LA SELEZIONE DI VARIABILI NELLA REGRESSIONE LINEARE. IL MODELLO BERDS

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LA SELEZIONE DI VARIABILI NELLA REGRESSIONE LINEARE. IL MODELLO BERDS"

Transcript

1 Relazioe Assego di ricerca. La selezioe delle variabili ell aalisi multivariata. 0/09/2006 3/08/2007 LA SELEZIONE DI VARIABILI NELLA REGRESSIONE LINEARE. IL MODELLO BERDS Massimo Guerriero Summary: The problem of variable selectio is oe of the most pervasive model selectio problems i statistical applicatios. Ofte referred to as the problem of subset selectio, it arises whe oe wats to model the relatioship betwee a variable of iterest ad a subset of potetial explaatory variables or predictors, but there is ucertaity about which subset to use. This paper reviews some of the key developmets which have led to the wide variety of approaches for this problem. I the sectio 3, for example, a ew algorithm backward elimiatio via repeated data splittig (BERDS) is proposed for variable selectio i regressio. We also discuss the followig problem: give a radom sample from a ukow probability distributio, estimate the samplig distributio of some prespecified radom variable, o the basis of the observed data. A geeral method, called the bootstrap, is itroduced. Keywords: Liear Regressio, Variable Selectio, Omissio Bias, Data Splittig, Bootstrap.. Itroduzioe La realtà operativa richiede spesso l'aalisi di feomei che dipedoo da più fattori. Aalisi di questo tipo si possoo affrotare grazie alla regressioe multivariata che costruedo u modello Dipartimeto di Ecoomie Società e Istituzioi, Sezioe Statistica, Uiversità degli Studi di Veroa, Via dell Artigliere, Veroa (

2 adeguato basato su u'idoea fuzioe, apputo la fuzioe di regressioe, descrive el modo migliore come varia ua variabile al variare delle altre, e quidi permette di aalizzare e descrivere ei migliori dei modi u feomeo specifico dipedete da ua molteplicità di fattori. Nella regressioe multivariata o multipla u feomeo da aalizzare si può descrivere el seguete modo: Y=f(X, X 2,, X k ), dove la variabile dipedete Y (feomeo da aalizzare) dipede da k variabili idipedeti potezialmete esplicative o predittive X, X 2,, X k. Naturalmete la fase più importate dell'aalisi i questioe è quella di trovare la fuzioe di regressioe più idoea a rappresetare la relazioe tra le varie variabili quatitative; u lavoro che trova la migliore fuzioe di regressioe richiede l'espletameto di quattro fasi : la rilevazioe dei valori, la scelta del tipo di modello, il calcolo dei parametri icogiti e la verifica della botà d adattameto. La rilevazioe dei valori I questa fase si dovrao rilevare su ogua delle uità statistiche elemetari, determiazioi di X i. I questo modo le iformazioi si collocherao i ua matrice di righe e k+ coloe, che rappresetao rispettivamete quati soo i casi osservati e quate le variabili prese i cosiderazioe. La scelta del tipo di modello Scegliere la fuzioe di regressioe più idoea vuol dire scegliere il modello che descriva il feomeo ei migliori dei modi. I questo seso si deve teer coto della specificità della struttura del feomeo e delle cosegueti ipotesi costruite per rappresetarlo el modo più preciso possibile. I modelli che si prederao i cosiderazioe el presete lavoro, soo di tipo parametrico. Nello specifico il modello adottato sarà lieare ei parametri delle variabili esplicative, del tipo: Dario Olivieri: Fodameti di statistica, Cedam, 998 secoda edizioe. 2

3 k Y=β 0 + β i X i +ε, () dove i residui ε hao media zero e variaza σ 2 (cui valore o si coosce e quidi da stimare dai dati dispoibili), e soo campioati idipedetemete dalla distribuzioe. I coefficieti β 0, β,, β k soo scoosciuti e quidi ach'essi da stimare. Il calcolo dei parametri icogiti Il coefficiete di regressioe icogito β i, co 0 i k, rappreseta il legame di Y rispetto ad X i, co 0 i k, teedo costati tutte le altre variabili. I altre parole l'icliazioe β i spiega come varia Y i corrispodeza di ua variazioe uitaria della variabile X i. A tal fie el presete lavoro si userà il metodo dei miimi quadrati 2. Co esso si calcolerao i k+ parametri del modello che miimizzao la somma dei quadrati delle distaze tra i valori osservati e quelli iterpolati: (y i -β 0 -β x i, -β 2 x i,2 - -β k x i,k ) 2. Rispetto al modello lieare di tipo parametrico (), le stime dei coefficieti di regressioe, b, chiamate i letteratura stime ordiarie a miimi quadrati, risulterao 3 : b=(x X) - X Y dove b'=(b 0, b,, b k ). Itroducedo el modello di regressioe i parametri stimati, calcoliamo il valore della variabile Y usado i valori coosciuti delle variabili esplicative. Ifatti sapedo che è il umero delle osservazioi e k il umero delle variabili esplicative, idetifichiamo X come ua matrice (k+), dove ella riga i-esima si ha seguito dai valori delle variabili X,X 2,,X k per l i-esima 2 G. A. F. Seber: Liear Regressio Aalysis, Wiley, New York, A.J. Miller: Subset selectio i regressio, Chapma ad Hall,

