LA SELEZIONE DI VARIABILI NELLA REGRESSIONE LINEARE. IL MODELLO BERDS

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1 Relazioe Assego di ricerca. La selezioe delle variabili ell aalisi multivariata. 0/09/2006 3/08/2007 LA SELEZIONE DI VARIABILI NELLA REGRESSIONE LINEARE. IL MODELLO BERDS Massimo Guerriero Summary: The problem of variable selectio is oe of the most pervasive model selectio problems i statistical applicatios. Ofte referred to as the problem of subset selectio, it arises whe oe wats to model the relatioship betwee a variable of iterest ad a subset of potetial explaatory variables or predictors, but there is ucertaity about which subset to use. This paper reviews some of the key developmets which have led to the wide variety of approaches for this problem. I the sectio 3, for example, a ew algorithm backward elimiatio via repeated data splittig (BERDS) is proposed for variable selectio i regressio. We also discuss the followig problem: give a radom sample from a ukow probability distributio, estimate the samplig distributio of some prespecified radom variable, o the basis of the observed data. A geeral method, called the bootstrap, is itroduced. Keywords: Liear Regressio, Variable Selectio, Omissio Bias, Data Splittig, Bootstrap.. Itroduzioe La realtà operativa richiede spesso l'aalisi di feomei che dipedoo da più fattori. Aalisi di questo tipo si possoo affrotare grazie alla regressioe multivariata che costruedo u modello Dipartimeto di Ecoomie Società e Istituzioi, Sezioe Statistica, Uiversità degli Studi di Veroa, Via dell Artigliere, Veroa (

2 adeguato basato su u'idoea fuzioe, apputo la fuzioe di regressioe, descrive el modo migliore come varia ua variabile al variare delle altre, e quidi permette di aalizzare e descrivere ei migliori dei modi u feomeo specifico dipedete da ua molteplicità di fattori. Nella regressioe multivariata o multipla u feomeo da aalizzare si può descrivere el seguete modo: Y=f(X, X 2,, X k ), dove la variabile dipedete Y (feomeo da aalizzare) dipede da k variabili idipedeti potezialmete esplicative o predittive X, X 2,, X k. Naturalmete la fase più importate dell'aalisi i questioe è quella di trovare la fuzioe di regressioe più idoea a rappresetare la relazioe tra le varie variabili quatitative; u lavoro che trova la migliore fuzioe di regressioe richiede l'espletameto di quattro fasi : la rilevazioe dei valori, la scelta del tipo di modello, il calcolo dei parametri icogiti e la verifica della botà d adattameto. La rilevazioe dei valori I questa fase si dovrao rilevare su ogua delle uità statistiche elemetari, determiazioi di X i. I questo modo le iformazioi si collocherao i ua matrice di righe e k+ coloe, che rappresetao rispettivamete quati soo i casi osservati e quate le variabili prese i cosiderazioe. La scelta del tipo di modello Scegliere la fuzioe di regressioe più idoea vuol dire scegliere il modello che descriva il feomeo ei migliori dei modi. I questo seso si deve teer coto della specificità della struttura del feomeo e delle cosegueti ipotesi costruite per rappresetarlo el modo più preciso possibile. I modelli che si prederao i cosiderazioe el presete lavoro, soo di tipo parametrico. Nello specifico il modello adottato sarà lieare ei parametri delle variabili esplicative, del tipo: Dario Olivieri: Fodameti di statistica, Cedam, 998 secoda edizioe. 2

3 k Y=β 0 + β i X i +ε, () dove i residui ε hao media zero e variaza σ 2 (cui valore o si coosce e quidi da stimare dai dati dispoibili), e soo campioati idipedetemete dalla distribuzioe. I coefficieti β 0, β,, β k soo scoosciuti e quidi ach'essi da stimare. Il calcolo dei parametri icogiti Il coefficiete di regressioe icogito β i, co 0 i k, rappreseta il legame di Y rispetto ad X i, co 0 i k, teedo costati tutte le altre variabili. I altre parole l'icliazioe β i spiega come varia Y i corrispodeza di ua variazioe uitaria della variabile X i. A tal fie el presete lavoro si userà il metodo dei miimi quadrati 2. Co esso si calcolerao i k+ parametri del modello che miimizzao la somma dei quadrati delle distaze tra i valori osservati e quelli iterpolati: (y i -β 0 -β x i, -β 2 x i,2 - -β k x i,k ) 2. Rispetto al modello lieare di tipo parametrico (), le stime dei coefficieti di regressioe, b, chiamate i letteratura stime ordiarie a miimi quadrati, risulterao 3 : b=(x X) - X Y dove b'=(b 0, b,, b k ). Itroducedo el modello di regressioe i parametri stimati, calcoliamo il valore della variabile Y usado i valori coosciuti delle variabili esplicative. Ifatti sapedo che è il umero delle osservazioi e k il umero delle variabili esplicative, idetifichiamo X come ua matrice (k+), dove ella riga i-esima si ha seguito dai valori delle variabili X,X 2,,X k per l i-esima 2 G. A. F. Seber: Liear Regressio Aalysis, Wiley, New York, A.J. Miller: Subset selectio i regressio, Chapma ad Hall,

