Circonferenza e cerchio La circonferenza e il cerchio Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza

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1 ironferenz e erhio L ironferenz e il erhio Poligoni insritti e irosritti un ironferenz L ironferenz e il erhio Stilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. SEZ. M e f g h Il rpporto tr l lunghezz ell ironferenz e il rggio è ostnte e si ini on π. Il numero π è eimle illimitto non perioio. L mpiezz i un ro i ironferenz è l ngolo ll ironferenz he insiste sull ro. Un ngolo ll ironferenz h il vertie sull ironferenz e per estremi sempre ue punti qulsisi ell ironferenz. Per un punto P pprtenente un ironferenz possimo trire infinite rette tngenti ll ironferenz. Tutti i punti i un erhio hnno l stess istnz l entro. Il imetro perpeniolre un or pss per il suo punto meio. Il semierhio è un settore irolre. e f g h Perhé π è il rpporto tr l lunghezz ell ironferenz e quell el imetro. Quini π è un numero irrzionle. L mpiezz i un ro è l ngolo l entro he insiste sull ro. I lti i un ngolo ll ironferenz possono essere ue ore on un estremo in omune, oppure un or e un semirett tngente ll ironferenz e on l origine in un estremo ell or. Per il punto P pssno infinite rette, m un sol è perpeniolre l rggio in quel punto e quini un sol è l tngente. Il erhio è l prte i pino elimitt ll ironferenz, quini i suoi punti possono vere istnze l entro vriili, m minori o uguli l rggio; solo i punti ell ironferenz hnno istnz l entro ugule l rggio. Il imetro pss per il entro ell ironferenz, quini, se è perpeniolre ll or, ontiene il segmento i istnz ell or l entro; siome l istnz pss sempre per il punto meio ell or, llor nhe il imetro, ui l istnz pprtiene, pss per il punto meio ell or. È un settore irolre prtiolre in ui l ngolo l entro è pitto. Segli l rispost estt. he ifferenz esiste tr i termini ironferenz e erhio? Nessun. L ironferenz è un line hius, il erhio è un prte i pino elimitt ll ironferenz. ironferenz è il termine geometrio orretto per inire il erhio. L ironferenz è un superfiie e il erhio un lunghezz. L rispost estt è : t l figur pin erhio, l ironferenz ne rppresent il ontorno e orrispone ll insieme i tutti i punti equiistnti l entro.. lvi - G. Pnzer ELI - L Spig

2 Sezione M ironferenz e erhio Per lolre l lunghezz i un ironferenz, si moltipli per π l lunghezz: el imetro. el rggio. i un or qulsisi. i un ro i ironferenz qulsisi. L rispost estt è : t l formul = πr, vle = r, quini possimo ire = π. 4 Il segmento he unise un punto ell ironferenz l entro si him: rggio. imetro. or. ro. L rispost estt è : inftti per efinizione il rggio è qulunque segmento he unise il entro on un punto ell ironferenz, un or è un segmento he unise ue punti qulsisi ell ironferenz, il imetro è un or pssnte per il entro ell ironferenz, un ro è l prte i ironferenz ompres tr ue punti. 5 L misur ell re el erhio si lol moltiplino per π l misur l qurto: el rggio. el imetro. i un or qulsisi. i un settore irolre qulsisi. L rispost estt è : l formul per il lolo ell re el erhio è = πr, un potenz i esponente è un qurto, quini r signifi il qurto el rggio. 6 sserv l seguente figur e omplet. 8 Teorem ell ngolo esterno In ogni tringolo un ngolo esterno è ongruente ll somm ei ue ngoli interni non ienti esso. riiole i teori ˆ =  + Ĉ ˆ = 8 = m e f ˆ =... Ĉ =...  =... ˆ =... =... =... e f Il tringolo è isosele perhé = = rggio e periò h gli ngoli ienti ll se ongruenti e ˆ = ˆ = 8. L ngolo Ĉ è esterno l tringolo e è ugule ll somm ei ue ngoli non ienti, quini Ĉ = ˆ + ˆ = = 56. Il tringolo è rettngolo in perhé è un imetro e quini il tringolo è insritto in un semiironferenz; ˆ e  sono llor omplementri:  = 90 ˆ = 90 8 = 6 Per qunto etto l punto ˆ = 90. L or pss per il entro, quini è un imetro, ioè = = 4 m. Il segmento è un rggio, quini = = m.. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig

3 L ironferenz e il erhio Risolvi i seguenti prolemi. 7 In un ironferenz on il rggio lungo 5 m, si tri un or. Qule può essere l mssimo l su lunghezz? L or mssim i un ironferenz è il imetro, he è il oppio el rggio, quini l lunghezz mssim ert è 0 m. 8 In un ironferenz i entro onsier l or mssim lung 8 m. Qunto è lungo il rggio? L or mssim i ogni ironferenz è il suo imetro. Se l or mssim è lung 8 m, il rggio è l su metà e periò è lungo 4 m. 9 lol l lunghezz i un ironferenz speno he è ivis in rhi i ui il primo, lungo 6 m, è il oppio el seono e il seono è il oppio el terzo. = 6 m = = =? Rppresentimo grfimente i ti el prolem: ro ro ro Il primo ro è formto 4 prti uguli l terzo ro, quini: 6 m : 4 = 9 m lunghezz el ro 9 m = 8 m lunghezz el ro L somm ei tre rhi è l ironferenz, periò: = ( ) m = 6 m 0 Un ironferenz lung 90 m è ivis in quttro prti, un semiironferenz e tre rhi ongruenti fr loro. lol l lunghezz i ognun elle prti in ui è ivis l ironferenz. L semiironferenz è lung 90 m : = 45 m. L restnte prte, lung 45 m, è ivis in prti ongruenti, quini lunghe 45 m : = 5 m. In un ironferenz i entro e on il rggio lungo m, tri l or lung 4 m e lol il perimetro el tringolo. Il tringolo è isosele perhé e sono ue rggi, quini: p = (4 + + ) m = 0 m = 4 m p =? = = m. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig

4 Sezione M ironferenz e erhio L somm i un ngolo l entro e el suo orrisponente ngolo ll ironferenz è un ngolo mpio. etermin l mpiezz ei ue ngoli. β α α + β = α =? β =? L ngolo l entro α è il oppio ell ngolo ll ironferenz β perhé entrmi insistono sull ro. Rppresentimo i ti grfimente: β α α + β : = 7 β 7 = 74 α Un ngolo l entro è i 8 i un ngolo mpio 96. lol l mpiezz el orrisponente ngolo ll ironferenz. α β α = 96 8 β =? α = 96 = 6 8 β = α = 6 = 8 4 lol l mpiezz ell ngolo ll ironferenz he insiste su un ro he è ell ironferenz. β α L ngolo l entro α he insiste sull ro è ell ngolo giro: α = 60 = 0 L ngolo ll ironferenz β he insiste sull ro metà ell ngolo α: è = β =? β = α = 0 = 60 5 ue ngoli ll ironferenz sono omplementri; ome sono i ue ngoli l entro orrisponenti? Gli ngoli l entro he insistono su un ro sono il oppio ei orrisponenti ngoli ll ironferenz he insistono sullo stesso ro: β = α e β = α Se gli ngoli ll ironferenz sono omplementri, i orrisponenti ngoli l entro sono supplementri: α + α = 90 β + β = (α + α ) = 90 = 80. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 4

5 Esseno l istnz ell rett l entro i l rett è sente l ironferenz. L ironferenz e il erhio 6 isegn un ironferenz on il rggio lungo 6 m e tri un rett in moo he l su istnz l entro si i el rggio. Qul è l posizione ell rett rispetto ll ironferenz? el rggio, è minore el rggio stesso e quini 7 un punto P esterno un ironferenz i entro tri ue rette tngenti ll ironferenz nei punti e. Speno he l ngolo formto lle ue tngenti è mpio 9, etermin l mpiezz ell ngolo Ĉ ontenente il punto P. P I ue segmenti P e P sono rispettivmente perpeniolri i rggi e, quini ÂP = ˆ P = 90. In un quriltero l somm egli ngoli interni è 60, quini: Teorem gni tngente un ironferenz è perpeniolre l rggio onotto nel punto i tngenz. riiole i teori Pˆ = 9 Ĉ =? Ĉ = 60 ÂP ˆ P Ĉ = = = 4 8 Sono te un ironferenz vente il imetro lungo m e un rett sente ll ironferenz. Ini fr quli vlori è ompres l istnz i quest rett l entro ell ironferenz. r s Se il imetro è lungo m, il rggio è lungo l metà, ioè 6 m. L posizione ell rett s può vrire entro le posizioni estreme orrisponenti l pssggio per il entro e per il punto i tngenz: se l rett s pss per il entro l su istnz è ugule 0, se l rett è tngente ll ironferenz l su istnz è ugule l rggio; quini 0 m < 6 m. r = m 9 Qunti metri perorre un ruot on il rggio i 60 m he ompie 000 giri? r Il giro ompleto i un ruot orrispone ll lunghezz ell ironferenz ell ruot: = πr =,4 60 m = 76,8 m 76,8 m 000 = m = 04 m r = 60 m Quini i metri perorsi ll ruot in 000 giri sono 04.. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 5

