Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)

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1 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. ATTENZIONE: concentrare l attenzione sugli Esercizi e, e dedicare il tempo rimasto a risolvere uno degli altri due. Esercizio. In un test di ammissione vi è una domanda, inserita per verificare la conoscenza dell argomento A da parte dei concorrenti, cui vengono proposte 5 risposte alternative; di tali risposte alternative una soltanto è corretta. Si reputa che chi conosce A ha una probabilità p.9 di fornire la risposta corretta. Coloro che non conoscono A rispondono a caso ed hanno una probabilità ρ. di fornire la risposta corretta. Si reputa inoltre che ciascun concorrente ha una probabilità π. di conoscere A (e vi è indipendenza fra i diversi concorrenti. a Posto A l evento {il concorrente conosce l argomento A} e posto R l evento {il concorrente risponde correttamente alla domanda}, individuare, sulla base dei dati del problema, P (A, P (R A e P (R A, e calcolare la probabilità che il concorrente dia la risposta corretta. b Qual è la probabilità condizionata che il concorrente conosca l argomento A, sapendo che ha dato la risposta corretta? c Si scrutinano le risposte dei concorrenti una dopo l altra. Qual è la probabilità che si trovi per la prima volta una risposta errata esattamente al scrutinio? d Qual è la probabilità dell evento D{tra i primi concorrenti, esattamente 9 danno la risposta corretta}? e Si supponga ora di sapere che tra i primi concorrenti esattamente 9 hanno dato la risposta corretta, qual è la proabilità dell evento E{tra concorrenti scelti a caso tra i primi dieci, esattamente danno la risposta corretta}? Esercizio. Sia U una variabile aleatoria binomiale di parametri (,. Si definisca T U a Calcolare la distribuzione di probabilità di T. Sia ora X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme in {,, +} (ovvero X(Ω {,, +} e P (X h costante per h,, +e indipendente da T. Si definisca la variabile aleatoria Y XT. b Calcolare la distribuzione di probabilità congiunta di X ed Y. c Calcolare la distribuzione condizionata di X, dato {Y } e verificare se {X } ed {Y } sono eventi stocasticamente indipendenti, correlati positivamente o correlati negativamente. d Sia ora W (X + Y +. Mostrare che il valore atteso di W vale e che la varianza di W vale 4. e Sia ora W n una successione di variabili aleatorie tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione di W e siano, come al solito, S n W +W +...+W n e Y n Sn n W +W +...+W n n. Utilizzando il Teorema Centrale del Limite, calcolare approssimativamente P (Y n > x, per n ed x. ( /.

2 Esercizio. X è una variabile aleatoria con funzione di distribuzione data da per x < F (x (x + per x < + x per x < per x a Calcolare P ( X. b Calcolare la funzione di densità di probabilità di X. c Calcolare E(X. Esercizio 4. Un solitario inizia nel seguente modo: inizialmente si lancia un dado e si ha X se escono o, X se escono o 4, oppure X + se escono 5 o 6. Successivamente si lanciano due monete ben equilibrate e se escono due croci si cambia segno (ovvero si passa da i a j-i, se escono una croce ed una testa si va in (ovvero si passa da i a, e se escono due teste si rimane dove ci si trova (ovvero si passa da i a ji. Sia X la variabile aleatoria ottenuta in questo modo. a Individuare, sulla base dei dati del problema, P (X j X i, per i e j in {,, +}. b Calcolare la distribuzione di X e la distribuzione di X. c Si ripete il lancio delle due monete e si ottiene quindi X a partire da X, con lo stesso meccanismo con cui si è ottenuta X da X (ovvero P (X j X i P (X j X i. Il gioco riesce se X. Calcolare la probabilità che il gioco riesca. (parte facoltativa Si noti che X, X ed X si possono considerare come i primi elementi di una successione di variabili aleatorie {X n } n, che è una catena di Markov con matrice delle probabilità di transizione P (X n+ j X n i P (X j X i d Calcolare P (X, X, X. e Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. f Calcolare P (X j X i

3 FOGLIO RISPOSTE della prova di Mercoledì giugno 4 NOME e COGNOME... canale NAPPO canale SPIZZICHINO ORALE luglio... ORALE dopo il luglio... Esercizio. a P (A... P (R A... P (R A... p a... b p b... c p c... d p d... e p e... Esercizio. a b Y X + + c distribuzione di X condizionata a Y {X } ed {Y } sono indipendenti correlati positivamente correlati negativamente d svolto non svolto e P (Y >.... Esercizio. a P ( X... b f(x c E(X... Esercizio 4. a svolto non svolto b P (X... P (X... P (X +... P (X... P (X... P (X +... c Probabilità che il gioco riesca... facoltativi... per x <... per < x <... per < x <... per x > d P (X, X, X... e π... π... π... f svolto non svolto

