Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005

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1 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova di accertameto del 4 ovembre 25 ESERCIZIO Si poga a e b ( (a Si determii d MCD(a, b e gli iteri m, Z tali che d ma + b co m < b ed < a (b Si determiio le soluzioi delle cogrueze mx d mod ed X d mod { m 7X 5 mod s (c Posto s a/d ed r b/d, si determiio le soluzioi del sistema di cogrueze 3X 4 mod r Svolgimeto (a Sia M 5423 il umero di matricola Allora, a e b , e d (b Osserviamo che MCD(m,, perché m(a/d + (b/d, e quidi le due cogrueze ammettoo etrambe soluzioe Dalla combiazioe d ma + b, si ricava che tutte le soluzioi della prima cogrueza formao la classe a + Z Z Aalogamete le soluzioi della secoda cogrueza soo gli elemeti della classe b + m Z + 46Z (c Siao s a/d 467 ed r b/d 34; si ha MCD(7, s MCD(3, r e quidi le due cogrueze hao soluzioe Si ha da cui si deduce che 7 ( 2 mod 467 e quidi tutte le soluzioi della cogrueza 7X 5 mod 467 soo gli iteri X ( Z Z Sia duque X Y e sostituiamolo ella secoda cogrueza; si ottiee così che 37Y 65 mod 34 Essedo , si deduce che mod 34 e quidi tutte le soluzioi di quest ultima cogrueza soo gli iteri Y Z Z Duque le soluzioi del sistema soo gli iteri X ( k k, al variare di k Z ESERCIZIO 2 Sia x u umero reale diverso da (a Posto σ x + x x +, si verifichi per iduzioe che σ x x+, per ogi x (b Posto S x + 2x x, si verifichi che S + xs + σ, per ogi (c Da quato visto el puto precedete e dall osservazioe che S + S + ( + x +, si deduca ua formula chiusa per S e la si verifichi per iduzioe (d Si osservi che 9 + 2, , , Si usi la formula chiusa di S, per u opportuo valore di x, per geeralizzare queste idetità per ogi itero positivo Come si può modificare l espressioe otteuta per otteere u aalogo risultato per ua base b diversa da? Svolgimeto (a Per si ha σ x + x 2 x x2 Suppoiamo quidi vera l uguagliaza per u x umero aturale e verifichiamola per + Si ha (b Co u calcolo diretto, si ha σ + x + x x +2 x x+ x + x +2 x x+2 x xs + σ x(x + 2x x + (x + x x + x + 2x x + ( + x +, che è quato volevamo ( NB le cifre vao giustapposte e o moltiplicate tra loro Ad esempio, se il umero di matricola è 5342, allora a e b

2 2 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA (c Dalla relazioe S + ( + x + S + xs + σ si deduce (x S ( + x + x x+ x, ovvero S x+2 ( + x + + x (x 2 Verifichiamo la formula per iduzioe Per si ha S x x3 2x 2 + x (x 2 Suppoiamo quidi vera l uguagliaza per u umero aturale e verifichiamola per + Si ha che è quato volevamo S + x + 2x x + ( + x + x+2 ( + x + + x (x 2 + ( + x + ( + x+3 ( + 2x +2 + x (x 2, (d I membri di siistra dell uguagliaza soo i termii iiziali della sequeza T 9 j j + ( + j Per quato visto al puto precedete, possiamo scrivere, T 9 (/+2 ( + (/ + + / (/ 2 + ( che geeralizza le uguagliaze date per u umero aturale qualsiasi È ora chiaro che, per otteere delle aaloghe idetità per ua qualsiasi base, b, basta scrivere b al posto di e b al posto di 9, ovvero (b b j jb j + ( + b+ b Le idetità possoo essere facilmete verificate per iduzioe su ESERCIZIO 3 Siao k, m, {, 2, 3} tali che k 4 mod 3, m 5 mod 3, 6 mod 3, e si cosideri la fuzioe di variabile complessa f(z miz k z i (a Si determiio domiio ed immagie di f e l evetuale fuzioe iversa (b Si determii il sottoisieme U { z C f(z < k } e lo si disegi el piao di Gauss (c Posto a m + i e b 2k, si cosideri il sottoisieme R { z C az + ā z + b } Si determiio e si disegio el piao di Gauss i sottoisiemi R ed R g (U, ove g è l iversa di f (d Si dica se g (R è u cerchio oppure ua retta Svolgimeto (a La fuzioe f è defiita quado z + i e la sua iversa è la fuzioe g(w ( + iw k, come si verifica co u calcolo diretto La fuzioe g è defiita per w mi, e quidi, w mi il domiio e l immagie di f soo rispettivamete D C { + i} e C C {mi} (b Posto z x + iy, co (x, y R 2, si ha che, per ogi z D, miz k z i < k (m2 k 2 (x 2 + y 2 + 2k 2 x + 2k(m + ky k 2 2 <

