Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)
|
|
- Assunta Lazzari
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. ATTENZIONE: concentrare l attenzione sugli Esercizi e, e dedicare il tempo rimasto a risolvere uno degli altri due. Esercizio. In un test di ammissione vi è una domanda, inserita per verificare la conoscenza dell argomento A da parte dei concorrenti, cui vengono proposte 5 risposte alternative; di tali risposte alternative una soltanto è corretta. Si reputa che chi conosce A ha una probabilità p.9 di fornire la risposta corretta. Coloro che non conoscono A rispondono a caso ed hanno una probabilità ρ. di fornire la risposta corretta. Si reputa inoltre che ciascun concorrente ha una probabilità π. di conoscere A (e vi è indipendenza fra i diversi concorrenti. a Posto A l evento {il concorrente conosce l argomento A} e posto R l evento {il concorrente risponde correttamente alla domanda}, individuare, sulla base dei dati del problema, P (A, P (R A e P (R A, e calcolare la probabilità che il concorrente dia la risposta corretta. b Qual è la probabilità condizionata che il concorrente conosca l argomento A, sapendo che ha dato la risposta corretta? c Si scrutinano le risposte dei concorrenti una dopo l altra. Qual è la probabilità che si trovi per la prima volta una risposta errata esattamente al scrutinio? d Qual è la probabilità dell evento D{tra i primi concorrenti, esattamente 9 danno la risposta corretta}? e Si supponga ora di sapere che tra i primi concorrenti esattamente 9 hanno dato la risposta corretta, qual è la proabilità dell evento E{tra concorrenti scelti a caso tra i primi dieci, esattamente danno la risposta corretta}? Esercizio. Sia U una variabile aleatoria binomiale di parametri (,. Si definisca T U a Calcolare la distribuzione di probabilità di T. Sia ora X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme in {,, +} (ovvero X(Ω {,, +} e P (X h costante per h,, +e indipendente da T. Si definisca la variabile aleatoria Y XT. b Calcolare la distribuzione di probabilità congiunta di X ed Y. c Calcolare la distribuzione condizionata di X, dato {Y } e verificare se {X } ed {Y } sono eventi stocasticamente indipendenti, correlati positivamente o correlati negativamente. d Sia ora W (X + Y +. Mostrare che il valore atteso di W vale e che la varianza di W vale 4. e Sia ora W n una successione di variabili aleatorie tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione di W e siano, come al solito, S n W +W +...+W n e Y n Sn n W +W +...+W n n. Utilizzando il Teorema Centrale del Limite, calcolare approssimativamente P (Y n > x, per n ed x. ( /.
2 Esercizio. X è una variabile aleatoria con funzione di distribuzione data da per x < F (x (x + per x < + x per x < per x a Calcolare P ( X. b Calcolare la funzione di densità di probabilità di X. c Calcolare E(X. Esercizio 4. Un solitario inizia nel seguente modo: inizialmente si lancia un dado e si ha X se escono o, X se escono o 4, oppure X + se escono 5 o 6. Successivamente si lanciano due monete ben equilibrate e se escono due croci si cambia segno (ovvero si passa da i a j-i, se escono una croce ed una testa si va in (ovvero si passa da i a, e se escono due teste si rimane dove ci si trova (ovvero si passa da i a ji. Sia X la variabile aleatoria ottenuta in questo modo. a Individuare, sulla base dei dati del problema, P (X j X i, per i e j in {,, +}. b Calcolare la distribuzione di X e la distribuzione di X. c Si ripete il lancio delle due monete e si ottiene quindi X a partire da X, con lo stesso meccanismo con cui si è ottenuta X da X (ovvero P (X j X i P (X j X i. Il gioco riesce se X. Calcolare la probabilità che il gioco riesca. (parte facoltativa Si noti che X, X ed X si possono considerare come i primi elementi di una successione di variabili aleatorie {X n } n, che è una catena di Markov con matrice delle probabilità di transizione P (X n+ j X n i P (X j X i d Calcolare P (X, X, X. e Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. f Calcolare P (X j X i
3 FOGLIO RISPOSTE della prova di Mercoledì giugno 4 NOME e COGNOME... canale NAPPO canale SPIZZICHINO ORALE luglio... ORALE dopo il luglio... Esercizio. a P (A... P (R A... P (R A... p a... b p b... c p c... d p d... e p e... Esercizio. a b Y X + + c distribuzione di X condizionata a Y {X } ed {Y } sono indipendenti correlati positivamente correlati negativamente d svolto non svolto e P (Y >.... Esercizio. a P ( X... b f(x c E(X... Esercizio 4. a svolto non svolto b P (X... P (X... P (X +... P (X... P (X... P (X +... c Probabilità che il gioco riesca... facoltativi... per x <... per < x <... per < x <... per x > d P (X, X, X... e π... π... π... f svolto non svolto