4 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino SOLUZIONI della prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Esercizio. In un test di ammissione vi è una domanda, inserita per verificare la conoscenza dell argomento A da parte dei concorrenti, cui vengono proposte 5 risposte alternative; di tali risposte alternative una soltanto è corretta. Si reputa che chi conosce A ha una probabilità p.9 di fornire la risposta corretta. Coloro che non conoscono A rispondono a caso ed hanno una probabilità ρ. di fornire la risposta corretta. Si reputa inoltre che ciascun concorrente ha una probabilità π. di conoscere A (e vi è indipendenza fra i diversi concorrenti. a Posto A l evento {il concorrente conosce l argomento A} e posto R l evento {il concorrente risponde correttamente alla domanda}, individuare, sulla base dei dati del problema, P (A, P (R A e P (R A, e calcolare la probabilità che il concorrente dia la risposta corretta. soluzione di a P (A π., P (R A p.9 e P (R A ρ., e quindi, per la formula delle proabilità totali, P (R P (A P (R A + P (A P (R A ( Infatti dai dati del problema, per ciascun concorrente si ha che conosce l argomento A con probabilità π., e cioè, più in generale se A i {il concorrente i conosce l argomento A}, allora P (A i π., se conosce l argomento A la probabilità di rispondere esattamente è p.9, cioè, più in generale, se R i {il concorrente i risponde correttamente alla domanda}, allora P (R i A i p.9, se non conosce l argomento A risponde a caso e ha probabilità ρ. di dare la risposta corretta, cioè, più in generale, P (R i A i ρ.. b Qual è la probabilità condizionata che il concorrente conosca l argomento A, sapendo che ha dato la risposta corretta? soluzione di b P (A R Infatti per la formula di Bayes P (A P (R A P (A R P (A P (R A + P (A P (R A

5 c Si scrutinano le risposte dei concorrenti una dopo l altra. Qual è la probabilità che si trovi per la prima volta una risposta errata esattamente al scrutinio? soluzione di c P (R R R 9 R ( Infatti, posto l evento C{si trova per la prima volta una risposta errata esattamente al scrutinio}, si ha C R R R 9 R e tenendo conto dell indipendenza dei comportamenti dei concorrenti si ha P (R R R 9 R P (R P (R P (R 9 P (R ( d Qual è la probabilità dell evento D{ tra i primi concorrenti, esattamente 9 danno la risposta corretta}? soluzione di d P (D ( 9 ( P (C Infatti si tratta della probabilità di 9 successi su prove nello schema di Bernoulli R, R,..., R (si tratta di eventi indipendenti e tutti con la stessa probabilità, e quindi si tratta di probabilità binomiali. e Si supponga ora di sapere che tra i primi concorrenti esattamente 9 hanno dato la risposta corretta, qual è la proabilità dell evento E{tra concorrenti scelti a caso tra i primi dieci, esattamente danno la risposta corretta}? soluzione di e P (E. Infatti sapendo che tra i primi concorrenti esattamente 9 hanno dato la risposta corretta e quindi ha dato una risposta errata, il problema corrisponde al calcolo della probabilità di ottenere due palline bianche ( risposte esatte e una rossa ( risposta errata l estrazione di tre palline da un urna contente palline di cui 9 bianche e rossa, e quindi P (E ( 9 ( ( 9 9. Esercizio. Sia U una variabile aleatoria binomiale di parametri (,. Si definisca T U a Calcolare la distribuzione di probabilità di T. soluzione di a P (T 4, P (T, P (T + 4. Infatti U è una variabile aleatoria binomiale di parametri (,, e quindi ( ( ( P (U p ( p, P (U p ( p, P (U p ( p, ovvero, tenendo conto che p p, P (U ( 4, P (U, P (U Basta poi tener conto che, essendo T U, {T } {U }, {T } {U }, {T +} {U }, ( 4. 5