4 osservazioe; Y sarà u vettore lugo valori osservati della variabile stimata. Usado i miimi quadrati si ottiee var(x b)=σ 2 x (X X) - x. Facedo la fattorizzazioe di Cholesky di X'X si ottiee ua matrice R triagolare superiore 4 (k+) (k+), quidi (X'X) - =R - R -T dove -T è l'iversa della trasposta. Si può cocludere che la variaza di Ŷ è data da: var(x b)=σ 2 (x R - )(x R - ). La verifica della botà d adattameto L'ultima fase della costruzioe del modello è rivolta a verificare la botà d adattameto del modello stimato adottato, i altre parole, valutare il grado d approssimazioe tra il valore reale Y e quello teorico Ŷ. La misura della botà d adattameto si esegue co opportui idici che tegao coto degli errori tra valori osservati e teorici. Qui di seguito si cita l idice di determiazioe R 2 dato dal rapporto tra la Deviaza di regressioe (somma dei quadrati degli scarti tra i valori iterpolati e la media o somma dei quadrati della regressioe) e la Deviaza totale (somma dei quadrati degli scarti tra valori osservati e la media o somma totale dei quadrati) 5 : R 2 = = Dev.Re gress. Dev. Totale 2 y y i m = ( ) 2 y i m y = 4 Ua matrice triagolare iferiore (superiore) è ua matrice quadrata i cui elemeti al di sopra (sotto) della diagoale pricipale soo tutti ulli. 5 Essa misura la variabilità i Y seza cosiderare la variabilità della variabile regressore X. 4

5 = - Dev.Re sidua. Dev. Totale Esso misura la proporzioe di variabilità del feomeo reale Y spiegata dal modello teorico di regressioe costruito co le variabili X. L'idice di determiazioe è compreso tra zero e uo. Sarà uguale a zero quado la deviaza di regressioe è ulla, quidi il modello lieare o forirà motivazioi sulle variazioi del feomeo; sarà uguale ad uo quado la deviaza residua è ulla, quidi il modello spiega completamete le variazioi del feomeo. Nella regressioe multipla, tuttavia, è opportuo fare uso di u idice che tega coto ache del umero di variabili esplicative e dei parametri iclusi el modello, oltre che dell'ampiezza del campioe, l'r 2 corretto. L'R 2 corretto è dato dalla seguete espressioe: R 2 adj= -[(-R 2 y,2 p) ], k dove k è il umero delle variabili esplicative. I molti casi però, i cui si ha u isieme di variabili idipedeti umeroso, costruire u buo modello regressivo può essere difficoltoso. Per tale ragioe asce l'esigeza di valutare la variabile Y sulla base solo di ua parte dell'isieme dei fattori che la ifluezao. A tal fie esistoo delle apposite metodologie che cercao di costruire modelli regressivi che icludoo solo le variabili idipedeti più iflueti, ma che i ogi caso garatiscoo ua buoa precisioe elle valutazioi del feomeo. 2. La selezioe di variabili Come detto sopra, l esigeza èi perveire a modelli di regressioe i cui è preso i cosiderazioe solo u sottoisieme di variabili esplicative. A tal fie ella costruzioe del modello di regressioe multipla il criterio pricipale da seguire è la parsimoia. Tale criterio impoe di iserire i u modello il umero miimo di variabili idipedeti che cosetao di spiegare la variabile risposta, quidi si itede iserire 5

6 solo le variabili esplicative che possoo essere utili per la valutazioe della variabile dipedete. I altre parole si aalizzerà il feomeo prededo i cosiderazioe o tutto il set di variabili esplicative dispoibili ma ua parte di esso, seza i ogi modo compromettere la possibilità di otteere u risultato abbastaza preciso. Tuttavia per questo ultimo fie è possibile che al sottoisieme di variabili prese i cosiderazioe si aggiugao altre variabili calcolate da combiazioi lieari di variabili origiarie preseti el sottoisieme. Tali variabili possoo essere costati ma ache quadrati, prodotti, rapporti e differeze tra variabili, oché logaritmi di variabili ecc.; la codizioe ecessaria per la loro iclusioe è che devoo essere preseti el sottoisieme le variabili origiarie da cui derivao. Le ragioi che ci portao ad u lavoro di selezioe di variabili, soo diverse e tutte o trascurabili i u aalisi statistica: si riesce a trovare le variabili che effettivamete icidoo sulla variabile risposta Y; può essere dispedioso per elevati costi di rilevazioe, raccogliere i dati di u set completo di variabili potezialmete predittive; co ua umerosità miore delle variabili dell'idagie si possoo avere misure e rilevazioi più accurate, co tempi e costi di misurazioe più coteuti; i modelli di regressioe co meo variabili e quidi meo parametri da calcolare si possoo otteere dati più vicii alla realtà; i modelli di regressioe co poche variabili esplicative soo di più facile iterpretazioe, soprattutto perché soo meo esposti al rischio di multicolliearità tra le variabili esplicative. Il modello co meo variabili Si propoe qui l aalisi della variabilità di Y usado solo le prime p delle k variabili esplicative, co p<k, otteedo così la seguete matrice delle variabili idipedeti dispoibili X= (X A, X B ), dove X A cosiste i ua matrice co le prime (p+) coloe di X, e X B elle rimaeti (k-p) coloe di X. Usado la fattorizzazioe di 6

