Geometria TERESA GENOVESE LORENZA MANZONE BERTONE GIORGIO RINALDI. S. Lattes & C. Editori SpA - Vietata la vendita e la diffusione

Transcript

1 Geometia TERES GENESE LRENZ MNZNE ERTNE GIRGI RINLI LIR MIST PRGETT S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

2 Geometia S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

3 Geometia TERES GENESE LRENZ MNZNE ERTNE GIRGI RINLI S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

4 Redazione: puntoacapo - Toino Impaginazione: ento Gafico Meidionale - Napoli isegni: Gianfanco Spione Refeenze iconogafiche: chivio Lattes oodinamento pestampa: Gianni usio Gli utoi ingaziano il dott. Ezio ono pe la peziosa collaboazione. I diitti di taduzione,di memoizzazione elettonica,di ipoduzione e di adattamento totale o paziale con qualsiasi mezzo (compesi i micofilm e le copie fotostatiche) sono isevati pe tutti i paesi. Le fotocopie pe uso pesonale del lettoe possono essee effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di peiodico dieto pagamento alla SIE del compenso pevisto dall at. 68, commi 4 e 5, della legge 22 apile 1941 n Le ipoduzioni effettuate pe finalità di caattee pofessionale, economico o commeciale o comunque pe uso diveso da quello pesonale possono essee effettuate a seguito di specifica autoizzazione ilasciata da: IR - coso di Pota Romana,108 - Milano segeteia@aido.og sito web: Pe i casi in cui non è stato possibile ottenee il pemesso di ipoduzione, a causa della difficoltà di intacciae chi potesse dalo, si è notificato all Ufficio della popietà letteaia, atistica e scientifica che l impoto del compenso è a disposizione degli aventi diitto. Le immagini del testo (disegni e/o fotogafie) che appesentano machi o podotti pesenti sul mecato hanno un valoe puamente didattico di esemplificazione. Questo volume è stato ealizzato tenendo conto di quanto stabilito dal.m. n. 547 del 07/12/1999 ( Gazzetta Ufficiale - Seie speciale n. 51 del 02/03/2000) cica le nome avvetenze tecniche pe la compilazione dei libi di testo pe la scuola dell obbligo. Nomi e machi citati sono genealmente depositati o egistati dalle ispettive case poduttici. info@latteseditoi.it Popietà letteaia isevata 2009 S. Lattes &. Editoi Sp - Toino Stampato in Italia - Pinted in Italy pe conto della casa editice da incenzo ona Sp - Toino Pima edizione 2009 istampa anno S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

5 INIE Pesentazione... Geometia unità 12 La ciconfeenza e il cechio iconfeenza e cechio La ciconfeenza e le sue pati iconfeenze e ette nel piano ngoli al cento e angoli alla cicopnfeenza Il cechio e le sue pati Poligoni inscitti in una ciconfeenza Poligoni cicoscitti ad una ciconfeenza Poligoni egolai esecizi test dell unità ipassa sfida le tue capacità laboatoio Infomatica Studiamo la ciconfeenza con abi laboatoio Stoia Eatostene e la misua della ciconfeenza teeste Geometia unità 13 Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio Lunghezza della ciconfeenza Lunghezza di un aco ea di un poligono cicoscitto e di un poligono egolae ea del cechio ea del settoe cicolae ea del segmento cicolae e della coona cicolae esecizi test dell unità ipassa sfida le tue capacità laboatoio Infomatica Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio con abi laboatoio Stoia Il calcolo di π la logica e i giochi Geometia unità 14 Geometia solida: elementi fondamentali ggetti tidimensionali Rette e piani nello spazio ngoli diedi e angoloidi Solidi in geneale Equivalenza e volume dei solidi esecizi test dell unità ipassa sfida le tue capacità laboatoio Qualcosa in più Le assonometie S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione III

6 INIE Geometia unità 15 Poliedi Poliedi egolai Poliedi non egolai: il pisma Piamide Supeficie e volume dei pismi Supeficie della piamide etta Supeficie e volume dei poliedi egolai esecizi test dell unità ipassa sfida le tue capacità laboatoio Qualcosa in più Sezioni piane di un cubo La adice cubica la logica e i giochi Geometia unità 16 Solidi di otazione Il cilindo Il cono La sfea lti solidi di otazione esecizi test dell unità ipassa sfida le tue capacità laboatoio Geogafia ome oientasi sulla Tea e come misuae il tempo Test conclusivo Soluzioni test dell unità sfida le tue capacità la logica e i giochi test conclusivo I S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

