Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

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1 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente i punti medi di AB e BC è la metà di AC b) Tra i punti P di ordinata 3 determinare quelli che hanno distanza dal punto A. Calcolare le aree dei triangoli CAP. 2) Un parallelogrammo ABCD ha due vertici consecutivi nei punti A(2; 0) B ;1 ricava le coordinate dei rimanenti vertici sapendo che il centro del parallelogrammo è nel punto K2;. Calcola il perimetro del parallelogrammo. 3) Sono assegnati i punti A(- 3; - 1) B(- 1; - 3). Tra i punti C la cui ordinata supera di 12 unità il doppio dell ascissa determina quello che è vertice del triangolo isoscele di base AB. Scrivi l equazione della simmetria in cui si corrispondono i punti A, C. 4) Sono assegnati i punti P(- 2; 1) Q(2; - 1) a) fra i triangoli isosceli che hanno gli estremi della base nei punti P, Q determinare quello che ha il terzo vertice di ascissa b) fra i triangoli che hanno due vertici in P, Q e il terzo vertice in un punto A di ascissa 2 determinare quelli che hanno lato AQ =. Calcolare l area di ciascuno dei triangoli APQ determinati. 5) Tra i punti la cui ordinata supera di 3 unità l ascissa determinare quelli che hanno distanza dal punto A(0; 1) e indicarli con B, C. Ricavare le coordinate del punto P interno al segmento BC e tale che CP PB. 6) Un triangolo ha vertici nei punti A(- 2; - 4) B(1; 2) C(a; - a 8); determinare le coordinate di C in modo che il baricentro del triangolo abbia ordinata. Il triangolo ABC determinato è un triangolo rettangolo? (Giustifica la risposta che hai dato) 7) Sono assegnati i punti A(1 k; 2 + 3k) e B(4; 0) a) Determina per quale valore di k la retta che passa per A, B è parallela alla retta r di equazione x 2y + 1 = 0 b) Determina quale, tra i punti A, sta sulla retta che passa per B e che è perpendicolare alla retta s di equazione 3x + 6y + 8 = 0. 8) Dati i punti A(5; 0) B( 5; 4) C(-1; 3) a) Ricava le coordinate dell ortocentro del triangolo ABC b) Ricava le equazioni delle rette che passano per A e intersecano l asse delle ordinate in un punto P tale che l area del triangolo AOP valga. 9) Tra i punti di coordinate (k; 2 4k) determina a) quello che sta sulla retta passante per A ;1 e B(0; - 5) b) quello che sta sulla retta perpendicolare alla retta r di equazione 3x 4y + 3 = 0 nel suo punto d intersezione con l asse y

2 10) Dati punti A(4; 0) B(- 6; - 1) C(- 6; - 3) a) determina le coordinate del circocentro del triangolo ABC e il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC b) ricava le equazioni delle rette che passano per A e intersecano l asse delle ordinate in un punto P tale che il triangolo OAP ha area 11) Ricava le equazioni delle rette che passano per A(- 1; 0) e tali che il punto P(3; - 2) ha distanza da esse uguale a 2. 12) Ricava l equazione della circonferenza che passa per i punti A(- 2; 0), B(2; 6) e ha il centro sulla r etta di equazione x 3y + 3 = 0. Ricava le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza determinata nei punti A, B. 13) Ricava l equazione della circonferenza inscritta nel triangolo di vertici A(0; 0) B(4; 3) C(0; 6). 14) Tra i punti di coordinate (k; 2k) determina quali sono centri di circonferenze tangenti alle rette r, s di equazioni 2x y + 1 = 0 e x 2y + 5 = 0. 15) Ricava l equazione della circonferenza che ha centro C ;2 e che è tangente alla retta di equazione 3x 4y + 8 = 0. 16) Ricava l equazione della circonferenza che passa per i punti A(- 1; 0), B(3; 6) e ha il centro sull a retta di equazione x 3y + 2 = 0. Ricava le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza ottenuta nei punti A, B. 17) Ricava le equazioni delle rette che passano per A(3; 0) e tali il punto P(7; - 2) ha da esse distanza uguale a 2. 18) Ricava l equazione della circonferenza inscritta nel triangolo di vertici A(0; 0) B(4; - 3) C(0; - 6). 19) Tra i punti di coordinate (2k + 2; 1- k) determina quali sono centri di circonferenze che hanno raggio 5 e passano per l origine degli assi. Scrivi le equazioni delle circonferenze di cui hai determinato il centro. 20) Data la circonferenza di equazione 280 e le rette di equazione x 4y - 2k = 0, determina per quali valori di k le rette del fascio sono, rispettivamente, secanti, tangenti, esterne alla circonferenza. 21) Ricava le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione , condotte dal punto A(0; - 2).