4 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino SOLUZIONI della prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Esercizio. In un test di ammissione vi è una domanda, inserita per verificare la conoscenza dell argomento A da parte dei concorrenti, cui vengono proposte 5 risposte alternative; di tali risposte alternative una soltanto è corretta. Si reputa che chi conosce A ha una probabilità p.9 di fornire la risposta corretta. Coloro che non conoscono A rispondono a caso ed hanno una probabilità ρ. di fornire la risposta corretta. Si reputa inoltre che ciascun concorrente ha una probabilità π. di conoscere A (e vi è indipendenza fra i diversi concorrenti. a Posto A l evento {il concorrente conosce l argomento A} e posto R l evento {il concorrente risponde correttamente alla domanda}, individuare, sulla base dei dati del problema, P (A, P (R A e P (R A, e calcolare la probabilità che il concorrente dia la risposta corretta. soluzione di a P (A π., P (R A p.9 e P (R A ρ., e quindi, per la formula delle proabilità totali, P (R P (A P (R A + P (A P (R A ( Infatti dai dati del problema, per ciascun concorrente si ha che conosce l argomento A con probabilità π., e cioè, più in generale se A i {il concorrente i conosce l argomento A}, allora P (A i π., se conosce l argomento A la probabilità di rispondere esattamente è p.9, cioè, più in generale, se R i {il concorrente i risponde correttamente alla domanda}, allora P (R i A i p.9, se non conosce l argomento A risponde a caso e ha probabilità ρ. di dare la risposta corretta, cioè, più in generale, P (R i A i ρ.. b Qual è la probabilità condizionata che il concorrente conosca l argomento A, sapendo che ha dato la risposta corretta? soluzione di b P (A R Infatti per la formula di Bayes P (A P (R A P (A R P (A P (R A + P (A P (R A
5 c Si scrutinano le risposte dei concorrenti una dopo l altra. Qual è la probabilità che si trovi per la prima volta una risposta errata esattamente al scrutinio? soluzione di c P (R R R 9 R ( Infatti, posto l evento C{si trova per la prima volta una risposta errata esattamente al scrutinio}, si ha C R R R 9 R e tenendo conto dell indipendenza dei comportamenti dei concorrenti si ha P (R R R 9 R P (R P (R P (R 9 P (R ( d Qual è la probabilità dell evento D{ tra i primi concorrenti, esattamente 9 danno la risposta corretta}? soluzione di d P (D ( 9 ( P (C Infatti si tratta della probabilità di 9 successi su prove nello schema di Bernoulli R, R,..., R (si tratta di eventi indipendenti e tutti con la stessa probabilità, e quindi si tratta di probabilità binomiali. e Si supponga ora di sapere che tra i primi concorrenti esattamente 9 hanno dato la risposta corretta, qual è la proabilità dell evento E{tra concorrenti scelti a caso tra i primi dieci, esattamente danno la risposta corretta}? soluzione di e P (E. Infatti sapendo che tra i primi concorrenti esattamente 9 hanno dato la risposta corretta e quindi ha dato una risposta errata, il problema corrisponde al calcolo della probabilità di ottenere due palline bianche ( risposte esatte e una rossa ( risposta errata l estrazione di tre palline da un urna contente palline di cui 9 bianche e rossa, e quindi P (E ( 9 ( ( 9 9. Esercizio. Sia U una variabile aleatoria binomiale di parametri (,. Si definisca T U a Calcolare la distribuzione di probabilità di T. soluzione di a P (T 4, P (T, P (T + 4. Infatti U è una variabile aleatoria binomiale di parametri (,, e quindi ( ( ( P (U p ( p, P (U p ( p, P (U p ( p, ovvero, tenendo conto che p p, P (U ( 4, P (U, P (U Basta poi tener conto che, essendo T U, {T } {U }, {T } {U }, {T +} {U }, ( 4. 5
6 e quindi P (T P (U, P (T P (U, P (T + P (U, Sia ora X una variabile aleatoria con distribuzione uniforme in {,, +} (ovvero X(Ω {,, +} e P (X h costante per h,, + e indipendente da T. Si definisca la variabile aleatoria Y XT. b Calcolare la distribuzione di probabilità congiunta di X ed Y. soluzione di b Infatti Y X + P (Y i p Y ( 4 p Y ( + p Y (+ P (X i p X ( 4 p X ( 4 p X (+ 4 {X, Y } {X, T +}; {X, Y } {X, T }; {X, Y +} {X, T }; {X, Y } ; {X, Y } {X }; {X, Y +} ; {X +, Y } {X +, T }; {X +, Y } {X +, T }; {X +, Y +} {X +, T +}. e, tenendo conto dell indipendenza di X e T si ha P (X, Y P (X, T + P (X P (T + 4 ; P (X, Y P (X, T P (X P (T ; P (X, Y + P (X, T P (X P (T 4 ; P (X, Y ; P (X, Y P (X ; P (X, Y + ; P (X +, Y P (X +, T P (X +P (T 4 ; P (X +, Y P (X +, T P (X +P (T ; P (X +, Y + P (X +, T + P (X +P (T c Calcolare la distribuzione condizionata di X, dato {Y } e verificare se {X } ed {Y } sono eventi stocasticamente indipendenti, correlati positivamente o correlati negativamente. soluzione di c P (X Y 4, P (X Y, P (X + Y 4, ed essendo P (X Y > P (X, i due eventi sono correlati positivamente. Infatti P (X Y P (X, Y P (Y , P (X, Y P (X, Y + P (X, Y + P (X +, Y 6
