i sistemi di rappresentazione

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1 i sistemi di rappresentazione

2 Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche Metodi di disegno di forme geometriche semplici Di seguito sono riportate alcune procedure per la costruzione di alcune semplici forme geometriche spesso utili nel disegno architettonico sia di rilievo che progettuale. Pentagono regolare Sia AB il lato dato. Da B si traccia la perpendicolare al lato AB; con centro in B si traccia un arco di raggio AB intersecando la perpendicolare nel punto C; trovato il punto medio di AB, F si traccia la perpendicolare al lato da questo punto; con centro in F e arco FC si trova il punto D sul prolungamento del lato AB; con centro in A e arco AD si interseca il primo arco nel punto E. Il segmento BE è il secondo lato del pentagono. Con centro in A e poi in B e arco AE si trova sulla perpendicolare in F il punto H; EH è il terzo lato del pentagono; di conseguenza si trova il punto G e si conclude il poligono. Nota: l angolo del pentagono è uguale a 6 / 5 di un angolo retto, ovvero = 108 Esagono regolare Sia AB il lato dato. Con centro in A e poi in B e raggio AB si individua il punto O centro della circonferenza in cui l esagono è inscritto, con raggio AB e centro nei vertici via via trovati si completa la figura. Nota: l angolo dell esagono è uguale a due angoli di triangolo equilatero, ovvero 120 Costruzione di un poligono di N lati Sia AB il lato dato dal quale si vuole costruire un poligono regolare per esempio di 7, 8, 9 lati. Tracciata la mediana perpendicolare di AB, si fa centro in A e poi in B con raggio AB e si individua il punto C, si divide l arco CB in 6 parti uguali. Facendo centro in C e con raggio C1, C2, C3, C4, C5 e C6 si individuano i punti 1', 2', 3', 4', 5', e 6' sull asse della mediana. Questi ultimi punti sono i centri delle circonferenze di raggio 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A e 6 A, in cui, rispettivamente è inscritto un poligono regolare di 7, 8, 9, ecc.. lati di lunghezza AB. Divisione di una circonferenza in un qualsiasi numero parti (nell esempio in 7) Preso in considerazione il diametro 07 lo si divide in 7 parti eguali e con centro in 0 e in 7 con raggio eguale al diametro della circonferenza si individua il punto A. Si unisce A con l estremo della seconda divisione del diametro (il numero 2) con una retta da prolungarsi sino alla circonferenza che verrà intersecata nel punto B. L arco 0B sarà la settima parte della circonferenza data. Retta tangente per A posto sulla circonferenza Sia A il punto dato. Si traccia la retta AO e la si prolunga fino al punto B, tale che AB sia uguale a OA. Con centro in O e poi in B e raggio superiore a OA si individua il punto C, la retta passante per C ed A è la retta tangente cercata. 31

3 Retta tangente per A esterno alla circonferenza Si traccia la retta di unione con O, e su questa si individua il suo punto medio B, con centro in B e raggio BO si traccia l arco che interseca la circonferenza nei punti C e D, le rette passanti per AC e AD sono rette tangenti alla circonferenza. Divisione di un angolo in un numero pari di parti uguali Dato l angolo A si traccia un arco che intersechi i due segmenti dell angolo in 0 e 4, quindi con centro in 0 e poi in 4 si trova il punto C e lo si congiunge con A, dividendo in due parti l angolo; l asse AC interseca il primo arco in 2. Con centro in 0 e 2 e in 2 e 4 si può passare a dividere ulteriormente l angolo. Raccordo tra due rette orientate a piacere Si prolungano le due rette a partire dai loro estremi fino ad intersecarsi nel punto A, con centro in A si individuano i punti B e C, da B e da C si tracciano due rette ortogonali che si intersecano in D si tracci la retta DA e con centro in D e raggio DB si tracci il raccordo tra i due segmenti. Ovale disegnato a partire da due assi tra loro ortogonali Siano AB e CD due segmenti tra loro ortogonali, si fa centro in O e si traccia una circonferenza di raggio OC, questa intersecherà AB nel punto F, quindi si traccia il congiungimento AD e su questo si riporta, a partire da D la misura di AF, il punto individuato si chiamerà E. Si passa a trovare il punto medio di AE e in questo si traccia una retta P ortogonale ad AE, tale retta intersecherà AB e CD rispettivamente nei punti G ed N, tali punti sono i centri di due delle circonferenze costituenti l ovolo. Il procedimento si potrà quindi ripetere per specularmente per permettere il completamento della figura. Spirale circolare con passo dato Sia AB il passo dato, si disegna il quadrato di estremi C, D, E, ed F con lato uguale ad un quarto di AB. Si tracciano i prolungamenti dei lati per una distanza sufficiente a descrivere la spirale voluta. Facendo centro in E si traccia l arco di raggio EF sino ad intersecare il prolungamento del lato EC, con centro in C si traccia l arco dal punto appena trovato, e si ripete l operazione in D ed in F per poi riprenderla in E. 32