6 Sezione M ironferenz e erhio 0 L ruot i un motoilett per perorrere 884 m ompie 500 giri. Qunto è lungo il imetro ell ruot? 884 m : 500 =,56 m metri perorsi ll ruot in un giro Un giro i ruot orrispone ll lunghezz ell ironferenz ell ruot: =,56 m = 5,6 m 5 6 r = m = 0 m π =, 4, 0 m = 40 m lunghezz el imetro ell ruot L somm ei rggi i ue ironferenz onentrihe è lung 9 m. Speno he un rggio è il oppio ell ltro, lol l re ell oron irolre elimitt lle ironferenze. r r r r r + r m : = m lunghezz i m = m r m = m r ue ironferenze onentrihe hnno lo stesso entro e rggi isuguli. L prte i pino ompres tr le ue ironferenze si ie oron irolre. riiole i teori r + r = m r = r oron irolre =? oron = π( r r ) = π( ) m = = π( 484 ) m = 6π m etermin il rggio ell mggiore tr ue ironferenze onentrihe, speno he l superfiie ell oron irolre he esse elimitno è i 85π m e he il rggio ell ironferenz minore è lungo 6 m. r r oron irolre = 85π m r = 6 m r =? = πr = (6 π) m = 56π m = (85π + 56π) m = 44π m r 44π = = m = 44 m = m π π In un erhio on il rggio lungo m è stto iniviuto un settore mpio 80. lol l re el settore irolre. 80 Ô = 80 = m settore =? L re el settore irolre e l re el erhio sono grnezze irettmente proporzionli lle rispettive mpiezze. erhio : settore = 60 : α erhio = πr = π m = 9π m 9π m : settore = 60 : 80 9π 80 settore = m = π m 60. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 6

7 Poligoni insritti e irosritti un ironferenz 4 Stilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. Poligoni insritti e irosritti un ironferenz e f Il entro ell ironferenz irosritt un poligono oinie on l intersezione egli ssi ei lti el poligono. L potem i un poligono regolre è l istnz i ogni vertie l entro ell ironferenz insritt. Tutti i trpezi sono insriviili in un ironferenz. Il prllelogrmm in generle non è irosriviile ll ironferenz. In un qurto l igonle oinie on un imetro ell ironferenz irosritt. In un esgono regolre il lto è ongruente l rggio ell ironferenz irosritt. e f Perhé i vertii el poligono insritto in un ironferenz sono tutti equiistnti l entro. L potem è l istnz i ogni lto el poligono l entro ell ironferenz insritt. Inftti un trpezio è insriviile in un ironferenz solo se è isosele. Il prllelogrmm è un quriltero e periò è irosriviile un ironferenz se goe ell proprietà seono l qule l somm ei lti opposti è ugule l semiperimetro: un prllelogrmm he soisf quest proprietà è un romo o un qurto. Perhé l igonle ivie il qurto in ue tringoli rettngoli; l ngolo retto è un ngolo ll ironferenz, quini insiste sull or mssim he è il imetro. Perhé ongiungeno i sei vertii ell esgono on il entro ell ironferenz si ottengono sei tringoli isoseli, ongruenti tr loro e on l ngolo l vertie nel entro ell ironferenz. Tli ngoli, ongruenti, sono mpi 60 isuno perhé l loro somm è un ngolo giro. Un tringolo isosele on l ngolo l vertie mpio 60 è neessrimente equiltero, quini i lti ei sei tringoli sono tutti ongruenti tr loro e periò il lto ell esgono è ongruente l rggio. Risolvi i seguenti prolemi. 5 ue ore i un erhio, vente l re ugule 75π m, sono prllele e situte ll stess prte rispetto l entro. lol l re el trpezio he h per si queste ue ore speno he l or minore è lung 54 m e he l ltr ist l entro m. K erhio 75π = r = = m = 85 m π π K è ltezz e mein el tringolo, quini: K = = 54 m = 77 m K = K = m = 96 m = 6 m K = K = (6 ) m = m ltezz el trpezio Il tringolo è rettngolo in perhé, esseno e prllele, l rett K perpeniolre è perpeniolre nhe ; quini: erhio = 75π m = 54 m = m =? = = 85 m = 7056 m = 84 m = 84 m = 68 m ( + ) K ( ) = = m = 70 m. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 7