7 Cholesky (purché la X'X sia ua matrice positiva e simmetrica) si ottiee X A X A = R A R A dove R A cosiste i ua matrice co le prime (p+) righe e coloe della matrice triagolare superiore R. Il modello co solo p variabili preseterà la seguete variaza dei valori stimati di Y var(x A b A )= σ 2 (x A R - A)(x A R - A), (2) dove b A è il vettore dei coefficieti di regressioe del modello co p variabili e R - A è ua matrice co le prime (p+) righe e coloe di R -. Quidi var(x b) var(x A b A ), cioè la variaza dei valori stimati di Y è maggiore co u umero più alto di variabili idipedeti usate el modello (Miller 990). Usado il modello () ed utilizzado solo u sottoisieme di variabili predittive, le stime dei coefficieti di regressioe risulterao quidi b A = (X A X A ) - X A Y E(b A ) =(X A X A ) - X A Xβ =(X A X A ) - X A (X A,X B )β =(X A X A ) - (X A X A,X A X B )β =β A +(X A X A ) - X A X B β B, dove β A e β B cosistoo rispettivamete ei primi (p+) e egli ultimi (k-p) elemeti di β. Osservado l'ultima equazioe esposta si ota che il secodo termie della stessa rappreseta il bias che assumoo i (p+) coefficieti di regressioe, omettedo dalla valutazioe le (k-p) variabili idipedeti. I questo caso specifico si ha la preseza di bias da omissioe di variabili. Nella stima di Y per u dato x, il bias da omissioe sarà: 7

8 x β-e(x A b A )= =x A β A +x B β B -x A β A -x A (X A X A ) - X A X B β B = =[x A x A (X A X A ) - X A X B ]β B. Si rileva la preseza di u trade-off tra bias e variaza delle stime. I geerale u aumeto della preseza di variabili idipedeti el modello, causerà ua dimiuzioe di bias ma accrescerà la variaza descritta ell equazioe (2). I metodi classici per la formazioe del sottoisieme di variabili L'obiettivo è di selezioare da u set di k variabili esplicative dispoibili u sottoisieme di p<k variabili X (), X (2),X (p) che miimizzi la seguete equazioe: S= (y i - b (j) x i,(j) ) 2, p j= dove b (j) è il coefficiete di regressioe stimato co il metodo dei miimi quadrati, metre x i,(j) e y i soo rispettivamete le i-esime osservazioi delle variabili X (j) e della variabile Y, per,2,,. I metodi dispoibili i letteratura soo tati, ma i via di classificazioe si possoo idividuare i tre metodi più usati per l'idividuazioe del modello adeguato, seza dover tuttavia cosiderare tutti i 2 k possibili modelli risultati da u set di k variabili esplicative. Si tratta del Forward Selectio o Selezioe i Avati, Backward Elimiatio o Elimiazioe all'idietro, e Stepwise Regressio detta Regressioe a Passi Saggi. I ogi caso i modelli di regressioe che si possoo otteere co uo dei metodi dispoibili, devoo essere poi valutati e cofrotati facedo ricorso a diversi criteri dispoibili (come ad esempio l'r 2 adj). Forward Selectio L'algoritmo della Selezioe i Avati iizia co l'assuzioe che el modello o ci sia essua variabile idipedete se o l'itercetta β 0. La prima variabile regressore selezioata el modello è quella co più elevata correlazioe co la variabile dipedete; ioltre 8

9 le ulteriori variabili scelte, sarao ache quelle che avrao la più alta correlazioe parziale i valore assoluto co Y, dopo aver scelto X (j). Quidi la prima variabile selezioata, X j, è quella che miimizza: dove b j risulta: S= (y i -b j x ij ) 2, b j = x x ij 2 ij i ; sostituedo questa ultima espressioe ella S si ottiee: y S x ij 2 = y i x y 2 ij i 2. Si può dire allora che la variabile scelta è quella che massimizza x ij x y 2 ij i 2. (3) La prima variabile scelta, che si chiamerà X (), si itrodurrà poi i ogi sottoisieme ulteriore. A questo puto si trova quella variabile X j.() che massimizza l'espressioe (3), posto che la Y è sostituita co Y- X () b () e X j è sostituita co X j.(). Il procedimeto prosegue selezioado quelle variabili che miimizzao la Deviaza Residua (i letteratura abbreviata co RSS, Residual Sum of Squares), date le variabili già scelte. Nel metodo della Selezioe i Avati è molto usato il test della statistica F. Ua variabile predittiva etra el 9

