamo il raggio r. Dalla formula generica ricavo quella della circonferenza. Noti tre punti non allineati Se la circonferenza passa per tre punti non allineati P(x ; y ), Q(x ; y ) e R(x 3 ; y 3 ); per trovarla è sufficiente impostare un sistema con quei punti, composto da equazioni a tre incognite a, b, c del tipo: x + y + ax + by + c = 0 x + y + ax + by + c = 0 x 3 + y 3 + ax 3 + by 3 + c = 0 e Determiniamo l equazione della circonferenza passante per i punti A( ; ), B(; ) e C(; 0). 8

9 x + y + ax + by + c = 0 + a b + c = a + b + c = 0 + a + c = 0 Impostiamo un sistema a tre incognite a, b e c; imponendo che le coordinate dei punti dati verifichino l equazione della circonferenza. a b + c = 5 a + b + c = 5 a + c = a b + c = 5 a + b + c = 5 0 c = Con il metodo della riduzione addiziono la prima e la seconda equazione, ottenendo che c = 5 3 c = 5 a 5 = c = 5 a = Inserendo nella terza equazione il valore di c ricavo quello di a. a = c = 5 a = c = b 5 = 5 b = 8 Sostituendo i valori di a e di c nella seconda equazione ricavo b. x + y + x 8y 5 = 0 Con i valori ottenuti scrivo l equazione della circonferenza. Noti due punti e con il centro su una retta La circonferenza passa per due punti P e Q, ed il centro C appartiene ad una retta nota s. Per trovare l equazione della circonferenza si trova l equazione dell asse del segmento PQ (il quale è una corda della circonferenza): si utilizzerà un fascio di rette passante per il punto medio M( x P+x Q ; y P+y Q ) e con coefficiente angolare antireciproco di quello del segmento m = y Q y P x Q x P. Quindi si mette a sistema l equazione ottenuta con quella della retta nota s e si ricava così il centro. Con questo si può trovare il raggio (CP o CQ) ed utilizzare l equazione generale. e Determiniamo l equazione della circonferenza passante per i punti A(; ) e B(3; ), avente centro sulla retta di equazione x 3y = 0. x M = + 3 = y M = + = 3 Troviamo il punto medio M del segmento AB. Otteniamo M(; 3) m AB = 3 = Calcoliamo il coefficiente angolare m di AB. 3 m = m AB = y 3 = x + y + x 5 = 0 x = y + 5 x = 3y + y + 5 = 3y + y = y = C(; ) x = Scriviamo l equazione dell asse, partendo dal fascio di rette passanti per M. Interseco, mettendo a sistema, l asse con la retta data. 9

10 5 CA = ( ) + ( ) = 0 Calcolo il raggio. 6 (x ) + (y ) = 0 x 8x y + y 0 = 0 x + y 8x y + 7 = 0 Calcolo l equazione della circonferenza da quella generica. Noto il centro e tangente ad una retta di tipo y = mx + q. Se sono note le coordinate del centro C(x 0 ; y 0 ), e la circonferenza è tangente ad una retta di equazione y = mx + q, si trova il raggio applicando la formula della distanza del centro da una retta tangente r = mx 0 y 0 +q. Quindi si utilizza l equazione generica della circonferenza. m + e Determiniamo l equazione della circonferenza con centro C(; ) e tangente alla retta di equazione y = x + 3. ( ) + 3 r = = (x ) + (y + ) = ( 9 5 ) x x + + y + y = 0 x + y x + y 5 = 0 Applichiamo la formula per trovare il raggio. Utilizziamo la formula generica della circonferenza. Realizzato il 7//0 da Paolo Franchi. Rivisto il 06/09/05 per Sapere Aude! AMDG 0

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