3 Matematica 2 ModA Compitio del 4 ovembre 25 3 Duque, se m ±k, ovvero se 4 o è cogruo ad 5 modulo 3, l isieme U è formato dai puti del piao di Gauss delimitati dalla circofereza di cetro c k2 + k m 2 ik(m k2 m 2 k 2 e raggio r k (m + k2 + m 2 m 2 k 2 Precisamete, si tratta dei puti iteri alla circofereza se m > k e dei puti esteri se m < k Nel caso i cui m k, si trova che U è l isieme dei puti al di sopra della retta di equazioe 2x + 2( + y 2 (c Nelle otazioi del puto precedete, si ricava che R è uguale all isieme dei puti (x, y del piao di Gauss tali che y m x + k e si tratta quidi della retta passate per i puti corrispodeti ai umeri complessi ki e k m Osserviamo che, essedo f e g l ua l iversa dell altra, si ha g (U { z C g(z U } { z C f(g(z < k } { z C z < k } e quidi R g U è l itersezioe della retta R co i puti iteri al cerchio di raggio k, cetrato ell origie, ovvero le soluzioi del sistema { x 2 + y 2 k 2 y m x + k ovvero i puti iteri al segmeto di estremi z ik e z 2 2mk 2 +m + ik 2 m m 2 (d Ricordiamo che l immagie diretta di ua retta, r, tramite g è u cerchio, a meo che la retta o passi per il puto ove si aulla il deomiatore di g, el qual caso, l immagie diretta è ua retta Nel ostro caso la retta R cotiee il puto mi se, e solo se, m k

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5 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova di accertameto del 7 dicembre 25 ESERCIZIO Sia {, 2, 3, 4} tale che 5 mod 4 Si cosiderio i R 4 i vettori u e + e 3, u e 2, w e 2 + (2 + e 3, w 2 2e + 2e 3 + e 4; ove E {e,, e 4 } è, come di cosueto, la base caoica (a Posto U u, u 2 e W w, w 2, si verifichi che R 4 U W e si determiio delle equazioi cartesiae per U e W Detta π : R 4 R 4 la proiezioe su U, parallelamete a W, si scriva la matrice α E,E (π ( 2 3 (b Sia φ : W U l applicazioe lieare di matrice A rispetto alle basi W {w 2, w 2 } e U {u, u 2 } Si cosideri il sottospazio W φ { w + φ(w w W } e si determiio dim W φ ed ua sua base Detta π φ : R 4 R 4 la proiezioe su U parallela a W φ, si calcolio π φ (w e π φ (w 2 (c Sia W e 2e 3, e 2 + e 4 Si verifichi che R 4 U W Si dica se esiste ua applicazioe lieare ψ : W U tale che W { w + ψ(w w W } e, i caso affermativo, si scriva la matrice α W,U (ψ Svolgimeto (a Co u calcolo diretto, si verifica che u, u 2, w, w 2 soo liearmete idipedeti e soo quidi ua base di R 4 Duque R 4 U W Delle equazioi cartesiae per i due sottospazi possoo essere Dato u geerico vettore, x { x x 3 U : x 4 ( x x 2 x 3 x 4 W : { x 2 2 x 4 (2 + x 2 + x 3 2x 4, la sua proiezioe su U è ua combiazioe lieare α u + α 2 u 2, tale che x α u + α 2 u 2 W Sostituedo le coordiate di questo vettore elle equazioi del sottospazio W, si ricava da cui si deduce che la matrice cercata è α x 2x 4, α 2 (2 + x 2 + x 3 x, A α E,E (π 2 2 ( (b Si ha W φ w + φ(w, w 2 + φ(w 2 ed i due vettori soo ua base del sottospazio Ifatti, se fosse β (w + φ(w + β 2 (w 2 + φ(w 2 si avrebbe β w + β 2 w 2 β φ(w β 2 φ(w 2 U W Da cui si coclude che β β 2, per l idipedeza di w, w 2 Duque dim W φ 2 ed R 4 U W φ Da quato visto el puto precedete, dato u vettore x R 4, esistoo (e soo uici due vettori u U e w W tali che x u + w Si ha quidi x (u φ(w + (w + φ(w, co u φ(w U, w + φ(w W φ ; da cui si deduce che π φ (x u φ(w π(x φ(x π(x Duque π φ (w φ(w 2u + u 2, π φ (w 2 φ(w 2 3u 2u 2 (c I vettori u, u 2, e 2e 3, e 2 + e 4 soo liearmete idipedeti, come si verifica co u calcolo diretto, quidi soo ua base di R 4 U W U applicazioe lieare ψ : W U, soddisfacete alle codizioi date, esiste se, e solo se, esiste la matrice α W,U (ψ, ovvero se esistoo delle costati a,, a 22 tali che w a u a 2 u 2 W w 2 a 2 u a 22 u 2 W 5