7 PRESENTZINE Il libo di testo è uno stumento utilizzato da studenti e da insegnanti come suppoto al cammino scolastico, petanto deve essee icco di stimoli e di offete calibate sulle divese necessità. In questi ultimi anni sta cambiando il modo di insegnae la matematica: non più solo lezioni fontali miate ad acquisie conoscenze ed abilità legate all applicazione meccanica, ma attività che offono la possibilità di costuie competenze mediante poposte in cui la matematica offe stumenti pe affontae situazioni poblematiche eali e pesenti nella vita quotidiana. Un intevento didattico, quindi, che pemetta di tasfeie le conoscenze a situazioni ed ambiti che facciano pate del vissuto dell alunno pe ottenee l auspicato sapee competente. a queste consideazioni è nata l idea di questo nuovo coso di matematica che, pu fondandosi sulle solide basi costuite in un ecente passato, vuole offie nuove poposte ed occasioni: gli Esecizi guida: pe acquisie un metodo di lavoo efficace; la Logica e i Giochi: pe un immagine più attuale del sapee matematico ; il Test conclusivo al temine di ogni volume: pe confemae l acquisizione di competenze. Stuttua del testo Il pecoso didattico è oganizzato pe Unitàche favoiscono, pu ispettando l impianto classico della matematica, il sogee di sapee tansdisciplinae, utilizzabile anche in contesti extascolastici e legato alla pesonalità, agli inteessi e ai bisogni dei singoli studenti in funzione di un piano di studio pesonalizzato pe ogni agazzo (o pe guppi di livello). Il pecoso fomativo, poposto dalle Unità, tova ealizzazione nelle attività ipotizzate nei Laboatoi che sono il luogo fisico, ma sopattutto mentale, dove si impaa facendo, dove il guppo (di classe, di livello ) ispettando gli stili di appendimento di ogni componente, si scambia conoscenze ed abilità e le tasfoma in competenze. nche le attività poposte da la Logica e i Giochi hanno attinenza con la matematica e possono contibuie a miglioae le capacità logiche, a pendee decisioni, a sviluppae la memoia e la apidità di calcolo. La pate teoica popone l appendimento di egole, popietà e pocedimenti attaveso ossevazioni e agionamenti al fine di evitae fomule inutili e non giustificate. Il linguaggio il più possibile semplice ma igooso, il fequente ichiamo a concetti già appesi sono volti ad avviae i agazzi ad un utilizzo del testo in cescente autonomia. I numeosi Esempi e la ubica l lavoo, posta alla fine di ogni paagafo, hanno lo scopo di aiutae gli allievi ad acquisie un metodo di studio e di lavoo e a muovesi con familiaità ta figue, tabelle, gafici e schemi. l temine di ogni unità vi è una nutita schiea di Esecizi (ben gaduati, dall esecizio pazialmente svolto a quello complesso) divisi pe paagafi ed aticolati in Sapee e Sape fae. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

8 PRESENTZINE Gli esecizi del Sapee sono finalizzati ad acquisie la conoscenza del linguaggio specifico e la compensione dei concetti. Gli esecizi del Sape fae hanno lo scopo di consolidae l appendimento e sono suppotati da numeosi Esecizi guida, già svolti, ed alti pazialmente svolti pe favoie l acquisizione di un metodo di studio e pe abituae all odine a alla pecisione nell esecuzione del popio lavoo. l temine degli esecizi la ubica Test dell unitàpopone una pesonale veifica sommativa dei contenuti dell Unità in questione e, a seconda dei isultati ottenuti, consiglia attività di ecupeo (la ubica Ripassa), o attività di potenziamento e appofondimento (la ubica Sfida le tue capacità). Gli esecizi Ripassa sono guidati, gaduati, accompagnati da ichiami teoici, pesentati con un linguaggio semplice e piano allo scopo di aiutae l alunno a ecupeae le conoscenze e le abilità fondamentali (obiettivi minimi) dell Unità. Gli esecizi Sfida le tue capacità non solo pemettono, affontando anche contesti diffeenti da quelli incontati sino a quel momento, di applicae le conoscenze e le abilità acquisite, ma stuzzicano a mettene in gioco di maggioi e divese, sino ad aivae all eccellenza. gni Unità si chiude con almeno un Laboatoio che contibuisce a fonie mateiale pe l attività di diffeenziazione dei pecosi e pe l avvio alla tasfomazione delle conoscenze ed abilità di ciascuno in competenze. l temine di ogni Laboatoio alcuni esecizi gaduati da svolgee da soli o in guppo favoiscono, anche attaveso il confonto delle popie idee con quelle dei compagni, una maggioe consapevolezza nell utilizzo delle conoscenze pesonali. lcune attività di laboatoio sono dedicate all Infomatica, attaveso l utilizzo di alcuni softwae come abì géomète II e Micosoft Excel: il pimo è un pogamma gafico dedicato alla didattica della geometia; il secondo è un foglio elettonico utilizzato come stumento di calcolo, ma sopattutto come stumento di elaboazione di dati e di costuzione di gafici. Gli esecizi e le attività poposte nella ubica La logica e i Giochi hanno lo scopo di diffondee un immagine della matematica meno fedda e distante di quella abituale. ttaveso poblemi, giochi e poposte si auspica un appoto più dietto e modeno ta i agazzi e la matematica; pe isolveli non occoe avee conoscenze matematiche paticolamente appofondite, ma un pizzico di fantasia, un po di intuizione e la voglia di soffemasi a pensae. Il lavoo è impostato come una sota di pesonal taine : aiuta ad affontae giochi e poblemi e suggeisce un pecoso di soluzione. In elazione con le tematiche dell indagine SE-PIS si vogliono stimolae i agazzi ad utilizzae le conoscenze e le competenze matematiche acquisite a scuola pe oientasi nella patica quotidiana e a questo scopo viene auspicato anche l utilizzo dei poblemi conceti, molto numeosi nel testo, di gestione del sapee matematico al di là dell abilità di calcolo. l temine di ogni volume un Test conclusivo che, pu basato sulla specificità degli agomenti tattati nelle vaie unità, mosta apetue a poblemi conceti e a situazioni eali. Questo test, iceca di equilibio ta gli aspetti teoici e applicativi della matematica, icalca la stategia della quata pova dell esame di licenza media ed è quindi un modo pe abituae i agazzi a tale tipo di quesiti olte che una veifica delle competenze acquisite. Un ingaziamento anticipato va a tutti coloo che, con suggeimenti e ossevazioni, voanno contibuie al miglioamento dell opea. gli utoi I S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

