Soluzione degli esercizi del Capitolo 10

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1 Soluzione degli esercizi del Capiolo Soluzione dell Esercizio. La funzione d anello è L(s) = R(s)G(s) = ( + s) 2 il cui diagramma del modulo è mosrao nella Figura S.. Da ale grafico si deduce che risula ω c 3. Sulla base delle approssimazioni discusse nel eso si ricavano quindi gli andameni approssimai di F (jω), S(jω) e Q(jω) riporai nella Figura S.2. Nelle Figure S.3, S.4 e S.5 sono mosrai gli sessi grafici a confrono con quelli esai associai rispeivamene a F (s) = s 2 + 2s + S(s) = s2 + 2s + s 2 + 2s + Q(s) = ( s 2 + 2s + ) s 2 + 2s + Come si vede, l aderenza è acceabile. Le principali discrepanze si noano nei valori a bassa frequenza (che peralro sarebbero meglio simai mediane le formule dell analisi saica) e in vicinanza della pulsazione criica, dove ue e re le funzioni in anello chiuso presenano un picco di risonanza abbasanza pronunciao. Si sarebbe pouo prevedere anche queso effeo alla luce del valore non molo elevao del margine di fase (circa 37 ). Si osservi che i grafici approssimai non sarebbero sai molo diversi se inizialmene ci si fosse affidai al racciameno del diagramma asinoico di L(jω). Soluzione dell Esercizio.2 Dai diagrammi di Bode di L(s) = R(s)G(s) = ( + s) 2 riporai in Figura S.6, si ricava ω c 3 e ϕ m 37. Si può quindi dedurre che i poli dominani in anello chiuso (in queso caso gli unici poli del sisema) siano complessi coniugai con pulsazione naurale ω n ω c 3 e smorzameno ξ ϕ m /.37. In realà i poli del sisema sono le radici del polinomio ϕ(s) = s 2 + 2s +, che presenano ω n = 3.3 e ξ ωn.3. I risulai sono comunque in buon accordo. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

2 2 modulo di L(s) 2 db ω Figura S.: Diagramma di Bode di L(jω) nell Esercizio.. 2 modulo F(s) S(s) Q(s) 2 db ω Figura S.2: Diagrammi di Bode approssimai di F (jω), S(jω) e Q(jω) nell Esercizio.. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 2

3 modulo di F(s) esao approssimao 2 db ω Figura S.3: Diagramma di Bode di F (jω) nell Esercizio.. 5 modulo di S(s) esao approssimao 5 db ω Figura S.4: Diagramma di Bode di S(jω) nell Esercizio.. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 3

4 3 25 modulo di Q(s) esao approssimao 2 5 db ω Figura S.5: Diagramma di Bode di Q(jω) nell Esercizio.. 2 Bode Diagram Gm = Inf db (a Inf rad/sec), Pm = 36.9 deg (a 3 rad/sec) Magniude (db) Phase (deg) Frequenc (rad/sec) Figura S.6: Diagrammi di Bode di L(jω) nell Esercizio.2. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 4

5 .4.2 vera approssimaa Figura S.7: Risposa di a un riferimeno w a scalino uniario nell Esercizio.3. Soluzione dell Esercizio.3 Basandosi sulla pulsazione criica e sul margine di fase, nell Esercizio.2 si è ricavaa una sima dei parameri dei poli dominani del sisema reroazionao. Precisamene, si può rienere che la pulsazione naurale sia ω n 3 e lo smorzameno sia ξ.37. Inolre, essendo la funzione d anello di ipo g =, i guadagni delle funzioni di sensiivià F (s), S(s) e Q(s) sono, rispeivamene, µ F = µ/( + µ) = /, µ S = /( + µ) = /, e µ Q = µ R /( + µ) = /. Quese valuazioni permeono di prevedere con buona accuraezza il comporameno del sisema in risposa all ingresso w() = Asca(). Si consideri dapprima la risposa di. Essa corrisponde alla risposa allo scalino di un sisema del secondo ordine con poli complessi coniugai caraerizzai da ω n 3 e ξ.37, privo di zeri, e con guadagno µ F = /. In paricolare, il valore di regime è = A/, il empo di assesameno è T a 4.6/ξω n 4.4, il periodo delle oscillazioni è T P π/ω n ξ2.3, e la massima sovraelongazione percenuale è circa del 29%. La Figura S.7 mosra la risposa esaa a confrono con quella approssimaa. La risposa di e si può oenere dalla formula e() = w() (). Sarà perano anch essa oscillane, con caraerisiche simili a quella di (), ma con valore di regime e = Aµ S = A/. Si noi che la presenza in S(s) di due zeri in s = fa sì che la funzione di rasferimeno ra w ed e non sia sreamene propria (perano e() ), e rende difficile valuare le sovraelongazioni. L andameno di e() in risposa a uno scalino uniario è mosrao nella Figura S.8. Infine, daa la naura saica del regolaore, la variabile di conrollo u() ha lo sesso andameno di e() moliplicao per un faore. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 5