6 6 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA { 2x Osservado che delle equazioi cartesiae per W + x 3 soo, si ottiee il sistema lieare x 2 x 4 (2 + a a + a2 2+ a e quidi (2 + a a 2 2 a a L esisteza dell applicazioe ψ, poteva essere dedotta ache el modo seguete Detta π : R 4 W, la proiezioe su W, parallelamete ad U, dalla codizioe U W, si deduce che π W : W W è u isomorfismo tra W e W L omomorfismo ψ : W U altri o è che π π W ESERCIZIO 2 Sia {, 2, 3} tale che 6 mod 3 Sia V R[X] 3 lo spazio vettoriale dei poliomi a coefficieti reali, di grado miore o uguale a 3 e siao π : R[X] V la proiezioe su V ella direzioe del sottospazio X 4 ; ψ : R[X] R[X] l applicazioe P (X (X 3 P (X 3(X 2 P (X, ove P (X è la derivata di P (X; φ : V V la composizioe V j ψ π R[X] R[X] V, ove j è l iclusioe V R[X] (a Verificare che φ è u applicazioe lieare e scrivere la sua matrice rispetto alla base B {, X, X 2, X 3} (b Determiare ua base per kerφ, imφ, kerφ imφ e kerφ + imφ (c Si cosideri φ 2 φ φ È vero che V kerφ 2 imφ 2 e che φ(kerφ 2 kerφ 2 ed φ(imφ 2 imφ 2? È vero che kerφ kerφ 2 per ogi 2? (d Dire se il sottoisieme A { β Ed R V φ β } è u sottospazio di Ed R V I caso affermativo, si cosideri l isomorfismo α B,B : Ed R V M 4 (R e si determiio la dimesioe ed ua base del sottospazio α B,B (A Svolgimeto (a La derivazioe, così come la moltiplicazioe per u fissato poliomio soo applicazioi lieari La composizioe e la somma di applicazioi lieari soo applicazioi lieari, per cui φ è u applicazioe lieare La sua matrice è A α B,B (φ (b Il ucleo è il sottospazio kerφ (X 3, di dimesioe L immagie ha dimesioe 3 ed è il sottospazio 2 3 X 3 2 X 2, 2X 3 3X 2 + 3, 6 2 X X 2 Ioltre, φ(x 2(X 3 geera kerφ, e quidi kerφ imφ, da cui si coclude che kerφ imφ kerφ e kerφ + imφ imφ (c Si ha kerφ 2 X, (X 3 imφ 2 4x 3 6X X 3, 2X 3 5X X 3 e kerφ 2 imφ 2 ; quidi R 4 kerφ 2 imφ 2 È ovvio che, se P kerφ2, allora φ(p kerφ kerφ 2 Se, ivece, P imφ 2, allora P φ 2 (Q per u poliomio Q V e φ(p φ 3 (Q φ 2 (φ(q imφ 2 Ifie, che kerφ kerφ 2, è certamete vero per 2; suppoiamolo vero per u espoete e dimostriamolo per l espoete successivo Se kerφ + coteesse propriamete kerφ 2 kerφ, esisterebbe u poliomio P, co P imφ kerφ; ma imφ imφ 2, kerφ kerφ 2 e imφ kerφ imφ 2 kerφ 2 e quidi u tale P o può esistere (d Il sottoisieme A cotiee l omomorfismo ullo ed ioltre, poiché la composizioe di applicazioi lieari distribuisce rispetto alla somma, si coclude che A è u sottospazio U omomorfismo β appartiee ad A se, e solo se, imβ kerφ e quidi ua matrice sta i α B,B (A se le coloe soo multipli delle coordiate di (X 3 e quidi ua base di α B,B (A soo le matrici ( 3 3 2, 3 ( 3 3 2, 3 ( 3 3 2, 3 (

7 Matematica 2 ModA Compitio del 7 dicembre 25 7 che ha perció dimesioe 4 ESERCIZIO 3 Sia {, 2, 3, 4} tale che 4 mod 4 Si cosideri il seguete sistema a coefficieti reali: ( 2 tx + x 2 + ( tx 3 + 2x 4 + x 5 (t + 2 x + (t x 2 + (t x 3 + (t 3x 4 ( + x 5 2 tx 2 + (t x 3 + (t x 4 x 5 2 ( 2 tx + (t + x 2 + ( tx 3 + 2x 4 + x 5 (a Per quali valori di t il sistema o ammette soluzioi? Per quali valori di t ammette u uica soluzioe? Per quali valori di t il sistema ammette ifiite soluzioi? I ogi caso, determiare la dimesioe dello spazio delle soluzioi del sistema omogeeo associato (b Si determiio le soluzioi del sistema, al variare di t i R (c Dire se esiste l iversa della matrice B e, i caso affermativo, scriverla come prodotto di matrici elemetari Nel caso i cui B o sia ivertibile determiare due matrici ivertibili P, Q GL(4, R tali che P BQ, ove r rkb ( r Svolgimeto (a Attraverso la riduzioe di Gauss (I, I+II, III-I-II e IV-2I-II si arriva al sistema ( 2 tx + x 2 + ( tx 3 + 2x 4 + x 5 tx 2 + (t x 4 x 5 2 (t x 3 ( tx 4 + x 5 2 Il sistema ammette soluzioi per ogi valore di t e, i particolare, è ua soluzioe, qualuque sia il valore di t Il sistema ammette ifiite soluzioi per ogi valore del parametro t e, precisamete, le soluzioi del sistema omogeeo associato formao u sottospazio di dimesioe per t / { 2,, } Per gli altri valori di t il sistema omogeeo associato ammette u sottospazio di dimesioe 2 di soluzioi (b Abbiamo già visto el puto precedete che il sistema ha la soluzioe, idipedetemete dal valore del parametro t Per t / { 2,, } la matrice icompleta ha rago 4 e le soluzioi del sistema omogeeo associato soo tutti i vettori del sottospazio Per t, la matrice icompleta ha rago 3 e le soluzioi del sistema soo tutti i vettori del tipo +, Per t, la matrice icompleta ha rago 3 e le soluzioi del sistema soo tutti i vettori del tipo +, t 2

