Calcolo Numerico con elementi di programmazione

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1 Calcolo Numerico con elementi di programmazione (A.A ) Appunti delle lezioni sull Approssimazione di dati e funzioni

2 Esempio 1 Nella tavola seguente è riportata la popolazione (in migliaia) dell Italia censita ogni 10 anni tra il 1861 e il 2011 (dati ISTAT). Anno Popolazione (in migliaia) Anno Popolazione (in migliaia) Determinare il tasso di crescita e approssimare la popolazione negli anni 1850, 1943, Come si può stimare l accuratezza dei valori ottenuti? 1

3 Esempio 2 Nella tabella sono riportate le misure sperimentali relative alla forza F (x) necessaria per allungare una molla fino alla lunghezza x. x F (x) Determinare la costante elastica della molla. 2

4 Esempio 3 Per misurare il diametro di alcuni fori di coordinate x pollici y pollici praticati su una lastra di metallo di dimensione viene utilizzato un laser collocato all estremità di un braccio meccanico di un robot. Determinare il cammino ottimale che il braccio deve compiere per collegare i fori. Il cammino deve essere sufficientemente regolare, in modo da impedire variazioni di direzione troppo brusche, e breve. 3

5 Esempio 4 Date le coordinate di alcuni punti nello spazio, disegnare una superficie che riproduca l andamento dei punti. Computer graphics, disegno di fonts Academy Award Best Animated Short Film 4

6 Approssimazione di dati e funzioni Problema Data la tabella {x i, y i }, i = 0,..., n, si vuole trovare una funzione analitica ϕ M che approssimi i dati. La tabella {x i, y i } può essere il risultato di misure sperimentali oppure può rappresentare i valori di una funzione la cui espressione analitica è nota ma complicata da calcolare direttamente. Per poter costruire una funzione approssimante bisogna stabilire in quale classe di funzioni si vuole operare il metodo di approssimazione 5

7 Classi di funzioni approssimanti Polinomi algebrici di grado n a coefficienti reali (n + 1 parametri) p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n a k IR k adatti a rappresentare funzioni appartenenti a C n ([a, b]) Polinomi trigonometrici di ordine n a coefficienti reali: (2n + 1 parametri) t n (x) = n k=0 ( ak cos(k x) + b k sin(k x) ) a k, b k IR k adatti per rappresentare funzioni periodiche Funzioni razionali: (m + n + 2 parametri) r n,m (x) = p n(x) p m (x) p n, p m polinomi adatte per rappresentare funzioni con singolarità 6

8 Funzioni esponenziali: (2n parametri) g n (x) = n k=1 a k exp(b k x) a k, b k IR k adatte per rappresentare fenomeni fisici ad andamento esponenziale Funzioni splines: polinomi a tratti di grado n e regolarità C n 1 adatte a rappresentare funzioni polinomiali a tratti

9 Interpolazione: che Metodi di approssimazione si sceglie la funzione approssimante ϕ n in modo ϕ n (x i ) = y i i = 0, 1,..., n Condizioni di interpolazione Si usa quando i dati y i sono accurati. Approssimazione ai minimi quadrati di dati discreti: si sceglie la funzione approssimante ϕ M in modo che minimizzi la quantità n [ ϕm (x i ) y i ] 2 Scarto quadratico oppure, introducendo i pesi w i, n w i [ ϕm (x i ) y i ] 2 Scarto quadratico pesato Si usa quando i dati y i sono poco accurati e in numero elevato. Esempio: retta di regressione 7

10 Interpolazione Tabella: {x i, y i } i = 0, 1,..., n Funzione approssimante: ϕ n (x) dipende linearmente da n + 1 parametri: a 0, a 1,, a n V = ψ 0 (x 0 ) ψ 1 (x 0 ) ψ 2 (x 0 ) ψ n (x 0 ) ψ 0 (x 1 ) ψ 1 (x 1 ) ψ 2 (x 1 ) ψ n (x 1 ) ψ 0 (x n ) ψ 1 (x n ) ψ 2 (x n ) ψ n (x n ) IR (n+1) (n+1) V T V } {{ } H A = V T Y } {{ } B V A = Y Risolvere il problema dell interpolazione equivale a risolvere il sistema lineare V A = Y 8

11 Condizioni di interpolazione V A = Y a 0 ψ 0 (x 0 ) + a 1 ψ 1 (x 0 ) + a 2 ψ 2 (x 0 ) + + a n ψ n (x 0 ) } {{ } ϕ n (x 0 ) = y 0 a 0 ψ 0 (x 1 ) + a 1 ψ 1 (x 1 ) + a 2 ψ 2 (x 1 ) + + a n ψ n (x 1 ) } {{ } ϕ n (x 1 ).. a 0 ψ 0 (x n ) + a 1 ψ 1 (x n ) + a 2 ψ 2 (x n ) + + a n ψ n (x n ) } {{ } ϕ n (x n ) = y 1.. = y n ϕ n (x 0 ) = y 0, ϕ n (x 1 ) = y 1, ϕ n (x n ) = y n La funzione interpolante passa per i valori {x i, y i }. 9