7 P (X, Y P (X, Y P (X Y P (Y P (X, Y + P (X, Y + P (X +, Y P (X + Y , P (X +, Y P (Y Si può procedere anche tenendo conto che e poi normalizzando. P (X +, Y P (X, Y + P (X, Y + P (X +, Y P (X Y P (X, Y, P (X Y P (X, Y 4 4, P (X + Y P (X +, Y, d Sia ora W (X + Y +. Mostrare che il valore atteso di W vale e che la varianza di W vale 4. soluzione di d Infatti, E(W X X i {,,+} j {,,+} (i + j + P (X i, Y j ( 4 + P (X, Y + ( + P (X, Y + ( + P (X, Y + + ( + P (X, Y + ( + P (X, Y + (+ + P (X, Y + + ( + P (X +, Y + (+ + P (X +, Y + (+4 + P (X +, Y + + ( X + + X E (W [(i + j] P (X i, Y j i {,,+} j {,,+} ( 4 P (X, Y + ( P (X, Y + ( P (X, Y + + ( P (X, Y + ( P (X, Y + (+ P (X, Y + + ( P (X +, Y + (+ P (X +, Y + (+4 P (X +, Y Alternativamente, per motivi di simmetria sia X che Y hanno valore atteso nullo, e quindi La varianza di W si può calcolare allora come E(W ( E(X + E(Y + ( + + V ar(w E ( (W E ( (X+Y 4E(X +XY +Y 4 ( E(X +E(XY +E(Y. Basta poi calcolare E(X ( P (X + P (X + P (X + P (X + P (X 7
8 E(Y ( P (Y + P (Y + P (Y + P (Y +P (Y 4 E(XY i {,,+} j {,,+} i jp (X i, Y j (+P (X, Y + P (X, Y + ( P (X, Y + + P (X, Y + P (X, Y + P (X, Y + + ( P (X +, Y + P (X +, Y + (+P (X +, Y e Sia ora W n una successione di variabili aleatorie tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione di W e siano come al solito S n W + W W n e Y n S n n W +W +...+W n n. Utilizzando il Teorema Centrale del Limite, calcolare approssimativamente P (Y >.. soluzione di e Infatti, posto µ E(W k e σ V ar(w k 4, ( Sn nµ nσ ( nx nµ P Sn n nσ P (Y n > x P (Y n x P (S n nx P Φ ( n x ( Φ 9. Φ( se n x.9 cioè se x + n.9 Si noti che se n, 9 allora x Esercizio. X è una variabile aleatoria con funzione di distribuzione data da per x < F (x (x + per x < + x per x < per x n n x a Calcolare P ( X. soluzione di a P ( X Infatti, per a b P (a X b P (X a + P (a < X b F X (a F X (a + F X (b F X (a F X (b F X (a, dove l ultima uguaglianza dipende dal fatto che nel nostro caso la funzione x F X (x F (x è continua. Per verificare la continuità basta considerare che F (, che coincide con F ( ( + ; F (, che coincide con F ( + ; F ( +, che coincide con F ( ; Quindi P ( X F ( F ( + 4 ( + 5 4
9 b Calcolare la funzione di densità di probabilità di X. soluzione di b per x < f(x F (x per < x < x per < x < per x > Come verifica, si noti che f(x è effettivamente una densità di probabilità, infatti f(x per ogni x R, ed inoltre + f(x dx f(x dx + f(x dx dx + x dx + x In realtà si dovrebbe verificare che F (x Rx f(y dy, ovvero che per x < F (x Rx? f(y dy, il che è ovvio; per x < (x + F (x? Rx f(y dy Rx f(y dy Rx dy, il che è ovvio; per x < + x F (x Rx? f(y dy R f(y dy +Rx f(y dy +Rx y dy + y per x F (x Rx? f(y dy R f(y dy +R f(y dy, il che è ovvio; yx y x x, il che è ovvio; +. c Calcolare E(X. soluzione di c E(X. Infatti E(X + x f(x dx x dx + x x dx x f(x dx + x x x x f(x dx + x x x Esercizio 4. Un solitario inizia nel seguente modo: inizialmente si lancia un dado e si ha X se escono o, X se escono o 4, oppure X + se escono 5 o 6. Successivamente si lanciano due monete ben equilibrate e se escono due croci si cambia segno (ovvero si passa da i a j-i, se escono una croce ed una testa si va in (ovvero si passa da i a, e se escono due teste si rimane dove ci si trova (ovvero si passa da i a ji. Sia X la variabile aleatoria ottenuta in questo modo. a Individuare sulla base dei dati del problema P (X j X i, per j in {,, +}, per i, per i, per i + soluzione di a Si ha 9
10 P (X X P (due teste 4, P (X X P (una testa e una croce, P (X + X P (due croci 4. P (X X P (, P (X X, P (X + X P (. P (X X + P (due croci 4, P (X X + P (una testa e una croce, P (X + X + P (due teste 4. La precedente deduzione può essere fatta intuitivamente, oppure procedendo in modo formale: (a titolo di esempio consideriamo solo P (X X P (X X P (X, X P ({due teste} {X } P (X P (X P ({due teste} {esce o } P ({due teste} P ({esce o } P ({esce o } P ({esce o } P (due teste b Calcolare la distribuzione di X e la distribuzione di X. soluzione di b P (X i, per i,, +, P (X 6, P (X P (X + 6. Infatti P (X P (esce o, P (X P (esce o, P (X + P (esce 5 o 6, ed inoltre e quindi P (X j P (X P (X j X + P (X P (X j X + P (X +P (X j X +