10 modello se la statistica F sarà maggiore di u valore prescelto F to-eter, co F dato da: F = to eter RSS MSEP ( b ) j b (, ), dove MSEP è la media degli errori quadratici di previsioe. La procedura iterativa termia quado ua variabile regressore porta ad ua statistica F più bassa del valore F to-eter, oppure quado tutte le variabili dispoibili soo state iserite. Il criterio del test F parziale comporta il calcolo del cotributo che ciascua variabile esplicativa dà alla somma dei quadrati dopo che altre variabili esplicative soo state icluse el modello. La uova variabile, quidi, è iclusa el modello solo se lo stesso e risulta sigificativamete migliorato. I u modello co due variabili, suppoedo di icludere X 2, per stabilire se X migliora i maiera sigificativa il modello, si possoo impostare le segueti ipotesi: H 0 : La variabile X o migliora i maiera sigificativa il modello i cui la variabile X 2 sia stata iclusa. H : La variabile X migliora i maiera sigificativa il modello i cui la variabile X 2 sia stata iclusa. Il test F è dato dalla seguete espressioe: F = X j ( ) X RSS b b2 MSEP ( X, ), X 2 dove F idica la statistica co distribuzioe F di Sedecor co e -p- gradi di libertà. Se il valore osservato della statistica F è maggiore del valore critico, si decide di rifiutare H 0 e si coclude che l'iserimeto della variabile X migliora i maiera sigificativa u modello di regressioe che già cotega la variabile X 2. Se il valore osservato della statistica F è miore del valore critico allora si accetta H 0. U ulteriore modo per decidere se icludere o meo ua variabile potrebbe ache essere quello del p-value per il test F, i cui si decide di accettare l'etrata di ua uova variabile se il suo p-value è miore di u determiato cutoff (usualmete tra 0,05 e 0,20). 2 0

11 Stepwise Regressio La regressioe a Passi Saggi può essere cosiderata come ua modifica della Selezioe i Avati. Questo algoritmo proposto da Efroymso(960) 6 si differezia dal precedete poiché i questo metodo ua variabile itrodotta precedetemete può risultare sovrabbodate i virtù della etrata di uove variabili regressore, ifatti ad ogi step tutte le variabili esplicative cosiderate precedetemete el modello soo testate di uovo attraverso la valutazioe della relativa F per vedere se la loro preseza accresce RSS otevolmete. E' ovvio che co questa differeza di fodo è probabile che il sottoisieme otteuto co la regressioe a Passi Saggi sia differete dal sottoisieme otteuto co il metodo della Selezioe i Avati. Backward Elimiatio Il metodo dell'elimiazioe all'idietro (coosciuto ache come il metodo Pruig di variabili) è i u certo modo speculare al metodo della Selezioe i Avati. La procedura parte co u modello che prevede la preseza di tutte le k variabili esplicative cadidate più ua costate, per rimuovere poi passo dopo passo, tutte le variabili o ecessarie, seza la possibilità dopo la loro cacellazioe di poterle reiserire. Ricordado che RSS k è l'rss co tutte le k variabili el subset, il metodo esclude quella variabile che dopo la sua cacellazioe fa otteere il mior RSS k-, o che co la sua preseza fa presetare il più alto RSS. Si può dimostrare (Miller 990) che l'aumeto di RSS dopo la cacellazioe di ua variabile predittiva X i è 2 bi ii c dove b i è il coefficiete di regressioe a miimi quadrati di X i co tutte le variabili el modello, e c ii è l'i-esimo elemeto della diagoale di (X'X) -. Co l'uso della statistica F parziale si calcola questa ultima per 6 M. A. Efroymso: Multiple regressio aalysis. Mathematical Methods for Digital Computers, Wiley, New York, pag , 960.,

12 ogi variabile idipedete, come se essa fosse l'ultima variabile regressore ad etrare el modello. Il valore più piccolo di queste statistiche parziali è cofrotato co u valore predefiito F to-delete. Se F<F to-delete, la variabile predittiva è rimossa e la procedura è ripetuta di uovo co il modello superstite, teedo coto che dopo aver rimosso ua variabile la statistica F delle variabili rimaeti cambia. Tale procedura è iterativa sio a quado il più piccolo valore F o è iferiore al valore F to-delete. 3. L'algoritmo BERDS I metodi classici della selezioe di variabili, oostate siao stati usati moltissimo e seppur siao da riteere le fodameta di tutti i metodi uovi rivolti a risolvere problemi di selezioe di sottoisiemi di variabili, soo stati oggetto di critiche da parte della letteratura. No si può fare a meo, ifatti, di sottolieare che i metodi classici spesso idetificao e selezioao erroeamete variabili rumore come variabili reali predittive, facedo otteere modelli istabili 7. Alcui studi 8 hao dimostrato che il umero di variabili rumore selezioate dai metodi classici aumetao all'aumetare delle variabili idipedeti dispoibili, cosicché la probabilità di idetificare correttamete variabili reali è iversamete proporzioale al umero di variabili predittive prese i cosiderazioe. L'algoritmo BERDS 9 (Backward Elimiatio via Repeated Data Splittig, -Elimiazioe all'idietro co Ripetute Suddivisioi dei Dati-) qui di seguito esplicitato ha l obiettivo di elimiare l istabilità dei modelli selezioati; esso usa il già visto metodo dell'elimiazioe all'idietro co ripetute ripartizioi dei dati. I geerale, per ua idividuazioe della logica di fuzioameto dell'algoritmo che possa offrire valutazioi precise, di frote ad ua variabile rumore X j co relativo 7 S. Derkse e H.J. Keselma: Backward, Forward ad Stepwise Automated Subset Selectio Algorithms: Frequecy of Obtaiig Authetic ad Noise Variables, volume 45, pag , British Joural of Mathematical ad Statistical Psychology, P. A. Murtaugh: Methods of Variable Selectio i Regressio Modellig, Commuicatios i Statistics-Simulatio ad Computatio, volume 27, pag , P.F. Thall, K.E. Russel, R.M. Simo: Variable selectio i regressio via repeated data splittig, volume 6. 4 pag , Joural of Computatioal ad graphical statistics, The America statisticia,