12 Interpolazione polinomiale Tabella: {x i, y i } i = 0,..., n Intervallo di interpolazione: [a, b] = [x 0, x n ] Funzione approssimante: p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n Metodo di approssimazione: p n (x i ) = y i (i = 0, 1,..., n) Interpolazione Risolvere il problema dell interpolazione vuol dire individuare il polinomio p n, cioè i coefficienti reali a k, che soddisfano le condizioni di interpolazione. Questo equivale a risolvere il sistema lineare p n (x 0 ) = p n (x 1 ) = p n (x n ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = y 0 a 0. + a 1 x 1. + a 2 x a n x n 1. = y a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a n x n n = y n V A = Y 10

13 Unicità del polinomio interpolatore 1 x 0 x 2 0 xn 0 V A = Y con V = 1 x 1 x 2 1 xn x n x 2 n x n } {{ } Matrice di Vandermonde A = a 0 a 1. a n Y = y 0 y 1. y n La matrice di Vandermonde di n+1 nodi distinti {x i }, i = 0,..., n+1, è regolare poiché det V = j>i(x i x j ) 0 esiste un unica soluzione A del sistema. Esiste uno e uno solo polinomio p n di grado n che verifica le condizioni di interpolazione p n (x i ) = y i i = 0,..., n Unicità : se p 1, p 2 : p 1 (x i ) = p 2 (x i ) = y i (p 1 p 2 )(x i ) = 0 p 1 p 2 si annulla in n + 1 punti assurdo perchè è un polinomio di grado n. 11

14 Condizionamento della matrice di Vandermonde La matrice di Vandermonde può essere malcondizionata. Esempio 1: n + 1 nodi equispaziati in [0, 1], x i = i n, i = 0,..., n n K 1 (V ) e e e+004 n K 1 (V ) e e e e+008 Esempio 2: n + 1 nodi di Chebyshev in [0, 1], x i = 1 2 cos(2i+1 n+1 π 2 ) n K 1 (V ) e e+002 n K 1 (V ) e e e e+004 Nota. Poiché la matrice di Vandermonde è malcondizionata per n elevato e, inoltre, il costo computazionale per la soluzione del sistema lineare V A = Y può essere elevato, si preferisce ricorrere ad altre strategie per costruire l unico polinomio interpolatore p n. 12

15 Polinomi di base di Lagrange Base dei monomi: {1, x, x 2,..., x n 1, x n } x k è un monomio di grado k p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n Polinomi di base di Lagrange: {l 0 (x), l 1 (x),..., l n 1 (x), l n (x)} l k (x) := n j = 0 j k x x j x k x j = x x 0 x k x 0 x x 1 x k x 1 x x k 1 x k x k 1 x x k+1 x k x k+1 x x n x k x n l k (x), k = 0,..., n, è un polinomio di grado n l k (x i ) = { 1 se i = k 0 se i k l espressione di l k (x) dipende solo dai nodi {x i } 13

16 Espressione di Lagrange del polinomio interpolatore Il polinomio interpolatore sui nodi x i si definisce come combinazione lineare dei polinomi di base di Lagrange L n (x) = n k=0 y k l k (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + + y n 1 l n 1 (x) + y n l n (x) dove y k sono i valori nei nodi e l k (x) dipende solo dai nodi. Da l k (x i ) = δ ki, segue L n (x i ) = n k=0 y k l k (x i ) = y i l i (x i ) = y i per cui è verificata la condizione di interpolazione in ogni nodo e V = l 0 (x 0 ) l 1 (x 0 ) l 2 (x 0 ) l n (x 0 ) l 0 (x 1 ) l 1 (x 1 ) l 2 (x 1 ) l n (x 1 ) l 0 (x n ) l 1 (x n ) l 2 (x n ) l n (x n ) = I A = Y 14

17 L n (x) è un polinomio di grado n che verifica le condizioni di interpolazione per l unicità del polinomio interpolatore, L n (x) p n (x) Osservazioni: non è necessario risolvere il sistema lineare V A = Y per determinare i coefficienti a k del polinomio interpolatore; i polinomi di base l k (x) dipendono solo dai nodi, per cui una volta fissata una distribuzione di nodi possono essere valutati una volta per tutte; nell espressione del polinomio interpolatore L n (x) compaiono esplicitamente i valori di y k con i quali si esegue l interpolazione; la rappresentazione di Lagrange costituisce la base per la costruzione di formule di quadratura e di metodi per l approssimazione della soluzione di problemi differenziali.

