IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

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1 IL CLCOLO DLL ROILIT Il concetto di probabilità di un evento casuale si può definire come un opportuno numero indice, compreso fra zero e uno, che intende esprimere la possibilità che l evento medesimo possa verificarsi. I Definizione classica o matematica o a priori di probabilità: dato un evento casuale, la probabilità che tale evento si verifichi è data dal valore del seguente rapporto: p numero di casi favorevoli numero di casi egualmente possibili II Definizione frequentista o statistica o a posteriori di probabilità: la probabilità di un evento è quel numero cui converge la frequenza relativa dell evento in considerazione, al crescere del numero delle prove, fatte tutte nelle medesime condizioni: lim { n x n Legge empirica del caso III Definizione soggettivista di probabilità: la probabilità di un evento casuale è la misura del grado di fiducia che un individuo attribuisce, secondo le sue opinioni e informazioni, al verificarsi dell evento.

2 IV Definizione assiomatica di probabilità: CLSSIFICZION DGLI VNTI venti casuali incompatibili e eventi casuali compatibili venti casuali compatibili: eventi indipendenti e eventi dipendenti In via assiomatica la probabilità di un evento è quel numero reale p che soddisfa le seguenti condizioni: 0 p se è un evento certo allora ; 3 se è un evento impossibile allora 0; 4 se,,, n costituiscono una successione finita o un infinità numerabile di eventi mutuamente incompatibili, di probabilità rispettivamente,,, n, si ha: n n dove il simbolo indica l unione dei due eventi;

3 5 se e sono due eventi, indicata con la probabilità di quando si suppone che si sia verificato, vale l assioma della probabilità condizionata: Dove >0 e indica la probabilità dell intersezione dei due eventi. er simmetria, si ha anche:

4 I TORMI DLL ROILIT IL TORM DLL ROILIT TOTLI O TORM DLL SOMM IL TORM DLL ROILIT TOTLI R VNTI INCOMTIILI: + IL TORM DLL ROILIT TOTLI R VNTI COMTIILI: + IL TORM DLL ROILIT COMOST O TORM DL RODOTTO IL TORM DLL ROILIT COMOST R VNTI INDINDNTI IL TORM DLL ROILIT COMOST R VNTI DINDNTI

5 SRCIZIO In una certa scuola, il 5% degli studenti è stato bocciato in matematica, il 5% è stato bocciato in chimica e il 0% è stato bocciato sia in matematica sia in chimica. Viene scelto a caso uno studente. a Se egli è stato bocciato in chimica, qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica? b Se egli è stato bocciato in matematica, qual è la probabilità che sia stato bocciato in chimica? c Qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica? SOLUZIONI Sia M{studenti bocciati in matematica} e C{studenti bocciati in chimica}; allora M0,5; C0,5; MC0,0 a la probabilità che uno studente sia stato bocciato in matematica, se si sa che è stato bocciato in chimica, è M C 0, 0 MC C 0, 5 3 b la probabilità che uno studente sia stato bocciato in chimica, se si sa che è stato bocciato in matematica, è M C 0, 0 CM M 0, 5 5 c oichè M e C sono eventi compatibili si applica il teorema delle probabilità totali per eventi compatibili: MUCM+C- MC0,5+0,5-0, SRCIZIO Le bottiglie di vino in vendita in una bottiglieria, classificate secondo la tipologia rosso, bianco, rosé e la fascia di prezzo cui appartengono prezzo basso, prezzo medio, prezzo alto, risultano così distribuite:

6 RZZO TIOLOGI SSO MDIO LTO ROSSO INCO ROS' calcolare: a la probabilità di una bottiglia di vino ROSSO oppure di prezzo MDIO; b la probabilità di una bottiglia di vino INCO oppure ROS ; c la probabilità di una bottiglia di vino INCO sapendo che appartiene alla fascia di prezzo LTO, ovvero vino INCOprezzo LTO; d la probabilità di una bottiglia di vino ROS e di prezzo MDIO l'uno e l'altro. SOLUZIONI a eventi compatibili: ROSSOUMDIO ,635 b eventi incompatibili: INCOUROS ,6 c INCOLTO ,3333 d ROS MDIO00000, SRCIZIO Tre malattie M, M e M 3 producono i sintomi febbre F, ipertensione I e nessun sintomo N con le frequenze indicate nella seguente tabella: SINTOMO MLTTI F I N M M M Calcolare: a qual è la malattia più probabile, indipendentemente dai sintomi; b qual è la probabilità di avere la malattia M oppure la malattia M M U M ; c qual è la malattia più probabile se è presente la febbre; d qual è la probabilità che siano presenti congiuntamente la malattia M e l ipertensione M I; e verificare come si può ottenere il risultato di cui in d usando i Teoremi delle robabilità. SOLUZIONI a M %; M %; M % b M U M M + M 40% c M F506083,333%; M F0606,6667%; M 3 F0600% d M I404000%

7 e M I M * IM 60400*40600% I* M I0400*4000%