13 β j =0, o altamete correlata co ua variabile predittiva reale, si preferisce escludere X j poichè la sua iclusioe aumeta la variaza predittiva. Al cotrario, se β j 0 co X j che è ua variabile reale o altamete correlata co altre predittive reali, si preferisce icludere X j. I riferimeto a questi aspetti è dimostrato 0 che co set che icludoo u gra umero di variabili rumore, BERDS preseta, rispetto a BECV (Backward Elimiatio via Cross-Validatio) e al classico algoritmo dell'elimiazioe all'idietro, maggiori probabilità di icludere el modello le predittive reali e di escludere le variabili rumore, oltre a selezioare meo variabili altamete correlate. Nello specifico i BERDS i dati vegoo divisi i due sottoisiemi {E,V}. I E si eseguoo Elimiazioi all'idietro rispetto u certo cutoff α, e per ogi α usato, il modello otteuto i E viee poi validato i V calcolado la somma delle deviazioi quadrate dei valori previsti rispetto a quelli osservati. Il processo viee ripetuto m volte i modo che l'α che miimizza la somma delle m somme di quadrati sarà scelto come cutoff da applicare i ua fiale Elimiazioe all'idietro sull'itero set di dati. I via geerale la procedura dell'algoritmo si sviluppa i cique fasi:. i dati si ripartoo casualmete i due sottoisiemi complemetari, il set di stima E e il set di validazioe V; 2. si esegue ua Elimiazioe all'idietro sui dati che compogoo E, registrado il p-value α j del test F parziale, (ma si usao ache test β j =0 cotro β j 0 quado X j è cacellato) co j p, e co α 0 = per il modello completo composto da tutte le p predittive. Si deota co Λ(E) e co Α(E) rispettivamete il massimo e il miimo di α,, α p. Come visto prima, per ogi αє[0,] la somma dei quadrati di validazioe corrispodete alla scissioe {E,V} risulta SS E,V (α)= i V [Y i -X i β(α,e)] 2 dove β(α,e)= β(α j,e) per ogi α j=mi{ α r : α r α, r=,, p}; 3. al fie di elimiare la sesitività rispetto ad ua particolare partizioe usata, si ripetoo le fasi () e (2) m volte. Per ogi 0 Ibidem, ota 0. R. Picard e K. N. Berk: Data Splittig, The america statisticia, volume 44, pag ,

14 αє [0,], si deota l'r-esimo set di stima, il set di validazioe, e la somma dei quadrati di validazioe SS r (α)=ss Er,Vr (α), co r=,, m. Si defiisce 2 la somma dei quadrati di validazioe completa, SS(α), il 20% della media ordiata di {SS (α),, SS m (α)}. Come si può otare, per u dato cutoff α, i modelli β(α,e ),,β(α,e m ) otteuti dalle m ripetizioi, o sarao mai gli stessi. Grazie a questa modifica si può dire che SS(α) stima realmete l'abilità predittiva del modello che si selezioa; 4. per determiati percetili q, si deota co L q e U 00-q rispettivamete il q-esimo e il (00-q)-esimo quatile di {Α(E ),, Α(E m )} e di {Λ(E ),, Λ(E m )}. Si defiisce co α * il cutoff che miimizza SS(α) su [L q,u 00-q ]. I pratica q=0 vuol dire o trocazioe; q=90 vuol dire trocare sotto il 90-esimo percetile di {Α(E ),, Α(E m )} e sopra il 0-ecimo percetile di {Λ(E ),, Λ(E m )}; q=00 vuol dire trocare al massimo e al miimo di questi sottoisiemi. I coclusioe questo step blocca il domiio α su cui la fuzioe obiettivo è miimizzata, per evitare l'alto grado di variazioe locale di SS(α) prossima a 0, che persiste co m grade; 5. si ottiee il modello fiale eseguedo sull'itero set dei dati, ua ultima Elimiazioe all'idietro co cutoff α *. Semplificado si può dire che l'algoritmo BERDS si basa pricipalmete su quattro parametri: la percetuale dei dati assegato e distribuito el set di stima E. Facedo l'esempio di assegare ad E il 90% dei dati e a V il rimaete 0%, questo si idica co E:V=90:0; il umero delle ripetizioi m che si decide di eseguire; il metodo che si usa per fare la media ella fase 3; l'ammotare del domiio α co cui ella fase 4 si impoe il percetile q. La selezioe di variabili che effettua l'algoritmo si valuta rispetto a tre fattori: la probabilità media di icludere variabili predittive reali o correlate tra loro, o alterativamete la probabilità di selezioare esattamete j di k predittive reali correlate, co 2 Ibidem, ota 0. 4