4 Arco a tutto sesto Dati i due piedritti dell arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due estremi, facendo centro qui si traccia un arco che connetterà i due estremi; la retta congiungente si dirà corda o luce, il raggio a questa ortogonale, freccia. Arco a sesto ribassato Dati i due piedritti dell arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due estremi, una volta tracciato l asse perpendicolare alla luce, si individua su questo un punto che sarà il centro della circonferenza congiungente gli estremi dei due piedritti. Arco arabo o a ferro di cavallo Dati i due piedritti dell arco, se ne traccia un prolungamento che servirà sia a delimitare le mensole che l arco stesso, su queste si individuano i punti A e B e si traccia il segmento che li congiunge, dal punto medio D di AB si traccia un asse a questo perpendicolare, sul quale si individua il punto C centro dell arco di cerchio costituente l arco, lo si interromperà alla sua intersezione con il segmento AB; si procederà quindi a congiungerlo con gli estremi dei piedritti. Arco a sesto acuto Dati i due piedritti dell arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due estremi, una volta tracciato l asse perpendicolare alla luce, si passa quindi a fare centro in B e con raggio AB si traccia la prima curva dell arco, che staccherà sull asse precedentemente tirato il punto C, si ripete l operazione con centro in A e si completa l arco. Per avere un arco rialzato sarà sufficiente prolungare il segmento AB e trovare il centro esternamente alla luce, per esempio in E e in E1 da cui tracciare l arco con raggio AE e AE1. Arco acuto circonflesso Dati i due piedritti dell arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i due estremi, quindi una volta definito il riquadro contenente l arco, si traccia l asse centrale medio di AC; si congiungono i punti A con B e C con B, quindi con centro in E e raggio BE si traccia un arco fino ad intersecare BC in F, quindi con centro in C e arco CF si traccia un arco fino ad individuare l intersezione G su AC, con centro G e arco GA si traccia il completamento di questa metà dell arco. Ripetendo la stessa procedura simmetricamente si completa la figura. 33

5 57 Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche Disegnare significa rappresentare per mezzo di segni grafici figure immaginate o oggetti reali. Quando si compie questa operazione, di fatto si proietta sopra una superficie l immagine che abbiamo concepito nella nostra mente, sia attraverso l immaginazione, sia attraverso l osservazione della realtà. Tra i vari significati di proiezione quello che ha la più stretta attinenza con le specificità disciplinari di un architetto è la rappresentazione della forma di una figura spaziale su di un piano usando sistemi diversi. La rappresentazione è quella operazione conoscitiva in base alla quale un oggetto risulta più o meno chiaramente presente alla coscienza; rappresentare significa rendere visibile, percepibile, evidente la realtà mediante una costruzione grafica... Per effettuare una proiezione, secondo le regole codificate della geometria descrittiva, occorrono tre elementi fondamentali che sono: - un oggetto da rappresentare; - un fascio di raggi proiettanti che provengono da un centro di proiezione; - un piano di proiezione o quadro. I raggi proiettanti possono essere paralleli, convergenti o divergenti, a seconda che il centro di proiezione sia posto a distanza infinita, ovvero in posizione finita nello spazio. Le variabili, in entrambi i casi, dipendono dalle relazioni che intercorrono tra i tre elementi, a seconda della posizione del centro di proiezione, della inclinazione dei raggi proiettanti rispetto al quadro, ed infine della posizione ed inclinazione del quadro rispetto all oggetto da rappresentare. Le proiezioni parallele sono denominate generalmente cilindriche, mentre quelle divergenti/convergenti vengono normalmente definite coniche. Per proiezioni cilindriche si intendono quelle formate da fasci di rette parallele, che provenendo da un punto posto all infinito in una determinata direzione, vanno ad intersecare una superficie piana detta quadro. Appartengono a questa categoria l assonometria e le proiezioni ortogonali. Nelle proiezioni coniche, il fascio di rette converge in un punto posto a distanza finita dal quadro. La prospettiva, che si avvicina più delle precedenti alla visione fisiologica dell uomo, appartiene alla categoria delle proiezioni coniche Visualizzazione assonometrica delle operazioni di proiezione e sezione nelle proiezioni ortogonali 58.Rappresentazioni assonometriche oblique ed ortogonali 59.Esemplificazione del concetto di proiezione centrale o conica 34

