Appunti ed esercizi sulle coniche

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1 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O e raggio r è il luogo dei punti P che distano r da O. Se P = (x, y), si ha che la distanza di P da O è P O = (x a) + (y b). La circonferenza C è dunque il luogo dei punti P = (x, y) che soddisfano l equazione (x a) + (y b) = r, oppure, elevando al quadrato: (x a) + (y b) = r Questa è l equazione della circonferenza. Se la si sviluppa otteniamo: Ponendo l equazione diventa x + y ax by + a + b r = 0. α = a, β = b e γ = a + b r (1) x + y + αx + βy + γ = 0. () Quindi tutte le volte che vediamo una equazione di questo tipo sappiamo che potrebbe rappresentare una circonferenza. Il raggio e le coordinate del centro si possono ricavare dalle equazioni (1), ovvero α O = ( α/, β/) e r = 4 + β 4 γ. Attenzione però! La () non sempre rappresenta una circonferenza, perchè può anche rappresentare l insieme vuoto, ovvero potrebbe non avere alcuna soluzione. Oppure potrebbe rappresentare un cerchio di raggio zero, ovvero un solo punto. Per rappresentare una circonferenza deve valere la disuguaglianza α 4 + β 4 γ > 0. altrimenti il raggio sarebbe nullo oppure dato dalla radice di un numero negativo... e questo non è possibile (a meno che non si voglia parlare di cerchi con raggio immaginario...). Nel caso in cui la parte sinistra risultasse nulla, la () è soddisfatta dal solo punto ( α/, β/) che è un cerchio di raggio zero... Equazione canonica del cerchio di raggio r: X + Y = r. In questo caso il centro del cerchio è l origine. Ogni cerchio può essere portato ad avere centro nell origine tramite una traslazione. Oppure, il sistema di riferimento può essere scelto in modo che l origine sia nel centro.

2 LA PARABOLA La parabola Nel piano, siano fissati un punto F e una retta R, tale che F / R. La parabola con fuoco F e direttrice R è il luogo dei punti P la cui distanza da F è pari alla distanza dalla retta R. Quindi, se P è un punto generico e H è il punto di intersezione tra la retta R e la perpendicolare a R passante per P, la parabola è il luogo dei punti P che soddisfano P F = P H (3) Per ricavare l equazione della parabola, poniamoci in un sistema di riferimento cartesiano tale che, per un certo numero d 0, il fuoco F abbia coordinate ( ) 0, d e la direttrice R sia data dall equazione y = d. Nota che d può essere sia positivo che negativo, l importante è che d sia la distanza del fuoco dalla direttrice. Quindi H = ( ) x, d. La (3), elevata al quadrato, diventa Dalla quale ricaviamo Ponendo α = 1 d ( x + y d ) ( = y + d ). y = x d. si ricava l equazione canonica della parabola: Y = αx Nota che se α < 0 (ovvero d < 0) allora la parabola è rivolta verso il basso, mentre è rivolta verso l alto se α > 0 (ovvero d > 0). Notiamo anche che una parabola è sempre simmetrica rispetto alla retta passante per il fuoco e ortogonale alla direttrice (chiamata asse di simmetria della parabola). In questo caso l asse di simmetria è l asse delle Y, ovvero X = 0. Questo lo si vede anche dal fatto che (X, Y ) soddisfa l equazione se e solo se la soddisfa ( X, Y ). Il punto di intersezione tra la parabola e il suo asse di simmetria si chiama vertice della parabola, ed è il punto intermedio tra F e la direttrice. Nel nostro caso il vertice è chiaramente l origine. Nota che se svolgo lo stesso calcolo assumendo che il mio sistema riferimento è scelto in modo che il fuoco F ha coordinate (a, b + d ) e la direttrice ha equazione y = b d, ovvero il vertice ha coordinate (a, b), ottengo l equazione Sviluppandola ottengo una equazione del tipo dove y b = (x a). d y = αx + βx + γ, (4) α = 1 d, β = a d e γ = a + b. () d È quindi chiaro che una equazione del tipo (4), con α 0 rappresenta sempre una parabola, della quale posso ricavarmi le coordinate (a, b) del vertice, del fuoco F = (a, b + d ) e l equazione della direttrice y = b d utilizzando le (). 3 L ellisse Sul piano, presi due punti distinti F e F e un numero fissato a > 0, l ellisse con fuochi F e F è il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze di P da F e F è uguale a a. Quindi l ellisse è il luogo dei punti P che soddisfano P F + P F = a (6)