15 j=0,,, k; il umero di variabili rumore icluse el modello fiale; la media degli errori quadratici di previsioe, MSEP, MSEP= [Ŷ i -E(Y i X i )] 2 Per capire e cooscere l'algoritmo i tutti i suoi aspetti è iteressate studiare la sua sesitività sia rispetto ai parametri su cui è stato creato, sia rispetto alla struttura dei dati presa i esame. Per quato riguarda gli effetti dei parametri dell'algoritmo si può dire che el caso del modello co solo ua variabile reale correlata ei dati, BERDS si dimostra sesitivo solo a q. Ifatti co l'uso di u q=90 piuttosto che u q=00 si ottegoo meo variabili rumore selezioate e u mior MSEP. Per dimostrare l'esisteza della sesitività rispetto a m, traccie di MSEP rispetto le ripetizioi dimostrao 3 che geeralmete all'aumetare di m, gli errori di previsioe dimiuiscoo (questo o accade per il solo caso di q=00 co E:V=50:50). Riguardo a ciò si può dire che u uso efficiete di BERDS si può otteere co u domiio α [L 90,U 0 ], co partizioe E:V=50:50 e m=20. Co u set di dati modesto ivece si cosiglia l'uso di ua partizioe E:V=90:0. I ultimo si aalizza la sesitività di BERDS 4 alle differeti strutture dei dati che si possoo ivestigare. Per fare ciò è stata costruita ua matrice di grafici dove elle coloe si trovao quattro elemeti della struttura dei dati: dimesioe del campioe (dato dal umero delle osservazioi ), umero delle variabili rumore ei dati, umero delle predittive reali correlate ei dati (co correlazioe 0,90), e il parametro β di ua predittiva reale; elle righe, ivece, si trovao i risultati otteuti el modello fiale, i termii di: MSEP, umero delle variabili rumore selezioate, poteza del modello, α empirico fiale scelto. Partedo dalle relazioi che coivolgoo la prima coloa, la dimesioe del campioe, si ota subito che l'esecuzioe di BERDS migliora ettamete co u aumeto del campioe stesso. Ifatti all'aumetare di oltre ad u'ottimizzazioe della poteza del modello, si registra ua etta dimiuzioe sia degli errori quadratici di 3 Ibidem, ota 0. 4 S. Russo, La selezioe di variabili ella regressioe lieare, Tesi di laurea, Uiversità degli Studi di Veroa, Facoltà di Ecoomia, 2005, Veroa. 5

16 previsioe, sia delle variabili rumore selezioate, che del cutoff del p- value fiale. La secoda coloa, il umero di variabili rumore ei dati, riassume ua delle più importati qualità di BERDS. Osservado i grafici iteressati, si ota che BERDS è isesibile alla loro preseza ei dati; ifatti all'aumetare delle variabili rumore l' α empirico del modello fiale decresce, e la poteza del modello seppur registra u lieve e trascurabile declio, rimae pressoché stabile. Ache ella terza coloa, il umero di predittive reali correlate co correlazioe 0,90, BERDS fa otare u'altra sua qualità o trascurabile. Ifatti la proprietà che si registra è che l'algoritmo selezioa esattamete la metà delle predittive reali correlate preseti ei dati. Questo accade co u umero di almeo 4 predittive correlate presete ei dati, viceversa BERDS e selezioa comuque ua. Quidi, vista la proprietà di selezioare metà delle predittive reali correlate preseti ei dati, è ormale selezioare quado ei dati ce e soo 2, ma sorprede vedere che co 3 predittive reali correlate ei dati BERDS e selezioa comuque (per la precisioe,08). Ifie rispetto alla poteza del modello fiale, si ota che all'aumetare di colliearità ei dati essa rimae comuque stabile su quota 0,5. Per cocludere resta l'aalisi della quarta coloa, il coefficiete di regressioe β di ua predittiva reale, che i u certo seso misura la forza di ua determiata predittiva. Se questo è vero o deve sorpredere che all'aumetare di β, BERDS registra u aumeto cosiderevole della poteza del modello. Ioltre all'aumetare di β, oostate gli errori di previsioe dimiuiscao di poco, la traccia rispetto alle variabili rumore selezioate registra u etto declio, questo vuol dire che l'algoritmo ha ua accetuata abilità ad elimiare automaticamete le variabili rumore per tratteere quelle reali. Ache il cutoff α dimiuisce marcatamete all'aumetare di β. A questo puto si aalizza la matrice dei grafici rispetto le righe. I questo seso, osservado la prima riga si riesce a vedere la marcata sesitività degli errori di previsioe sia rispetto a che rispetto al umero delle variabili predittive correlate preseti ei dati. Nello specifico, metre all'aumetare di l'idice MSEP migliora, all'aumeto delle secode peggiora. Al cotrario, rispetto alle variabili rumore ei dati e al coefficiete β di ua variabile reale, si può dire che MSEP appare o sesibile, rimaedo pressoché stabile. Nella secoda riga si osserva la sesibilità ai dati delle variabili rumore selezioate. Qui si mostra come i BERDS le variabili rumore vegoo escluse dal modello, 6