4 osservazioe; Y sarà u vettore lugo valori osservati della variabile stimata. Usado i miimi quadrati si ottiee var(x b)=σ 2 x (X X) - x. Facedo la fattorizzazioe di Cholesky di X'X si ottiee ua matrice R triagolare superiore 4 (k+) (k+), quidi (X'X) - =R - R -T dove -T è l'iversa della trasposta. Si può cocludere che la variaza di Ŷ è data da: var(x b)=σ 2 (x R - )(x R - ). La verifica della botà d adattameto L'ultima fase della costruzioe del modello è rivolta a verificare la botà d adattameto del modello stimato adottato, i altre parole, valutare il grado d approssimazioe tra il valore reale Y e quello teorico Ŷ. La misura della botà d adattameto si esegue co opportui idici che tegao coto degli errori tra valori osservati e teorici. Qui di seguito si cita l idice di determiazioe R 2 dato dal rapporto tra la Deviaza di regressioe (somma dei quadrati degli scarti tra i valori iterpolati e la media o somma dei quadrati della regressioe) e la Deviaza totale (somma dei quadrati degli scarti tra valori osservati e la media o somma totale dei quadrati) 5 : R 2 = = Dev.Re gress. Dev. Totale 2 y y i m = ( ) 2 y i m y = 4 Ua matrice triagolare iferiore (superiore) è ua matrice quadrata i cui elemeti al di sopra (sotto) della diagoale pricipale soo tutti ulli. 5 Essa misura la variabilità i Y seza cosiderare la variabilità della variabile regressore X. 4

5 = - Dev.Re sidua. Dev. Totale Esso misura la proporzioe di variabilità del feomeo reale Y spiegata dal modello teorico di regressioe costruito co le variabili X. L'idice di determiazioe è compreso tra zero e uo. Sarà uguale a zero quado la deviaza di regressioe è ulla, quidi il modello lieare o forirà motivazioi sulle variazioi del feomeo; sarà uguale ad uo quado la deviaza residua è ulla, quidi il modello spiega completamete le variazioi del feomeo. Nella regressioe multipla, tuttavia, è opportuo fare uso di u idice che tega coto ache del umero di variabili esplicative e dei parametri iclusi el modello, oltre che dell'ampiezza del campioe, l'r 2 corretto. L'R 2 corretto è dato dalla seguete espressioe: R 2 adj= -[(-R 2 y,2 p) ], k dove k è il umero delle variabili esplicative. I molti casi però, i cui si ha u isieme di variabili idipedeti umeroso, costruire u buo modello regressivo può essere difficoltoso. Per tale ragioe asce l'esigeza di valutare la variabile Y sulla base solo di ua parte dell'isieme dei fattori che la ifluezao. A tal fie esistoo delle apposite metodologie che cercao di costruire modelli regressivi che icludoo solo le variabili idipedeti più iflueti, ma che i ogi caso garatiscoo ua buoa precisioe elle valutazioi del feomeo. 2. La selezioe di variabili Come detto sopra, l esigeza èi perveire a modelli di regressioe i cui è preso i cosiderazioe solo u sottoisieme di variabili esplicative. A tal fie ella costruzioe del modello di regressioe multipla il criterio pricipale da seguire è la parsimoia. Tale criterio impoe di iserire i u modello il umero miimo di variabili idipedeti che cosetao di spiegare la variabile risposta, quidi si itede iserire 5

6 solo le variabili esplicative che possoo essere utili per la valutazioe della variabile dipedete. I altre parole si aalizzerà il feomeo prededo i cosiderazioe o tutto il set di variabili esplicative dispoibili ma ua parte di esso, seza i ogi modo compromettere la possibilità di otteere u risultato abbastaza preciso. Tuttavia per questo ultimo fie è possibile che al sottoisieme di variabili prese i cosiderazioe si aggiugao altre variabili calcolate da combiazioi lieari di variabili origiarie preseti el sottoisieme. Tali variabili possoo essere costati ma ache quadrati, prodotti, rapporti e differeze tra variabili, oché logaritmi di variabili ecc.; la codizioe ecessaria per la loro iclusioe è che devoo essere preseti el sottoisieme le variabili origiarie da cui derivao. Le ragioi che ci portao ad u lavoro di selezioe di variabili, soo diverse e tutte o trascurabili i u aalisi statistica: si riesce a trovare le variabili che effettivamete icidoo sulla variabile risposta Y; può essere dispedioso per elevati costi di rilevazioe, raccogliere i dati di u set completo di variabili potezialmete predittive; co ua umerosità miore delle variabili dell'idagie si possoo avere misure e rilevazioi più accurate, co tempi e costi di misurazioe più coteuti; i modelli di regressioe co meo variabili e quidi meo parametri da calcolare si possoo otteere dati più vicii alla realtà; i modelli di regressioe co poche variabili esplicative soo di più facile iterpretazioe, soprattutto perché soo meo esposti al rischio di multicolliearità tra le variabili esplicative. Il modello co meo variabili Si propoe qui l aalisi della variabilità di Y usado solo le prime p delle k variabili esplicative, co p<k, otteedo così la seguete matrice delle variabili idipedeti dispoibili X= (X A, X B ), dove X A cosiste i ua matrice co le prime (p+) coloe di X, e X B elle rimaeti (k-p) coloe di X. Usado la fattorizzazioe di 6

7 Cholesky (purché la X'X sia ua matrice positiva e simmetrica) si ottiee X A X A = R A R A dove R A cosiste i ua matrice co le prime (p+) righe e coloe della matrice triagolare superiore R. Il modello co solo p variabili preseterà la seguete variaza dei valori stimati di Y var(x A b A )= σ 2 (x A R - A)(x A R - A), (2) dove b A è il vettore dei coefficieti di regressioe del modello co p variabili e R - A è ua matrice co le prime (p+) righe e coloe di R -. Quidi var(x b) var(x A b A ), cioè la variaza dei valori stimati di Y è maggiore co u umero più alto di variabili idipedeti usate el modello (Miller 990). Usado il modello () ed utilizzado solo u sottoisieme di variabili predittive, le stime dei coefficieti di regressioe risulterao quidi b A = (X A X A ) - X A Y E(b A ) =(X A X A ) - X A Xβ =(X A X A ) - X A (X A,X B )β =(X A X A ) - (X A X A,X A X B )β =β A +(X A X A ) - X A X B β B, dove β A e β B cosistoo rispettivamete ei primi (p+) e egli ultimi (k-p) elemeti di β. Osservado l'ultima equazioe esposta si ota che il secodo termie della stessa rappreseta il bias che assumoo i (p+) coefficieti di regressioe, omettedo dalla valutazioe le (k-p) variabili idipedeti. I questo caso specifico si ha la preseza di bias da omissioe di variabili. Nella stima di Y per u dato x, il bias da omissioe sarà: 7