3 4 L IPERBOLE 3 Notiamo che per la disuguaglianza triangolare, si ha che qualsiasi punto P soddifa P F + P F F F e l uguaglianza è soddisfatta solo dai punti che si trovano sul segmento F F. Quindi se vogliamo che la (6) non dia l insieme vuoto, dobbiamo imporre a F F. (7) Nel caso valga l uguaglianza, si ottiene un ellisse degenere data dal segmento F F. Posto che c = F F, ricaviamo l equazione dell ellisse ponendoci in un sistema di riferimento in cui i fuochi abbiano coordinate F = (c, 0) e F = ( c, 0). In questo caso, se P = (x, y) è un punto generico, la (6) diventa (x c) + y + (x + c) + y = a Svolgiamo i calcoli, in modo da scrivere questa equazione in una forma migliore: (x c) + y = a (x + c) + y. Elevando al quadrato: Sviluppando e semplificando: Elevando ancora al quadrato: Semplificando ancora: (x c) + y = 4a + (x + c) + y 4a (x + c) + y. a + cx = a (x + c) + y a 4 + c x + a cx = a x + a cx + a c + a y (a c )x + a y = a (a c ). Nota che la (7) equivale nel nostro caso a a c, quindi riusciamo a trovare b tale che b = a c. Sostituendo otteniamo l equazione canonica dell ellisse: x a + y = 1. () b Notiamo che se (x, y) soddisfa questa equazione, allora la soddisfano anche i punti ( x, y) e (x, y). Questo significa che l ellisse è simmetrica rispetto agli assi delle x e delle y. Ovvero, una qualsiasi ellisse è simmetrica rispetto alla retta su cui giacciono i due fuochi e rispetto all ortogonale a questa, passante per il punto intermedio tra i due fuochi. Il punto intermedio tra i due fuochi è chiamato centro dell ellisse e la retta su cui giacciono i fuochi è detta asse focale. L ellisse interseca l asse focale in due punti A e A e interseca l ortogonale all asse focale passante per il centro in altri due punti B e B. Nel caso dell ellisse data dalla () questi punti sono A = (a, 0), A = ( a, 0), B = (0, b) e B = (0, b). I punti A, A, B e B si chiamano vertici dell ellisse. I segmenti AA e BB si chiamano rispettivamente asse maggiore e asse minore dell ellisse. Chiaramente AA = a e BB = b. Osserviamo che avendo posto i fuochi sull asse delle x, nella nostra equazione a > b. Tuttavia si può assumere anche che sia a < b. In questo caso la () rappresenta un ellisse il cui asse maggiore, e quindi i fuochi, giacciono sull asse delle y. Nel caso a = b, l equazione è quella del cerchio, ovvero possiamo considerare il cerchio come un ellisse che ha assi della stessa lunghezza. 4 L iperbole Sul piano, presi due punti distinti F e F e un numero fissato a > 0, l iperbole con fuochi F e F è il luogo dei punti P tali che la differenza tra le distanze di P da F e da F è uguale a a o a a. Quindi l iperbole è il luogo dei punti P che soddisfano P F P F = ±a (9)

4 4 L IPERBOLE 4 In questo caso dalla disuguaglianza triangolare P F + F F P F ricaviamo che dobbiamo avere 0 < a < F F (10) per evitare di avere l insieme vuoto o casi degeneri. Posto che c = F F, ricaviamo l equazione dell iperbole ponendoci in un sistema di riferimento in cui i fuochi abbiano coordinate F = (c, 0) e F = ( c, 0). In questo caso, se P = (x, y) è un punto generico, la (6) diventa (x c) + y (x + c) + y = ±a. Svolgiamo i calcoli, in modo da scrivere questa equazione in una forma migliore: (x c) + y = ±a + (x + c) + y. Elevando al quadrato: Sviluppando e semplificando: Elevando ancora al quadrato: Semplificando ancora: (x c) + y = 4a + (x + c) + y ± 4a (x + c) + y. a + cx = ±a (x + c) + y a 4 + c x + a cx = a x + a cx + a c + a y (a c )x + a y = a (a c ). Nota che la (10) equivale nel nostro caso a a < c, quindi riusciamo a trovare b tale che b = c a. Dividendo per a c e sostituendo otteniamo l equazione canonica dell iperbole: x a y = 1. (11) b Notiamo anche in questo caso che se (x, y) soddisfa questa equazione, allora la soddisfano anche i punti ( x, y) e (x, y). Questo significa che l iperbole è simmetrica rispetto agli assi delle x e delle y. Ovvero, una qualsiasi iperbole è simmetrica rispetto alla retta su cui giacciono i due fuochi (asse focale) e rispetto all ortogonale a questa, passante per il punto intermedio tra i due fuochi (centro dell iperbole). L iperbole interseca l asse focale in due punti A e A. Nel caso dell iperbole data dalla (11) il suo centro è l origine e A = (a, 0), A = ( a, 0). I punti A e A si chiamano vertici dell iperbole. E chiaro che l iperbole dell equazione (11) non interseca l asse delle y. Quindi l iperbole è composta di due rami simmetrici, quello a destra dell asse delle y e quello a sinistra. Ora studiamo le intersezioni tra l iperbole e le rette passanti per l origine. Ovvero risolviamo il sistema Si ottiene che { x a y b = 1 y = mx x = a b b a m. Affinchè questa equazione abbia una soluzione reale, ovvero affinchè la retta in questione intersechi l iperbole, occorre che b a m > 0 ovvero che la pendenza m della retta soddisfi b a < m < b a.