17 trae ello sceario che preseta ua struttura dei dati co più di 3 variabili reali correlate, dove apputo il modello è istabile e si iiziao a selezioare variabili rumore. Per quato riguarda la poteza di BERDS bisoga osservare le tracce della terza riga. I questi grafici si ota che BERDS offre ua buoa poteza i ogi sceario che possa caratterizzare il set dei dati, ifatti persio co dati che icludoo molte variabili correlate la poteza o decresce ma rimae stabile, seppur su ua quota di 0,5. I ultimo la quarta riga, l' α empirico. I grafici mostrao come questo parametro del modello migliora, e quidi dimiuisce i ogi sceario (ovviamete trae el caso i cui siao preseti tate variabili correlate), cofermado la capacità di BERDS di aggiustarsi automaticamete ad ogi struttura dei dati 5. I coclusioe si può dire che il successo di BERDS, ovviamete oltre a trovare u sottoisieme di variabili idoeo a prevedere attedibili valori futuri ella regressioe lieare, è stato, i primo luogo, proprio quello di riuscire a calcolare empiricamete dai dati il cutoff da usare per selezioare le variabili predittive. Questo primo obiettivo è da riteere importate se si cosidera che il metodo classico dell'elimiazioe all'idietro sceglie u arbitrario cutoff α del p-value. Oltre a ciò BERDS preseta qualità o idiffereti ell'escludere dal sottoisieme sia variabili rumore che metà delle variabili reali correlate tra loro. Queste pricipali caratteristiche fao di BERDS u algoritmo che offre modelli di variabili stabili e capaci ad aggiustarsi ad ogi struttura dei dati che si preseti all'aalisi. 4. Il metodo bootstrap Lo scopo di questo paragrafo è quello di esamiare u uovo metodo di selezioe di variabili che la letteratura sta propoedo come alterativo ai metodi classici, proprio per migliorare i puti deboli. Questo metodo chiamato bootstrap, selezioa modelli predittivi usado combiazioi di ricampioameti bootstrap e metodi classici di selezioe di variabili automatizzati. Nella letteratura la prima grade itroduzioe al metodo bootstrap è stata presetata da Efro el Dato u campioe casuale di dimesioe, X=(X, 5 Ibidem, ota 0. 6 B. Efro: Bootstrap methods: aother look at the jackkife, Aals of Statistics, volume 7, -26,

18 X 2,, X ), otteuto da ua distribuzioe di probabilità scoosciuta F, e il vettore delle sue realizzazioi osservate, x=(x, x 2,, x ), X i =x i, X i ~F i =,2, K, l'iteto è quello di stimare la distribuzioe di campioameto di ua prespecificata variabile casuale R sulla base dei dati osservati x, co R che dipede sia da X che da F, R(X, F). A questo puto il metodo bootstrap si può riassumere ei tre puti segueti:. si sostituisce la scoosciuta fuzioe di desità F co ua stima f, iseredo / ad ogi puto x, x 2,, x ; 2. co f stimato, si traccia u campioe casuale di dimesioe da f, il campioe bootstrap X i * = x i *,X i * ~ f i =,2, K, (4) dove X * (X *, X * 2,, X * ) e x * =(x *, x * 2,, x * ). A differeza del tradizioale jackkife, i valori di X * si ottegoo co ricampioameto di tipo casuale semplice e co reimmissioe di X; si ricorda che quest'ultima deriva da F 7 ; 3. si approssima la distribuzioe di campioameto di R(X,F) dalla distribuzioe bootstrap di R * = R(X *,f), dove la distribuzioe di R * è stata prodotta grazie al meccaismo casuale (4), co f teuto fissato al suo valore stimato. L'approccio bootstrap come ua strategia di selezioe Ua recete proposta di implemetazioe della tecica bootstrap ella selezioe di variabili è stata fatta da Austi e Tu 8. L'approccio da loro proposto basa la selezioe di modelli predittivi 7 M. Guerriero e G. De Luca: La tecica bootstrap per gli itervalli di previsioe ei modelli AR(p)-ARCH(q), Uiversità degli Studi di Veroa -Facoltà di Ecoomia-, Quaderi di Statistica,. 2, P.C. Austi e J.V. Tu: Bootstrap methods for developig predictive models, volume 58. 2, The America Statisticia,