6 Le proiezioni ortogonali Sono proiezioni cilindriche con raggi perpendicolari ai piani di proiezione. Questo metodo è il più idoneo a risolvere il problema della rappresentazione in una determinata scala (o rapporto), quindi misurabile, di un oggetto reale o immaginato. Si prenda in considerazione un oggetto giacente su di un piano, come quello in figura, che rappresenta un edificio di forma geometrica elementare. Tale sistema si definisce TRIEDRO e ci consente di rappresentare l oggetto con immagini tra loro correlate nel sistema spaziale di riferimento. Nella figura spaziale si nota come il TRIEDRO sia composto da: p1 = Piano Orizzontale p2 = Piano Verticale p3 = Piano Laterale Occorre ribaltare i piani p1 e p3 per ottenere un sistema di riferimento complanare. La retta orizzontale che separa p2 e p3 da p1 si dice LINEA DI TERRA [L - T]. Si consideri adesso il punto P, spigolo del tetto del nostro edificio.si può determinarne la posizione attraverso le relazioni che intercorrono tra il punto e il sistema di riferimento considerato (triedro). Se si proietta ortogonalmente, con fasci di raggi paralleli, il punto P rispettivamente sui tre piani di proiezione si ottiene: Questo segmento è inclinato rispetto al piano orizzontale p1 e al piano laterale p3, mentre è parallelo al piano verticale p2. In questo caso abbiamo in vera grandezza la proiezione C D sul piano verticale p2; le altre due proiezioni, C D su p1 e C D su p3, risultano essere in scorcio parziale. 60.Rappresentazione in proiezione ortogonale di un semplice oggetto architettonico: a)rappresentazione di un punto b)rappresentazione di un segmento parallelo al primo e secondo piano di proiezione c)rappresentazione di un piano parallelo al secondo piano di proiezione e inclinato rispetto al primo a) b) - l immagine P di P sul piano orizzontale p1 - l immagine P di P sul piano verticale p2 - l immagine P di P sul piano laterale p3 Consideriamo adesso il segmento di estremi AB, linea di gronda del nostro edificio. Il segmento, che è orizzontale, è inoltre posto parallelamente rispetto al piano verticale e, di conseguenza, è perpendicolare rispetto al piano laterale. Nei primi due casi risulterà rappresentato in vera grandezza (sul piano orizzontale p1 e su quello verticale p2), nel terzo (sul piano laterale p3) risulterà essere un punto. La sua immagine appare in scorcio totale e le proiezioni A e B dei suoi estremi A e B coincidono (A = B ). Vediamo adesso il caso di un segmento CD, appartenente ad una falda del tetto e perpendicolare alla gronda. c) 35