8 Sezione M ironferenz e erhio 6 lol l mpiezz egli ngoli  e ˆ el quriltero insritto nell ironferenz, speno he gli ngoli ˆ e Ĉ ienti l lto sono mpi rispettivmente 7 e 98. ˆ = 7 Ĉ = 98  =? ˆ =? Teorem In ogni quriltero insritto in un ironferenz gli ngoli opposti sono supplementri. riiole i teori  + Ĉ = 80  = 80 Ĉ = = 8 ˆ + ˆ = 80 ˆ = 80 ˆ = 80 7 = 6 7 In un quriltero insritto in un ironferenz un ngolo è mpio 8 e un seono ngolo è 5 el primo. lol l mpiezz ei rimnenti ngoli el quriltero. 9 5 ˆ = 8 Ĉ = ˆ 9  =? ˆ =? Ĉ =? 5 Ĉ = Ĉ = 8 = 45 9 sservimo he Ĉnon può essere l ngolo opposto i ˆ, perhé vremmo ˆ + Ĉ =6, e questo è impossiile perhé il quriltero è insritto. Quini, ome imo rppresentto in figur, i ue ngoli evono essere ienti. L ngolo  è supplementre i Ĉ e l ngolo ˆ è supplementre i ˆ perhé il quriltero è insritto in un ironferenz.  = = 5 ˆ = 80 8 = 99 8 lol le mpiezze egli ngoli el quriltero in figur. Il tringolo è isosele perhé = = rggio. Gli ngoli ll se sono ongruenti, periò:  = 50 e Ô = = 80 Il tringolo è isosele perhé = = rggio; l ngolo Ô è mpio 60, quini il tringolo è equiltero e periò ˆ =  = 60. L ngolo Ô è esplementre i (Ô + Ô + Ô), quini: Ô = 60 (Ô + Ô + Ô) = = 60 ( ) = 00 Il tringolo è isosele on vertie Ô = 00, quini: ˆ = Ĉ = = 40 sservno l figur ottenimo:  =  +  = ( ) = 0 ˆ = ˆ + ˆ = ( ) = 00 Ĉ = Ĉ + Ĉ = ( ) = 70 ˆ = ˆ + ˆ = ( ) = lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 8

9 Poligoni insritti e irosritti un ironferenz 9 In un ironferenz i entro onsier ue ore prllele e lunghe rispettivmente 0 m e 78 m; l or ist l entro 5 m e l or 5 m. lol l istnz tr le ue ore e esrivi il quriltero. Il testo non speifi l posizione elle ore rispetto l entro; onsierimo i ue si: PRIM S SEN S K K K = K = 5 m 5 m = 7 m K = K + = 5 m + 5 m = 77 m In entrmi i si il quriltero è un trpezio isosele: il trpezio rettngolo e il trpezio sleno non sono mi insriviili in un ironferenz. 0 In un ironferenz on il rggio lungo 0 m sono trite ue ore ongruenti on un estremo in omune, ognun elle quli è lung 6 m. lol l re el quriltero formto lle ue ore e i ue rggi triti l entro ell ironferenz gli estremi elle ore. K = = r = 0 m = = 6 m =? l entro ell ironferenz trimo le ue istnze e K elle ore e l entro. Tli istnze pssno per i punti mei e K elle ore e. Le ore e sono ongruenti, quini K =. onsierimo il tringolo K, rettngolo in K, e pplihimo il teorem i Pitgor: K = = 6 m = 8 m K = K = 0 8 m = 6 m = 6 m Il quriltero è formto i ue tringoli e equivlenti perhé perhé hnno le si e le ltezze rispettivmente ongruenti. K = = = = K = (6 6) m = 96 m. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 9