9 Geometia Geometia unità La ciconfeenza e il cechio Lunghezza della ciconfeenza e aea del cechio 14 Geometia solida: elementi fondamentali 15 Poliedi 16 Solidi di otazione S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

10 GEMETRI La ciconfeenza e il cechio PREREQUISITI onoscee le popietà dei tiangoli, dei quadilatei e le fomule elative al calcolo della loo aea. Essee in gado di opeae con le misue angolai. Sape applicae il teoema di Pitagoa. NSENZE E ILITÀ Essee in gado di definie e appesentae la ciconfeenza, il cechio e le loo pati. Riconoscee le posizioni ecipoche di una etta e una ciconfeenza e di due ciconfeenze. ppendee i concetti di angolo al cento e angolo alla ciconfeenza e conoscee le loo popietà. cquisie i concetti di poligono inscitto, di poligono cicoscitto e di poligono egolae. ompendee le elazioni esistenti ta il aggio di una ciconfeenza e gli elementi dei poligoni inscittibili, cicoscittibili e egolai. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

11 unità 12 M P P E L L U N I T À NGLI L ENTR NGLI LL IRNERENZ ispetto a una etta ispetto a una ciconfeenza assume paticolai posizioni si definiscono in essa L IRNERENZ in essa possiamo individuae ha come elementi RGGI IMETR R R PLIGNI INSRITTI PLIGNI IRSRITTI hanno tutti i vetici sulla ciconfeenza hanno tutti i lati tangenti alla ciconfeenza PLIGNI REGLRI sono sia inscivibili sia cicoscivibili SETTRE IRLRE IL ERHI ha come pati SEGMENT IRLRE RN IRLRE S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

12 GEMETRI 1 IRNERENZ E ERHI Utilizzando un compasso è possibile tacciae una linea cuva chiusa detta ciconfeenza che si indica con. In geneale: definizione uante il movimento, la punta scivente del compasso mantiene inalteata la sua distanza dalla punta fissa che sta in. Il punto è detto cento di. La distanza di da un punto qualsiasi di è detta aggio della ciconfeenza e si indica con. La ciconfeenza è una linea cuva chiusa fomata dai punti del piano equidistanti da un punto detto cento. Pe un punto del piano possiamo tacciae infinite ciconfeenze: tutte quelle che hanno il cento situato su ognuna delle infinite ette passanti pe e aggio,,,, ecc. b a Pe due punti del piano possiamo tacciae infinite ciconfeenze: tutte quelle che hanno il cento situato sulla etta s, asse del segmento. I punti dell asse di un segmento sono equidistanti dagli estemi: s 4 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

13 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio onsideiamo te punti non allineati,, ; congiungiamo con e con. Tacciamo gli assi dei segmenti e : essi si incontano in un punto equidistante da, e. Quindi il punto è il cento della ciconfeenza passante pe i te punti. In geneale: Pe un punto del piano passano infinite ciconfeenze. Pe due punti del piano passano infinite ciconfeenze. Pe te punti del piano non allineati passa una ed una sola ciconfeenza. Un punto qualsiasi del piano su cui giace, può tovasi in una delle te posizioni seguenti: esteno alla ciconfeenza, se la sua distanza da è maggioe del aggio: Il punto è esteno a. appatenee alla ciconfeenza se la sua distanza da è uguale al aggio: Il punto appatiene a. inteno alla ciconfeenza se la sua distanza da è minoe del aggio: < Il punto è inteno a. Quindi una ciconfeenza divide il piano su cui giace in due pati: una costituita dai punti esteni alla ciconfeenza, l alta, costituita dai punti appatenenti o inteni alla ciconfeenza, detta cechio: In geneale: definizione Un cechio è la pate di piano fomata da una ciconfeenza e da tutti i punti inteni ad essa. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 5