6 e Figura S.8: Risposa di e a un riferimeno w a scalino uniario nell Esercizio.3. Soluzione dell Esercizio.4 Il riardo τ =. non modifica il valore della pulsazione criica, che rimane ω c 3, ma fa diminuire il margine di fase della quanià ω c τ8/π 7, porandolo a ϕ m 2. Ciò fa prevedere che la risposa a uno scalino del riferimeno preseni oscillazioni meno smorzae (ξ.2) e un ransiorio più lungo. La risposa della variabile conrollaa si asseserà sul valore di regime = A/ con un empo di assesameno valuabile come T a 7.67, periodo di oscillazione T P.7, e massima sovraelongazione percenuale del 53% circa. La Figura S.9 pone a confrono i ransiori esao e approssimao. Soluzione dell Esercizio.5 Dai diagrammi di Bode di L(s) = 2 s ( +.s) riporai nella Figura S., è immediao verificare che il sisema reroazionao è asinoicamene sabile e ha quindi senso parlare di errore a ransiorio esaurio. Grazie al principio di sovrapposizione degli effei si può scomporre ale errore nei re conribui dovui ai diversi ingressi, cioè e = e w + e n + e d Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 6

7 .5 vera approssimaa Figura S.9: Risposa di a un riferimeno w a scalino uniario nell Esercizio.4. Bode Diagram Gm = Inf db (a Inf rad/sec), Pm = 38.7 deg (a 2.5 rad/sec) Magniude (db) Phase (deg) Frequenc (rad/sec) Figura S.: Diagrammi di Bode di L(jω) nell Esercizio.5. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 7

8 Il conribuo dovuo al segnale di riferimeno è Quello dovuo al disurbo n è e w = lim s ss(s) A s 2 = lim s Infine, quello dovuo al disurbo d è A s s s + 2 = A 2 e n = lim s sf (s) B s = lim s B 2 s + 2 = B e d = lim s ss(s) C s = lim s C Complessivamene si ha allora e = A/2 + B. s s + 2 = Soluzione dell Esercizio.6 Innanziuo, si ricordi dall Esercizio. che la pulsazione criica del sisema di conrollo è ω c 3. Poiché la funzione di rasferimeno ra d e è la funzione di sensiivià S(s), il sisema di conrollo si compora nei confroni del disurbo d come un filro passa-alo, che lascia passare le componeni con pulsazioni superiori a ω c. Il disurbo d() indicao nel eso è un segnale periodico sviluppabile in serie di Fourier, con una componene a pulsazione nulla corrispondene al valor medio d = 2, e con un infinià di componeni armoniche a pulsazioni muliple di ω = 2π/T.63. Alcune di quese (precisamene le prime 4) ricadono all inerno della banda [, ω c ] e vengono quindi aenuae. Quelle con pulsazioni superiori passano invece sull uscia quasi inalerae. Si osservi infine che la componene a pulsazione nulla subisce un aenuazione pari a µ S = /( + µ) = /. Si può quindi concludere che l uscia a ransiorio esaurio in risposa a ale disurbo è un segnale periodico con media ȳ = 2/, il cui spero conserva le componeni armoniche più veloci dell onda quadra. Ciò è confermao dalla simulazione riporaa nella Figura S.. Nei confroni del disurbo n() il sisema di conrollo si compora invece da filro passa-basso, con banda passane [, ω c ]. Infai la funzione di rasferimeno ra n e è F (s). Perciò se n() ha l andameno ipoizzao, l uscia a ransiorio esaurio è un segnale periodico con componene media ȳ = 2µ F = 2µ/( + µ) = 2/, in cui sono preseni, con ampiezza sosanzialmene invariaa, solo le componeni armoniche fino alla pulsazione 4ω. Le resani armoniche subiscono invece un aenuazione via via più marcaa. Il risulao della simulazione è mosrao nella Figura S.2 e conferma la sosanziale incapacià del sisema di conrollo di aenuare un ale disurbo sulla linea di reroazione. Soluzione dell Esercizio.7 La funzione d anello vale L(s) = 2 ( +.5s) s ( + s) Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 8