7 Vera grandezza di un segmento obliquo rispetto ai piani di proiezione Consideriamo il segmento PD, spigolo tra due falde del tetto (puntone angolare). Questo segmento è inclinato rispetto ai tre piani di proiezione p1, p2 e p3. In questo caso le tre proiezioni del segmento, P D, P D e P D risultano in scorcio parziale, perciò, nelle tre proiezioni, non è mai rappresentata la sua vera grandezza. Per trovare la vera grandezza del segmento PD, basterà prendere un piano verticale a al quale appartiene la retta r, che contiene il segmento PD. Il piano a interseca ortogonalmente il piano orizzontale p1 determinando su quest ultimo una retta, detta traccia prima di a che chiameremo t a. La t a coinciderà, per un certo tratto, con la proiezione prima della retta r, che chiameremo r. Sulla r si troverà anche P D, proiezione sul piano orizzontale del segmento PD. Il piano a, essendo perpendicolare rispetto a p1, interseca il piano verticale p2, determinando una traccia che chiameremo t a perpendicolare al piano orizzontale, che ha origine nel punto della Linea di Terra dove ha origine anche la t a. a. Sul medesimo piano verticale, la proiezione della retta r, che chiameremo r, passerà per i punti P e D, estremi della proiezione su p2 del segmento PD. Il punto di intersezione tra la r e la t a sarà la traccia seconda di r, che chiameremo t r. Questo punto è un PUNTO UNITO, cioè un punto dove la retta r coincide con la sua proiezione. Si tratta adesso di trovare la traccia prima di r sul piano orizzontale. Sappiamo che essa si troverà sulla t a ma dobbiamo determinarne la posizione per trovare l altro PUNTO UNITO. A questo scopo ritorniamo sulla proiezione verticale e vediamo dove l immagine r della retta r incontra il piano orizzontale p1. Tale immagine corrisponderà al punto di intersezione della r con la Linea di Terra. Se, inversamente, proiettiamo perpendicolarmente rispetto a p2 quel punto individuato sulla Linea di Terra determineremo sulla t r il punto appartenente alla retta r su a, che coincide con la sua stessa proiezione. Abbiamo così determinato, sui due piani di proiezione p1 e p2, la posizione delle due tracce t r e t r della retta r che contiene il segmento PD. A questo punto sappiamo che, nello spazio, i due piani di proiezione p1 e p2 sono tra loro perpendicolari, quindi anche le tracce del piano a, t a e t a sono perpendicolari. Se, mantenendo ferma la t a ribaltiamo sul piano orizzontale la t a, che è perpendicolare rispetto a p1 e quindi anche alla t a, otteniamo una semiretta con origine coincidente con l intersezione della t a con la Linea di Terra e con direzione perpendicolare rispetto 61.Rappresentazione di un segmento inclinato rispetto ai piani di proiezione 62.Procedimento per la ricerca della vera grandezza di un segmento inclinato rispetto ai piani di proiezione alla stessa t a. Tale semiretta sarà la traccia seconda di a ribaltata e la chiameremo (t a). Su di essa, puntando nell origine comune alle tracce di a e tracciando un arco di circonferenza, riporteremo la t r nel punto (t r). Unendo t r con (t r) otteniamo (r), immagine in vera grandezza della retta r. A questa immagine in vera grandezza (r) appartiene anche l immagine in vera grandezza del segmento PD. Infatti, proiettando ortogonalmente da r su (r) gli estremi P e D giacenti sulla proiezione orizzontale r della retta r, determineremo (P) e (D), che sono gli estremi del segmento considerato, rappresentato in vera grandezza nella sua immagine ribaltata. 36

8 Pianta di un edificio L edificio è posto al centro di un giardino (piano a). Immaginiamo di sezionarlo con un piano b parallelo ad a ad una determinata altezza da quest ultimo. Proiettando la parte sezionata sul piano orizzontale p1 si ottiene la pianta. Le linee che rappresentano la sezione dovranno essere disegnate più spesse di quelle che rappresentano oggetti e cose che stanno al di sotto del piano a. 63. Rappresentazione in proiezione ortogonale della pianta di un edificio, intesa come sezione con un piano parallelo al primo piano di proiezione Sezione di un edificio Con un piano g, parallelo ad uno dei piani verticali p2 o p3 si sezioni l edificio nella parte in cui sono presenti il maggior numero possibile dei suoi elementi caratteristici. Si proietti la parte sezionata sui piani verticali p2 o p3 rappresentando anche oggetti e cose che stanno dietro il piano g facendo attenzione a differenziare lo spessore delle linee tra quelle che rappresentano le sezione e quelle che rappresentano altri oggetti o cose che sono dietro al piano. 64. Rappresentazione in proiezione ortogonale della sezione di un edificio, ottenuta con un piano perpendicolare ai due piani di proiezione Prospetto di un edificio Posto un piano verticale d, parallelo ad uno dei piani del TRIEDRO (p2 o p3), in prossimità del fronte da rappresentare, questo seziona il terreno sul quale l edificio è situato. Si proietteranno sul piano verticale, p2 o p3 la linea di sezione tra il piano d ed il terreno e tutto ciò che è posto dietro lo stesso piano d, facendo attenzione a differenziare lo spessore della linea che rappresenta la sezione del terreno e quelle che rappresentano oggetti o cose che sono dietro il piano. 65. Rappresentazione in proiezione ortogonale del prospetto di un edificio, inteso come sezione non passante per l'oggetto, ottenuta con un piano parallelo ad uno dei piani del triedro 37