10 Sezione M ironferenz e erhio Il perimetro i un trpezio isosele irosritto un ironferenz è lungo 0 m. Speno he l se minore è ell mggiore, lol l lunghezz ei lti oliqui e elle si el trpezio. p = 0 m = = =? =? =? In ogni quriltero irosritto un ironferenz l somm i ue lti opposti è ongruente ll somm egli ltri ue, ioè l semiperimetro. + = + = p + = 0 m : = 60 m + = 0 m : = 60 m Il trpezio è isosele, quini =, m + = 60 m, periò: = = 60 m : = 0 m = + 60 m : 5 = m m = 4 m m = 6 m riiole i teori lol l lunghezz ell ironferenz insritt in un romo on le igonli lunghe 0 m e 40 m. Il rggio è l ltezz reltiv ll ipotenus el tringolo rettngolo : 0 m : = 5 m 40 m : = 0 m pplihimo il teorem i Pitgor l tringolo : = 0 m = 40 m =? = + = m = 65 m = 5 m 5 0 h = = = m = m i i 5 = πr = π = π m = 4π m Un tringolo isosele h l ngolo l vertie mpio 0 e isuno ei lti oliqui lungo 4 m. lol il perimetro el tringolo e l lunghezz el rggio ell ironferenz irosritt ˆ = 0 = = 4 m p =? =? Il tringolo h gli ngoli  = 0, ˆ = 60, Ĥ = 90 e è l metà el tringolo equiltero ; iò segue = = e quini il rggio ell ironferenz irosritt è lungo 4 m. = = 4 m = m 4 = = m = 0,784 m = = ( 0,784) m = 4,568 m p = + + = (4, ) m = 89,568 m. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig 0

11 Poligoni insritti e irosritti un ironferenz 4 Il perimetro i un rettngolo è lungo 48 m e l se è i ell ltezz. lol l re ell oron 5 irolre elimitt lle ue ironferenze venti il entro nel punto i intersezione elle igonli e tngenti rispettivmente i lti minori e i lti mggiori el rettngolo. P R p = 48 m = 5 oron irolre =? + p 48 + = = m = 4 m 4 m : 8 = m m = 9 m m 5 = 5 m r minore = P = = 9 m : = 4,5 m r mggiore = R = = 5 m : = 7,5 m oron irolre = π(7,5 4,5 ) m = π(56,5 0,5) m = 6π m 5 Un esgono regolre insritto in un ironferenz h il perimetro lungo 4 m. lol l lunghezz ell ironferenz. E p = 4 m =? p 4 = = m = 7 m = 6 6 = πr = π = ( π 7) m = 4π m, l = = = m = 5 m,44 S = 5 m : = 7,5 m = πr = πs = ( π 7,5) m = 5π m L esgono regolre insritto in un ironferenz h il lto ugule l rggio. 6 Un qurto irosritto un ironferenz h l igonle lung, m. lol l lunghezz ell ironferenz. S =, m =? Riorimo le formule vlie per il qurto: = l l = riiole i teori riiole i teori. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig

12 Sezione M ironferenz e erhio 7 Un trpezio isosele irosritto un ironferenz h un lto lungo m e un elle si lung 7 m. etermin l lunghezz ell ltr se. In ogni quriltero irosritto un ironferenz l somm i ue lti opposti è ongruente ll somm egli ltri ue, ioè l semiperimetro. riiole i teori = = m = 7 m =? + = + = ( + ) m = 64 m = 64 m = (64 7) m = 7 m 8 Un trpezio isosele è irosritto un ironferenz e le sue si sono lunghe rispettivmente 8 m e 8 m. lol l lunghezz i isun lto oliquo e l lunghezz ell ltezz el trpezio e el rggio ell ironferenz. S R + = + perhè il trpezio è irosritto ll ironferenz, quini: + = (8 + 8) m = 6 m = = 6 m : = m M K = 8 m = 8 m = =? =? R =? In un trpezio isosele le proiezioni ei lti oliqui sull se mggiore sono ongruenti: 8 8 = K = = m = 5 m Il tringolo è rettngolo in, quini pplihimo il teorem i Pitgor: = = 5 m = 44 m = m Il segmento = SM è ugule l imetro ell ironferenz insritt perhé è pri ll istnz tr le ue si prllele he sono entrme tngenti ll ironferenz. SM r = S = M = R = = m = 6 m. lvi - G. Pnzer - 00 ELI - L Spig