Docente: Prof. Anna De Masi A.A

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1 Docente: Prof. Anna De Masi A.A Ricevimento studenti: Mercoledi Corsi: Probabilità - laurea triennale Matematica 9CFU Processi Stocastici - laurea magistrale in Matematica 6CFU con mutazione di 6 cfu del corso di Calcolo della Probabilita per la finanza Probabilità : CFU 9. Corso di Laurea Triennale in Matematica Programma. - Spazio campione e σ-algebra degli eventi. Probabilità: definizione e proprietà. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Indipendenza e relazione tra indipendenza e spazi prodotto. - Variabili aleatorie: definizione ed esempi. Funzione di distribuzione e sue proprietà. Variabili aleatorie continue e discrete. Distribuzione notevoli. - Vettori casuali. Distribuzioni congiunte e distribuzioni marginali. - Media e sue proprietà. Varianza, covarianza e momenti di variabili aleatorie. - Variabili aleatorie indipendenti. Variabili aleatorie non correlate. - Funzioni di variabili aleatorie ed in particolare somma di variabili aleatorie. - Distribuzioni condizionate e medie condizionate per variabili aleatorie discrete e continue. - Disuguaglianze: Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza di Markov, Disuguaglianza di Chebyshev. -Convergenza di variabili aleatorie: convergenza in legge, in media quadratica ed in probabilità. Relazioni tra questi tre tipi di convergenza. Lemmi di Borel- Cantelli. Legge debole e legge forte dei grandi numeri per v.a. con momento secondo finito. - Funzioni generatrici e funzioni caratteristiche: definizione esempi e proprietà. Teorema di continuità (solo enunciato). Teorema del limite centrale. - Catene di Markov omogenee. Probabilità di transizione ad 1 e n passi: definizione e proprietà. Equazioni di Chapman-Kolmogorov. Distribuzioni congiunte finitodimensionali. Esempi: passeggiata aleatoria con o senza barriere. Processi di nascita e morte, catena di Ehrenfest, catene di nascita. Tempi di arresto: primo tempo di arrivo ad uno stato. Stati transienti e ricorrenti. Numero di visite ad uno stato. Proprietà e caratterizzazioni degli stati transienti e ricorrenti. Decomposizione dello spazio degli stati. Probabilità di assorbimento. Distribuzioni stazionarie, proprietà ed esempi. Distribuzioni stazionarie per le catene di nascita e morte. Processi reversibili. 1

2 Libro di testo: G. Grimmett D. Stirzaker Probability and Random Processes Oxford 2001 Altri libri: P. Baldi Calcolo delle Probabilità McGraw-Hill 2007, P.G.Hoel, S.C. Port, C.J. Stone Introduction to Stochastic Processes Waveland Press. Inc Modalità d esame: Prova scritta e prova orale Risultati di apprendimento previsti. Si prevede che con questo corso lo studente acquisisca la conoscenza delle nozioni basilari della teoria della probabilità e sappia applicarle nello studio di problemi concreti. Lo studente impara anche il più semplice dei processi stocastici, le catene di Markov e alcune applicazioni a fenomeni di interesse in vari campi come fisica e biologia. Processi Stocastici : CFU 6. Corso di Laurea Magistrale in Matematica Programma. Processi Stocastici con spazio degli stati discreto. Processo di Poisson: tempi di interarrivo e loro distribuzione. Propriet della distribuzione esponenziale. Processi di Markov in tempo continuo con spazio degli stati discreto. Processi di Markov omogenei e probabilit di transizione. Processi di salto: costruzione e propriet. Generatore infinitesimale. Processi di nascita e morte. Distribuzioni stazionarie. Bilancio dettagliato. Applicazioni ad esempi in teoria delle code. Processi Gaussiani. Vettori aleatori Gaussiani. Matrice della covarianza. Dimostrazione del fatto che i vettori gaussiani sono univocamente determinati dalla funzione media e dalla covarianza. Moto Browniano. Definizione tramite incrementi indipendenti. Equivalenza con la definizione come processo Gaussiano con traiettorie continue. Densit congiunta. Propriet di invarianza del M.B. Propriet delle traiettorie: variazione prima e variazione quadratica. Legge del logaritmo iterato(solo enunciato). Non differenziabilit del moto browniano. Tempi di arresto, Martingale e Processi di Markov. Filtrazioni e filtrazioni naturali. Tempi di arresto. Approssimazioni discrete dei tempi di arresto. Tempi di arresto del Moto Browniano. Principio di riflessione. Martingale associate al moto browniano. Teorema di arresto per martingale continue (solo enunciato). Applicazione al calcolo di distribuzioni di tempi di arresto. Integrale stocastico di una funzione deterministica (integrale di Paley, Wiener, Zygmund). Processi non anticipanti e processi progressivamente misurabili. Integrale di Ito per funzioni semplici ed estensione a processi in L 2. Proprietà dell integrale stocastico. Integrale di Ito come processo e come martingala continua. Formula di Ito per polinomi. Regola del prodotto per differenziali stocastici. Formula di Ito per il moto Browniano. Formula di Ito in generale. Equazioni differenziali stocastiche. Moto Browniano geometrico. Ponte Browniano. Equazione di Langevin e processo di Ornstein -Uhlenbeck. Metodi per determinare 2

3 soluzioni esplicite in casi semplici. Teorema di esistenza ed unicità nei casi semplici. Teorema di esistenza ed unicità in generale (solo enunciato). Caso multidimensionale. Moto Browniano ed integrale stocastico in più dimensioni (definizioni). Moto Browniano e laplaciano. Funzioni armoniche e moto browniano. Transienza e ricorrenza del moto Browniano. Modalità d esame: Prova orale. Risultati di apprendimento previsti. Si prevede che con questo corso lo studente acquisisca una conoscenza abbastanza profonda del moto browniano che è il processo stocastico più usato nella modellizzazione di fenomeni aleatori. Lo studente apprende inoltre i concetti basilari della teoria del calcolo stocastico e metodi per la determinazione esplicita delle soluzioni di alcune equazioni stocastiche. 3