9 Le proiezioni assonometriche Sono proiezioni cilindriche che possono essere ORTOGONALI, cioè con raggi perpendicolari rispetto al piano di proiezione, oppure OBLIQUE, cioè con raggi inclinati rispetto al piano di proiezione. Questo metodo, che deriva dagli studi sulla prospettiva dal punto all infinito, consente, poste determinate condizioni, di risolvere il problema della rappresentazione in scala, quindi misurabile, di un oggetto reale o immaginato. Come per le proiezioni ortogonali occorre innanzi tutto stabilire che un oggetto, per renderne possibile la misurazione, va collocato in un preciso sistema di riferimento. Si considerino perciò come sistema di riferimento i piani di un TRIEDRO e le tre semirette generate dalla loro intersezione, perpendicolari tra loro, con origine comune in O. Come per un sistema spaziale di assi cartesiani si chiamino X e Y le due semirette risultanti dalla intersezione del piano orizzontale p1 con i piani verticali, e Z la semiretta formata dalla intersezione dei due piani verticali p2 e p3. Si consideri poi un quarto piano di proiezione p (quadro) che sia obliquo rispetto ai tre piani del triedro e sia posizionato in modo tale che, intersecando i tre piani del triedro, formi un triangolo acutangolo che chiameremo triangolo fondamentale. Si stabilisca, infine, la direzione di una semiretta d con origine in O che intersechi la superficie racchiusa all interno del triangolo fondamentale, che sarà la direzione d dei raggi di proiezione paralleli. Chiameremo gli assi del triedro X, Y e Z assi obbiettivi. Se proiettiamo, con un fascio di raggi paralleli alla direzione d, gli assi obbiettivi sul piano di proiezione p, otteniamo sul quadro l immagine dei tre assi X, Y e Z, aventi l origine comune O, ovvero X, Y e Z, aventi l origine comune O. Chiameremo gli assi X, Y e Z assi assonometrici. Se d è perpendicolare rispetto a p si ha una assonometria ortogonale. Se d è inclinato rispetto a p si ha una assonometria obliqua. Sia m un segmento di misura unitaria posto sugli assi X, Y, Z, assi obiettivi: chiameremo il segmento m unità obiettiva. Siano i segmenti mx, my, mz le immagini di m su gli assi X, Y e Z, chiameremo i segmenti mx, my e mz unità assonometriche. II rapporto tra le singole unità assonometriche e l unità obiettiva mx/m, my/m, mz/m si chiama rapporto assonometrico. Si prenda ora in considerazione un oggetto tridimensionale come quello rappresentato nella figura e lo si collochi nel sistema cartesiano di riferimento. Si 66.Rappresentazione del triangolo fondamentale generato dall'intersezione fra il quadro ed il triedro di riferimento 67.Rappresentazione di un semplice oggetto tramite proiezione assonometrica scelga poi il piano di proiezione p e una direzione qualsiasi della semiretta d. Se si proietta sul piano p nella direzione di d, si ottiene l immagine assonometrica dell oggetto e degli assi del sistema cartesiano di riferimento. Le tracce t p, t p, t p con i piani del triedro formano il triangolo fondamentale detto anche triangolo delle tracce di p. L unità di misura obiettiva m su gli assi obiettivi X, Y e Z diventa rispettivamente mx, my e mz sopra gli assi assonometrici, I tre angoli, con vertice in O, che le semirette X, Y e Z formano su p, variano sia modificando l inclinazione del quadro rispetto al triedro, sia al variare della direzione d della semiretta con origine in O. Di conseguenza si modificano anche, sui singoli assi X. Y. Z. le rispettive lunghezze delle unità assonometriche mx, my e mz. 38