18 Esempio 1 Data la tabella Anno Popolazione (in migliaia) approssimare la popolazione negli anni 1930, 1965, Quanto sono accurati i valori ottenuti? Polinomi di base di Lagrange Polinomio interpolatore (il simbolo indica i punti di interpolazione) 15

19 Interpolazione di polinomi L interpolazione è esatta per i polinomi q m di grado m n. {x k, q m (x k )} k = 0,..., n L n (x) = n k=0 q m (x k ) l k (x) q m (x) Esempio. Data la tavola i x i y i costruire il relativo polinomio interpolatore. 16

20 Soluzione I dati sono n + 1 = 3 quindi il polinomio interpolatore è un polinomio di grado 2. l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) x(x 1) = ( 1)( 1 1) = 1 x(x 1) 2 l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) = (x + 1)(x 1) (1)( 1) = (x + 1)(x 1) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) (x + 1)x = (1 + 1)(1) = 1 (x + 1)x 2 p 2 (x) = 2 k=0 y k l k (x) = 0 l 0 (x) + 4 l 1 (x) + 2 l 2 (x) = 4(x + 1)(x 1) + (x + 1)x = 3x 2 + x

21 Aggiungiamo alla tabella la coppia di valori (x 3, y 3 ) = (2, 6) e calcoliamo il nuovo polinomio interpolatore. i x i y i l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) = 1 x(x 1)(x 2) 3 l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) = 1 (x + 1)(x 1)(x 2) 2 l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) = 1 (x + 1)x(x 2) 2 l 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = 1 (x + 1)x(x 1) 6 il polinomio interpolatore è di grado 3 p 3 (x) = 3 k=0 y k l k (x) = = 3x 2 + x + 4 = p 2 (x)!!! Se y i = q m (x i ), dove q m è un polinomio di grado minore o uguale a n esso coincide con il suo polinomio interpolatore p n (x) data la sua unicità. 18

22 Interpolazione di funzioni costanti L interpolazione è esatta per i polinomi q m di grado m n. Se m = 0 L n (x) = n k=0 q 0 (x k ) l k (x) q 0 (x) = costante In particolare, se q 0 (x) 1, allora q 0 (x k ) = 1 per k = 0, 1,..., n L n (x) = n q 0 (x k ) l k (x) = q 0 (x) = 1 } {{ } k=0 1 n k=0 l k (x) = 1, x IR 19

23 Errore nell interpolazione polinomiale Tabella: {x i, y i } i = 0,..., n Errore di troncamento: causato dall aver approssimato la funzione con il polinomio interpolatore Errore di propagazione: dovuto agli errori sui dati di input (errori di misura o di arrotondamento); i dati y i possono non rappresentare gli esatti valori assunti nei nodi dalla funzione f da ricostruire Errore totale polinomio ideale E t (x) = f(x) p n (x) = f(x) p n(x) } {{ } errore di troncamento + p n(x) p n (x) } {{ } errore di propagazione = = E n (x) + E n(x) 20

24 Espressione dell errore di troncamento Polinomio ideale : p n(x) = n k=0 f(x k ) l k (x) Errore di troncamento: E n (x) = f(x) p n(x) L errore di troncamento deve essere nullo nei nodi poiché il polinomio interpolatore soddisfa le condizioni di interpolazione: p n (x i) = f(x i ) E n (x i ) = f(x i ) p n (x i) = 0 i = 0,..., n E n (x) = n (x x i )R n (x) dove R n (x) è un opportuna funzione da individuare. L errore di troncamento deve essere nullo se f(x) è un polinomio di grado n 21

25 Definendo il Polinomio nodale: π n (x) := n (x x i ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) si trova la seguente espressione per Errore di troncamento: E n (x) = π n (x) f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! ξ(x) [x 0, x n ] L errore dipende dall andamento del polinomio nodale e delle derivate della funzione.

26 Limitazioni dell errore di troncamento - 1 Errore di troncamento: E n (x) = π n (x) f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! ξ(x) [a, b] Il punto ξ(x) in cui calcolare la derivata non è noto la formula dell errore di troncamento ci permette di ricavare delle limitazioni Limitazioni per eccesso e per difetto m f (n+1) (x) M x [a, b] m π n(x) (n + 1)! E n(x) M π n(x) (n + 1)! m π n(x) (n + 1)! E n(x) M π n(x) (n + 1)! se π n (x) > 0 se π n (x) < 0 22

27 Limitazioni dell errore di troncamento - 2 Limitazione sul modulo f (n+1) (x) µ, x [a, b] E n (x) µ (n + 1)! π n(x) Esempio: nodi equispaziati x i = x 0 + ih (i = 0,..., n) π n (x) = n (x x i ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) Se x = x 0 + sh π n (x) = s(s 1)... (s n)h n+1 π n tende a crescere agli estremi dell intervallo. L approssimazione migliore si ha nella parte centrale dell intervallo di interpolazione. I nodi migliori sono quelli che minimizzano la funzione µ (n + 1)! π n(x) che risulta essere grande per i nodi equispaziati. I nodi che la minimizzano sono quelli di Chebyshev. Grafico di π 7 (x) 23