3 22) Tra le circonferenze di equazione 2 1 0, determina quella che è tangente all asse delle ordinate e ha il centro sulla retta di equazione 2y + 1= 0. Ricava le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza determinata, condotte dall origine degli assi. 23) Tra le circonferenze di equazione 1 20 a ) Determina quali staccano una corda di misura 2 2 sulla bisettrice del primo e terzo quadrante b) Determina l equazione della circonferenza γ che ha centro sulla retta s di equazione 4x 3y + 17 = 0. Ricava l equazione del diametro di γ parallelo alla retta tangente a γ nell origine degli assi. c) Determina quali hanno raggio di misura 2. 24) Ricava le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 + 2x 2y = 0 condotte dal punto A(4; 1). 25) E assegnata la circonferenza γ di equazione x 2 + y 2 4x - 4y 17 = 0 a. ricavare l equazione delle rette tangenti a γ nei suoi punti di ordinata 2. Calcolare l area del triangolo che ha per lati le due tangenti e la congiungente i punti di tangenza. b. tra le circonferenze concentriche a γ determinare quella che stacca sulla retta di 2 equazione 2x y = 0 una corda di misura. 5 26) Tra le circonferenze di equazione x 2 + y 2 + (a 1)x + by 2 = 0 a. determinare quelle che hanno il centro sulla bisettrice del primo e terzo quadrante e il raggio di misura 2. Per ciascuna delle circonferenze determinate ricavare le equazioni delle rette che sono tangenti ad essa e sono parallele alla congiungente i due centri ottenuti. b. considerare la circonferenza γ che ha centro C(1; 1), ricavare le equazioni delle rette che sono parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e che hanno distanza da C uguale a metà del raggio della circonferenza γ. 27) Tra le circonferenze di equazione x 2 + y 2 + (2a 2)x (a+ 3)y + 28 = 0, determina quella che ha il centro sulla retta di equazione x + 4y 12 = 0. Scrivi le equazioni delle tangenti a γ condotte dal punto A(- 6; 1). 28) Ricavare l equazione della parabola p che ha fuoco in F ;3 e per direttrice la retta d di equazione 4x + 13 = 0. Ricavare le coordinate del vertice e rappresentare la parabola. a) Ricavare le coordinate dei punti della parabola che hanno somma delle coordinate uguale a 2. I punti determinati hanno anche somma delle distanze dagli assi uguale a 2? Giustificare la risposta data. b) Ricavare l equazione della traslazione che porta il punto F assegnato nell origine degli assi e applicare la traslazione alla retta di equazione 12x 5y 3 = 0. Rappresentare la retta assegnata e la sua trasformata. 29) Ricavare l equazione della parabola p che ha asse parallelo all asse delle ordinate, vertice V(0; 2) e che passa per il punto A(2; - 1). Rappresentare la parabola.

4 a) Determinare i punti di p che hanno distanza dalla bisettrice del primo e terzo quadrante b) Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dall asse delle ascisse un rettangolo che ha perimetro c) Ricavare l equazione della retta r che passa per i punti A, V e l equazione della retta s simmetrica di r rispetto all a bisettrice del primo e terzo quadrante. Che relazione intercorre tra i coefficienti angolari delle due rette? Ritieni che questa relazione valga per qualunque coppia di rette simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante? Giustifica la risposta che hai dato. 30) Ricavare l equazione della parabola p che ha asse parallelo all asse delle ordinate, è tangente alla retta r di equazione 6x y + 1 = 0 nel suo punto di ascissa 1 e passa per l origine degli assi. Ricavare le coordinate del vertice, rappresentare la parabola e indicare con A, B i suoi punti d intersezione con l asse delle ascisse. a) Tra le rette parallele alla retta di equazione 3x y = 0 determinare quella che stacca su p una corda di misura 3 10 b) Indicato con P un generico punto dell arco di parabola AB, proiettare sia P che O (origine degli assi) sulla retta di equazione y 6 = 0 e chiamare H, K le proiezioni. Determinare per quali posizioni di P sull arco AB la somma delle basi e dell altezza del trapezio OPHK vale ) Ricavare l equazione della parabola che ha come direttrice la retta d di equazione 4x + 5 = 0 e il fuoco nel punto F ;0. Ricavare le coordinate del vertice e rappresentare la parabola. a) Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dalla retta r di equazione x 3 = 0 un rettangolo che ha perimetro. b) Ricavare le equazioni delle simmetriche delle rette s: 2x y = 0 e t : x + 2y = 0 rispetto alla retta assegnata d. Verifica che sia le rette s, t sia le loro trasformate sono tra loro perpendicolari. 32) E assegnato il fascio di parabole di equazione y = 3 a) Ricavare le equazioni delle parabole del fascio che hanno il fuoco sulla retta di equazione 2x + y = 0 b) Ricavare l equazione del luogo descritto dai vertici delle parabole e rappresentarlo c) Ricavare le coordinate del punto per cui passano tutte le parabole del fascio e indicarlo con A, scrivere quindi l equazione della retta s che passa per A e che è parallela all asse delle ascisse. Determinare le equazioni delle parabole del fascio che staccano su s una corda di misura 6. 33) E assegnato il fascio di parabole di equazione y = ax 2 + (a + 1)x + 1 a) Ricavare le caratteristiche comuni a tutte le parabole del fascio b) Ricavare le equazioni delle parabole del fascio che hanno il vertice sulla retta di equazione y =, rappresentare le parabole ottenute e calcolare la distanza tra i loro vertici. c) Ricavare l equazione della parabola p del fascio che ha il fuoco sull asse delle ascisse. Ricavare le equazioni delle tangenti a p condotte dal punto A ;.