8 x β-e(x A b A )= =x A β A +x B β B -x A β A -x A (X A X A ) - X A X B β B = =[x A x A (X A X A ) - X A X B ]β B. Si rileva la preseza di u trade-off tra bias e variaza delle stime. I geerale u aumeto della preseza di variabili idipedeti el modello, causerà ua dimiuzioe di bias ma accrescerà la variaza descritta ell equazioe (2). I metodi classici per la formazioe del sottoisieme di variabili L'obiettivo è di selezioare da u set di k variabili esplicative dispoibili u sottoisieme di p<k variabili X (), X (2),X (p) che miimizzi la seguete equazioe: S= (y i - b (j) x i,(j) ) 2, p j= dove b (j) è il coefficiete di regressioe stimato co il metodo dei miimi quadrati, metre x i,(j) e y i soo rispettivamete le i-esime osservazioi delle variabili X (j) e della variabile Y, per,2,,. I metodi dispoibili i letteratura soo tati, ma i via di classificazioe si possoo idividuare i tre metodi più usati per l'idividuazioe del modello adeguato, seza dover tuttavia cosiderare tutti i 2 k possibili modelli risultati da u set di k variabili esplicative. Si tratta del Forward Selectio o Selezioe i Avati, Backward Elimiatio o Elimiazioe all'idietro, e Stepwise Regressio detta Regressioe a Passi Saggi. I ogi caso i modelli di regressioe che si possoo otteere co uo dei metodi dispoibili, devoo essere poi valutati e cofrotati facedo ricorso a diversi criteri dispoibili (come ad esempio l'r 2 adj). Forward Selectio L'algoritmo della Selezioe i Avati iizia co l'assuzioe che el modello o ci sia essua variabile idipedete se o l'itercetta β 0. La prima variabile regressore selezioata el modello è quella co più elevata correlazioe co la variabile dipedete; ioltre 8

9 le ulteriori variabili scelte, sarao ache quelle che avrao la più alta correlazioe parziale i valore assoluto co Y, dopo aver scelto X (j). Quidi la prima variabile selezioata, X j, è quella che miimizza: dove b j risulta: S= (y i -b j x ij ) 2, b j = x x ij 2 ij i ; sostituedo questa ultima espressioe ella S si ottiee: y S x ij 2 = y i x y 2 ij i 2. Si può dire allora che la variabile scelta è quella che massimizza x ij x y 2 ij i 2. (3) La prima variabile scelta, che si chiamerà X (), si itrodurrà poi i ogi sottoisieme ulteriore. A questo puto si trova quella variabile X j.() che massimizza l'espressioe (3), posto che la Y è sostituita co Y- X () b () e X j è sostituita co X j.(). Il procedimeto prosegue selezioado quelle variabili che miimizzao la Deviaza Residua (i letteratura abbreviata co RSS, Residual Sum of Squares), date le variabili già scelte. Nel metodo della Selezioe i Avati è molto usato il test della statistica F. Ua variabile predittiva etra el 9

10 modello se la statistica F sarà maggiore di u valore prescelto F to-eter, co F dato da: F = to eter RSS MSEP ( b ) j b (, ), dove MSEP è la media degli errori quadratici di previsioe. La procedura iterativa termia quado ua variabile regressore porta ad ua statistica F più bassa del valore F to-eter, oppure quado tutte le variabili dispoibili soo state iserite. Il criterio del test F parziale comporta il calcolo del cotributo che ciascua variabile esplicativa dà alla somma dei quadrati dopo che altre variabili esplicative soo state icluse el modello. La uova variabile, quidi, è iclusa el modello solo se lo stesso e risulta sigificativamete migliorato. I u modello co due variabili, suppoedo di icludere X 2, per stabilire se X migliora i maiera sigificativa il modello, si possoo impostare le segueti ipotesi: H 0 : La variabile X o migliora i maiera sigificativa il modello i cui la variabile X 2 sia stata iclusa. H : La variabile X migliora i maiera sigificativa il modello i cui la variabile X 2 sia stata iclusa. Il test F è dato dalla seguete espressioe: F = X j ( ) X RSS b b2 MSEP ( X, ), X 2 dove F idica la statistica co distribuzioe F di Sedecor co e -p- gradi di libertà. Se il valore osservato della statistica F è maggiore del valore critico, si decide di rifiutare H 0 e si coclude che l'iserimeto della variabile X migliora i maiera sigificativa u modello di regressioe che già cotega la variabile X 2. Se il valore osservato della statistica F è miore del valore critico allora si accetta H 0. U ulteriore modo per decidere se icludere o meo ua variabile potrebbe ache essere quello del p-value per il test F, i cui si decide di accettare l'etrata di ua uova variabile se il suo p-value è miore di u determiato cutoff (usualmete tra 0,05 e 0,20). 2 0

11 Stepwise Regressio La regressioe a Passi Saggi può essere cosiderata come ua modifica della Selezioe i Avati. Questo algoritmo proposto da Efroymso(960) 6 si differezia dal precedete poiché i questo metodo ua variabile itrodotta precedetemete può risultare sovrabbodate i virtù della etrata di uove variabili regressore, ifatti ad ogi step tutte le variabili esplicative cosiderate precedetemete el modello soo testate di uovo attraverso la valutazioe della relativa F per vedere se la loro preseza accresce RSS otevolmete. E' ovvio che co questa differeza di fodo è probabile che il sottoisieme otteuto co la regressioe a Passi Saggi sia differete dal sottoisieme otteuto co il metodo della Selezioe i Avati. Backward Elimiatio Il metodo dell'elimiazioe all'idietro (coosciuto ache come il metodo Pruig di variabili) è i u certo modo speculare al metodo della Selezioe i Avati. La procedura parte co u modello che prevede la preseza di tutte le k variabili esplicative cadidate più ua costate, per rimuovere poi passo dopo passo, tutte le variabili o ecessarie, seza la possibilità dopo la loro cacellazioe di poterle reiserire. Ricordado che RSS k è l'rss co tutte le k variabili el subset, il metodo esclude quella variabile che dopo la sua cacellazioe fa otteere il mior RSS k-, o che co la sua preseza fa presetare il più alto RSS. Si può dimostrare (Miller 990) che l'aumeto di RSS dopo la cacellazioe di ua variabile predittiva X i è 2 bi ii c dove b i è il coefficiete di regressioe a miimi quadrati di X i co tutte le variabili el modello, e c ii è l'i-esimo elemeto della diagoale di (X'X) -. Co l'uso della statistica F parziale si calcola questa ultima per 6 M. A. Efroymso: Multiple regressio aalysis. Mathematical Methods for Digital Computers, Wiley, New York, pag , 960.,