5 ESERCIZI Queste sono dunque le pendenze delle rette che intersecano l iperbole. I due punti di intersezione hanno coordinate ( ) ( ) ab b a m, mab ab e b a m b a m, mab b a m Le rette che separano quelle che intersecano l iperbole da quelle che non la intersecano hanno equazione y = b a x e y = b a x Queste rette sono gli asintoti dell iperbole, alle quali l iperbole si avvicina infinitamente senza mai intersecarle. Osserviamo che se poniamo i fuochi sull asse delle y, anzichè delle x, otteniamo l equazione y a x b = 1. Consideriamo ora le iperboli che hanno i due asintoti fra loro ortogonali. Nell equazione canonica, queste sono quelle in cui a = b, quindi con equazione x y = a Questo tipo di iperbole si dice equilatera. In questo caso gli asintoti sono x = y e x = y. Poniamoci ora in un sistema di riferimento ( ortogonale che abbia come assi gli asintoti. La base, ortonormale, del nuovo riferimento è dunque f 1 =, ) (, f =, ). Se indichiamo con (X, Y ) le coordinate rispetto a questo riferimento, il cambiamento di coordinate è dato da { x = X+Y y = X Y Quindi otteniamo che la nuova equazione è XY = a. Questa è l equazione dell iperbole equilatera riferita agli asintoti. Esercizi La circonferenza 1. Scrivere l equazione della circonferenza di centro C = (, ) e raggio r = 1. [x + y + 4x 10y + = 0]. Data la circonferenza x + y 3x 7y 3 = 0, trovare il centro ed il raggio. [ C = 3, 7, r = 1 ] 3. Determinare l equazione della circonferenza passante per i punti: O = (0, 0), A = (, 1) e B = (, ) e calcolarne centro e raggio. Scrivere inoltre l equazione della retta tangente a tale circonferenza nell origine. [ x + y + 1 x 6y = 0, C = 1 4, 3, r = 14, x 1y = 0 ] 4 4. Determinare la retta tangente alla circonferenza x + y x 1 = 0 nel punto P = (1, ). Determinare poi, se esistono, le rette tangenti alla circonferenza e passanti per il punto Q = (3, 0).

6 ESERCIZI 6 [ y =, { x + y + 3 = 0, x + y 3 = 0 } ]. Scrivere l equazione della circonferenza avente centro sulla retta x+y = 0 e passante per i punti A = (, ) e B = (0, ). [ x + y x + y = 0] 6. Scrivere l equazione della circonferenza avente centro sulla retta x y = 0 e passante per i punti A = (1, 0) e B = (0, ). Trovarne centro e raggio e scrivere l equazione della retta tangente alla circonferenza in A. [ x + y 3x 3y + = 0, C = 3, 3, r = 10, x + 3y + 1 = 0 ] 7. Scrivere l equazione della circonferenza tangente alla retta x y + 1 = 0 nel punto T = (1, 0) e passante per A = ( 1, 4). Trovarne centro e ragggio e scrivere l equazione della retta tangente alla circonferenza in A. [ x + y 4y 1 = 0, C = (0, ), r =, x + y = 0 ]. Scrivere l equazione della circonferenza avente centro sulla retta x = 0 e tangente alla retta x+y+3 = 0 nel punto T = (0, 3). Trovarne centro e raggio. [ x + y 4x + y 3 = 0, C = (, 1), r = ] La parabola 1. Scrivere l equazione della parabola di fuoco F = (1, ) e di vertice V = (0, ). [ y 4x 4y + 4 = 0 ]. Scrivere l equazione della parabola avente vertice V = (1, 1) e direttrice d : x y + = 0. Trovare riferimento ed equazione canonica. [ x + y < X = 1 (x + y ) + xy 1x + 4y + 4 = 0, : Y = 1 (x y), Equazione canonica: Y = 4 X, F = (, 0)] 3. Scrivere l equazione della parabola avente fuoco F = (0, ) e direttrice d : x y = 0. Trovare riferimento ed equazione canonici. [ 4x + y < X = 1 ( x + y 1) + 4xy 0y + 0 = 0, : Y = 1 ( x y + ), Equazione canonica: Y = X] 4. Scrivere l equazione della parabola avente vertice V = ( 9 100, 1 100) e tale che la distanza del fuoco dalla direttrice sia. >< [ 4x + y x = 1 (X Y 9 4xy y = 0, 100 ) >: y = 1 (X + Y ), Equazione canonica: Y = X]