28 Errore di propagazione { εi = f(x Errore sui dati: i ) y i errore di arrotondamento ε i = δ i errore di misura En(x) = p n(x) p n (x) = n f(x i ) l i (x) E n(x) = n n ε i l i (x) (f(x i ) + ε i ) l i (x) Se ε i ε si ottiene la limitazione E n(x) ε n l i (x) = ε Λ(x) Funzione di Lebesgue: Λ(x) = n l i (x) coefficiente di amplificazione degli errori sui dati, si valuta nel punto in cui si vuole stimare l errore di interpolazione 24

29 Costante di Lebesgue: Λ n = max a x b Λ(x) è associata ai nodi e all intervallo [a, b] ed è una maggiorazione dell amplificazione degli errori sui dati

30 Proprietà della funzione di Lebesgue Poiché n l i (x) = 1 Λ(x) 1 Λ(x) dipende solo dai polinomi fondamentali di Lagrange e, quindi, dalla distribuzione dei nodi; l aumento del numero dei nodi produce un aumento consistente dell amplificazione dell errore sui dati Nodi equispaziati in [a, b] Nodi di Chebyshev in [a, b] x i = a + ih h = b a n, i = 0,..., n Λ n 2n+1 e n log n per n x i = b a 2 2i + 1 π cos n b + a 2 Λ n 2 π, i = 0,..., n log n per n n = 7 Intervallo: [0, 7] n = 7 Intervallo: [0, 7] 25

31 Esercizio 1 Data la tabella i x i y i a) scrivere l espressione del polinomio interpolatore di Lagrange; b) sapendo che 0 < f (4) (x) 5.657, dare una limitazione per eccesso e una per difetto dell errore di troncamento nei punti t 1 = 0.2, t 2 = 0.6, t 3 = 1.0; c) valutare la costante di Lebesgue e dare una stima dell errore di propagazione. 26

32 Soluzione a) La tabella contiene 4 nodi, quindi il polinomio interpolatore è di grado 3. l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) = 1 (x 0.4)(x 0.8)(x 1.2) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) = 1 x(x 0.8)(x 1.2) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) = 1 x(x 0.4)(x 1.2) l 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = 1 x(x 0.4)(x 0.8) p 3 (x) = 3 k=0 y k l k (x) p 3 (t 0 ) = p 3 (0.2) = p 3 (t 1 ) = p 3 (0.6) = p 3 (t 2 ) = p 3 (1.0) = 3 k=0 3 k=0 3 k=0 y k l k (0.2) = y k l k (0.6) = y k l k (1.0) =

33 b) Errore di troncamento: E 3 (x) = π 3(x) f (4) (τ) τ (0, 1.2) 4! π 3 (x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) = x(x 0.4)(x 0.8)(x 1.2) π 3 (t 0 ) = π 3 (0.2) = π 3 (t 1 ) = π 3 (0.6) = π 3 (t 2 ) = π 3 (1.0) = m = 0 < f (4) (x) M = Stima di E 3 (t 0 ) π 3(t 0 ) 4! Stima di E 3 (t 1 ) 0 < π 3(t 1 ) 4! Stima di E 3 (t 2 ) π 3(t 2 ) 4! M E 3 (t 0 ) π 3(t 0 ) m < 0 4! m E 3 (t 1 ) π 3(t 1 ) M ! M E 3 (t 2 ) π 3(t 2 ) m < 0 4! Nota. Le approssimazioni di t 0 e t 2 sono per eccesso, mentre. l approssimazione di t 1 è per difetto 28

34 c) Errore di propagazione: E 3 (x) ε 3 l i (x) = ε Λ(x) Poiché i dati di input hanno 5 decimali l errore di arrotondamento sui dati è : ε i = ε. Λ(t 0 ) = 3 l i (t 0 ) = E 3 (t 1) Λ(t 1 ) = 3 l i (t 1 ) = 1.25 E 3 (t 2) Λ(t 2 ) = 3 l i (t 2 ) = E3 (x) Nota. L errore di propagazione è trascurabile rispetto all errore di troncamento. 29

35 Esercizio 2 Data la seguente tabella di valori di una funzione f(x) x f(x) ) valutare f(2.5) mediante due polinomi interpolatori p 1 (x) e p 2 (x), dove p 1 (x) interpola f(x) nei nodi 2, 3 e p 2 (x) nei nodi 1, 2, 3; 2.2) posto f(x) = cos π(x 1) dare una maggiorazione di E(2.5). 30

36 Soluzione 2.1) Utilizzando la rappresentazione di Lagrange per i due polinomi abbiamo p 1 (x) = y 2 (x x 3 ) (x 2 x 3 ) + y 3 (x x 2) (x 3 x 2 ) = 2x 5 p 2 (x) = y 1 (x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) + y 2 (x x 1)(x x 3 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) + y 3 (x x 1)(x x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = 2x 2 8x + 7 E quindi f(2.5) = p 1 (2.5) = 0 f(2.5) = p 2 (2.5) =