10 Assonometria ortogonale Quando la semiretta d cade nell ortocentro del triangolo fondamentale significa che la direzione dei raggi di proiezione da V è perpendicolare al quadro p. Vediamo ora come si determinano sopra gli assi assonometrici X, Y, Z, arbitrariamente scelti, le rispettive unità assonometriche, mx, my, mz, che derivano da una unità obiettiva m comune ai tre assi del triedro X, Y, Z. Siccome sappiamo che gli assi obiettivi formano tra loro a due a due angoli retti, sarà sufficiente ribaltare O sul quadro p per trovare (O). Le semirette ottenute (nella figura dell esempio X (O),(O)Z ) sono perpendicolari tra loro e rappresentano gli assi X e Z del triedro; su questi si pongono le unità obiettive m che, proiettate rispettivamente su gli assi assonometrici X e Z che avevamo arbitrariamente scelti, consentono di determinare su di essi la dimensione delle unità assonometriche mx e mz. I rapporti assonometrici saranno: rispetto a X - mx/m rispetto a Y - my/m rispetto a Z - mz/m Il triangolo fondamentale risulta essere equilatero ovvero ha la medesima inclinazione rispetto ai tre piani del triedro.in questo caso i rapporti assonometrici saranno: mx/m = my/m mz/m Quindi mx = my mz L assonometria risulterà essere ortogonale isometrica (o monometrica). Quando p ha la medesima inclinazione rispetto a due piani del triedro e diversa rispetto al terzo, risulterà che i rapporti assonometrici saranno: mx/m my/m mz/m Quindi mx my mz L assonometria è ortogonale dimetrica. L assonometria è ortogonale quando: La direzione d da V è perpendicolare a p; Gli assi assonometrici X, Y, Z coincidono con le altezze del triangolo; O è nell ortocentro, II piano (quadro) p è obliquo rispetto ai piani e a gli assi del triedro. Quando infine il piano p ha una diversa inclinazione rispetto ai tre piani del triedro, risulterà che i rapporti assonometrici saranno: mx/m = my/m = mz/m Quindi mx = my = mz L assonometria è ortogonale trimetrica. 39

11 Assonometria obliqua Quando i raggi provenienti dal centro di proiezione V risultano essere inclinati rispetto al quadro p, l assonometria si dice obliqua. Esistono diversi tipi di assonometrie oblique. Assonometria cavaliera A B Si assuma un quadro p parallelo o coincidente con due dei tre assi del triedro, l asse X e l asse Z, quindi un piano di proiezione verticale. II quadro generalmente verrà posto parallelamente ad uno delle facce piane verticali dell oggetto. Si proietti su di esso l oggetto con raggi di proiezione obliqui. La faccia parallela al quadro rimarrà invariata, mantenendo il parallelismo delle rette e l uguaglianza degli angoli, ma si vedranno altre due facce del solido rappresentato. O = O Y = Y Z = Z mz = m my = m C A) rapporti 1 / 1 / 1 B) rapporti 1 / 1 / 1 C) rapporti 1 / 1 / 1 Assonometria cavaliera militare (o pratica) Qualora la direzione d da V sia su di un piano inclinato a 45 rispetto a p abbiamo una assonometria ISOMETRICA con rapporti assonometrici del tipo: mx/m = my/m = mz/m cioè 1 / 1 / 1 In questa generalmente assumiamo p parallelo o coincidente con il piano orizzontale del triedro. In questo caso è conveniente assumere l asse Z verticale (parallelo alle rette verticali dell oggetto da rappresentare) in modo che gli assi X e Y, perpendicolari tra loro, risultino rivolti verso il basso rispettivamente a sinistra e a destra. Obliqua Ortogonale L assonometria cavaliera è generalmente dimetrica. Unica variabile: mx che dipende dalla direzione d di V. Nella pratica, relativamente alla posizione degli assi assonometrici, conviene assumere: Z sempre perpendicolare a Y X con angolo tra 90 e 180 a destra di Y 68. Le proiezioni assonometriche più consuete 40

12 C.Van Eesteren, Theo Van Doesburg. Assonometria di una casa unifamiliare, Giangiacomo D'Ardia. Disegno architettonico, Esempio di spaccato assonometrico