19 sull'estrazioe, dall'isieme dei dati dispoibili, di campioi bootstrap ripetuti, per poi eseguire i ogi campioe bootstrap ua Elimiazioe all'idietro per selezioare u modello parsimoioso. Più i geerale l'idea di base dell'esecuzioe del metodo bootstrap ella selezioe di variabili prevede l'uso di u metodo classico di selezioe di variabili ad ogi replicazioe bootstrap, al fie di idetificare le variabili sigificative. Le variabili rilevati molto probabilmete verrao icluse ella maggior parte dei modelli selezioati elle replicazioi bootstrap, dove si assume che ad ogi replicazioe, essedo u campioe casuale dei dati i aalisi, si rifletta la struttura dei dati. Premesso ciò si può dire che la probabilità a posteriori di ogi variabile ei modelli sarà u criterio per valutare l'importaza predittiva di ua variabile. Nello specifico, per ogi variabile cadidata, viee idetificata la proporzioe di campioi bootstrap i cui la variabile stessa è selezioata come predittiva idipedete rilevate, al fie di tracciare ua sorte di classificazioe delle variabili esplicative fatta i base alla proporzioe di campioi i cui le stesse soo preseti. A questo puto si forma u modello predittivo prelimiare composto da quelle variabili che risultao preseti i tutti i campioi bootstrap. La procedura va avati aggiugedo al modello prelimiare altre variabili predittive reali i base alla proporzioe di campioi i cui, apputo, queste variabili etrati soo preseti. Ogi modello selezioato, poi, può essere valutato i base alla precisioe predittiva, i modo da scegliere il modello fiale da usare ella ivestigazioe della variabile risposta. Il metodo bootstrap usa la probabilità a posteriori che ogi variabile sia stata iclusa el modello, per valutare la forza che la variabile stessa preseta ell'essere ua predittiva idipedete. Ifatti quello che accade è che ua predittiva reale sia presete ella maggior parte dei modelli selezioati, metre ua variabile rumore risulta presete solo i ua mioraza di modelli. 5. Coclusioi L'alta probabilità di icludere ei modelli predittivi variabili rumore al posto di variabili reali, fa si che i metodi classici automatizzati di selezioe di variabili risultio istabili e rumorosi. Negli ultimi ai, sia grazie agli sviluppi delle tecologie che hao forito calcolatori elettroici che riuscissero a far girare algoritmi 9

20 complessi, che grazie all'avazare degli studi di ricerca, molti lavori offerti dalla letteratura hao cercato di creare algoritmi che riuscissero a selezioare modelli predittivi poco rumorosi e allo stesso tempo precisi elle valutazioi della variabile risposta (tra tutti si veda Austi-Tu 2004). I metodi bootstrap, seppur receti e acora da cosolidare, i combiazioe co i metodi classici, presetao ua buoa capacità di formare modelli predittivi stabili. Questi usado u ricampioameto casuale semplice co reimmissioe delle variabili idipedeti e stimado la probabilità di etrare ei campioi che ogi variabile preseta, oltre ad elimiare dai modelli la rumorosità riescoo ad elimiare ogi sorte di arbitrarietà ella scelta delle variabili iflueti. L'algoritmo BERDS ha lo scopo, apputo, di riuscire a selezioare da u set di variabili idipedeti, solo le variabili reali più iflueti. Noostate la sua versioe precedete, l'algoritmo BECV, riuscisse ad escludere dal modello predittivo le variabili rumore, presetava comuque u problema rilevate: escludeva ache u buo umero di variabili reali. Questo era dovuto al fatto che BECV era sesitivo alla sua uica partizioe dei dati scelta per eseguire la cross-validatio. Nella modifica apportata e caratterizzate BERDS, si è riusciti ad otteere u algoritmo che oltre ad escludere variabili rumore riuscisse ache ad icludere le variabili reali iflueti. Nello specifico BERDS esegue m ripartizioi dei dati per eseguire al loro itero ua Elimiazioe all'idietro. Registrado i ogi esecuzioe sia l'α miimo che massimo rispetto ad ogi variabile, il cutoff che miimizza la somma dei quadrati di validazioe sotto u determiato quatile di questi α viee usato per eseguire ua Elimiazioe all'idietro fiale sull'itero set dei dati. Questa modifica che riesce quidi ad adottare ua sorte di α empirico ella selezioe delle variabili è stato u passo rilevate egli studi regressivi. Noostate ciò, secodo u parere persoale degli autori, il modello BERDS può essere acora migliorato. Iazitutto si sottoliea che elle prime m Elimiazioi all'idietro, il cutoff applicato è arbitrario (i geere 0,0) seppur frutto di valutazioi dell'aalista riguardo la struttura dei dati dispoibili. Due aspetti rilevati meriterebbero di essere approfoditi: le m ripetizioi degli step e 2 da eseguire, e il metodo usato per trovare la somma dei quadrati di validazioe completa SS(α). L iteto potrebbe essere 20

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