8 8 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA Per t 2, la matrice icompleta ha rago 3 e le soluzioi del sistema soo tutti i vettori del tipo +, 2 (c Per, la matrice B ha rago 4 e quidi, co operazioi elemetari sulle righe, si può trasformare ella matrice idetica Ad esempio, I, I II, I III, IV I, seguita da I, II, III, IV + II e da I II + IV, II, III + IV, IV Il prodotto delle matrici elemetari corrispodeti è l iversa cercata, ovvero B ( ( ( ( ( ( ( ( ( 2 Per la matrice B ha rago 3 e pesiamola come la matrice α E,E (φ di u edomorfismo di R 4 ella base caoica Le matrici P e Q sarao quidi le matrici di cambiameto di base che portao φ i forma caoica Prediamo la base V {v,, v 4 }, ove v e, v 2 e 2, v 3 e 3, v 4 e + e 3 + e 4, e l ultimo vettore è ua base di kerφ Prediamo poi la base W {w,, w 4 }, ove w φ(e e + e 2 + e 3 + e 4, w 2 φ(e 2 e + e 3 + e 4, w 3 φ(e 3 e 3, w 4 e 4 È chiaro che α V,W(φ cercate soo Q α V,E ( ( e P α E,W ( α W,E ( ( ( ; quidi le matrici

9 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova scritta del 5 dicembre 25 ESERCIZIO Sia u umero itero positivo (a Si calcoli ( k (b Si calcoli (c Si calcoli k ( ( k k k [/2] k ( 2k ( + ( ( + ( + + ove [/2] idica il più grade itero, miore o uguale ad /2 ( ( ( + + ( ( ( [/2] Svolgimeto (a Per la formula del biomio ( k k è uguale a ( + 2 (b Per la formula del biomio k ( k( k è uguale a ( + (c Da quato visto ei puti precedeti si deduce [/2] k ( 2k 2 k ( ( + ( k 2 k k Fie della discussioe ESERCIZIO 2 Sia {, 2, 3, 4} tale che 6 mod 4 Si cosideri la fuzioe di variabile complessa f(z ( + z + i( z + i (a Si determiio il domiio e l immagie di f e si determii la sua fuzioe iversa (b Si disegio i sottoisiemi H e D f (H, ove H { z C i(z z < } (c Si cosiderio le trasformazioi g(z az + b, co a, b, c, d R ed ad bc, e si mostri che per ogi cz + d tale g si ha g (H H g (H Data g(z z +, sia h la trasformazioe composta h f g f Si determii h (D Svolgimeto (a f è defiita per z i ed ha come immagie C { + } Su quest ultimo isieme è defiita la fuzioe iversa f (z i z + + z (b Osserviamo che i(z z 2Im(z e quidi H è il semipiao formato dai umeri complessi co parte immagiaria positiva Si ha { } D f (H f (H z C i(f (z f (z < { z C z z z z + 2 < } Quidi D è il disco aperto (seza il bordo di cetro e raggio e si ha f (D f (D H (c Cosideriamo la trasformazioe g(z az + b cz + d e la sua iversa g (z dz b Si ha a cz g (H { z C i(g(z g(z < } { z C i(ad bc(z z < } H 9

10 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA e, aalogamete, g (H g (H H Da quato visto si coclude che h (D f (g (f (D f (g (H f (H D, qualuque sia g tra le trasformazioi del tipo descritto e quidi ciò vale i particolare per g(z z + ESERCIZIO 3 Sia {, 2, 3, 4} tale che 5 mod 4 Si cosiderio i sottospazi di C 4, D e ie 3 + (i e 4, ie ( ie 2 + e 3 ed E e, e 2, ove E {e,, e 4 } è la base caoica (a Per oguo dei sottospazi, D ed E, si determiio delle equazioi cartesiae e si verifichi se C 4 D E Si dica se la proiezioe su E, parallela a D, iduce u isomorfismo C 4 /D E (b Si idichi co D l isieme dei vettori di C 4 che si ottegoo dai vettori di D applicado il coiugio a tutte le coordiate Si verifichi se C 4 D D Si cosiderio la base {e, e 2 } su E e la base di D formata dai coiugati dei vettori di base di D e si scriva la matrice dell applicazioe composta j D C 4 π E, ove j è l iclusioe e π la proiezioe parallela a D (c Sia L e, e 2, e 3, e 4 R lo spazio vettoriale reale geerato dalla base caoica e si verifichi che la restrizioe ad L della proiezioe π : C 4 E iduce u isomorfismo, φ : L E, di spazi vettoriali reali Si scriva la matrice ella base data dell edomorfismo, ψ : L L, defiito da ψ(x φ (iφ(x, per ogi x L Svolgimeto (a Due sistemi di equazioi cartesiae soo { ix + x 3 D : x + ix 2 + x 3 + x 4 ed E : { x3 x 4 ( i i Le coordiate dei geeratori di E e D soo le coloe della matrice, che ha chiaramete rago i i 4; duque C 4 D E La proiezioe su E, parallela a D, è u edomorfismo di C 4 che ha D come ucleo ed E come immagie, quidi, per il Primo Teorema di Isomorfismo, E C 4 /D (b D è il sottospazio di C 4 geerato dai coiugati dei due vettori di base di D, ovvero D e + ie 3 (i + e 4, ie ( + ie 2 + e 3 e si può verificare, i modo aalogo ( a quato fatto el puto precedete, che C 4 D D Detti d e d 2 i a b due vettori di base di D, la matrice di π j è determiata dalle codizioi c d e d ae ce 2 D d 2 be de 2 D come si ricava dalle equazioi cartesiae di D ovvero ovvero { a 2 c 2i { b 2i d 2i (c I sottospazi L ed E hao etrambi dimesioe 4 su R e quidi la proiezioe π iduce u isomorfismo se, e solo se, la sua restrizioe ad L è iiettiva Ora kerπ L L kerπ L D, perché, se x, x 2, x 3, x 4 R, si ha { ix + x 3 x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 D x + ix 2 + x 3 + x 4 x x 2 x 3 x 4 I particolare, si ha π(e e, π(e 2 e 2, π(e 3 ie + ( ie 2, π(e 4 ie 2 ;