12 ogi variabile idipedete, come se essa fosse l'ultima variabile regressore ad etrare el modello. Il valore più piccolo di queste statistiche parziali è cofrotato co u valore predefiito F to-delete. Se F<F to-delete, la variabile predittiva è rimossa e la procedura è ripetuta di uovo co il modello superstite, teedo coto che dopo aver rimosso ua variabile la statistica F delle variabili rimaeti cambia. Tale procedura è iterativa sio a quado il più piccolo valore F o è iferiore al valore F to-delete. 3. L'algoritmo BERDS I metodi classici della selezioe di variabili, oostate siao stati usati moltissimo e seppur siao da riteere le fodameta di tutti i metodi uovi rivolti a risolvere problemi di selezioe di sottoisiemi di variabili, soo stati oggetto di critiche da parte della letteratura. No si può fare a meo, ifatti, di sottolieare che i metodi classici spesso idetificao e selezioao erroeamete variabili rumore come variabili reali predittive, facedo otteere modelli istabili 7. Alcui studi 8 hao dimostrato che il umero di variabili rumore selezioate dai metodi classici aumetao all'aumetare delle variabili idipedeti dispoibili, cosicché la probabilità di idetificare correttamete variabili reali è iversamete proporzioale al umero di variabili predittive prese i cosiderazioe. L'algoritmo BERDS 9 (Backward Elimiatio via Repeated Data Splittig, -Elimiazioe all'idietro co Ripetute Suddivisioi dei Dati-) qui di seguito esplicitato ha l obiettivo di elimiare l istabilità dei modelli selezioati; esso usa il già visto metodo dell'elimiazioe all'idietro co ripetute ripartizioi dei dati. I geerale, per ua idividuazioe della logica di fuzioameto dell'algoritmo che possa offrire valutazioi precise, di frote ad ua variabile rumore X j co relativo 7 S. Derkse e H.J. Keselma: Backward, Forward ad Stepwise Automated Subset Selectio Algorithms: Frequecy of Obtaiig Authetic ad Noise Variables, volume 45, pag , British Joural of Mathematical ad Statistical Psychology, P. A. Murtaugh: Methods of Variable Selectio i Regressio Modellig, Commuicatios i Statistics-Simulatio ad Computatio, volume 27, pag , P.F. Thall, K.E. Russel, R.M. Simo: Variable selectio i regressio via repeated data splittig, volume 6. 4 pag , Joural of Computatioal ad graphical statistics, The America statisticia,

13 β j =0, o altamete correlata co ua variabile predittiva reale, si preferisce escludere X j poichè la sua iclusioe aumeta la variaza predittiva. Al cotrario, se β j 0 co X j che è ua variabile reale o altamete correlata co altre predittive reali, si preferisce icludere X j. I riferimeto a questi aspetti è dimostrato 0 che co set che icludoo u gra umero di variabili rumore, BERDS preseta, rispetto a BECV (Backward Elimiatio via Cross-Validatio) e al classico algoritmo dell'elimiazioe all'idietro, maggiori probabilità di icludere el modello le predittive reali e di escludere le variabili rumore, oltre a selezioare meo variabili altamete correlate. Nello specifico i BERDS i dati vegoo divisi i due sottoisiemi {E,V}. I E si eseguoo Elimiazioi all'idietro rispetto u certo cutoff α, e per ogi α usato, il modello otteuto i E viee poi validato i V calcolado la somma delle deviazioi quadrate dei valori previsti rispetto a quelli osservati. Il processo viee ripetuto m volte i modo che l'α che miimizza la somma delle m somme di quadrati sarà scelto come cutoff da applicare i ua fiale Elimiazioe all'idietro sull'itero set di dati. I via geerale la procedura dell'algoritmo si sviluppa i cique fasi:. i dati si ripartoo casualmete i due sottoisiemi complemetari, il set di stima E e il set di validazioe V; 2. si esegue ua Elimiazioe all'idietro sui dati che compogoo E, registrado il p-value α j del test F parziale, (ma si usao ache test β j =0 cotro β j 0 quado X j è cacellato) co j p, e co α 0 = per il modello completo composto da tutte le p predittive. Si deota co Λ(E) e co Α(E) rispettivamete il massimo e il miimo di α,, α p. Come visto prima, per ogi αє[0,] la somma dei quadrati di validazioe corrispodete alla scissioe {E,V} risulta SS E,V (α)= i V [Y i -X i β(α,e)] 2 dove β(α,e)= β(α j,e) per ogi α j=mi{ α r : α r α, r=,, p}; 3. al fie di elimiare la sesitività rispetto ad ua particolare partizioe usata, si ripetoo le fasi () e (2) m volte. Per ogi 0 Ibidem, ota 0. R. Picard e K. N. Berk: Data Splittig, The america statisticia, volume 44, pag ,