11 P (X ( P (X X + P (X X + P (X X + ( , P (X ( P (X X + P (X X + P (X X + ( + +, P (X + ( P (X + X + P (X + X + P (X + X + ( c Si ripete il lancio delle due monete e si ottiene quindi X a partire da X, con lo stesso meccanismo con cui si è ottenuta X da X (ovvero P (X j X i P (X j X i. Il gioco riesce se X. Calcolare la probabilità che il gioco riesca. soluzione di c P (X 5 6 Infatti P (X P (X P (X X + P (X P (X X + P (X + P (X X , (parte facoltativa Si noti che X, X ed X si possono considerare come i primi elementi di una successione di variabili aleatorie {X n } n, che è una catena di Markov con matrice delle probabilità di transizione P (X n+ j X n i P (X j X i d Calcolare P (X, X, X. soluzione di d P (X, X, X 4. Infatti, per la formula delle probabilità composte si ha P (X, X, X P ({X }P ({X } {X }P ({X } {X, X } ma tenendo conto della proprietà di Markov si ha P ({X } {X, X } P ({X } {X }, da cui eliminando le parentesi graffe dalle notazioni (come è usuale P (X, X, X P (X P (X X P (X X 4 4.
12 e Calcolare la distribuzione stazionaria della catena. soluzione di e Il vettore delle probabilità stazionarie o invarianti o distribuzione stazionaria è (π, π, π +,,. Infatti si tratta di risolvere il seguente sistema vettoriale π π P ; π i, π + π + π + dove π (π, π, π + è un vettore riga, e dove P è la matrice delle probabilità di transizione 4 4 P 4 π π P (X X + π P (X X + π + P (X X + π π P (X X + π P (X X + π + P (X X + π + π P (X + X + π P (X + X + π + P (X + X + π i, π + π + π + ovvero π π 4 + π + π + 4 π π + π + π + π + π 4 + π + π + 4 π i, π + π + π π π + 4 π + π + 4 π + π 4 π i, π + π + π + Tenendo conto che π e π +, la seconda condizione è soddisfatta solo se π π + e quindi tenendo conto della condizione π +π +π +, si ha necessariamente π. f Calcolare P (X j X i. soluzione di f Le probabilità di transizione in due passi sono data dagli elementi della seguente matrice 6 6 Infatti si tratta di calcolare semplicemente gli elementi della matrice P P
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di mercoledì 22 Settembre 24 (tempo a disposizione: 2 ore e 4 minuti. consegna compiti e inizio
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità (docenti G. Nappo, F. Spizzichino prova scritta giugno 5 (tempo a disposizione: ore La prova scritta consiste nello svolgimento
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino) Prova di giovedi febbraio 2005 (tempo a disposizione: 3 ore). consegna compiti e inizio orale Lunedì
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità A. A. /5 prova scritta (//5(docenti G. Nappo, F. Spizzichino La prova scritta consiste nello svolgimento dei punti non facoltativi
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ o modulo - PROVA d esame del 9/02/200 - Laurea Quadriennale in Matematica - Prof. Nappo Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità 1 A. A. 4/5 a prova in itinere 8/6/5docenti G. Nappo, F. Spizzichino La prova scritta consiste nello svolgimento degli Esercizi
DettagliProbabilità 1, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09
Probabilità, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09. Due roulette regolari vengono azionate più volte; sia T il numero di volte che occorre azionare la prima roulette
DettagliScrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.
CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ (o modulo) - PROVA d esame del 3/luglio/2003 - Laurea Quadriennale in Matematica - (Prof. Nappo) Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate
Dettaglic) Ancora in corrispondenza allo stesso valore di p e ponendo Y = minorazione, fornita dalla diseguaglianza di Chebichev, per la probabilita
Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilita I A.A. 00/00 (Docenti: M. Piccioni, F. Spizzichino) a prova di esonero 6 giugno 00 Risolvere almeno tre dei seguenti esercizi.. Indichiamo
Dettaglif(1, C) = 1; f(2, C) = 1; f(3, C) = 3; f(4, C) = 2; f(5, C) = 5; f(6, C) = V ar(x) = E[X 2 ] (E[X]) 2 =
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Esercizio. Si lanciano un dado equilibrato a sei facce e una moneta equilibrata. Se esce testa e il valore del dado è pari oppure croce e il
DettagliCorsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-2013 5 giugno 2013
Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-201 5 giugno 201 L uso di calcolatrici o testi non è consentito. Motivare chiaramente i procedimenti e i risultati proposti. Rispondere
DettagliLaurea triennale in INFORMATICA, Corso di CALCOLO DELLE PROBABILITÀ COMPITO - 2 luglio FOGLIO RISPOSTE
Laurea triennale in INFORMATICA, Corso di CALCOLO DELLE PROBABILITÀ COMPITO - 2 luglio 202 - FOGLIO RISPOSTE NOME e COGNOME SOLUZIONI CANALE: G. Nappo VOTO: N.B. Scrivere le risposte dei vari punti degli
DettagliStatistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill
Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra A. Di Ciaccio - McGraw Hill s. 9. Soluzione degli esercizi del capitolo 9 In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli si
DettagliSupponiamo che, in un gioco da tavolo fra Emilio e Franca, D 1 e D 2 vengano distribuiti a caso fra i due giocatori.
Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ Prof. L. Bertini - G. Nappo - F. Spizzichino Esonero del.04.00 - SOLUZIONI Esercizio. D è un dado omogeneo a sei facce, mentre D è un dado, anch esso
DettagliII Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2013/14 Nome: 20 febbraio
II Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 3/4 Nome: febbraio 4 Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare
DettagliIII Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2018/19
III Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 8/9 Martedì luglio 9 Cognome: Nome: Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
DettagliEsercizi di Probabilità
Esercizi di Probabilità Annalisa Cerquetti - Sandra Fortini Vai all indice Istituto di Metodi Quantitativi, Viale Isonzo, 25, 2033 Milano, Italy. E-mail: annalisa.cerquetti@unibocconi.it,sandra.fortini@unibocconi.it
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 2018/19 - Esercitazione
Corso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (55AA) A.A. 28/9 - Esercitazione 28--9 La durata della prova è di due ore e mezzo. Le risposte devono essere
Dettagli, B con probabilità 1 4 e C con probabilità 1 4.
Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ Prof. L. Bertini - G. Nappo - F. Spizzichino Esonero del 0.06.00 N.B. Scrivere le soluzioni degli esercizi su questi fogli giustificando brevemente
DettagliLaurea triennale in INFORMATICA, Corso di CALCOLO DELLE PROBABILITÀ COMPITO INTERO e SECONDA PROVA IN ITINERE - 11 giugno FOGLIO RISPOSTE
Laurea triennale in INFORMATICA, Corso di CALCOLO DELLE PROBABILITÀ COMPITO INTERO e SECONDA PROVA IN ITINERE - giugno 202 - FOGLIO RISPOSTE NOME e COGNOME CANALE: G. Nappo VOTO: N.B. Scrivere le risposte
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Fisciano, 10/1/2012
Fisciano, 10/1/2012 Esercizio 1 Un esperimento consiste nel generare a caso un vettore di interi (x 1, x 2, x 3, x 4 ), dove x i {1, 2, 3, 4, 5, 6} i. (i) Si individui lo spazio campionario, determinandone
DettagliCP110 Probabilità: Esonero 2. Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 29-2, II semestre 25 maggio, 2 CP Probabilità: Esonero 2 Testo e soluzione . (7 pt) Siano T, T 2 variabili esponenziali indipendenti, di parametri λ =
DettagliEsercizi. 2. [Conteggio diretto] Due dadi vengono lanciati in successione. a) Qual è la probabilità che la somma dei due risultati faccia 7?
1 E. Vitali Matematica (Scienze Naturali) Esercizi 1. [Conteggio diretto] Quattro ragazzi, A, B, C e D, dispongono di due biglietti per il teatro e decidono di tirare a sorte chi ne usufruirà. a) Qual
DettagliPROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 1. Distribuzione congiunta Ci sono situazioni in cui un esperimento casuale non si può modellare con una sola variabile casuale,
DettagliCP110 Probabilità: Esame 4 luglio Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2011-12, II semestre 4 luglio, 2012 CP110 Probabilità: Esame 4 luglio 2012 Testo e soluzione 1. (6 pts) Una scatola contiene 10 palline numerate da 1
DettagliScritto del
Dip. di Ingegneria, Univ. Roma Tre Prof. E. Scoppola, Dott.M. Quattropani Probabilità e Statistica, 17-18, I semestre Settembre 18 Scritto del - 9-18 Cognome Nome Matricola Esercizio 1. Un urna contiene
DettagliDOMANDA 1: mettere una croce sulla affermazione esatta (90 89)
PROVA D ESAME - 0 marzo 00 nome: cognome: SSIS-INDIRIZZO MATEMATICA E MATEMATICA APPLICATA (primo anno MATEMATICA APPLICATA B: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Per le domande a risposta aperta il punteggio varia
DettagliMatematica e Statistica per Scienze Ambientali
per Scienze Ambientali Variabili aleatorie - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Gennaio 2013 Variabili aleatorie Un numero aleatorio è un esempio di variabile aleatoria.
DettagliII Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17
II Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì 4 febbraio 7 Cognome: Nome: Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 luglio 6 Vettori aleatori e funzioni di v.a. Esercizio Si lanciano due dadi equi. Qual è la probabilità che la somma sia? [ ] Siano X, X le v.a.
DettagliCorso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2016/17 - Prova del
Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 206/7 - Prova del 207-09-08 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate.