37 2.2) La funzione f C ([1, 4]) e si può usare la stima dell errore di troncamento dove E n (x) = π n (x) f (n+1) (t) (n + 1)! t [x 0, x n ] π n (x) := n (x x i ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) da cui E 1 (2.5) = (2.5 2)(2.5 3) 2! π 2 cos π(t 1) π2 8 (2.5 1)(2.5 2)(2.5 3) E 2 (2.5) = π 3 sin π(t 1) π Tali stime evidenziano che p 1 da una migliore approssimazione. 32

38 33

39 Convergenza dei polinomi interpolatori Si ha convergenza se, in assenza di errori di arrotondamento, lim n p n(x) = f(x) cioè se all aumentare del numero dei nodi il polinomio interpolatore approssima sempre meglio la funzione. Esempio 1: f(x) = sinh(x) x [ 2, 2] All aumentare di n il polinomio interpolatore approssima sempre meglio la funzione. Per n = 10 il grafico di p 10 (x) coincide con il grafico di f(x). 34

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41 Nota. All aumentare di n aumentano gli errori di arrotondamento che possono distruggere il risultato. Esempio 2: f(x) = x 2 x [ 5, 5] (Funzione di Runge) All aumentare di n il polinomio interpolatore oscilla sempre di più in prossimità dei bordi (non dipende dagli errori di arrotondamento) 36

42 Teoremi di convergenza - 1 Teorema 1. Se f C (b a) k [a, b] e lim max k k! f (k) (x) = 0, allora a x b lim n p n(x) = f(x) uniformemente in [a, b]. Osservazioni. le funzioni con derivata equilimitata in [a, b] soddisfano le ipotesi del teorema. Esempi: sin x, cos x, e x ; la convergenza dei polinomi interpolatori è assicurata se i punti di singolarità della funzione da interpolare sono sufficientemente distanti dall intervallo di interpolazione; il teorema non da alcuna condizione sulla distribuzione dei nodi. 37

43 Polinomi di Chebyshev Si possono dare delle condizioni di convergenza con ipotesi meno restrittive su f(x) se si scelgono nodi di interpolazione x i particolari. Ponendo x = cos θ si definisce T n (x) := cos nθ = cos n(arccos x) n = 0, 1,... Ricordando che 2 cos θ cos nθ = cos(n + 1)θ + cos(n 1)θ T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T n+1 (x) = 2x T n (x) T n 1 (x) (Relazione di ricorrenza) per ogni n, T n (x) è un polinomio di grado n I primi polinomi del sistema {T n (x)} sono T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x 2 1 T 3 (x) = 4x 3 3x 38

44 Nodi di Chebyshev Per ogni n i nodi di Chebyshev sono gli n + 1 zeri del polinomio di Chebyshev di grado n + 1. Dalla definizione di T n si ottiene immediatamente T n+1 (x) = 0 (n + 1)θ = (2 i + 1) π 2 i = 0, 1,..., n Nodi di Chebyshev dell intervallo [ 1, 1] x C i = cos ( 2i + 1 n + 1 π ) 2 i = 0, 1,..., n 39

45 sono le proiezioni sull asse x di nodi distribuiti uniformemente sul semicerchio di centro l origine e raggio unitario. Si addensano in prossimità degli estremi dell intervallo Nodi di Chebyshev dell intervallo [a, b] Cambiamento di coordinate: x = b a 2 t + a + b 2 x C i = b a ( 2i cos n + 1 π ) 2 + b + a 2 i = 0, 1,..., n

46 Teoremi di convergenza - 2 Teorema 3. Se f è lipschitziana in [a, b], la successione dei polinomi interpolatori sui nodi di Chebyschev converge a f uniformemente in [a, b]. Il polinomio nodale seguenti proprietà : π C n (x) costruito sui nodi di Chebyschev ha le max x [a,b] πc n (x) = (b a)n+1 2 2n+1 max x [a,b] π n(x) > max x [a,b] πc n (x) Nota. I nodi di Chebyshev sono tutti interni all intervallo [a, b] a < x C i < b i = 0, 1,..., n 40

47 Svantaggi dell espressione di Lagrange del polinomio interpolatore L espressione di ciascun polinomio di base di Lagrange l k (x) dipende da tutti i nodi x i. Esempio: {x 0, x 1, x 2 } l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) Se si aggiunge un nodo bisogna ricalcolare tutti i polinomi l k e, quindi, p n. Esempio: {x 0, x 1, x 2, x 3 } l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) l 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) Un espressione del polinomio interpolatore p n più efficiente è data dalla formula di Newton alle differenze divise. 41