14 αє [0,], si deota l'r-esimo set di stima, il set di validazioe, e la somma dei quadrati di validazioe SS r (α)=ss Er,Vr (α), co r=,, m. Si defiisce 2 la somma dei quadrati di validazioe completa, SS(α), il 20% della media ordiata di {SS (α),, SS m (α)}. Come si può otare, per u dato cutoff α, i modelli β(α,e ),,β(α,e m ) otteuti dalle m ripetizioi, o sarao mai gli stessi. Grazie a questa modifica si può dire che SS(α) stima realmete l'abilità predittiva del modello che si selezioa; 4. per determiati percetili q, si deota co L q e U 00-q rispettivamete il q-esimo e il (00-q)-esimo quatile di {Α(E ),, Α(E m )} e di {Λ(E ),, Λ(E m )}. Si defiisce co α * il cutoff che miimizza SS(α) su [L q,u 00-q ]. I pratica q=0 vuol dire o trocazioe; q=90 vuol dire trocare sotto il 90-esimo percetile di {Α(E ),, Α(E m )} e sopra il 0-ecimo percetile di {Λ(E ),, Λ(E m )}; q=00 vuol dire trocare al massimo e al miimo di questi sottoisiemi. I coclusioe questo step blocca il domiio α su cui la fuzioe obiettivo è miimizzata, per evitare l'alto grado di variazioe locale di SS(α) prossima a 0, che persiste co m grade; 5. si ottiee il modello fiale eseguedo sull'itero set dei dati, ua ultima Elimiazioe all'idietro co cutoff α *. Semplificado si può dire che l'algoritmo BERDS si basa pricipalmete su quattro parametri: la percetuale dei dati assegato e distribuito el set di stima E. Facedo l'esempio di assegare ad E il 90% dei dati e a V il rimaete 0%, questo si idica co E:V=90:0; il umero delle ripetizioi m che si decide di eseguire; il metodo che si usa per fare la media ella fase 3; l'ammotare del domiio α co cui ella fase 4 si impoe il percetile q. La selezioe di variabili che effettua l'algoritmo si valuta rispetto a tre fattori: la probabilità media di icludere variabili predittive reali o correlate tra loro, o alterativamete la probabilità di selezioare esattamete j di k predittive reali correlate, co 2 Ibidem, ota 0. 4

15 j=0,,, k; il umero di variabili rumore icluse el modello fiale; la media degli errori quadratici di previsioe, MSEP, MSEP= [Ŷ i -E(Y i X i )] 2 Per capire e cooscere l'algoritmo i tutti i suoi aspetti è iteressate studiare la sua sesitività sia rispetto ai parametri su cui è stato creato, sia rispetto alla struttura dei dati presa i esame. Per quato riguarda gli effetti dei parametri dell'algoritmo si può dire che el caso del modello co solo ua variabile reale correlata ei dati, BERDS si dimostra sesitivo solo a q. Ifatti co l'uso di u q=90 piuttosto che u q=00 si ottegoo meo variabili rumore selezioate e u mior MSEP. Per dimostrare l'esisteza della sesitività rispetto a m, traccie di MSEP rispetto le ripetizioi dimostrao 3 che geeralmete all'aumetare di m, gli errori di previsioe dimiuiscoo (questo o accade per il solo caso di q=00 co E:V=50:50). Riguardo a ciò si può dire che u uso efficiete di BERDS si può otteere co u domiio α [L 90,U 0 ], co partizioe E:V=50:50 e m=20. Co u set di dati modesto ivece si cosiglia l'uso di ua partizioe E:V=90:0. I ultimo si aalizza la sesitività di BERDS 4 alle differeti strutture dei dati che si possoo ivestigare. Per fare ciò è stata costruita ua matrice di grafici dove elle coloe si trovao quattro elemeti della struttura dei dati: dimesioe del campioe (dato dal umero delle osservazioi ), umero delle variabili rumore ei dati, umero delle predittive reali correlate ei dati (co correlazioe 0,90), e il parametro β di ua predittiva reale; elle righe, ivece, si trovao i risultati otteuti el modello fiale, i termii di: MSEP, umero delle variabili rumore selezioate, poteza del modello, α empirico fiale scelto. Partedo dalle relazioi che coivolgoo la prima coloa, la dimesioe del campioe, si ota subito che l'esecuzioe di BERDS migliora ettamete co u aumeto del campioe stesso. Ifatti all'aumetare di oltre ad u'ottimizzazioe della poteza del modello, si registra ua etta dimiuzioe sia degli errori quadratici di 3 Ibidem, ota 0. 4 S. Russo, La selezioe di variabili ella regressioe lieare, Tesi di laurea, Uiversità degli Studi di Veroa, Facoltà di Ecoomia, 2005, Veroa. 5

16 previsioe, sia delle variabili rumore selezioate, che del cutoff del p- value fiale. La secoda coloa, il umero di variabili rumore ei dati, riassume ua delle più importati qualità di BERDS. Osservado i grafici iteressati, si ota che BERDS è isesibile alla loro preseza ei dati; ifatti all'aumetare delle variabili rumore l' α empirico del modello fiale decresce, e la poteza del modello seppur registra u lieve e trascurabile declio, rimae pressoché stabile. Ache ella terza coloa, il umero di predittive reali correlate co correlazioe 0,90, BERDS fa otare u'altra sua qualità o trascurabile. Ifatti la proprietà che si registra è che l'algoritmo selezioa esattamete la metà delle predittive reali correlate preseti ei dati. Questo accade co u umero di almeo 4 predittive correlate presete ei dati, viceversa BERDS e selezioa comuque ua. Quidi, vista la proprietà di selezioare metà delle predittive reali correlate preseti ei dati, è ormale selezioare quado ei dati ce e soo 2, ma sorprede vedere che co 3 predittive reali correlate ei dati BERDS e selezioa comuque (per la precisioe,08). Ifie rispetto alla poteza del modello fiale, si ota che all'aumetare di colliearità ei dati essa rimae comuque stabile su quota 0,5. Per cocludere resta l'aalisi della quarta coloa, il coefficiete di regressioe β di ua predittiva reale, che i u certo seso misura la forza di ua determiata predittiva. Se questo è vero o deve sorpredere che all'aumetare di β, BERDS registra u aumeto cosiderevole della poteza del modello. Ioltre all'aumetare di β, oostate gli errori di previsioe dimiuiscao di poco, la traccia rispetto alle variabili rumore selezioate registra u etto declio, questo vuol dire che l'algoritmo ha ua accetuata abilità ad elimiare automaticamete le variabili rumore per tratteere quelle reali. Ache il cutoff α dimiuisce marcatamete all'aumetare di β. A questo puto si aalizza la matrice dei grafici rispetto le righe. I questo seso, osservado la prima riga si riesce a vedere la marcata sesitività degli errori di previsioe sia rispetto a che rispetto al umero delle variabili predittive correlate preseti ei dati. Nello specifico, metre all'aumetare di l'idice MSEP migliora, all'aumeto delle secode peggiora. Al cotrario, rispetto alle variabili rumore ei dati e al coefficiete β di ua variabile reale, si può dire che MSEP appare o sesibile, rimaedo pressoché stabile. Nella secoda riga si osserva la sesibilità ai dati delle variabili rumore selezioate. Qui si mostra come i BERDS le variabili rumore vegoo escluse dal modello, 6