5 34) Assegnata la parabola p di equazione y = (x 4)2 rappresentarla e indicare con P un suo punto generico. Dette M, N le proiezioni di P sugli assi cartesiani determinare l equ azione del luogo descritto dal centro del rettangolo OMPN, essendo O l origine degli assi. Rappresentare il luogo ottenuto. 35) Dato il fascio di parabole di equazione y = x 2 + (a 1)x 3a a) ricavare l equazione del luogo descritto dai fuochi e rappresentarlo b) quali parabole hanno la direttrice sotto la retta di equazione y = - 2? c) ricavare le equazioni delle parabole che hanno i vertici sulla retta di equazione x + 2y + 6 = 0. 36) Dato il fascio di parabole di equazione y = (a + 1)x 2 + (a 1)x a) ricavare i punti base e la retta del fascio b) ricavare le parabole del fascio che hanno per direttrice la retta di equazione y = c) ricavare la parabola p che per asse di sim metria la retta di equazione x =. Ricavare l equazione della simmetrica di p rispetto alla retta di equazione x = ) Ricavare l equazione della parabola p che passa per i punti A(- 1; 0), B(3; 0) C(2; 3). Indicare co n: D il punto in cui p interseca l asse delle ordinate, P un generico punto di p. Detto M il punto medio del segmento DP, ricavare l equazione del luogo descritto dal punto medio del segmento MB. Rappresentare il luogo ottenuto. 38) Dati i punti A(- 2; 0) B(4; 0) C sulla retta di equazione y + 2 = 0 ricavare l equazione del luogo descritto dall ortocentro dei triangoli ABC e rappresentarlo. 39) È assegnata l ellisse di equazione 4x 2 + y 2 +40x + 84 = 0, indicare con A, B i suoi punti d intersezione con l asse delle ascisse a) Determinare il centro e gli assi dell ellisse assegnata e rappresentarla. Ricavare le equazioni della trasformazione che trasforma il rettangolo circoscritto all ellisse in un quadrato che ha lo stesso centro e i lati di misura16. b) Ricavare l equazione della circonferenza γ che passa per A, B e per il punto P(- 5, - 2). Ricavare le equazioni delle tangenti a γ condotte dall origine degli assi e scrivere l equazione dell iperbole che ha tali rette per asintoti e ha un vertice nel centro dell ellisse assegnata. Rappresentare l iperbole. c) Ricavare l equazione dell iperbole che ha i fuochi nei punti in cui l ellisse assegnata interseca la retta di equazione x + 5 = 0 e gli estremi dell asse non trasverso nei punti A e B. 40) E assegnata la parabola p di equazione y = x 2 16x Indicare con V il vertice di p e con A il punto in cui p interseca l asse delle ordinate. a) Determinare il punto P dell arco AV in corrispondenza del quale ha misura 20 il perimetro del rettangolo che ha vertici in P, nelle proiezioni di P sugli assi cartesiani e nell origine degli assi. Ricavare l equazione dell ellisse inscritta nel rettangolo determinato.