48 Differenze divise Tabella: {x i, f i } i = 0, 1,..., n (Nodi distinti) Differenze divise di ordine zero: f[x i ] := f i i = 0, 1,..., n Differenze divise prime: f[x i, x j ] = f[x i] f[x j ] x i x j i, j = 0, 1,..., n i j Differenze divise seconde: f[x i, x j, x k ] = f[x i, x j ] f[x j, x k ] x i x k i, j, k = 0, 1,..., n i j k i La differenze divisa k-esima relativa a k+1 nodi distinti x 0, x 1,..., x k è definita da f[x 0, x 1,..., x k ] = f[x 0, x 1,..., x k 1 ] f[x 1, x 2,..., x k ] x 0 x k 42

49 Tavola delle differenze divise Per calcolare la differenza divisa k esima servono k +1 valori della funzione Con n + 1 nodi si possono costruire n k + 1 differenze divise k esime, e pertanto una sola differenza divisa n esima x 0 f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f 2 f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 3, x 4 ] x 4 f 4 43

50 Tavola delle differenze divise Se si aggiunge un nodo la tavola alle differenze divise viene modificata solo per l aggiunta di una nuova riga x 0 f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f 2 f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] f[x 3, x 4 ] f[x 2, x 3, x 4, x 5 ] x 4 f 4 f[x 3, x 4, x 5 ] f[x 4, x 5 ] x 5 f 5 E necessario calcolare solo una differenza divisa per ogni ordine. 44

51 Forma di Newton del polinomio interpolatore Dalla definizione di differenze divise si ha f[x] = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x, x 0 ] f[x, x 0 ] = f[x 0, x 1 ] + (x x 1 )f[x, x 0, x 1 ] f[x, x 0,..., x n 2 ] = f[x 0, x 1,..., x n 1 ] + (x x n 1 )f[x, x 0,..., x n 1 ] f[x, x 0,..., x n 1 ] = f[x 0, x 1,..., x n ] + (x x n )f[x, x 0,..., x n ] Sostituendo ciascusa di queste relazioni nella precedente si ottiene f(x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ] (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )f[x 0, x 1,..., x n ]+ +(x x 0 )(x x 1 ) (x x n )f[x, x 0, x 1,..., x n ] 45

52 I primi n + 1 termini costituiscono un polinomio di grado n i cui coefficienti dipendono da f. Indicando con P n (f; x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+ + + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )f[x 0, x 1,..., x n ] f(x) = P n (f, x) + π n (x) f[x, x 0, x 1,..., x n, x n+1 ] Teorema Il polinomio di Newton alle differenze divise P n (f; x) coincide con il polinomio interpolatore p n (x) di f(x) nei nodi x 0, x 1,..., x n P n (f; x) è l espressione del polinomio interpolatore nella base dei polinomi nodali {1, (x x 0 ), (x x 0 )(x x 1 ),..., (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )}

53 Errore di troncamento E n (x) = π n (x) f[x, x 0, x 1,..., x n, x n+1 ]

54 Espressione dell errore di troncamento E n (x) = f(x) p n(x) = f(x) P n (x) = = π n (x) f[x, x 0, x 1,..., x n ] = π n (x) f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! Se f C k [x 0, x k ] f[x 0, x 1,..., x k ] = f (k) (t k ) k! t k [x 0, x k ] Stima dell errore di troncamento Se f (n+1) (x) esiste f[x 0, x 1,..., x n+1 ] = f (n+1) (t n+1 ) (n + 1)! Se f (n+1) (x) varia poco in [x 0, x n ] f (n+1) (ξ) f (n+1) (t n+1 ) E n (x) = π n f[x, x 0, x 1,..., x n ] = = π n (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! π n(x) f (n+1) (t n+1 ) (n + 1)! = π n (x) f[x 0, x 1,..., x n, x n+1 ] t n+1 [x 0, x n+1 ] E n (x) π n (x) f[x 0, x 1,..., x n, x n+1 ] 46

55 Propagazione degli errori nella tavola alle differenze Il calcolo delle differenze divise è molto sensibile agli errori sui dati Esempio: per nodi equidistanti con passo h x 0 f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] + ε 2h 2 f[x 2, x 1 ] + ε f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] ε h 2h 3 x 2 f 2 + ε f[x 1, x 2, x 3 ] ε f[x h 2 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] + ε 4h 4 f[x 3, x 2 ] ε f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] + ε h 2h 3 x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] + ε 2h 2 f[x 4, x 3 ] x 4 f 4 L amplificazione della perturbazione nel calcolo delle differenze divise è tanto maggiore quanto maggiore è l ordine della differenza divisa che si vuole calcolare Poiché le differenze divise al crescere dell ordine hanno valori via via più piccoli, si possono verificare fenomeni di cancellazione numerica 47

56 Approssimazione ai minimi quadrati Problema. Data la tabella {x i, y i }, i = 0, 1,..., n, si vuole trovare una funzione analitica ϕ M che approssimi i dati. In questo caso la tabella è il risultato di misure sperimentali ciascuna delle quali è affetta da un errore di misura ε i. Metodo di approssimazione: si sceglie la funzione approssimante ϕ M in modo da minimizzare n [ϕ M (x i ) y i ] 2 Scarto quadratico oppure, introducendo i pesi w i > 0, i, n w i [ϕ M (x i ) y i ] 2 Scarto quadratico pesato 48

