LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

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1 LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

2 LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C: PC = costante C P La distanza fra ognuno dei punti e il centro è il raggio della circonferenza.

3 L EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA Dalla definizione di circonferenza, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l equazione della circonferenza. Se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C, le coordinate P(x;y), si ha: CP r x α y β x α y β r equazione r cartesiana. Sviluppo : Se si pone si ottiene : x x y y r a -a b - - da cui -b r c r x y ax by c 0 equazione c normale.

4 Se il centro C(;) coincide con l origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè = 0 e =0, l equazione normale diventa: x y ax by c a α ; a 0 b β ; b 0 0 x y c 0 equazione canonica. Osserviamo inoltre che c r ( c r ), quindi l'equazione canonica si può scrivere anche : x y r.

5 LA CONDIZIONE DI REALTA a α b β con ; r α β c c C α;β Non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l equazione normale rappresenti una circonferenza. Dall espressione del raggio si hanno i seguenti casi: a 4 b 4 + c = a /4 + b /4 c l equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario ); l equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C; l equazione normale rappresenta una circonferenza reale.

6 CIRCONFERENZE IN POSIZIONI PARTICOLARI

7 CIRCONFERENZE PARTICOLARI Considerazioni sul caso c = 0. Se c = 0, il grafico della curva passa per l origine perché l equazione diventa x + y + ax + by = 0, quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0, cioè il punto O(0 ; 0).

8 LA POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA

9 LA DISTANZA DELLA RETTA DAL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA Distanza maggiore del raggio: d > r Distanza uguale al raggio: d = r Distanza minore del raggio: d < r La retta è esterna. La retta è tangente. La retta è secante. Non esistono punti comuni. Esiste un solo punto comune (T ). Esistono due punti comuni (A e B ).

10 CONDIZIONE ALGEBRICA PER L ESISTENZA DELLE INTERSEZIONI Per trovare i punti d intersezione, si risolve x y ax by c il sistema: a' x b' y c' 0 Il sistema dà luogo a un equazione di secondo grado. 0 Soluzioni D < 0 Nessuna soluzione. La retta è esterna. D = 0 Una soluzione. La retta è tangente. D > 0 Due soluzioni. La retta è secante.

11 CONDIZIONE ALGEBRICA PER L ESISTENZA DELLE INTERSEZIONI ESEMPIO Studiamo la posizione della retta 3x y + 1 = 0, rispetto alla circonferenza di equazione x + y + 3x 3y = 0. Per trovare le intersezioni: Ricavando y dalla seconda equazione e sostituendo nella prima: Cioè x 1 = 0 D > 0 Il sistema ha due soluzioni distinte La retta è secante x 1 = 1, x = 1 y 1 =, y = 1 A (1; ), B ( 1; 1)

12 Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola circonferenza. Esempio Trovare l equazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3). Imponiamo che la circonferenza x +y +ax+by+c=0 passi per i punti dati (-3) +3 +a(-3)+3b+c=0 passaggio per A 1 +(-1) +a-b+c=0 passaggio per B a+3b+c=0 passaggio per C Risolvendo: a= b=- c=-6 Dunque la circonferenza cercata ha equazione x +y +x-y-6=0. Ha centro in D(-1,1) e raggio x A D y C O1 B

13 LE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA Le tangenti passanti per un punto P P è esterno alla circonferenza P appartiene alla circonferenza P è interno alla circonferenza Esistono due tangenti passanti per P Esiste una sola tangente passante per P Non esistono tangenti passanti per P

14 DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER UN PUNTO ESTERNO P METODO Primo metodo: D = 0 Fascio di rette passanti per P (x 0 ; y 0 ) : y y 0 = m (x x 0 ). Sistema:. Si ricava y nell equazione del fascio e si sostituisce nell equazione della circonferenza. Si impone la condizione di tangenza, cioè D = 0. L equazione D = 0 è un equazione di secondo grado in m. Si risolve l equazione in m e si ricava il coefficiente angolare delle rette tangenti. Si sostituiscono i valori trovati di m nell equazione del fascio.

15 DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER UN PUNTO ESTERNO P METODO Secondo metodo: distanza retta-centro uguale al raggio Si determinano le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza. Si imposta l equazione del fascio di rette passante per P (x 0 ; y 0 ) : y y 0 = m (x x 0 ). Si applica la formula e si ricava la distanza della retta del fascio dal centro C. Si pone la distanza uguale a r. Si sostituiscono i valori trovati di m nell equazione del fascio.

16 DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER UN PUNTO ESTERNO P METODO Terzo metodo: retta tangente in un punto P della circonferenza, come perpendicolare al raggio PC Si determinano le coordinate del centro C della circonferenza. Si trova il coefficiente angolare m della retta r passante per P e per C. Si calcola il coefficiente angolare m' della retta perpendicolare alla retta r. Si scrive l equazione della tangente: y y 0 = m' (x x 0 ). m = m' = y 5 = (x 5)

17 ESERCIZI: LA POSIZIONE RELATIVA DI UNA RETTA E UNA CIRCONFERENZA

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19 ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA >> Continua dalla precedente

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21 ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA >> Continua dalla precedente

22 ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA

23 Alcune condizioni per determinare l'equazione della circonferenza