6 b) Ricavare l equazione del luogo dei punti del piano per i quali vale il rapporto delle loro distanze dall origine O e dall asse della parabola p. Riconoscerlo e rappresentarlo. c) La retta che passa per i punti A, V è un asintoto di un iperbole che ha centro nel punto V e un fuoco di coordinate 8;. Ricavare l equazione dell iperbole e rappresentarla. Ricavare le equazioni della trasformazione che trasforma il rettangolo che ha centro in V e dimensioni coincidenti con le misure dell asse trasverso e non trasverso in un quadrato che ha lo stesso centro e i lati di misura ) È assegnata la parabola p di equazione y = a) Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dall asse delle ascisse il rettangolo che ha la dimensione orizzontale doppia di quella verticale. Ricavare le equazioni della dilatazione che lo trasforma in un quadrato che ha lo stesso centro e lato di misura 1. b) Ricavare l equazione dell ellisse che ha i fuochi nei punti in cui p interseca l asse delle ascisse e ha un asse di misura 2. c) Ricavare l equazione dell iperbole che ha un fuoco nel punto in cui la parabola p interseca l asse delle ordinate, il centro sull asse della parabola e l asse non trasverso di misura. Rappresentare l iperbole. 42) Data la circonferenza γ di equazione x 2 + y 2 2x + 6y 15 = 0, indicare con A, B i punti in cui γ interseca l asse delle ascisse a) Ricavare le equazioni delle rette tangenti a γ nei punti A, B e scrivere l equazione dell iperbole che ha per asintoti tali rette e ha un vertice nel centro di γ. Rappresentare l iperbole. b) sia P il vertice del triangolo isoscele di base AB inscritto in γ e situato nel semipiano delle ordinate negative. Una generica dilatazione di centro O (origine degli assi) lo trasforma in un triangolo isoscele? Giustificare la risposta. c) Indicare con R, S i rimanenti vertici del rettangolo che ha due vertici nei punti A, B e che è inscritto nella circonferenza γ. Ricavare l equazione dell ellisse inscritta in γ. 43 ) Son o assegnate le equazioni 1, k 2 e k 0 e k 3 ricavare per quali valori di k si ottiene a) un ellisse b) un iperbole con i fuochi sull asse delle ascisse c) un iperbole con i fuochi sull asse delle ordinate 44) Sono assegnate le equazioni 1, k 3 determinare per quali valori di k si ha: a) un ellisse con i fuochi sull asse delle ascisse b) un ellisse con i fuochi sull asse delle ordinate c) un iperbole 45) Rappresenta la curva di equazione: y = - x x 1

7 46) Rappresenta la curva di equazione: y = x 2 x 2 - x 2 2x ) Rappresenta la curva di equazione: y = - x 2 2x + x ) Rappresenta la curva di equazione: y = x 2 3x - x 2 49) Rappresentare la funzione di equazione y = ) Rappresentare la funzione di equazione y = ) R appresentare la funzione di equazione y = ) Rappresentare in uno stesso sistema di riferimento cartesiano le seguenti funzioni di equazioni y = - 4 y = ) Risolvere la disequazione per via grafica 2x ) Risolvere per via grafica la disequazione ) Data una semicirconferenza γ di diametro AB = 2r, tracciare la semiretta t tangente in B a γ. Tracciare la perpendicolare al diametro in un suo punto C e indicare con D il punto in cui tale retta interseca γ, quindi proiettare D su t nel punto E. Esprimere in funzione di AC la somma algebrica AC AE DE, rappresentare la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. 56) Sia ABC un triangolo isoscele di base AB inscritto in una circonferenza γ di raggio r. Dal punto medio dell altezza CH tracciare la retta s perpendicolare a CH e indicare con D, E i punti in cui s interseca γ. Determinare per quali misure dell altezza CH si ha AB 2CE. (risolvere la disequazione per via grafica) 57) E assegnato un triangolo rettangolo ABC che ha ipotenusa BC 2 e l angolo in C di 30. Indicato con D un punto dell ipotenusa, tracciare la perpendicolare in D all ipotenusa e indicare con E il suo punto d intersezione con il lato AC, da E tracciare la parallela a BC e indicare con F la sua intersezione con il lato AB. Esprimere in funzione di CD l area del trapezio BDEF, rappresentare la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. 58) Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r, tracciare il raggio OE perpendicolare in O al diametro e, da un punto di C del raggio AO, tracciare la retta t perpendicolare al diametro, indicare con D il punto in cui t interseca la semicirconferenza. Proiettare D su OE nel punto K e determinare per quali valori di AC vale la disuguaglianza AD AO DK (risolvere la disequazione per via grafica).