17 trae ello sceario che preseta ua struttura dei dati co più di 3 variabili reali correlate, dove apputo il modello è istabile e si iiziao a selezioare variabili rumore. Per quato riguarda la poteza di BERDS bisoga osservare le tracce della terza riga. I questi grafici si ota che BERDS offre ua buoa poteza i ogi sceario che possa caratterizzare il set dei dati, ifatti persio co dati che icludoo molte variabili correlate la poteza o decresce ma rimae stabile, seppur su ua quota di 0,5. I ultimo la quarta riga, l' α empirico. I grafici mostrao come questo parametro del modello migliora, e quidi dimiuisce i ogi sceario (ovviamete trae el caso i cui siao preseti tate variabili correlate), cofermado la capacità di BERDS di aggiustarsi automaticamete ad ogi struttura dei dati 5. I coclusioe si può dire che il successo di BERDS, ovviamete oltre a trovare u sottoisieme di variabili idoeo a prevedere attedibili valori futuri ella regressioe lieare, è stato, i primo luogo, proprio quello di riuscire a calcolare empiricamete dai dati il cutoff da usare per selezioare le variabili predittive. Questo primo obiettivo è da riteere importate se si cosidera che il metodo classico dell'elimiazioe all'idietro sceglie u arbitrario cutoff α del p-value. Oltre a ciò BERDS preseta qualità o idiffereti ell'escludere dal sottoisieme sia variabili rumore che metà delle variabili reali correlate tra loro. Queste pricipali caratteristiche fao di BERDS u algoritmo che offre modelli di variabili stabili e capaci ad aggiustarsi ad ogi struttura dei dati che si preseti all'aalisi. 4. Il metodo bootstrap Lo scopo di questo paragrafo è quello di esamiare u uovo metodo di selezioe di variabili che la letteratura sta propoedo come alterativo ai metodi classici, proprio per migliorare i puti deboli. Questo metodo chiamato bootstrap, selezioa modelli predittivi usado combiazioi di ricampioameti bootstrap e metodi classici di selezioe di variabili automatizzati. Nella letteratura la prima grade itroduzioe al metodo bootstrap è stata presetata da Efro el Dato u campioe casuale di dimesioe, X=(X, 5 Ibidem, ota 0. 6 B. Efro: Bootstrap methods: aother look at the jackkife, Aals of Statistics, volume 7, -26,

18 X 2,, X ), otteuto da ua distribuzioe di probabilità scoosciuta F, e il vettore delle sue realizzazioi osservate, x=(x, x 2,, x ), X i =x i, X i ~F i =,2, K, l'iteto è quello di stimare la distribuzioe di campioameto di ua prespecificata variabile casuale R sulla base dei dati osservati x, co R che dipede sia da X che da F, R(X, F). A questo puto il metodo bootstrap si può riassumere ei tre puti segueti:. si sostituisce la scoosciuta fuzioe di desità F co ua stima f, iseredo / ad ogi puto x, x 2,, x ; 2. co f stimato, si traccia u campioe casuale di dimesioe da f, il campioe bootstrap X i * = x i *,X i * ~ f i =,2, K, (4) dove X * (X *, X * 2,, X * ) e x * =(x *, x * 2,, x * ). A differeza del tradizioale jackkife, i valori di X * si ottegoo co ricampioameto di tipo casuale semplice e co reimmissioe di X; si ricorda che quest'ultima deriva da F 7 ; 3. si approssima la distribuzioe di campioameto di R(X,F) dalla distribuzioe bootstrap di R * = R(X *,f), dove la distribuzioe di R * è stata prodotta grazie al meccaismo casuale (4), co f teuto fissato al suo valore stimato. L'approccio bootstrap come ua strategia di selezioe Ua recete proposta di implemetazioe della tecica bootstrap ella selezioe di variabili è stata fatta da Austi e Tu 8. L'approccio da loro proposto basa la selezioe di modelli predittivi 7 M. Guerriero e G. De Luca: La tecica bootstrap per gli itervalli di previsioe ei modelli AR(p)-ARCH(q), Uiversità degli Studi di Veroa -Facoltà di Ecoomia-, Quaderi di Statistica,. 2, P.C. Austi e J.V. Tu: Bootstrap methods for developig predictive models, volume 58. 2, The America Statisticia,