6 e quindi P (T P (U, P (T P (U, P (T + P (U, Sia ora X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme in {,, +} (ovvero X(Ω {,, +} e P (X h costante per h,, + e indipendente da T. Si definisca la variabile aleatoria Y XT. b Calcolare la distribuzione di probabilità congiunta di X ed Y. soluzione di b Infatti Y X + P (Y i p Y ( 4 p Y ( + p Y (+ P (X i p X ( 4 p X ( 4 p X (+ 4 {X, Y } {X, T +}; {X, Y } {X, T }; {X, Y +} {X, T }; {X, Y } ; {X, Y } {X }; {X, Y +} ; {X +, Y } {X +, T }; {X +, Y } {X +, T }; {X +, Y +} {X +, T +}. e, tenendo conto dell indipendenza di X e T si ha P (X, Y P (X, T + P (X P (T + 4 ; P (X, Y P (X, T P (X P (T ; P (X, Y + P (X, T P (X P (T 4 ; P (X, Y ; P (X, Y P (X ; P (X, Y + ; P (X +, Y P (X +, T P (X +P (T 4 ; P (X +, Y P (X +, T P (X +P (T ; P (X +, Y + P (X +, T + P (X +P (T c Calcolare la distribuzione condizionata di X, dato {Y } e verificare se {X } ed {Y } sono eventi stocasticamente indipendenti, correlati positivamente o correlati negativamente. soluzione di c P (X Y 4, P (X Y, P (X + Y 4, ed essendo P (X Y > P (X, i due eventi sono correlati positivamente. Infatti P (X Y P (X, Y P (Y , P (X, Y P (X, Y + P (X, Y + P (X +, Y 6

7 P (X, Y P (X, Y P (X Y P (Y P (X, Y + P (X, Y + P (X +, Y P (X + Y , P (X +, Y P (Y Si può procedere anche tenendo conto che e poi normalizzando. P (X +, Y P (X, Y + P (X, Y + P (X +, Y P (X Y P (X, Y, P (X Y P (X, Y 4 4, P (X + Y P (X +, Y, d Sia ora W (X + Y +. Mostrare che il valore atteso di W vale e che la varianza di W vale 4. soluzione di d Infatti, E(W X X i {,,+} j {,,+} (i + j + P (X i, Y j ( 4 + P (X, Y + ( + P (X, Y + ( + P (X, Y + + ( + P (X, Y + ( + P (X, Y + (+ + P (X, Y + + ( + P (X +, Y + (+ + P (X +, Y + (+4 + P (X +, Y + + ( X + + X E (W [(i + j] P (X i, Y j i {,,+} j {,,+} ( 4 P (X, Y + ( P (X, Y + ( P (X, Y + + ( P (X, Y + ( P (X, Y + (+ P (X, Y + + ( P (X +, Y + (+ P (X +, Y + (+4 P (X +, Y Alternativamente, per motivi di simmetria sia X che Y hanno valore atteso nullo, e quindi La varianza di W si può calcolare allora come E(W ( E(X + E(Y + ( + + V ar(w E ( (W E ( (X+Y 4E(X +XY +Y 4 ( E(X +E(XY +E(Y. Basta poi calcolare E(X ( P (X + P (X + P (X + P (X + P (X 7

8 E(Y ( P (Y + P (Y + P (Y + P (Y +P (Y 4 E(XY i {,,+} j {,,+} i jp (X i, Y j (+P (X, Y + P (X, Y + ( P (X, Y + + P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y + + ( P (X +, Y + P (X +, Y + (+P (X +, Y e Sia ora W n una successione di variabili aleatorie tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione di W e siano come al solito S n W + W W n e Y n S n n W +W +...+W n n. Utilizzando il Teorema Centrale del Limite, calcolare approssimativamente P (Y >.. soluzione di e Infatti, posto µ E(W k e σ V ar(w k 4, ( Sn nµ nσ ( nx nµ P Sn n nσ P (Y n > x P (Y n x P (S n nx P Φ ( n x ( Φ 9. Φ( se n x.9 cioè se x + n.9 Si noti che se n, 9 allora x Esercizio. X è una variabile aleatoria con funzione di distribuzione data da per x < F (x (x + per x < + x per x < per x n n x a Calcolare P ( X. soluzione di a P ( X Infatti, per a b P (a X b P (X a + P (a < X b F X (a F X (a + F X (b F X (a F X (b F X (a, dove l ultima uguaglianza dipende dal fatto che nel nostro caso la funzione x F X (x F (x è continua. Per verificare la continuità basta considerare che F (, che coincide con F ( ( + ; F (, che coincide con F ( + ; F ( +, che coincide con F ( ; Quindi P ( X F ( F ( + 4 ( + 5 4