4 Anna De Masi. Curriculum Titolo di studio: Laurea in Matematica, Universita di L Aquila conseguito nel Posizione accademica attuale: Professore Ordinario in Probabilita e Statistica (MAT/06) presso l Universita di L Aquila - Posizioni accademiche precedenti: Ricercatore Confermato presso L Universita di L Aquila , Professore Associato in Fisica Matematica presso L Universita di L Aquila: , Professore Ordinario in Fisica Matematica presso L Universita di L Aquila dal Compiti organizzativi: Vice-Presidente del Consiglio di Area Didattica in Matematica: Maggio 2000-Ottobre 2001 Presidente del Consiglio di Area Didattica in Matematica: Coordinatore del Dottorato in Matematica presso L Universita di L Aquila dal Gennaio Attivita di coordinamento della ricerca: Coordinatore dell unita locale in L Aquila dei Progetti di Ricerca biennali cofinanziati: PRIN del 1994, del 1998, del 2000, del 2002, 2004, del 2007 e del Attivita editoriale e commissioni scientifiche: Membro del comitato di redazione della rivista Mathematics and Mechanics of Complex Systems. Membro del comitato scientifico del GREFI-MEFI (Gruppo di Ricerca Europeo Franco-Italiano: Fisica e matematica). Membro del comitato di redazione del Journal Stat. Phys. nel triennio Mi e stata richiesta una valutazione su vari progetti NSF. Membro del comitato scientifico organizzatore del 33rd Conference on Stochastic Processes and their Applications of the Bernoulli society (2009) Membro del comitato scientifico organizzatore della XVII-th Brazilian school of Probability (2013). Organizzatore di una Invited session della 37rd Conference on Stochastic Processes and their Applications of the Bernoulli society (2014) Referee per varie riviste: Annals of Probability, Nonlinearity, Probability Theory and related fields, Stochastic Processes and their Applications, Comm. Pure Appl Math, Commun. Math. Phys. Membro della commissione di valutazione del progetto bilaterale Germania/ Olanda dal titolo Mathematics of Random Spatial Models for physics and Biology. (2002) Premio 1996 dall Institut Henri Poincare /Gauthier - Villars ad un lavoro pubblicato nella sezione Probabilites et Statistiques in collaborazione con S. Brassesco and E. Presutti - Principali conferenze su invito: Minicorso da me tenuto dal titolo Stochastic particle systems, hydrodynamic limits and free boundary problems nel convegno Rencontres de Probabilits, Rouen 2013; invited speaker alla confereza CIRM Dynamical and disordered systems, invited speaker alla XVI-th Brazilian school of Probability (Recife) August 2012, Conference Discrete Random Structures, Representation Theory and Interacting Particle Systems (ZiF, Bielefeld, July 2012). XVI-th International Congress 4

5 of Mathematical Physics,(Prague) August Conference on Phase Transitions Max Planck Institute (Leipzig), October Conference Mathematical Physics, Statistical Mechanics and Foundations of Quantum Mechanics Rutgers University (Usa), October 2007, Centre de Rencontres Matematiques Marseille (France) meeting on Statistical Mechanics and Probability Theory March 2003, Workshop Particle systems, random media and large deviations Institute fur Angewandte und Stochastik, Berlino (Germany); XI-th International Congress of Mathematical Physics, Unesco-Sorbonne, (Paris) July Interessi di ricerca: Meccanica Statistica, Processi Stocastici, Limiti idrodinamici. ELENCO PUBBLICAZIONI ( ) (l elenco completo si trova in: demasi/lavori.html) - A. De Masi, P.A. Ferrari, E. Presutti (2013) Symmetric simple exclusion process with free boundaries submitted - A. De Masi, E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2013) Extinction time for a random walk in a random environment submitted - A. De Masi, E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2013) Spectral gap in stationary non-equilibrium processes submitted - A. De Masi, E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2012) Non equilibrium stationary states in the symmetric simple exclusion with births and deaths Journal Statistical Physics, 146, A. De Masi, E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2012) Truncated correlations in the stirring process with births and deaths Electronic Journal of Probability, vol. 17, p. 1-35, ISSN: , doi: /EJP.v A. De Masi, E. Presutti, D. Tsagkarogiannis, M.E. Vares (2011) Current reservoirs in the simple exclusion process Journal Statistical Physics, 144, no 6, ( - A. De Masi, E. Presutti, D. Tsagkarogiannis (2011) Fourier law, phase transitions and the stationary Stefan problem Archive for Rational Mechanics and Analysis, Volume 201 No. 2, A. De Masi, I. Merola, E. Presutti, Y. Vignaud (2009) Coexistence of ordered and disordered phases in Potts models in the continuum J. Stat. Phys. 134, no.2, 243 ( - A. De Masi, I. Merola, E. Presutti, Y. Vignaud (2008) Potts models in the continuum. Uniqueness and exponential decay in the restricted ensembles J. Stat. Phys., 133, G. Bellettini, A. De Masi, N. Dirr, E. Presutti (2007) Stability of invariant manifolds in one and two dimensions Nonlinearity, 20 - Bellettini, A. De Masi, N. Dirr, E. Presutti (2007) Tunnelling in two dimensions Commun. Math. Phys. Vol. 269, A. De Masi, S.Luckhaus, E. Presutti (2007) Two scales hydrodynamic limit for a model of malignant tumor cells H. Poincare, Probabilite et Statistiques, 43,