14 GEMETRI al lavoo eo o falso? a) La ciconfeenza è una linea etta. b) La distanza di un punto della ciconfeenza dal suo cento si chiama aggio. c) ue aggi di una ciconfeenza possono avee lunghezza divesa d) Tutti i punti del piano che hanno dal cento di una ciconfeenza distanza minoe del aggio appatengono alla ciconfeenza. onsidea la figua e sostituisci ai puntini i temini appopiati: L IRNERENZ E LE SUE PRTI ediamo oa quali sono le pati fondamentali di una ciconfeenza. gni segmento che, come, ha pe estemi due punti che stanno sulla ciconfeenza è detto coda. gni coda che passa pe il cento, come, è detta diameto; si indica con d e la sua lunghezza è il doppio di quella del aggio. d d = 2 M ue punti qualsiasi e che si tovano su una ciconfeenza la dividono in due pati ciascuna delle quali è detta aco di ciconfeenza. I punti e sono gli estemi dell aco che si indica con. Si dice che tende o sottende la coda e che la coda è tesa o sottesa dall aco. Pe evitae equivoci, poiché gli achi di estemi e sono due, si usa indicae l aco maggioe inseendo un alto punto nell aco che si vuole consideae: M è l aco maggioe, segnato in osso, e è l aco minoe, segnato in blu. 6 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

15 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio Se i punti e sono gli estemi di un diameto ogni aco pende il nome di semiciconfeenza. d nalizziamo più in dettaglio le popietà di achi e code. attenzione i tiangoli ettangoli H e H si può applicae il teoema di Pitagoa. onsideiamo la ciconfeenza ed una sua coda. a tacciamo la pependicolae ad. Possiamo veificae con il ighello che H H. Il tiangolo è isoscele avendo. Poiché l altezza H elativa alla base è anche mediana del tiangolo il punto H è il punto medio della base. In geneale: egola H H = H La pependicolae condotta dal cento di una ciconfeenza ad una coda la divide in due segmenti conguenti. icevesa: In una ciconfeenza la pependicolae ad una coda nel suo punto medio passa pe il cento. Il segmento H è detto distanza della coda dal cento. ssevando il disegno possiamo veificae, utilizzando il metodo del confonto con la cata taspaente, che gli achi e sono conguenti come lo sono anche le code sottese e. H In geneale: egola In una ciconfeenza achi conguenti sottendono code conguenti e vicevesa, code conguenti sono sottese da achi conguenti. Utilizzando ancoa la cata taspaente ed il metodo del confonto possiamo veificae che le pependicolai H ed K condotte dal cento ispettivamente alle code e sono conguenti e petanto: H K K S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 7

16 GEMETRI In geneale: egola Se due code di una ciconfeenza sono conguenti, anche le loo distanze dal cento sono conguenti. al lavoo eo o falso? a) La coda è una etta che passa pe due punti di una ciconfeenza. b) Una coda che passa pe il cento di una ciconfeenza si chiama diameto. c) Tutti i diameti di una ciconfeenza sono conguenti. d) Tutte le code di una ciconfeenza sono conguenti. Sostituisci ai puntini i temini appopiati: IRNERENZE E RETTE NEL PIN Una ciconfeenza ed una etta appatenenti ad uno stesso piano possono avee nessuno, uno o due punti in comune. onsideiamo i te casi: La etta s non ha alcun punto in comune con La etta s è estena alla ciconfeenza. La distanza H ta s e il cento della ciconfeenza è maggioe del aggio: s H H > 8 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

17 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio H s La etta s ha un solo punto in comune con, il punto H La etta s è tangente alla ciconfeenza. Il punto H è detto punto di tangenza. La distanza H fa s e il cento della ciconfeenza è uguale al aggio. Il aggio è quindi pependicolae alla etta tangente nel punto di tangenza H. H = H s La etta s ha due punti in comune con, i punti e La etta s è secante la ciconfeenza. La distanza H fa s e il cento della ciconfeenza è minoe del aggio. H < N onsideiamo oa una ciconfeenza ed un punto P esteno ad essa. P a P conduciamo le tangenti a ; congiungiamo con P e con i punti di tangenza M ed N: i segmenti PM e PN sono detti segmenti di tangenza. PM = PN M attenzione i tiangoli ettangoli NP e MP si può applicae il teoema di Pitagoa. Se icalchiamo su cata taspaente il tiangolo ettangolo MP osseviamo che è esattamente sovapponibile al tiangolo ettangolo NP. Quindi NP MP e alloa: PM PN In geneale: egola Tacciando da un punto P, esteno ad una ciconfeenza, le due tangenti alla ciconfeenza stessa si ottengono due segmenti di tangenza conguenti. ediamo oa quali posizioni possono assumee due ciconfeenze, di cento e aggio e di cento e aggio, che appatengono allo stesso piano. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 9