57 Funzione approssimante: Caso lineare ϕ M (x) dipende linearmente da M parametri: a 0, a 1,, a M M << n ϕ M (x) = a 0 ψ 0 (x) + a 1 ψ 1 (x) + + a M ψ M (x) dove {ψ k (x)} k=0,...,m è una base per lo spazio di approssimazione Metodo di approssimazione: si minimizza lo scarto quadratico σ 2 (a 0, a 1,..., a M ) = n [ a 0 ψ 0 (x i ) + a 1 ψ 1 (x i ) + + a M ψ M (x i ) y i ] 2 } {{ } ϕ M (x i ) Risolvere il problema dell approssimazione ai minimi quadrati vuol dire individuare i coefficienti reali a k che rendono minimo σ 2 (a 0,, a M ). Nota. L approssimante ai minimi quadrati in generale non passa per i valori {x i, y i } ma vicino ad essi. 49

58 Polinomio algebrico ai minimi quadrati Tabella: {x i, y i } i = 0, 1,..., n Funzione approssimante: P M (x) = a 0 + a 1 x + + a M 1 x M 1 + a M x M M << n Metodo di approssimazione: si minimizza lo scarto quadratico σ 2 (a 0, a 1,..., a M ) = Funzioni di base: n [a 0 + a 1 x i + + a M 1 x M 1 + a M x M i } {{ i } P M (x i ) ψ 0 (x) = 1, ψ 1 (x) = x,..., ψ k (x) = x k,, ψ M (x) = x M y i ] 2 Risolvere il problema dell approssimazione polinomiale ai minimi quadrati vuol dire individuare il polinomio P M, cioè gli M+1 coefficienti reali a k, per il quale σ è minimo. Il polinomio che si determina non passa per i punti {x i, y i } ma vicino ad essi e tra tutti i polinomi dello stesso grado è quello che minimizza lo scarto quadratico σ 2. 50

59 Osservazione Imponendo le condizioni di interpolazione P M (x i ) = y i, i = 0,..., n per determinare i coefficienti di P M si ottiene il sistema lineare V A = Y, V IR n M, A IR M, Y IR n che risulta essere sovradeterminato (M << n) e quindi non risolubile in senso classico, ma che può essere risolto mediante i minimi quadrati. Nota. Un esempio tipico di problema che conduce ad un sistema sovradeterminato è l approssimazione di dati sperimentali. 51

60 Minimizzazione di σ Per minimizzare σ bisogna annullare il gradiente σ2 a k = a k n [P M (x i ) y i ] 2 = 0 k = 0, 1,..., M 2 n (P M (x i ) y i ) P M(x i ) = 0 k = 0, 1,..., M a k 2 n ( a 0 +a 1 x i + +a M 1 x M 1 i +a M x M i y i ) x k i = 0, k = 0, 1,..., M n a 0 x k i +a 1 n x k+1 i + +a M n x M+k i = n y i x k i, k = 0,..., M 52

61 Per trovare gli M + 1 coefficienti incogniti a k bisogna risolvere il sistema lineare ottenuto (sistema delle equazioni normali). Per verificare che la soluzione del sistema sia un minimo bisogna studiare l hessiano [ 2 σ 2 ] n = 2 x k+j a j a i = 2H k j,k=0,...,m 53

62 Sistema delle equazioni normali Definizioni: s k := n x k i v k := n y i x k i k = 0, 1,..., M Il sistema delle M + 1 equazioni normali nelle incognite a k diventa s 0 a 0 + s 1 a s M a M = v 0 s 1 a 0 + s 2 a s M+1 a M = v 1 HA = B... s M a 0 + s M+1 a s 2M a M = v M A = [a 0, a 1,..., a M ] T B = [v 0, v 1,..., v M ] T H = s 0 s 1 s M s 1 s 2 s M+1 s M s M+1 s 2M IR (M+1) (M+1) 54

63 Unicità della soluzione Definiamo il vettore Y = [y 0, y 1,..., y n ] T B = V T Y H = V T V dove V = 1 x 0 x 2 0 xm 0 1 x 1 x 2 1 xm 1 1 x n x 2 n x M n IR (n+1) (M+1) V è la matrice di Vandermonde dei nodi {x i }. la matrice V ha rango M + 1 ed è regolare Per ogni X IR M+1 si ha X T HX = (V X) T (V X) = V X Inoltre, per la regolarità di V, l uguaglianza vale se e solo se X = 0 H è definita positiva e quindi regolare il sistema delle equazioni normali ammette un unica soluzione Ā = H 1 B 55

64 La matrice hessiana 2H è definita positiva la soluzione Ā del sistema delle equazioni normali corrisponde a un minimo. Ā = (V T V ) 1 V T Y è il vettore dei coefficienti del polinomio P M (x) che ricostruisce i dati nel senso dei minimi quadrati. Nota. La matrice H è malcondizionata. L approssimazione polinomiale ai minimi quadrati è dunque un problema mal condizionato Metodi di regolarizzazione.