9 b Calcolare la funzione di densità di probabilità di X. soluzione di b per x < f(x F (x per < x < x per < x < per x > Come verifica, si noti che f(x è effettivamente una densità di probabilità, infatti f(x per ogni x R, ed inoltre + f(x dx f(x dx + f(x dx dx + x dx + x In realtà si dovrebbe verificare che F (x Rx f(y dy, ovvero che per x < F (x Rx? f(y dy, il che è ovvio; per x < (x + F (x? Rx f(y dy Rx f(y dy Rx dy, il che è ovvio; per x < + x F (x Rx? f(y dy R f(y dy +Rx f(y dy +Rx y dy + y per x F (x Rx? f(y dy R f(y dy +R f(y dy, il che è ovvio; yx y x x, il che è ovvio; +. c Calcolare E(X. soluzione di c E(X. Infatti E(X + x f(x dx x dx + x x dx x f(x dx + x x x x f(x dx + x x x Esercizio 4. Un solitario inizia nel seguente modo: inizialmente si lancia un dado e si ha X se escono o, X se escono o 4, oppure X + se escono 5 o 6. Successivamente si lanciano due monete ben equilibrate e se escono due croci si cambia segno (ovvero si passa da i a j-i, se escono una croce ed una testa si va in (ovvero si passa da i a, e se escono due teste si rimane dove ci si trova (ovvero si passa da i a ji. Sia X la variabile aleatoria ottenuta in questo modo. a Individuare sulla base dei dati del problema P (X j X i, per j in {,, +}, per i, per i, per i + soluzione di a Si ha 9

10 P (X X P (due teste 4, P (X X P (una testa e una croce, P (X + X P (due croci 4. P (X X P (, P (X X, P (X + X P (. P (X X + P (due croci 4, P (X X + P (una testa e una croce, P (X + X + P (due teste 4. La precedente deduzione può essere fatta intuitivamente, oppure procedendo in modo formale: (a titolo di esempio consideriamo solo P (X X P (X X P (X, X P ({due teste} {X } P (X P (X P ({due teste} {esce o } P ({due teste} P ({esce o } P ({esce o } P ({esce o } P (due teste b Calcolare la distribuzione di X e la distribuzione di X. soluzione di b P (X i, per i,, +, P (X 6, P (X P (X + 6. Infatti P (X P (esce o, P (X P (esce o, P (X + P (esce 5 o 6, ed inoltre e quindi P (X j P (X P (X j X + P (X P (X j X + P (X +P (X j X +

11 P (X ( P (X X + P (X X + P (X X + ( , P (X ( P (X X + P (X X + P (X X + ( + +, P (X + ( P (X + X + P (X + X + P (X + X + ( c Si ripete il lancio delle due monete e si ottiene quindi X a partire da X, con lo stesso meccanismo con cui si è ottenuta X da X (ovvero P (X j X i P (X j X i. Il gioco riesce se X. Calcolare la probabilità che il gioco riesca. soluzione di c P (X 5 6 Infatti P (X P (X P (X X + P (X P (X X + P (X + P (X X , (parte facoltativa Si noti che X, X ed X si possono considerare come i primi elementi di una successione di variabili aleatorie {X n } n, che è una catena di Markov con matrice delle probabilità di transizione P (X n+ j X n i P (X j X i d Calcolare P (X, X, X. soluzione di d P (X, X, X 4. Infatti, per la formula delle probabilità composte si ha P (X, X, X P ({X }P ({X } {X }P ({X } {X, X } ma tenendo conto della proprietà di Markov si ha P ({X } {X, X } P ({X } {X }, da cui eliminando le parentesi graffe dalle notazioni (come è usuale P (X, X, X P (X P (X X P (X X 4 4.

12 e Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. soluzione di e Il vettore delle probabilità stazionarie o invarianti o distribuzione stazionaria è (π, π, π +,,. Infatti si tratta di risolvere il seguente sistema vettoriale π π P ; π i, π + π + π + dove π (π, π, π + è un vettore riga, e dove P è la matrice delle probabilità di transizione 4 4 P 4 π π P (X X + π P (X X + π + P (X X + π π P (X X + π P (X X + π + P (X X + π + π P (X + X + π P (X + X + π + P (X + X + π i, π + π + π + ovvero π π 4 + π + π + 4 π π + π + π + π + π 4 + π + π + 4 π i, π + π + π π π + 4 π + π + 4 π + π 4 π i, π + π + π + Tenendo conto che π e π +, la seconda condizione è soddisfatta solo se π π + e quindi tenendo conto della condizione π +π +π +, si ha necessariamente π. f Calcolare P (X j X i. soluzione di f Le probabilità di transizione in due passi sono data dagli elementi della seguente matrice 6 6 Infatti si tratta di calcolare semplicemente gli elementi della matrice P P

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