Dettagli) la sua densità discreta sarà della forma. p X (0) = 1 2, p X(1) = 1 2,
Esercizi settimana 6 Esercizi applicati Esercizio. Siano X e Y due v.a. discrete indipendenti tali che X B(, ) e Y B(, ), n 0. (i) Si calcoli la legge di X + Y ; (ii) Si calcoli la legge di X Y ; (iii)
DettagliV Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2014/15 Nome: 7 gennaio
V Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 24/5 Nome: 7 gennaio 26 Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica
Calcolo delle Probabilità e Statistica Alcuni esercizi Laura Poggiolini Dipartimento di Matematica Applicata Giovanni Sansone Università di Firenze 2 Indice 1 Probabilità: esercizi vari 1 1.1 Combinatorica
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale a.a. 2016/17
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale aa 6/ Punteggi: : 3 + 6; : + + + ; 3: + Una scatola contiene monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le
DettagliProbabilità 1, laurea triennale in Matematica II prova di valutazione in itinere a.a. 2008/09
robabilità, laurea triennale in Matematica II prova di valutazione in itinere a.a. 008/09. Francesco lancia ripetutamente due dadi non truccati: sia T il numero di lanci necessario ad ottenere per la prima
DettagliLaurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ 1 Compito scritto del FOGLIO RISPOSTE
NOME e COGNOME Laurea triennale in MATEMATICA, Corso di PROBABILITÀ Compito scritto del.6. - FOGLIO RISPOSTE CANALE: G. Nappo VOTO: N.B. Scrivere le risposte dei vari punti degli esercizi oppure, in mancanza
DettagliIII Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2014/15 Nome: 14 luglio
III Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 14/15 Nome: 14 luglio 15 Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
DettagliX Vincita (in euro) Tabella 1: Vincite
Cognome e Nome:....................................... Matricola............. CdS............. CALCOLO DELLE PROBABILITA - 9 Giugno 1 CdS in STAD, SIGAD - docente: G. Sanfilippo Motivare dettagliatamente
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA - 24 Giugno 2015 CdL in STAD, SIGAD Compito intero Seconda prova in itinere: esercizi 4,5,6.
Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 4 Giugno 5 CdL in STAD, SIGAD Compito intero Seconda prova in itinere: esercizi 4,5, Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e
DettagliV Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2012/13 Nome: 18 ottobre
V Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 202/ Nome: 8 ottobre 20 Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare
DettagliMateriale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI
Materiale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI Claudia Furlan Anno Accademico 006-007 Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e
DettagliCorso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2017/18 - Prova scritta
Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA A.A. 2017/18 - Prova scritta 2018-09-12 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate.
DettagliVETTORI DI VARIABILI ALEATORIE
VETTOI DI VAIABILI ALEATOIE E. DI NADO 1. Funzioni di ripartizione congiunte e marginali Definizione 1.1. Siano X 1, X 2,..., X n v.a. definite su uno stesso spazio di probabilità (Ω, F, P ). La n-pla
DettagliANNO ACCADEMICO 2018/2019 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA Primo compitino 5/12/2018
ANNO ACCADEMICO 08/09 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA Primo compitino 5//08 Esercizio. In un turno di gioco, si lanciano una moneta equilibrata e un dado che dà nel 5% dei casi, mentre i punteggi
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilità
Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato
Dettagli{ } corrisponde all uscita della faccia i-esima del dado. La distribuzione di probabilità associata ( )
Università di Trento - Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 2017/18 Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli 2 foglio di esercizi 25 settembre 2017
DettagliCP110 Probabilità: Esame 2 luglio Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 212-13, II semestre 2 luglio, 213 CP11 Probabilità: Esame 2 luglio 213 Testo e soluzione 1. (6 pts Due mazzi di carte francesi vengono uniti e mischiati.
DettagliEsame di Calcolo delle Probabilità del 4 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).
Esame di Calcolo delle Probabilità del 4 luglio 26 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione:
DettagliCorso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2017/18 - Prova scritta
Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (69AA) A.A. 7/8 - Prova scritta 8-7-3 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate. Problema
DettagliCorso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2016/17 - Prima prova in itinere
Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (69AA) A.A. 016/17 - Prima prova in itinere 017-01-13 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate.
DettagliEsercizi settimana 5. Esercizi applicati. Esercizio 1. Si considerino tre monete truccate, ognuna con probabilità 2 3
1 Esercizi settimana 5 Esercizi applicati Esercizio 1. Si considerino tre monete truccate, ognuna con probabilità 3 di ottenere testa. Se scegliete la prima moneta vincete 10 punti se esce testa e punti
DettagliCorso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2016/17 - Prova del
Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (69AA) A.A. 06/7 - Prova del 07-07-07 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate. Problema
DettagliCP110 Probabilità: Esame del 6 giugno Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 21-11, II semestre 6 giugno, 211 CP11 Probabilità: Esame del 6 giugno 211 Testo e soluzione 1. (6 pts) Ci sono 6 palline, di cui nere e rosse. Ciascuna,
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica. Test di verifica - 05/04/2005
Corso di Laurea in Informatica - a.a. 2004/05 Calcolo delle Probabilità e Statistica Test di verifica - 05/04/2005 Il candidato risolva due (e solo due) problemi tra i seguenti, motivando le proprie risposte.