11 MATEMATICA 2 ModA prova scritta del 5 dicembre 25 quidi, idicata co L {e,, e 4 } la base caoica di L e co E {e, e 2, ie, ie 2 } la base aturale di E come spazio vettoriale reale, si ha P α L,E (φ La moltiplicazioe per i, m i : E E, ella base data di E, ha matrice Quidi la matrice di ψ è uguale a P AP, ovvero A α E,E (m i α L,L (ψ / / / / Fie della discussioe ESERCIZIO 4 Si cosiderio le matrici A t t 2t 2 t t t t + 2t 2 2t + 2 t t + t t 2 al variare di t i R (a Si determii il rago di A t al variare di t R (b Si determii l isieme, R t, delle matrici B t, tali che A t B t 4, al variare di t R (c Per ogi umero primo p, si determii il ucleo di A p, cosiderado le etrate della matrice come elemeti di F p Svolgimeto (a e (b Rispodere alla secoda domada sigifica risolvere quattro sistemi lieari che hao le coloe di B t come icogite e le coloe della matrice idetica, 4, come termii oti Operiamo quidi col metodo di riduzioe di Gauss sulla matrice completa di questo sistema, ovvero che è riga-equivalete a t 2t 2 t t t t + 2t 2 2t + 2 t t + t t 2 t 2t 2 t t III I t 2 2t IV I + II t + e quidi possiamo già affermare che, per t / {,, }, la matrice A t ha rago 4 e quidi l isieme R t o è vuoto

12 2 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA Proseguedo co la tecica di elimiazioe si ottiee I + 2t t+ IV t 2 2t t+ t (II t+ IV t(t+ t (III + 2 t+3 t+iv 2 t+ IV t+ t(t+ 2t 2t t+ t+ t+ t(t+ 2 2 t(t+ t t(t+ t+ t+ ed ifie t (I III 2t2 +3 t(t 2 II + III 2 t+2 t(t+ 2 t+3 t(t+ t+ 2t 2 2 t(t 2 2t 2 2 t(t t(t 2 t+2 t(t+ t t(t+ 2 2 t(t+ t t(t+ t+ t+ Abbiamo quidi trovato ua soluzioe particolare al problema, a cui dobbiamo sommare tutte le soluzioi del sistema omogeeo associato, ovvero le matrici che hao come coloe vettori el ucleo di A t Quidi, per t / {,, }, gli elemeti di R t soo le matrici 2t2 +3 t(t 2 2t 2 2 t(t 2 t(t 2t 2 2 t(t 2 2a t+2 t(t+ 2b + t+2 t(t+ 2c + t 2d t(t+ 2a t+3 t(t+ 2b + 2 t(t+ 2c + t 2d 2 t(t+ t+ t+ t+ a b c d al variare di a, b, c, d R Per t ± il rago di A t è uguale a 3, metre per t il rago è 2 I tutti e tre i casi R t perché essu prodotto A t X può avere rago maggiore di rka t (c Osserviamo ifie che, su F p, la matrice A p diveta Duque ha rago 2 ed il suo ucleo è il sottospazio K, i F 2, 2, che matiee seso ache

13 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova scritta del 9 geaio 26 ESERCIZIO Siao e k due umeri iteri e si idichi co Pk omogeei di grado i k idetermiate a coefficieti reali (a Si mostri che dim Pk ( +k (b Si mostri che, per ogi e k, si ha ( + k ( j + k j j lo spazio vettoriale dei poliomi (c È vero che si ha ( + k + k per ogi e k? k ( + i ( j + k + j i Svolgimeto (a La dimesioe dello spazio vettoriale Pk coicide co il umero di moomi di grado, i k idetermiate, X,, X k Se k, per ogi itero c è u uico moomio di grado, X, e quidi dim P (, che dimostra la formula i questo caso particolare Se k >, osserviamo che, se, l uico moomio di grado è la cortate e quidi dim Pk ( k Possiamo quidi fare iduzioe suppoedo che la formula sia vera per tutte le coppie di iteri i cui almeo uo dei due è miore di o di k e distiguiamo i moomi della base di Pk mettedo da ua parte quelli i cui compare X e dall altra quelli i cui questo fattore o compare I primi si otterrao moltiplicado per X i moomi di grado, metre i secodi soo i moomi di grado i k idetermiate, applicado l ipotesi iduttiva, si ottiee dim P k dim P k + dim P k ( + k 2 + j ( ( + k 2 + k che è quato dovevamo verificare (b Sia fissato k e dimostriamo la formula per iduzioe su Se, si ha ( ( k k Per >, applicado l ipotesi iduttiva, si ha + ( j + k j j che dimostra la formula ( + k + + ( j + k j j ( + k + + (c Per quato visto al puto precedete, si tratta di verificare se è vero che k ( ( ( + i + k + + k k i ( ( + k + k + + ( + k k Possiamo quidi fissare e fare iduzioe su k Ifatti, per k, si ha ( ( + Per k >, applicado l ipotesi iduttiva, si ottiee k+ ( ( + i + k + i k ( ( + i + k k i + ( + k k ( + k + k Duque la formula è vera per ogi k 3