13 La prospettiva La prospettiva è una proiezione conica con un centro V posto in posizione finita nello spazio, rispetto al quadro p. Variabili fondamentali della prospettiva lineare -Posizione del centro di proiezione V (quando si è scelta non si può più cambiare) -La distanza, di V dall oggetto si determina considerando un cono visivo con angolo al vertice di 60. L asse del cono è il raggio principale. Altri elementi di definizione della prospettiva sono: -un piano di riferimento (o piano geometrale) pl disposto orizzontalmente; (può assumere la quota che più ci conviene per la costruzione) -la retta L, intersezione del quadro con il piano di riferimento, si chiamerà retta di riferimento; -il punto principale P che è la proiezione ortogonale di V su p; la distanza VP è detta distanza principale; -la retta O (orizzonte) è l intersezione con il quadro del piano orizzontale passante per V; -il raggio principale perpendicolare al quadro corrisponde alla retta per V e P; -sono raggi proiettanti tutte le rette passanti per V nella proiezione conica; -il cerchio visivo f sul quadro corrisponde alla base del cono retto con angolo al vertice in V. II cono ha una apertura massima di 60. Entro tale cerchio l immagine si ritiene non aberrata; -il cerchio di distanza d sul quadro è un cerchio con centro P e raggio VP. Tale cerchio individua su O i punti D1 e D2 e, sulla verticale per P, i punti D3 e D4. -Posizione del quadro p perpendicolare al raggio principale, come per la fotografia il piano della pellicola è perpendicolare all asse ottico. Se vogliamo inquadrare bene l oggetto bisogna proiettare il raggio principale il più possibile in posizione baricentrica rispetto all oggetto stesso. -Distanza del quadro p da V. Spostando il quadro parallelamente.a se stesso avremo sempre immagini simili. - Se p coincide con V avremo di qualsiasi oggetto una proiezione puntiforme. - Maggiore è la distanza di p da V, più grande è l immagine. - Normalmente si pone p tra V e l oggetto, ma lo si può porre oltre l oggetto, oppure dietro V (in quest ultimo caso otterremo una immagine speculare) -Converrà che il quadro p tocchi un elemento dell oggetto - punto, retta, piano. Avremo così un elemento che sarà rappresentato in vera grandezza (tenuto conto della scala di riduzione) che chiameremo elemento unito. 72. Elementi caratterizzanti la prospettiva II punto P è il punto nel quale, nell immagine prospettica, convergono tutte le rette perpendicolari al quadro (punto di fuga delle rette perpendicolari al quadro) La retta O, orizzonte, è quella nella quale convergono, nell immagine prospettica, tutti i piani orizzontali. Tale retta è detta di fuga dei piani orizzontali. Ogni retta giacente su ciascuno dei detti piani orizzontali ha il suo punto di fuga sull orizzonte O. Tutte le rette parallele al quadro hanno la fuga in punti impropri (infinito). Nella prospettiva a quadro verticale, tutte le rette verticali hanno fuga in punti impropri (infinito). 42

14 Prospettiva centrale B - uso delle rette proiettanti Disposto l oggetto, rispetto al quadro, in modo tale che i segmenti principali che determinano la sua forma risultino paralleli o perpendicolari al quadro stesso, si stabilisca la posizione del punto di vista V rispetto al quadro (in planimetria lo chiamiamo Vo), si stabilisca poi l altezza H dell orizzonte dal piano di riferimento, quindi si fissino sul disegno le parallele O ed L. Sulla retta O individueremo P (punto di fuga delle rette perpendicolari al quadro, mentre i punti di fuga delle rette parallele al quadro saranno all infinito a destra e a sinistra), tracceremo, con centro in P, il cerchio di distanza (individuando su O i punti di fuga delle rette orizzontali inclinate a 45 rispetto al quadro), poi, individuando su L le tracce delle rette che contengono i segmenti che caratterizzano la forma dell oggetto, procediamo come illustrato nelle figure. Prospettiva di un quadrato con i lati posti parallelamente e ortogonalmente rispetto al quadro A - uso del cerchio di distanza Prospettiva centrale a quadro orizzontale L uso della prospettiva centrale è assai opportuno per la rappresentazione di ambienti interni e non presenta particolari difficoltà. E infatti possibile disporre il quadro in posizione orizzontale, ottenendo così un modello prospettico detto a quadro orizzontale, poi procedere con operazioni analoghe a quelle illustrate per la prospettiva a quadro verticale. L immagine a fianco illustra una applicazione con vista dal basso di un ambiente delimitato da un colonnato e coperto da una cupola. 73.H.Vedreman de Vries( ). Prospettiva a quadro orizzontale di un interno 43