7 ESERCIZI 7 L ellisse 1. Trovare l ellisse di centro O = (0, 0), avente AO = 6 e BO =. [ x 36 + y = 1]. Trovare i vertici ed i fuochi dell ellisse x + 16y = 4. [ A = (, 0), A = (, 0), B = (0, 1/), B = (0, 1/), F = ( 1/, 0), F = ( 1/, 0)] 3. Trovare l equazione dell ellisse avente fuochi F = (, 1) e F = (0, 1) e passante per Q = (1, ). [ x + y x 4y + 1 = 0] 4. Trovare i vertici ed i fuochi dell ellisse di equazione x + (y 7) = 3. [ C = (0, 7), A «q «= q 3, 7, A = 3, 7, B = (0, 7 3), B = (0, 7 + q «3), F = 0, 7 + 3, F q «= 0, 7 3 ]. Scrivere l equazione dell ellisse avente due vertici relativi allo stesso asse nei punti A = (0, 0) e A = (6, 0) e passante per il punto P = (1, 1). Trovare riferimento ed equazione canonici e determinare le formule di trasformazione da un riferimento all altro. [ ( X = x 3 Y = y, Equazione canonica: X Y = 1, Equazione rispetto a vecchi assi: x 9 3 x + 9 y = 0] 6. Scrivere l equazione dell ellisse avente fuochi F = (0, 1) e F = (1, 0) e passante per O = (0, 0). Trovare il riferimento canonico e la relativa equazione canonica. [ Equazione ellisse: 3x + 3y < X = 1 (x y) + xy 4x 4y = 0, : Y = 1 (x + y 1), Equazione canonica: X 9 + Y = 1] 7. Scrivere l equazione del luogo di punti del piano tali che le distanze dai punti A = (1, 0) e B = ( 1, 0) abbiano rapporto constante pari a k = 3. Verificare che tale luogo è una circonferenza e determinarne centro e raggio. Esiste qualche valore di k per cui tale luogo non è una circonferenza? L iperbole 1. Determinare centro, assi e asintoti dell iperbole (x )y = 1. [ C = (, 0), Asintoti: x =, y = 0. Assi: y = x e y = x +.]. Determinare il parametro k in modo che l iperbole 3x ky = 1 sia equilatera. [ k = 3] 3. Trovare l iperbole avente per asintoti le rette y = 6x, y = 6x e distanza tra i fuochi uguale a 4. [ 37x 4 37y 144 = 1] 4. Determinare l equazione dell iperbole di asintoti x y = 0 e x+y = 0 e passante per il punto P = (1, 0). [ x y < X = 1 (x y) + 3xy = 0, : Y = 1 (x + y) ]

8 ESERCIZI. Scrivere l equazione dell iperbole di fuochi F = (1, ) e F = (1, 1) e passante per il punto A = (1, 0). Determinare inoltre riferimento ed equazioni canonici. [ x y x + y + 1 = 0, ( X = x 1 Y = y 1, Equazione canonica: X 4Y = 1] 6. Scrivere l equazione dell iperbole equilatera di asintoti x + 3y 1 = 0, 3x y 1 = 0, passante per il punto O = (0, 0). Determinare inoltre riferimento ed equazione canonici. [ 3x 3y < X = 1 (x y) + xy 4x y = 0, : Y = 1 (x + y 1), Equazione canonica: X + Y = 1]