18 GEMETRI Le ciconfeenze e sono estene una all alta: non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loo centi è maggioe della somma dei loo aggi. > + Le ciconfeenze e sono tangenti estenamente: hanno un punto in comune e tutti i punti di una sono esteni all alta. La distanza fa i loo centi è uguale alla somma dei loo aggi. = + Le ciconfeenze e sono secanti: hanno due punti e in comune. La distanza fa i loo centi è minoe della somma dei loo aggi e maggioe della loo diffeenza. < < + Le ciconfeenze e sono tangenti intenamente: hanno un punto in comune e tutti i punti di una sono inteni all alta. La distanza fa i loo centi è uguale alla diffeenza fa i loo aggi. = La ciconfeenza è intena a : non hanno alcun punto in comune e tutti i punti di una sono inteni all alta. La distanza fa i loo centi è minoe della diffeenza fa i loo aggi. < Le ciconfeenze e sono concentiche: il cento coincide con. 10 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

19 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio al lavoo eo o falso? a) Una etta secante ad una ciconfeenza ha un solo punto in comune con essa. b) Una etta tangente ad una ciconfeenza ha un punto in comune con essa. c) Una etta avente distanza dal cento di una ciconfeenza maggioe del aggio è estena alla ciconfeenza. d) Una etta avente due punti in comune con una ciconfeenza ha una distanza dal cento uguale al aggio. Indica con una cocetta la isposta coetta: a) ue ciconfeenze estene una all alta hanno in comune: un punto due punti nessun punto b) ue ciconfeenze tangenti estenamente hanno in comune: un punto due punti nessun punto c) ue ciconfeenze tangenti intenamente hanno in comune: un punto due punti infiniti punti d) ue ciconfeenze secanti hanno in comune: un punto due punti un aco 4 NGLI L ENTR E NGLI LL IRNERENZ Un angolo che ha il vetice nel cento della ciconfeenza e i lati che tagliano la ciconfeenza in due punti e si dice angolo al cento. M I punti e individuano l aco ; si dice che insiste sull aco. nche l angolo concavo è un angolo al cento ed insiste sull aco M. Puoi facilmente veificae che se due achi e sono conguenti, anche gli angoli al cento e lo sono. icevesa, angoli al cento conguenti insistono su achi conguenti. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 11

20 GEMETRI Un angolo che ha il vetice sulla ciconfeenza ed i cui lati tagliano la ciconfeenza nei punti e si dice angolo alla ciconfeenza. I punti e individuano l aco ; si dice che insiste sull aco. Un paticolae angolo alla ciconfeenza si foma consideando un lato secante e l alto tangente alla ciconfeenza. L angolo alla ciconfeenza e l angolo al cento, che insistono sullo stesso aco, sono coispondenti. a essi esiste una impotante elazione che puoi veificae usando il goniometo (o la cata taspaente): 1 _ 2 In geneale egola gni angolo alla ciconfeenza è conguente a metà del coispondente angolo al cento. onsideiamo oa una ciconfeenza ed un suo aco ; come puoi facilmente immaginae esistono infiniti angoli alla ciconfeenza che insistono su tale aco. Questi angoli alla ciconfeenza coispondono tutti a metà dell angolo al cento e quindi sono tutti conguenti. In geneale egola Tutti gli angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso aco sono conguenti. 12 Possiamo anche affemae che: egola ngoli alla ciconfeenza che insistono su achi conguenti sono conguenti. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

21 attenzione l tiangolo ettangolo si può applicae il teoema di Pitagoa. Se l angolo insiste su una semiciconfeenza, il coispondente angolo al cento è un angolo piatto: 180 Quindi In geneale: egola 1 2 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio gni angolo inscitto in una semiciconfeenza è un angolo etto. Puoi ossevae che il tiangolo, ettangolo in, ha la mediana elativa all ipotenusa uguale al aggio e l ipotenusa uguale al diameto. Quindi: 1 2 In geneale: egola In ogni tiangolo ettangolo la mediana elativa all ipotenusa è conguente a metà dell ipotenusa stessa. al lavoo eo o falso? a) Un angolo al cento ha il vetice nel cento di una ciconfeenza. b) Un angolo alla ciconfeenza ha il vetice in un punto inteno alla ciconfeenza. c) Un angolo al cento e un angolo alla ciconfeenza sono coispondenti se insistono sullo stesso aco. d) gni angolo al cento è conguente a metà del coispondente angolo alla ciconfeenza. Riconosci gli angoli alla ciconfeenza e quelli al cento: a) b) c) d) e) f ) S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 13

22 GEMETRI 5 IL ERHI E LE SUE PRTI ediamo oa quali sono le pati fondamentali di un cechio. Una coda divide un cechio in due pati ciascuna delle quali si chiama segmento cicolae. Un diameto divide un cechio in due pati conguenti ciascuna delle quali è detta semicechio. iascuna delle due pati di un cechio delimitata da due aggi e è detta settoe cicolae. L ampiezza dell angolo al cento è l ampiezza del settoe cicolae. La pate di piano limitata da due ciconfeenze concentiche è detta coona cicolae. al lavoo Specifica come è denominata ognuna delle pati coloate: PLIGNI INSRITTI IN UN IRNERENZ isegniamo una ciconfeenza di cento e su di essa segniamo i punti,,,, E, ed uniamoli. E 14 La spezzata E è il contono di un poligono convesso che è inscitto nella ciconfeenza. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