9 Figura S.: Risposa di al disurbo d nell Esercizio Figura S.2: Risposa di al disurbo n nell Esercizio.6. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 9

10 6 Bode Diagram Gm = Inf, Pm = 8.3 deg (a 6.22 rad/sec) 4 Magniude (db) Phase (deg) Frequenc (rad/sec) Figura S.3: Diagrammi di Bode di L(jω) nell Esercizio.7. e in corrispondenza si ricava ω c 6.2 e ϕ m 8 (si veda la Figura S.3). Il sisema di conrollo è quindi in grado di aenuare il disurbo sinusoidale d quando la sua pulsazione è ω = < ω c (con un faore di aenuazione che si può simare come L(j) db 9 db, cioe circa.), menre non lo aenua quando ω = 2 > ω c. I risulai sono confermai dalle simulazioni mosrae nella Figura S.4. Nei confroni del disurbo n le conclusioni si rovesciano. Se ω =, il disurbo non viene praicamene aenuao, menre se ω = 2 viene aenuao di L(j2) db db, cioè di un faore circa.3. Si veda la Figura S.5 per le simulazioni corrispondeni. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

11 .5 risposa al disurbo d() ω= ω= Figura S.4: Risposa di al disurbo d nell Esercizio.7..5 risposa al disurbo n() ω= ω= Figura S.5: Risposa di al disurbo n nell Esercizio.7. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

12 2 3 E G / θ E F / θ 4 db Figura S.6: Diagrammi di Bode di E G (jω, θ, θ)/ θ e di E F (jω, θ, θ)/ θ nell Esercizio.8. ω Soluzione dell Esercizio.8 Usando la noazione e le formule del Paragrafo.6.4, si ha E G (s, θ, θ) = S(s, θ) = s s θ = + θs + 5s θ s( + s) 2 s 3 + 2s 2 + s ( + θ ) + = s( + s) 2 s 3 + 2s 2 + 6s + E F (s, θ, θ) = S(s, θ)e G (s, θ, θ) = s 2 ( + s) 2 (s 3 + 2s 2 + 6s + ) ( + 5s) θ Come si vede dai grafici riporai nella Figura S.6, che confronano l effeo dell incerezza paramerica sulla risposa in frequenza associaa a G(s) (misuraa da E G (jω, θ, θ)/ θ ) con quello sulla risposa in frequenza associaa a F (s) (misuraa da E F (jω, θ, θ)/ θ ), la reroazione produce una noevole diminuzione di ale effeo a bassa frequenza, a prezzo di un lieve incremeno di sensiivià a medie pulsazioni. A uleriore conferma di ale proprieà, si confronino (Figura S.7) le rispose allo scalino di G(s, θ) e di F (s, θ) al variare di θ nell inervallo [4, 6]. Risula evidene la minor dispersione delle rispose in anello chiuso rispeo a quelle in anello apero. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 2

13 3 risposa allo scalino in anello apero (blu) e in anello chiuso (rosso) Figura S.7: Rispose allo scalino di G(s, θ) e di F (s, θ) al variare di θ nell Esercizio.8. Coprigh c 28 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 3