14 4 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA ESERCIZIO 2 Sia { ( a b SL(2, R M c d 2 (R ad bc } (a Si verifichi che, ( qualuque siao A e B i SL(2, R, si ha AB SL(2, R ed A SL(2, R a b (b Data A SL(2, R, si cosideri la fuzioe di variabile complessa f c d A (z az + b cz + d Si determiio il domiio ed immagie di f A Sia H { z C i(z z < } e si mostri che f A (H H fa (H per ogi A SL(2, R (c Siao A, B SL(2, R Si mostri che f AB f A f B Svolgimeto (a Siao Si ha quidi ( ( a b α β A, B c d γ δ ( aα + bγ aβ + bδ e quidi AB cα + dγ cβ + dδ (aα + bγ(cβ + dδ (aβ + bδ(cα + dγ (ad bc(αδ βγ Operado sulle righe della matrice e ricordado che ad bc, si ha ( a b c d ( a b c a ( d b e quidi A SL(2, R c a ( a + bc ab c a ( d b ; c a (b La fuzioe f A (z è defiita per z d/c ed ha come immagie il sottoisieme C {a/c} Ioltre, co u calcolo diretto, si verifica che f dz b A (z a cz f A (z e quidi, essedo f A (H f A (H f A (H, è sufficiete verificare che fa (H H per ogi A SL(2, R Ifatti, ( az + b z fa(h i cz + d a z + b < c z + d i ( (az + b(c z + d (a z + b(cz + d < i(z z(ad bc <, che permette di cocludere, essedo ad bc (c Siao A e B come sopra, z d/c, e cosideriamo il vettore ( z C 2 Si ha A ( z ( a b c d ( z ( az + b (cz + d cz + d ( fa (z ed f A (z è determiato dalla codizioe ( ( fa (z z A Osserviamo che si ha ( z AB A(γz + δ ( fa (f e quidi B (z AB ( fb (z (γz + δa ( fb (z (γz + δ(cf B (z + d ( fa (f B (z ( z, da cui si coclude che f AB (z f A (f B (z

15 MATEMATICA 2 ModA prova scritta del 9 geaio 26 5 ESERCIZIO 3 Sia {, 2, 3, 4} tale che 5 mod 4 Si cosideri la matrice, B 2 3 (a Si scrivao le matrici S (B t B, R t B(B t B, P t B(B t B B (b Si determiio ua base di ucleo ed immagie di P e si dicao che relazioi vi soo tra questi sottospazi e ucleo( ed immagie di B e t B È vero che P è la matrice di ua proiezioe? (c Sia v e si cosideri il sistema lieare Bx v Si mostri che tutte le soluzioi del sistema soo del tipo Rv + ( P y, al variare di y i R 4 È così per ogi vettore v R 3? Svolgimeto (a Si ha S /7 /7 /49 /49 /( 2 +, R t /( BS 2 +, /7 2/7 /49 5/49 /( 2 + P RB 2 /( 2 + /( 2 + /( 2 + /( 2 + (b Le prime 3 coloe della matrice P soo liearmete idipedeti, metre la quarta è uguale alla secoda divisa per e quidi rkp 3, imp (, (, ( e kerp ( Si tratta di sottospazi di R 4 e quidi o vi soo relazioi co imb e ker t B che soo sottospazi di R 3 D altro cato, si hao le iclusioi aturali imp im t B e kerb kerp che soo etrambo uguagliaze per motivi di dimesioe, essedo rkb rk t B 3 rkp Si ha P 2 t B(B t B (B t B(B t B B P e quidi P è la matrice della proiezioe di R 4 su im t B parallelamete a kerb (c Si ha BRv (B t B(B t B v v e quidi Rv è ua soluzioe particolare del sistema Ioltre, P è la matrice della proiezioe su kerp kerb (parallelamete ad imp e quidi i vettori del tipo ( P y, al variare di y R 4, geerao kerb, ovvero il sottospazio delle soluzioi del sistema omogeeo associato Si coclude che { x R 4 Bx v } { Rv + ( P y y R 4 } e che ciò vale qualsiasi sia il vettore v i R 3 ESERCIZIO 4 Sia {, 2, 3, 4} tale che 6 mod 4 Si cosiderio i sistemi lieari (t 2x tx 2 3x 3 tx 4 t tx Σ t 2 +2x 3 2 t (t 2x +(t + x (t 2x ( + t + x 3 +tx 4 2 t al variare di t i R (a Si determii, al variare di t R, quado il sistema ha soluzioe e la dimesioe dello spazio delle soluzioi del sistema omogeeo associato (b Si scrivao le soluzioi del sistema al variare di t R