19 sull'estrazioe, dall'isieme dei dati dispoibili, di campioi bootstrap ripetuti, per poi eseguire i ogi campioe bootstrap ua Elimiazioe all'idietro per selezioare u modello parsimoioso. Più i geerale l'idea di base dell'esecuzioe del metodo bootstrap ella selezioe di variabili prevede l'uso di u metodo classico di selezioe di variabili ad ogi replicazioe bootstrap, al fie di idetificare le variabili sigificative. Le variabili rilevati molto probabilmete verrao icluse ella maggior parte dei modelli selezioati elle replicazioi bootstrap, dove si assume che ad ogi replicazioe, essedo u campioe casuale dei dati i aalisi, si rifletta la struttura dei dati. Premesso ciò si può dire che la probabilità a posteriori di ogi variabile ei modelli sarà u criterio per valutare l'importaza predittiva di ua variabile. Nello specifico, per ogi variabile cadidata, viee idetificata la proporzioe di campioi bootstrap i cui la variabile stessa è selezioata come predittiva idipedete rilevate, al fie di tracciare ua sorte di classificazioe delle variabili esplicative fatta i base alla proporzioe di campioi i cui le stesse soo preseti. A questo puto si forma u modello predittivo prelimiare composto da quelle variabili che risultao preseti i tutti i campioi bootstrap. La procedura va avati aggiugedo al modello prelimiare altre variabili predittive reali i base alla proporzioe di campioi i cui, apputo, queste variabili etrati soo preseti. Ogi modello selezioato, poi, può essere valutato i base alla precisioe predittiva, i modo da scegliere il modello fiale da usare ella ivestigazioe della variabile risposta. Il metodo bootstrap usa la probabilità a posteriori che ogi variabile sia stata iclusa el modello, per valutare la forza che la variabile stessa preseta ell'essere ua predittiva idipedete. Ifatti quello che accade è che ua predittiva reale sia presete ella maggior parte dei modelli selezioati, metre ua variabile rumore risulta presete solo i ua mioraza di modelli. 5. Coclusioi L'alta probabilità di icludere ei modelli predittivi variabili rumore al posto di variabili reali, fa si che i metodi classici automatizzati di selezioe di variabili risultio istabili e rumorosi. Negli ultimi ai, sia grazie agli sviluppi delle tecologie che hao forito calcolatori elettroici che riuscissero a far girare algoritmi 9

20 complessi, che grazie all'avazare degli studi di ricerca, molti lavori offerti dalla letteratura hao cercato di creare algoritmi che riuscissero a selezioare modelli predittivi poco rumorosi e allo stesso tempo precisi elle valutazioi della variabile risposta (tra tutti si veda Austi-Tu 2004). I metodi bootstrap, seppur receti e acora da cosolidare, i combiazioe co i metodi classici, presetao ua buoa capacità di formare modelli predittivi stabili. Questi usado u ricampioameto casuale semplice co reimmissioe delle variabili idipedeti e stimado la probabilità di etrare ei campioi che ogi variabile preseta, oltre ad elimiare dai modelli la rumorosità riescoo ad elimiare ogi sorte di arbitrarietà ella scelta delle variabili iflueti. L'algoritmo BERDS ha lo scopo, apputo, di riuscire a selezioare da u set di variabili idipedeti, solo le variabili reali più iflueti. Noostate la sua versioe precedete, l'algoritmo BECV, riuscisse ad escludere dal modello predittivo le variabili rumore, presetava comuque u problema rilevate: escludeva ache u buo umero di variabili reali. Questo era dovuto al fatto che BECV era sesitivo alla sua uica partizioe dei dati scelta per eseguire la cross-validatio. Nella modifica apportata e caratterizzate BERDS, si è riusciti ad otteere u algoritmo che oltre ad escludere variabili rumore riuscisse ache ad icludere le variabili reali iflueti. Nello specifico BERDS esegue m ripartizioi dei dati per eseguire al loro itero ua Elimiazioe all'idietro. Registrado i ogi esecuzioe sia l'α miimo che massimo rispetto ad ogi variabile, il cutoff che miimizza la somma dei quadrati di validazioe sotto u determiato quatile di questi α viee usato per eseguire ua Elimiazioe all'idietro fiale sull'itero set dei dati. Questa modifica che riesce quidi ad adottare ua sorte di α empirico ella selezioe delle variabili è stato u passo rilevate egli studi regressivi. Noostate ciò, secodo u parere persoale degli autori, il modello BERDS può essere acora migliorato. Iazitutto si sottoliea che elle prime m Elimiazioi all'idietro, il cutoff applicato è arbitrario (i geere 0,0) seppur frutto di valutazioi dell'aalista riguardo la struttura dei dati dispoibili. Due aspetti rilevati meriterebbero di essere approfoditi: le m ripetizioi degli step e 2 da eseguire, e il metodo usato per trovare la somma dei quadrati di validazioe completa SS(α). L iteto potrebbe essere 20

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

Approfondimenti di statistica e geostatistica

Approfondimenti di statistica e geostatistica Approfodimeti di statistica e geostatistica APAT Agezia per la Protezioe dell Ambiete e per i Servizi Tecici Cos è la geostatistica? Applicazioe dell aalisi di Rischio ai siti Cotamiati Geostatistica La

Dettagli

Il test parametrico si costruisce in tre passi:

Il test parametrico si costruisce in tre passi: R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Analisi Fattoriale Discriminante

Analisi Fattoriale Discriminante Aalisi Fattoriale Discrimiate Bibliografia Lucidi (materiale reperibile via Iteret) Lauro C.N. Uiversità di Napoli Gherghi M. Uiversità di Napoli D Ambra L. Uiversità di Napoli Keeth M. Portier Uiversity

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni

Statistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html.

Dettagli

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 1 Itroduzioe

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

STIMA DEL FONDO RUSTCO

STIMA DEL FONDO RUSTCO STIMA DEL FONDO RUSTCO 1) Quali soo gli aspetti ecoomici che possoo essere presi i cosiderazioe ella stima dei fodi rustici? La stima di u fodo rustico può essere fatta applicado i segueti aspetti ecoomici:

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio,

Dettagli

Distribuzione di un carattere

Distribuzione di un carattere Distribuzioe di u carattere Dopo le fasi di acquisizioe e di registrazioe dei dati, si passa al loro cotrollo e quidi alle loro elaborazioe. Si defiisce distribuzioe uitaria semplice di u carattere l elecazioe

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI OLUMI DI INASO PER L INARIANZA IDRAULICA 1. Premessa I queste brevi ote si preseta il metodo semplificato delle piogge illustradoe l implemetazioe i u foglio di calcolo

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Complementi di Matematica e Statistica

Complementi di Matematica e Statistica Uiversità di Bologa Sede di Forlì Ao Accademico 009-00 Complemeti di Matematica e Statistica (Alessadro Lubisco) Aalisi delle compoeti pricipali INDICE Idice... i Aalisi delle compoeti pricipali... Premessa...