23 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio attenzione Il poligono non è inscitto. In geneale: definizione Un poligono si dice inscitto in una ciconfeenza se tutti i suoi vetici sono punti della ciconfeenza. La ciconfeenza è detta cicoscitta al poligono E. I vetici del poligono inscitto sono equidistanti dal cento: E Il aggio della ciconfeenza cicoscitta è detto aggio del poligono. ome abbiamo visto in pecedenza, il cento di si tova nel punto di inconto degli assi delle code,,, E, E ed è definito cicocento. Il cicocento è equidistante dai vetici: E In geneale: egola Un poligono si può inscivee in una ciconfeenza se gli assi dei suoi lati si incontano in uno stesso punto, detto cicocento, coincidente con il cento della ciconfeenza. E E eifichiamo oa se i tiangoli ed i quadilatei sono inscivibili. ome sai, in ogni tiangolo gli assi si incontano in un punto, il cicocento, e quindi ogni tiangolo è inscivibile in una ciconfeenza. In geneale: gni tiangolo è un poligono inscivibile. Invece un quadilateo non è sempe inscivibile in una ciconfeenza. d esempio, il ombo non è inscivibile peché gli assi non si incontano tutti in uno stesso punto. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 15

24 GEMETRI Pe stabilie se un quadilateo è inscivibile in una ciconfeenza, consideiamo il quadilateo inscitto, congiungiamo i vetici opposti e con il cento della ciconfeenza. ome puoi notae dalla figua: quindi: 2 α 2 β 360 α β 180 In geneale: egola Un quadilateo è inscivibile in una ciconfeenza se gli angoli opposti sono supplementai, cioè la loo somma è un angolo piatto. Quindi, i ettangoli, i quadati e i tapezi isosceli sono sempe inscivibili. 2 2 al lavoo eo o falso? a) Un poligono è inscitto in una ciconfeenza se la maggio pate dei suoi vetici appatiene alla ciconfeenza. b) Se un poligono è inscitto in una ciconfeenza, la ciconfeenza è cicoscitta al poligono. c) Tutti i poligoni si possono inscivee in una ciconfeenza. d) Un poligono si può inscivee in una ciconfeenza se gli assi dei suoi lati si incontano in uno stesso punto. Riconosci i poligoni inscitti nella ciconfeenza: a) b) c) E E d) e) f ) 16 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

25 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio 7 PLIGNI IRSRITTI UN IRNERENZ isegniamo una ciconfeenza di cento e su di essa segniamo i punti,,,, E. Pe ognuno di questi punti tacciamo la tangente alla ciconfeenza. Le tangenti si intesecano nei punti,,,, E, che sono i vetici del poligono E che è cicoscitto alla ciconfeenza. In geneale: definizione Un poligono si dice cicoscitto ad una ciconfeenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla ciconfeenza. E E attenzione Il poligono non è cicoscitto. La ciconfeenza è detta inscitta nel poligono E. Il segmento, pependicolae al lato E, è detto apotema del poligono E. nalogamente, i segmenti E pendono il nome di apotema. onsideiamo ancoa il poligono E cicoscitto alla ciconfeenza e tacciamo le bisettici degli an- E E goli; esse sono equidistanti dai lati ed il loo punto di inconto, incento, è equidistante da tutti i lati e quindi coincide con il cento della ciconfeenza inscitta nel poligono: E In geneale: egola Un poligono si può cicoscivee ad una ciconfeenza se le bisettici dei suoi angoli si incontano tutte in un stesso punto, detto incento, coincidente con il cento della ciconfeenza. In ogni tiangolo le bisettici si incontano in un punto, l incento, e quindi ogni tiangolo è cicoscivibile ad una ciconfeenza. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 17

26 GEMETRI In geneale: gni tiangolo è un poligono cicoscivibile. Invece non sempe un quadilateo è cicoscivibile ad una ciconfeenza. Il ettangolo non è cicoscivibile peché le bisettici degli angoli non si incontano tutte in uno stesso punto. Pe stabilie se un quadilateo è cicoscivibile consideiamo il quadilateo cicoscitto ad una ciconfeenza. ome icodeai, i segmenti di tangenza tacciati da uno stesso punto sono conguenti: ; ; ; Possiamo scompoe la somma di due lati opposti aiutandoci con i coloi: Quindi: In geneale: egola Un quadilateo è cicoscivibile ad una ciconfeenza quando la somma di due lati opposti è conguente alla somma degli alti due. Quindi il quadato ed il ombo sono sempe cicoscivibili. al lavoo eo o falso? a) Un poligono è cicoscitto ad una ciconfeenza se tutti i suoi lati sono secanti alla ciconfeenza. b) Se un poligono è cicoscitto ad una ciconfeenza, la ciconfeenza è inscitta nel poligono. c) Qualsiasi poligono si può cicoscivee ad una ciconfeenza. d) Un poligono si può cicoscivee ad una ciconfeenza se le bisettici dei suoi angoli si incontano in uno stesso punto. > 18 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