16 6 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA (c Per ogi umero primo p, si determiio le soluzioi del sistema Σ p, cosiderado i coefficieti del sistema come elemeti di F p Svolgimeto (a e (b Operiamo sulle righe della matrice completa del sistema per arrivare ad ua forma a scalii t 2 t 3 t t t 2 2 t t 2 t t 2 t t 2 t III t 2 t II t 2 2 t III I t t t t IV III 2t 2 t t 2 t 2 t t 2 2 t III II t + t 2t + IV + 2III 2II 3t 3t Si coclude quidi che, per t / {,, 2} la matrice icompleta ha rago 4, così come la matrice completa e quidi il sistema Σ t ammette u uica soluzioe, uguale a v t Per t le ultime due righe della matrice completa divetao proporzioali e quidi la matrice completa e quella icompleta hao etrambo rago 3 ed il sistema omogeeo associato hau sottospazio di ( +2 dimesioe di soluzioi Le soluzioi del sistema formao quidi la classe laterale t t Per t l ultima riga della matrice completa diveta ideticamete ulla, metre la secoda e la terza riga divetao proporzioali e quidi la matrice completa e quella icompleta hao etrambo rago 2 ed il sistema omogeeo associato ha u sottospazio di dimesioe 2 di soluzioi Le soluzioi del sistema formao quidi la classe laterale ( (, ( Per t 2 la matrice icompleta ha rago 3 metre quella completa ha rago 4 e quidi il sistema o ha soluzioe Il sistema omogeeo associato ha comuque u sottospazio di dimesioe di soluzioi (c La matrice completa del sistema Σ p è I III I IV I 2 2 Quidi, se p 2, la matrice icompleta e la matrice completa hao etrambo rago 2 ed il sistema ha le soluzioi ( 3/2 + (, ( le soluzioi formao il sottospazio Se p 2 ed è pari, il sistema è omogeeo ed ha rago, quidi (, (, ( Se ivece è dispari la matrice icompleta ha acora rago, metre la matrice completa ha rago 2 e quidi o vi soo soluzioi

17 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova scritta del 4 aprile 26 ESERCIZIO Sia z C (a Si disegi il sottoisieme, D, del piao di Gauss defiito dalle codizioi { z + z D : z z (b Si cosideri la fuzioe f(z z+ Si determiio i domii, D f, di f e D g, della sua iversa, g, e si scriva esplicitamete la fuzioe g(z Si determii l isieme D f D g D (c Si determii e si disegi el piao di Gauss il sottoisieme f (D ( x Svolgimeto (a Come di cosueto scriviamo z x + iy, ove y R 2 Allora D { ( x y R } 2 2 x 2, x2 + y 2 Si tratta cioè dei umeri posti all estero della circofereza uitaria ed all itero della striscia verticale, come el disego sottostate (b Il domiio di f è il piao complesso privato del puto z L iversa di f è la fuzioe g(z z+ z che è quidi defiita su tutto il piao complesso, co l eccezioe dell origie z Etrambi i puti soo esteri a D e quidi D f D g D D (c Osserviamo che { g(z + g(z f (D g (D : g(zg(z D e quidi (x y 2 9 f (D : (x y 2 2x ( x y ( f (D per cui f (D è l isieme evideziato i grigio, delimitato dalle tre circofereze el disego qui a fiaco, compreso il bordo, co l esclusioe dell origie, z, che o appartiee all immagie di f Fie della discussioe 7

18 8 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA ESERCIZIO 2 Si cosiderio i vettori u, u 2, u 3 e w, w 2, w 3 ed i sottospazi U u, u 2, u 3 e W w, w 2, w 3 (a Dai geeratori dati si estraggao delle basi di U e W e si determiio delle equazioi cartesiae per i due sottospazi È vero che R 5 U W? (b Sia π : R 5 R 5 la proiezioe su U, parallelamete a W Si scriva la matrice A α E,E (π Qual è il rago di A? (c Si dica se esiste u applicazioe lieare, φ : W U, tale che 2 2 φ(w + w 2 2u 2u 3, φ(w 2 + w 3 u 3 u, φ(w + w 3 3u 2u 2 u 3 e si scriva la matrice di φ rispetto alle basi determiate al puto (a È vero che l isieme W φ { w φ(w w W } è u sottospazio complemetare ad U? Svolgimeto (a I tre vettori u, u 2, u 3, soo liearmete idipedeti, metre si ha w + 3w 2 + 2w 3 Duque ua base di U è U {u, u 2, u 3 }, ed ua base di W è W {w 2, w 3 } I due sottospazi soo determiati dai segueti sistemi di equazioi cartesiae { x x 5 U : x 2 x 4 x + x 5 W : x 2 + x 4 x 3 Le cique equazioi formao u sistema di rago massimo e quidi si ha U W ; e duque R 5 U W (b Dato x ( x x 5 x π(x W ; e quidi π(x 2 (c Si ha R 5, la proiezioe π(x α u + α 2 u 2 + α 3 u 3, è determiata dalla codizioe x +x 5 x 2+x 4 2x 3 x 2+x 4 x +x 5 Si coclude che A α E,E (π 2 2 φ(w 3u u 2 2u 3, φ(w 2 u 2 u, φ(w 3 u 3 u 2 e quidi φ(w + 3φ(w 2 + 2φ(w 3, da cui si coclude che l applicazioe φ esiste ed ha matrice B α W,U (φ Qualuque sia l applicazioe lieare ψ : W U, il sottospazio W ψ { w + ψ(w w W } è u complemetare di U, duque ciò vale ache per φ