DettagliI Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2012/13 Nome: 30 gennaio
I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica /3 Nome: 3 gennaio 3 Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare
DettagliP (CjB m )P (B m ja) = p:
Esonero di Calcolo delle Probabilità del 7/04/ ESERCIZIO. Nel gioco del domino le tessere (di solito nere) sono divise in due riquadri, su ciascuno dei quali viene riportato, quale punteggio, un certo
DettagliESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Docente titolare: Irene Crimaldi 26 novembre 2009 Es.1 Supponendo che la probabilità di nascita maschile e femminile sia la stessa, calcolare la probabilità
DettagliDOMANDA 1: mettere una croce sulla affermazione esatta (90 89)
PROVA D ESAME - 0 marzo 00 nome: cognome: SSIS-INDIRIZZO MATEMATICA E MATEMATICA APPLICATA secondo anno MATEMATICA APPLICATA B: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Per le domande a risposta aperta il punteggio varia
DettagliCorso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica (269AA) A.A. 2016/17 - Prima prova in itinere
Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica 69AA) A.A. 06/7 - Prima prova in itinere 07-0-03 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate.
DettagliTeoremi limite. Enrico Ferrero. 27 febbraio 2007
Teoremi limite Enrico Ferrero 27 febbraio 2007 LA DISEGUAGLIANZA DI CHEBYCHEV Sia X una variabile aleatoria avente valore medio µ e varianza σ 2. Sia poi K un arbitrario numero positivo. È possibile dimostrare
DettagliMatematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Esercitazione # 3 1 Distribuzione di Bernoulli e Distribuzione Binomiale Esercizio 1 Sia n un intero maggiore
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell Automazione 15/9/2010
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ing. Informatica e dell Automazione 5/9/ Nota. E obbligatorio sia scegliere le risposte (numeriche, o le formule nali a seconda del caso) negli appositi spazi, sia
DettagliCalcolo delle Probabilità 2017/18 Foglio di esercizi 8
Calcolo delle Probabilità 07/8 Foglio di esercizi 8 Catene di Markov e convergenze Si consiglia di svolgere gli esercizi n 9,,,, 5 Catene di Markov Esercizio (Baldi, Esempio 5) Si consideri il grafo costituito
Dettaglie n n xn ( 1) n ( 1) n n + 1 2e n x n 3n [ln x]n 1 n + 1 2e n 1
1) Studiare la seguente serie di funzioni en ( 1) n n x n 2) Studiare la seguente serie di funzioni ( 1) n n + 1 2e n xn 3) Studiare la seguente serie di funzioni 3n [ln x]n 1 2n 4) Studiare la seguente
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 2018/19 - Prova scritta
Corso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 208/9 - Prova scritta 209-0-09 La durata della prova è di due ore e mezzo. Le risposte devono essere
DettagliUNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITA` di ROMA TOR VERGATA Corso di PS2-Probabilità 2 PBaldi appello, 23 giugno 29 Corso di Laurea in Matematica Esercizio Per α 2 consideriamo la catena di Markov su {, 2, 3} associata alla matrice
DettagliSTATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI
STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri
DettagliProbabilità e Statistica
Cognome e Nome............................................................................... C. d. L.: GESL Anno di Corso: 1 2 3 altro Matricola....................................... Firma.......................................
DettagliX = X 1 + X 2 +... + X n. dove. 1 se alla i-esima prova si ha un successo 0 se alla i-esima prova si ha un insuccesso. X i =
PIU DI UNA VARIABILE CASUALE Supponiamo di avere n variabili casuali, X 1, X 2,..., X n. Le n variabili casuali si dicono indipendenti se e solo se P(X 1 x 1 X 2 x 2... X n x n ) = = P(X 1 x 1 ) P(X 2
DettagliI Sessione I Prova Scritta o Recupero Esonero di Probabilità e Statistica a.a. 2012/ Giugno 2013
I Sessione I Prova Scritta o Recupero Esonero di Probabilità e Statistica a.a. / 9 Giugno Recupero I esonero o prova scritta di Probabilità da 5 cfu o di Probabilità e Statistica da cfu: esercizio ; esercizio
DettagliEsercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
Esercitazione del 1/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercizio 1 Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. (a) Calcolare la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia 9? (b) Calcolare
DettagliCP110 Probabilità: Esonero 2
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 22-3, II semestre 23 maggio, 23 CP Probabilità: Esonero 2 Cognome Nome Matricola Firma Nota:. L unica cosa che si puo usare durante l esame è una penna
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014. I Esonero - 29 Ottobre Tot.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014 I Esonero - 29 Ottobre 2013 1 2 3 4 5 6 7 8 Tot. Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato,
DettagliCalcolo delle Probabilità 2
Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale
DettagliSecondo appello di Istituzioni di probabilità Laurea Triennale in scienze statistiche
Secondo appello di Istituzioni di probabilità Laurea Triennale in scienze statistiche Matr pari 9/7/18 COGNOME e NOME... N. MATRICOLA... Esercizio 1. punti Siano X e Y due variabilili aleatorie normali
DettagliI Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17
I Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì 3 gennaio 7 Cognome: Nome: Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
DettagliEsercizi con catene di Markov Pietro Caputo 12 dicembre 2006
Esercizi con catene di Markov Pietro Caputo dicembre 006 Esercizio. Si considerino i lanci di un dado (6 facce equiprobabili). Sia X n il minimo tra i risultati ottenuti nei lanci,,..., n. Si calcoli la
DettagliCP110 Probabilità: Esame 13 settembre Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2011-12, II semestre 13 settembre, 2012 CP110 Probabilità: Esame 13 settembre 2012 Testo e soluzione 1. (6 pts) Una scatola contiene 10 palline, 8 bianche
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITÀ 2 (Laurea Specialistica) 28 giugno Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ 2 (Laurea Specialistica) 28 giugno 2006 Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati 1.- Sia X un numero aleatorio a valori { α, 0, α}, con α > 0 e P (X = α) = P (X
Dettagli, mentre Y è una variabile geometrica di costante q = 1 2. (1 q) n = q (1 q) 3 1 q = (1 2 )3 = 1 8. n=0
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Esercizio. Sono date due urne denominate rispettivamente A e B. A contiene palline bianche e 6 palline rosse, B contiene 8 palline bianche e
DettagliEsercizi - Fascicolo III
Esercizi - Fascicolo III Esercizio 1 In una procedura di controllo di produzione, n processori prodotti da un processo industriale vengono sottoposti a controllo. Si assuma che ogni pezzo, indipendentemente
DettagliDistribuzioni di Probabilità
Distribuzioni di Probabilità Distribuzioni discrete Distribuzione uniforme discreta Distribuzione di Poisson Distribuzioni continue Distribuzione Uniforme Distribuzione Gamma Distribuzione Esponenziale
DettagliSTIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA
STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA Abbiamo visto che una stima puntuale corretta per il valore atteso µ delle variabili aleatorie X i è x n = (x 1 +.. + x n )/n. Una stima puntuale della varianza σ 2 delle
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilità Foglio 3
Esercizi di Calcolo delle Probabilità Foglio David Barbato Esercizio. (6-ese- s) Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità: { αy (x, y) D f (X,Y ) (x, y) (x, y) / D Dove D {(x, y) R : x
Dettaglip k q n k = p n (k) = n 12 = 1 = 12 1 12 11 10 9 1 0,1208. q = 1 2 e si ha: p 12 (8) = 12 8 4
CAPITOLO QUARTO DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensati come casi particolari di uno schema generale di prove ripetute,
DettagliEsame di Calcolo delle Probabilità del 11 dicembre 2007 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).
Esame di Calcolo delle Probabilità del dicembre 27 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. Es. 2 Es. Es. 4 Somma Voto finale Attenzione:
Dettagli1 Eventi. Operazioni tra eventi. Insiemi ed eventi. Insieme dei casi elementari. Definizione di probabilità.
Quella che segue e la versione compatta delle slides usate a lezioni. NON sono appunti. Come testo di riferimento si può leggere Elementi di calcolo delle probabilità e statistica Rita Giuliano. Ed ETS
DettagliELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA
Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 2018/19 - Prova in itinere
Corso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 208/9 - Prova in itinere 208--2 La durata della prova è di due ore e mezzo. Le risposte devono essere
DettagliCP210 Introduzione alla Probabilità: Esonero 2
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 218-19, II semestre 4 giugno, 219 CP21 Introduzione alla Probabilità: Esonero 2 Cognome Nome Matricola Firma Nota: 1. L unica cosa che si può usare durante
DettagliCP110 Probabilità: Esonero 2. Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 212-13, II semestre 23 maggio, 213 CP11 Probabilità: Esonero 2 Testo e soluzione 1. (7 punti) Una scatola contiene 1 palline, 5 bianche e 5 nere. Ne vengono
DettagliCP110 Probabilità: esame del 20 giugno 2017
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 6-7, II semestre giugno, 7 CP Probabilità: esame del giugno 7 Cognome Nome Matricola Firma Nota:. L unica cosa che si puo usare durante l esame è una
DettagliESERCIZI HLAFO ALFIE MIMUN
ESERCIZI HLAFO ALFIE MIMUN December, 27. Testo degli esercizi Risolvere i seguenti problemi: () Siano X, X 2, X 3 variabili aleatorie i.i.d. bernulliane di media.5 e siano Y, Y 2, Y 3, Y 4 variabili aleatorie
DettagliCognome e Nome:... Matricola... CdS...
Cognome e me: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 7 Giugno CdS in STAD, SIGAD - docente: G Sanfilippo Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi
DettagliEsercizi di probabilità
Esercizi di probabilità I. Bayes e condizionate 1. Sul commercio si distinguono 2 tipi di PC, quelli affidabili e quelli non affidabili. I primi hanno un guasto entro l anno nell 1% dei casi, mentre i
DettagliAlcune v.a. discrete notevoli
Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =
DettagliUNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno 00- P.Baldi Lista di esercizi. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli, X, compaiono con
DettagliPROBLEMI DI PROBABILITÀ
PROBLEMI DI PROBABILITÀ 1. Si dispongono a caso su uno scaffale sette libri, dei quali tre trattano di matematica. Qual è la probabilità che i tre libri di matematica si vengano a trovare l uno accanto
Dettagli