27 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio > al lavoo Riconosci i poligoni cicoscitti alla ciconfeenza: a) b) c) d) 8 PLIGNI REGLRI Un poligono che ha tutti gli angoli conguenti (equiangolo) e tutti i lati conguenti (equilateo) si dice poligono egolae. Se dividiamo una ciconfeenza in te o più pati conguenti, il poligono che otteniamo congiungendo i punti di suddivisione è un poligono egolae inscitto in una ciconfeenza. Poviamo ad eseguie 5 suddivisioni di una ciconfeenza pendendo un goniometo e dividendo l angolo gio al cento in 5 angoli di 72 ; otteniamo il pentagono egolae E infatti: è equilateo peché i lati sono code conguenti, in quanto sottese da achi conguenti; E S è equiangolo peché i suoi angoli sono angoli alla ciconfeenza conguenti in quanto insistono su achi conguenti. T R Poiché code conguenti di una stessa ciconfeenza hanno distanze conguenti da, si ottiene: H K H K R S T Questi segmenti sono i aggi della ciconfeenza di cento inscitta nel pentagono egolae E. In geneale: definizione gni poligono egolae è inscivibile e cicoscivibile a due ciconfeenze concentiche. Il aggio di un poligono egolae è il aggio della ciconfeenza cicoscitta: è quindi la distanza di da un vetice e si indica con. S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 19

28 GEMETRI L apotema di un poligono egolae è il aggio della ciconfeenza inscitta: è quindi la distanza del cento da un lato e si indica con a. ome puoi ossevae in figua, un poligono egolae può essee suddiviso in tanti tiangoli isosceli conguenti quanti sono i suoi lati. Questi tiangoli hanno pe base il lato del poligono, pe lato obliquo il aggio del poligono e pe altezza l apotema del poligono. onsideiamo oa alcuni casi di poligoni egolai pe i quali esiste una paticolae elazione ta le misue del lato, del aggio e dell apotema. Quadato ato il quadato, inscitto in una ciconfeenza, applichiamo il teoema di Pitagoa al tiangolo ettangolo dove: l e Quindi: l 2 2 da cui Puoi inolte notae che: 1 1 a l e d 2 2 In geneale: egola La misua del lato di un quadato inscitto in una ciconfeenza si calcola moltiplicando la misua del aggio pe. 2 Esagono egolae Un esagono egolae può essee suddiviso in sei tiangoli equilatei pe cui: E a a E l ome già sai, quindi: In geneale: egola l h 3 2 da cui 60 a La misua del lato di un esagono inscitto in una ciconfeenza è uguale alla misua del aggio. l 20 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

29 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio Tiangolo equilateo ato il tiangolo equilateo, inscitto in una ciconfeenza, tacciamo il diameto e consideiamo il tiangolo, etto in peché inscitto in una semiciconfeenza. ome puoi notae dalla figua,. pplichiamo il teoema di Pitagoa al tiangolo ettangolo pe deteminae il cateto l: 30 a H 60 l l ( 2) quindi: da cui 3 icoda Il baicento divide la mediana in due pati una doppia dell alta. In geneale: egola La misua del lato di un tiangolo equilateo inscitto in una ciconfeenza si ottiene moltiplicando la misua del aggio pe. 3 ome icodeai, nel tiangolo equilateo altezza, mediana, bisettice e asse coincidono. Il loo punto di inconto può essee consideato il baicento della figua, pe cui 2 H quindi: 2a e a 1 2 l a al lavoo eo o falso? a) Un poligono equiangolo è sempe egolae. b) Un poligono egolae è sia equiangolo che equilateo. c) Un poligono egolae è sempe inscivibile in una ciconfeenza. d) La ciconfeenza inscitta e quella cicoscitta ad un poligono egolae hanno centi divesi. onsidea il pentagono egolae della figua e completa: a) Il cento del poligono è il punto... b) H è... del poligono. c) Il aggio del poligono è... E H S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 21

30 GEMETRI e s e c i z i 1 IRNERENZ E ERHI sapee 1 Rispondi: a) La ciconfeenza è una linea chiusa? b) Quale caatteistica comune hanno i punti di una ciconfeenza? c) ome viene chiamata la distanza di un punto della ciconfeenza dal cento della ciconfeenza stessa? d) ome viene indicata una ciconfeenza? 2 ompleta: a) Un punto del piano è esteno ad una ciconfeenza se la sua distanza dal cento è del aggio. b) Un punto del piano... ad una ciconfeenza se la sua distanza dal cento è uguale al aggio. c) Un punto del piano è inteno ad una ciconfeenza se la sua distanza dal cento è del aggio. 3 Rispondi: a) Quanti aggi è possibile tacciae in una ciconfeenza? b) Sono ta loo conguenti? c) ome sono due ciconfeenze aventi i aggi conguenti? d) Quante ciconfeenze passano ispettivamente pe un punto, due punti e te punti non allineati? 4 onsidea la figua e completa la tabella inseendo una cocetta nella colonna oppotuna: punto appatiene alla ciconfeenza non appatiene alla ciconfeenza 5 Rispondi: a) In quante pati una ciconfeenza divide un piano? b) Quale di queste pati viene chiamata cechio? c) I punti della ciconfeenza appatengono anche al cechio? d) Tutti i punti di un cechio appatengono alla ciconfeenza? 22 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione

31 Unità 12 La ciconfeenza e il cechio sape fae Taccia una etta t e su questa segna un punto. isegna le ciconfeenze che passano pe, hanno il cento sulla etta t ed il aggio lungo 3 cm. Quante sono? ato un segmento lungo 6 cm, disegna la ciconfeenza passante pe i punti e ed avente il aggio lungo 3 cm. isegna più ciconfeenze passanti tutte pe uno stesso punto ed aventi tutte il aggio lungo 3 cm. ove si tovano i loo centi? 9 10 Segna in un piano te punti,, non allineati. Quante ciconfeenze passano pe il punto? Quante pe i punti e? Quante pe i punti, e? isegna una ciconfeenza avente il aggio di 6 cm e segna i punti,, che distano dal cento ispettivamente 4 cm, 6 cm e 8 cm. Qual è la posizione di ciascuno di essi ispetto alla ciconfeenza? isegna una ciconfeenza avente il cento in un punto e aggio lungo 4 cm. Segna sul piano due punti P e Q tali che le loo distanze da siano ispettivamente 3,5 cm e 5 cm. I due punti appatengono alla ciconfeenza? i quanto dovebbeo essee aumentati o diminuiti? opo ave disegnato una ciconfeenza di cento e aggio lungo 2 cm, ispondi: a) È possibile individuae un cechio nella figua? b) Tutti i punti distanti 2 cm dal cento appatengono al cechio? c) E quelli distanti 1,5 cm o 1 cm? isegna una ciconfeenza avente il aggio di 3 cm e segna i punti,,, che distano dal cento ispettivamente 4 cm, 3 cm, 2,5 cm e 2 cm. Quali di questi punti appatengono al cechio delimitato dalla ciconfeenza disegnata? Ta di essi c è qualche punto che appatiene anche alla ciconfeenza? Se sì, quale? 2 L IRNERENZ E LE SUE PRTI sapee 14 Rispondi: a) ome si definisce una coda? c) Il aggio è una coda? b) Quando una coda è detta diameto? d) Il diameto è il doppio del aggio? 15 on ifeimento alla figua completa: M a) I punti e dividono la ciconfeenza in... pati. b) iascuna pate pende il nome di... c) L aco minoe si indica con..., mente con M si indica... d) L aco sottende... e) Se la coda fosse un diameto, l aco coispondente saebbe una... S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione 23

32 GEMETRI e s e c i z i 16 on ifeimento alla figua ispondi: H a) Il segmento H è la distanza della coda dal cento della ciconfeenza? b) he tipo di tiangolo è? Peché? c) Il segmento H è altezza e mediana elativa al lato? d) ome viene divisa la coda dal segmento H? 17 ompleta: a) La pependicolae ad una coda nel suo punto medio passa... della ciconfeenza. b) chi conguenti di una ciconfeenza sottendono code... c) Se due code di una ciconfeenza sono conguenti, anche le loo distanze dal cento sono... d) La distanza di una coda dal cento di una ciconfeenza è... del aggio. sape fae 18 onsidea la figua, metti in odine di lunghezza cescente le te code disegnate e poi ispondi:... E a) Quale coda ha lunghezza maggioe? b) ome si chiama questa coda? isegna una ciconfeenza con il aggio 4 cm e taccia una coda distante 2 cm dal cento e una coda distante 3 cm dal cento. Quale delle due code ha lunghezza maggioe? isegna una ciconfeenza con il aggio lungo 3 cm e due code e aventi entambi distanza dal cento uguale a 2 cm. ome sono le due code? ome sono gli achi che sottendono le due code? 21 isegna una ciconfeenza e due code e paallele e disuguali. Taccia inolte le code e e veifica che sono conguenti. he tipo di quadilateo è? isegna una ciconfeenza ed un suo aggio. Pe il punto medio M di taccia la coda ad esso pependicolae. he tipo di quadilateo è? isegna due code non paallele e di una ciconfeenza. onduci le pependicolai p e q ad esse nei loo punti medi. ove si tova il punto d intesezione di tali pependicolai? In una ciconfeenza disegna due code paallele e conguenti. Sapendo che la distanza di una di esse dal cento della ciconfeenza misua 3,5 cm, qual è la distanza ta le due code? In una ciconfeenza di cento con il aggio lungo 5 cm, considea una coda di 7 cm. Qual è il peimeto del tiangolo? 24 S. Lattes &. Editoi Sp - ietata la vendita e la diffusione