19 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova scritta del 8 luglio 26 ESERCIZIO Sia z C (a Si disegi il sottoisieme, D, del piao di Gauss defiito dalle codizioi z z D : z z + z + z z z z z (b Si cosideri la fuzioe f(z z+ z Si determiio i domii, D f, di f e D g, della sua iversa, g, e si scriva esplicitamete la fuzioe g(z Si determii l isieme D D f D g D (c Si determii e si disegi el piao di Gauss il sottoisieme f (D (d Esistoo puti x D tali che f(x x? Svolgimeto (a Si tratta dei umeri complessi posti all itero della circofereza uitaria cetrata ell origie ed all estero delle due circofereze uitarie cetrate i e, compreso il bordo (cf il disego qui sotto (b Il domiio di f è il piao complesso privato dell origie L iversa di f è la fuzioe g(z +z che è quidi defiita su tutto il piao complesso, co l eccezioe del puto z Si ha D D f D g D D {} (c Osserviamo che ovvero g(zg(z f (D g (D : g(zg(z + g(z + g(z g(zg(z g(z g(z (z + ( z + f (D : z + z z + z 3 per cui f (D è l isieme evideziato i grigio, delimitato dalla circofereza e dalle due rette el disego qui a fiaco, compreso il bordo f (D D (d I puti uiti soo le soluzioi dell equazioe z 2 +z+, ovvero i puti dell isieme D f (D {ζ, ζ}, ove ζ 2 + i 3 2 9

20 2 FABRIZIO ANDREATTA e MAURIZIO CANDILERA ESERCIZIO 2 Siao V e W due spazi vettoriali reali e siao V {v,, v 4 } e W {w,, w 3 } due rispettive basi (a Si determiio, se esistoo, tutte le applicazioi lieari φ : V W tali che φ(v + v 2 2w 3, φ(v + v 3 2w 2, φ(v 2 + v 3 2w, φ(v + v 2 + v 3 w + w 2 + w 3 Si dica se tali applicazioi formao u sottospazio vettoriale di Hom R (V, W e se e determii l evetuale dimesioe (b Si dica se tra le applicazioi del puto precedete esiste ua φ che soddisfi all ulteriore codizioe φ (v + v 2 + v 3 + v 4 w I caso affermativo se e scriva la matrice elle basi date e si determiio ucleo ed immagie (c Si determiio tutte le applicazioi lieari ψ : W V tali che φ ψ W e si scrivao le loro matrici elle basi date (d Siao V e W due spazi vettoriali sul corpo F 2 e siao V {v,, v 4 } e W {w,, w 3 } due rispettive basi Si determiio, se esistoo, tutte le applicazioi lieari φ : V W tali che φ(v + v 2 2w 3, φ(v + v 3 2w 2, φ(v 2 + v 3 2w, φ(v + v 2 + v 3 w + w 2 + w 3 Si determiio, se esistoo, tutte le applicazioi lieari φ : V W tali che φ(v + v 2 2w 3, φ(v + v 3 2w 2, φ(v 2 + v 3 2w, φ(v + v 2 + v 3 + v 4 w Svolgimeto (a I vettori v + v 2, v + v 3, v 2 + v 3, formao ua base del sottospazio v, v 2, v 3 di V, e quidi esiste u uica applicazioe lieare v, v 2, v 3 W che soddisfi alle prime tre codizioi Il vettore v + v 2 + v 3 appartiee al sottospazio v, v 2, v 3 e la codizioe data si ottiee sommado le tre codizioi precedeti Quidi esistoo ifiite applicazioi φ : V W soddisfaceti alle codizioi date e dipedoo dalla scelta dell immagie del vettore v 4 No formao quidi u sottospazio (o c è l applicazioe ulla, ma ua sottovarietà lieare di dimesioe 3( dim W i Hom R (V, W (b Tutte le applicazioi del puto (a soo determiate dalle codizioi φ(v w + w 2 + w 3, φ(v 2 w w 2 + w 3, φ(v 3 w + w 2 w 3, φ(v 4 aw + bw 2 + cw 3 Duque si ha φ (v 4 2w w 2 w 3 e la matrice è 2 A α V,W (φ La matrice ha rago 3 ed il ucleo è il sottospazio ( (c L applicazioe φ è suriettiva, quidi esistoo ifiite applicazioi ψ : W V tali che φ ψ W e la differeza tra due tali applicazioi è u elemeto di Hom (W, kerφ Co la tecica di elimiazioe, si vede che soo riga-equivaleti le matrici e quidi si ha 2 /2 /2 3/2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 2a 2b 2c /2 /2 3a 3b 3c α W,V (ψ +, /2 /2 3a 3b 3c 2a 2b 2c al variare di (a, b, c R 3 (d I F 2, 2, e quidi o possoo esistere applicazioi lieari soddisfaceti alla prima serie di codizioi L uica applicazioe che soddisfi alla secoda serie di codizioi è quidi defiita da φ(v, φ(v 2, φ(v 3, φ(v 4 w