15 Prospettiva accidentale Disposto l oggetto, rispetto al quadro, in modo tale che i segmenti verticali che determinano la sua forma risultino paralleli al quadro stesso, mentre le principali linee orizzontali vengono poste in posizione sghemba, si stabilisca la posizione del punto di vista V rispetto al quadro (in planimetria lo chiamiamo Vo), si stabilisca poi l altezza H dell orizzonte dal piano di riferimento, quindi si fissino sul disegno le parallele O ed L. Sulla retta O individueremo P - punto principale - (il punto P, proiezione di V sull Orizzonte, è anche centro del cerchio visivo e del cerchio di distanza oltre che punto di fuga delle rette orizzontali perpendicolari al quadro). Nella planimetria si traccino, fino ad incontrare L (traccia del quadro verticale sul piano di riferimento), le rette che contengono i segmenti orizzontali che definiscono la forma planimetrica dell oggetto: fino a determinare sul quadro stesso un punto di dette rette. Per proiettare, dal punto di vista V, un secondo punto della retta r si sceglie di proiettare il suo punto improprio (all infinito): la proiezione avviene ponendo l osservatore in V con il raggio visuale parallelo alla retta r. Siccome il raggio visuale parallelo alla r,incontrando questa all infinito, determina un altro punto della r stessa nel punto improprio, il raggio visuale da V al punto improprio di r, quando interseca il quadro, determina su di esso l immagine del punto all infinito anche della r. Questo punto sul quadro è il punto di fuga della retta r e di tutte le sue parallele. Prendiamo ad esempio una retta r. Con il procedimento descritto si determina la traccia Tr della retta sul quadro (punto unito appartenente alla retta r). Prospettiva frontale e accidentale Ds e Dd sulla retta di orizzonte O sono i punti di fuga delle rette orizzontali inclinate a 45 rispetto al quadro. Si ricorda che il cerchio di distanza (circonferenza di base di un cono retto con angolo al vertice di 90 in V) è il luogo geometrico dei punti di fuga delle rette incidenti sul quadro p con un angolo di 45. Per determinare la misura prospettica dei segmenti paralleli al quadro ma non coincidenti, basta riportare sul quadro stesso le tracce delle rette orizzontali a 45 (anche se scelte come rette ausiliarie ) alle quali appartengono i due estremi di ogni segmento, poi mandare queste ultime a fuga nel punto di distanza D corrispondente, posto sull orizzonte O. Per determinare le altezze prospettiche di ogni singolo punto dal piano di riferimento occorre riportare sul quadro (sulla retta L) la giacitura sul piano di riferimento di ogni singolo punto (traccia del punto T), poi elevare dalla traccia l altezza dei punto stesso e mandare alla relativa fuga dalla quota determinata sul quadro. 74.Prospettiva frontale e accidentale di un cubo al variare della posizione rispetto al quadro 44

16 Veduta prospettica frontale dell'interno della cattedrale di Noyon 76. Diverse immagini prospettiche di un oggetto al variare della posizione del punto di vista M.C.Escher. Prospettiva a quadro inclinato dell'interno di S.Pietro a Roma 45

17 Le ombre architettoniche L uso delle ombre nel disegno di architettura, indipendentemente dal sistema di rappresentazione impiegato, mette in risalto la volumetria degli oggetti, rendendo percepibili in maniera immediata le articolazioni plastiche delle superfici. La possibilità di conferire realismo all immagine per mezzo delle ombre, è sfruttata sia nella rappresentazione dell esistente, sia in fase di composizione, dove possono divenire strumento di controllo progettuale. Da un punto di vista geometrico, si tratta di un particolare tipo di proiezioni, per lo studio delle quali e per la comprensione delle relative costruzioni grafiche, si rimanda ai testi specifici citati in bibliografia. In questa sede, ci si limita a ricordare come la collocazione della sorgente luminosa rispetto all oggetto possa determinare proiezioni dei raggi luminosi e quindi delle ombre parallele o coniche. In particolare, una sorgente luminosa posta a distanza infinita, situazione che approssima il caso del sole e quindi la provenienza della luce naturale, comporterà una proiezione parallela delle ombre, mentre nel caso di luce artificiale posta a distanza finita rispetto all oggetto, la proiezione sarà conica, con i raggi luminosi divergenti dalla sorgente. Ogni oggetto è caratterizzato da un ombra propria, determinata dai raggi luminosi tangenti al suo contorno, che ne individuano una parte in luce ed una in ombra, delimitate da una linea detta appunto separatrice d ombra. La proiezione di questa linea sui piani di riferimento o su altri oggetti descrive il contorno dell ombra portata. Nelle proiezioni ortogonali, per individuare l ombra propria e l ombra portata degli oggetti, si ipotizza in genere una sorgente luminosa posta all infinito, con raggi diretti in modo da avere le proiezioni a 45 rispetto ai piani di riferimento. 79. Procedimento per la determinazione dell'ombra architettonica data la pianta ed il prospetto di un edificio 80. Rappresentazione delle ombre in un disegno prospettico 78. Esemplificazione dell'ombra come proiezione al variare della posizione della sorgente luminosa 81. Rappresentazione dell'ombra su una base attica secondo la costruzione geometrica e con effetti di chiaro-scuro 46