65 Retta di regressione Un caso di particolare interesse nelle applicazioni è la costruzione della retta di regressione, ossia il polinomio di grado 1 P 1 (x) = a 0 + a 1 x che approssima i dati {x i, y i }, i = 0, 1,..., n, (n >> 1) nel senso dei minimi quadrati. Equazioni normali Soluzione dove a 0 s 0 + a 1 s 1 = v 0 a 0 s 1 + a 1 s 2 = v 1 s 0 = n + 1 s 1 = n x i s 2 = a 0 = v 0s 2 v 1 s 1 s 0 s 2 s 2 1 a 1 = s 0v 1 s 1 v 0 s 0 s 2 s 2 1 n x 2 i v 0 = n y i v 1 = n y i x i 56

66 Esempio 2 La forza F (x) necessaria per allungare una molla fino alla lunghezza x è data da F (x) = k(x l) (Legge di Hooke) dove k è la costante elastica e l è la lunghezza a riposo della molla. Nella tabella sono riportate le misure sperimentali relative alla forza F (x) necessaria per allungare una molla fino alla lunghezza x. i x i F (x i ) Determinare la costante elastica della molla. 57

67 Esempio 2: soluzione Per trovare la costante elastica della molla si devono approssimare i dati in tabella con il polinomio ai minimi quadrati di primo grado (retta di regressione): P 1 (x) = a 0 + a 1 x Il coefficiente a 1 fornisce l approssimazione della costante elastica. Risolvendo il sistema delle equazioni normali si ottiene a 0 = a 1 = Per questi valori dei coefficienti si ha σ 2 (a 0, a 1 ) = 6 [a 0 + a 1 x i y i ] 2 = =

68 Interpretazione probabilistica - 1 Siano x una variabile deterministica e y = a 0 + a 1 x la variabile dipendente, legata a x da una relazione lineare. Per ogni coppia {x i, y i } valgono le relazioni y i = a 0 + a 1 x i, i = 0,..., n. Supporremo che i dati {x i, y i + ε i } siano affetti da rumore con errore statistico ε i. Definizione. A partire dai dati {x i, y i } si definiscono la varianza e la covarianza rispettivamente come var(x) = 1 n + 1 dove i (x i x) 2 cov(x, y) = 1 n + 1 x = 1 n + 1 sono le medie osservate. i x i ȳ = 1 n + 1 i y i i (x i x)(y i ȳ) 59

69 Interpretazione probabilistica - 2 Ipotesi: 1) x è una variabile deterministica 2) E(ε i ) = 0 (valore atteso) 3) var(ε i ) costante per ogni i 4) cov(ε i, ε j ) = 0 per ogni i j Nel metodo dei minimi quadrati si minimizza la quantità σ 2 (a 0, a 1 ) = i (a 0 + a 1 x i y i ) 2 = i ε 2 i Se valgono Hp. 1-4 i coefficienti a 0 e a 1, soluzione del problema di minimo, possono essere scritti come a 1 = (n + 1)( i x i y i ) ( i x i )( i y i ) (n + 1)( i x 2 i ) ( i x i ) 2 = cov(x, y) var(x) a 0 = ( i y i )( i x 2 i ) ( i x i )( i x i y i ) (n + 1)( i x 2 i ) ( i x i ) 2 = ȳ a 1 x = ȳ cov(x, y) var(x) x 60

70 Esercizio 3 Determinare la retta di regressione relativa ai dati in tabella x i y i

71 Soluzione La retta di regressione ha equazione y = a 1 x + a 0 dove a 0 = v 0s 2 v 1 s 1 s 0 s 2 s 2, a 1 = s 0v 1 s 1 v 0 1 s 0 s 2 s 2 1 s k = n x k i, v k = n y i x k i Con n = 4 si ottiene s 0 = 5, s 1 = 5, s 2 = 15 v 0 = 24.93, v 1 = 55.43, v 2 =

72 a 1 = = 3.05 a 0 = = per cui la retta di regressione è y = 3.05x

73 Esercizio 4 Trovare il polinomio di secondo grado che meglio approssima i dati in tabella x i y i

74 la cui soluzione è [a 0 a 1 a 2 ] T = [0 0 1] T p 2 (x) = x 2 64 Soluzione I coefficienti del polinomio p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 si ottengono risolvendo il sistema dove s 0 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 s 3 s 4 s k = 5 a 0 a 1 a 2 x k i, v k = = 5 v 0 v 1 v 2 y i x k i Si deve quindi risolvere il seguente sistema a 0 a 1 a 2 =

75 Riferimenti bibliografici L. Gori, Calcolo Numerico: Cap , L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico: Cap. 3: Es. 3.1, , , Esercizi d esame: Es. 7.2, 7.37, 7.50, 7.70, 7.79,