Dettagli

Appunti su rendite e ammortamenti

Appunti su rendite e ammortamenti Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci INVENTORY CONTRO Ig. orezo Tiacci Testo di riferimeto: Ivetory Maagemet ad Productio Plaig ad Cotrol - Third Ed. E.A. Silver, D.F. Pyke, R. Peterso Wiley, 998 Idice. POITICA (s, ) (order poit, order quatity)

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre Uiversità Boccoi. Ao accademico 00 00 Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi email: fabrizio.iozzi@ui-boccoi.it Lezioi / Gli isiemi umerici Gli isiemi umerici co i quali lavoreremo soo:, l'isieme

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei

Dettagli

A = 10 log. senϕ = n n (3)

A = 10 log. senϕ = n n (3) CORSO DI LABORATORIO DI FISICA A Misure co fibre ottiche Scopo dell esperieza è la misura dell atteuazioe e dell apertura umerica di fibre ottiche di tipo F-MLD-500. Teoria dell esperieza La fisica sulla

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche

Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche Itroduzioe alla Statistica descrittiva Defiizioi prelimiari È la scieza che studia i feomei collettivi o di massa. U feomeo è detto collettivo o di massa quado è determiato solo attraverso ua molteplicità

Dettagli

2.1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA

2.1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA Politecico di Torio Sistemi di Produzioe... CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA... Equazioe di govero Negli ultimi ai il metodo

Dettagli

Complessità Computazionale

Complessità Computazionale Uiversità degli studi di Messia Facoltà di Igegeria Corso di Laurea i Igegeria Iformatica e delle Telecomuicazioi Fodameti di Iformatica II Prof. D. Brueo Complessità Computazioale La Nozioe di Algoritmo

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1 ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO Agela Doatiello 1 Esercizio. E stato tabulato il peso di ua certa popolazioe

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Statistica descrittiva idici idici (o misure) di posizioe media campioaria di osservazioi x, x,..., x x i x= per campioi x ì ripetuti ciascuo co frequeza f i x= x i f i Posto y i =a x i b : y=a x mediaa

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E

Dettagli

Distribuzioni di probabilità Unità 79

Distribuzioni di probabilità Unità 79 Prerequisiti: - Primi elemeti di probabilità e statistica. - Nozioi di calcolo combiatorio. - Rappresetazioe di puti e rette i u piao cartesiao. Questa uità iteressa tutte le scuole ad eccezioe del Liceo

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Problemi di turnistica del personale nei trasporti. Pianificazione dei turni. Tecniche di ottimizzazione. Programma. Paolo Toth e Daniele Vigo

Problemi di turnistica del personale nei trasporti. Pianificazione dei turni. Tecniche di ottimizzazione. Programma. Paolo Toth e Daniele Vigo Problemi di turistica del persoale ei trasporti Paolo Toth e Daiele Vigo DEIS, Uiversità di Bologa http://promet4.deis.uibo.it/ Piaificazioe dei turi Dati: u isieme di servizi da effettuare i u determiato

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Modellazione e disegno sperimentale per sistemi ad alta dimensionalità.

Modellazione e disegno sperimentale per sistemi ad alta dimensionalità. Corso di Laurea i Statistica per l Impresa Prova fiale di Laurea Modellazioe e disego sperimetale per sistemi ad alta dimesioalità. Relatrice Prof.ssa Iree Poli Laureado Adrea Zaia Matricola 8909 Ao Accademico

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO PARAMETRI DEL MOTO SISMICO Attività microsismica: caratterizzata da vibrazioi di debole ampiezza e periodi molto gradi tali da o essere percepiti dai più comui strumeti di registrazioe (importate soprattutto

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione

1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione Questi esempi vi potrao essere utili come riferimeto ella ricerca di itervalli di cofideza e test di ipotesi statistiche. Per gli aggiorameti potete visitare i siti www.boch.et o www.feaor.com. Per dubbi

Dettagli

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni Problemi di Schedulig Defiizioi I problemi di schedulig soo caratterizzati da tre isiemi: Attività (Task) T {T,T 2, T } macchie (Machies) P {P,P 2, P m } Risorse R {R,R 2, R s } Schedulig: assegare m Macchie

Dettagli

3. Progetto di reti di comunicazione

3. Progetto di reti di comunicazione 3. Progetto di reti di comuicazioe 66 ROC-00/01 Capitolo 3 3. 1 Alberi di costo miimo e alberi di costo miimo co capacità Come acceato el paragrafo 2.1.2, i questo corso affroteremo solo due aspetti del

Dettagli

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico?

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico? STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si itede per dao ecoomico? Per dao ecoomico si itede la perdita o la dimiuzioe di valore che u bee subisce a seguito di u siistro ( eveto o prevedibile) o da u fatto doloso

Dettagli

1. Considerazioni generali

1. Considerazioni generali . osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia

Dettagli

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto

Dettagli

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di Soluzioe del tema di Iformatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Sessioe ordiaria Esame di Stato 2011 Tema di Iformatica - Progetto: Mercurio Soluzioe proposta da: Co il termie Web 2.0 si

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

Capitolo 6 Teoremi limite classici

Capitolo 6 Teoremi limite classici Capitolo 6 Teoremi limite classici Abstract I Teoremi limite classici, la legge dei gradi umeri e il teorema limite cetrale, costituiscoo il ucleo del Calcolo delle Probabilità, per la loro portata sia

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

Un problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi

Un problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi CONFRONTO TRA DUE MEDIE U problema! La letteratura riporta che i pazieti affetti da cacro hao ua sopravviveza media di 38.3 mesi e deviazioe stadard di 43.3 mesi: µ 38.3mesi σ 43.3mesi (la distribuzioe

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI APPROFONDIMENTI www.shutterstock.com/vladitto Stima di u immobile a destiazioe alberghiera di Maria Ciua (Ricercatore di Estimo Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Palermo) I geere ell expertise immobiliare

Dettagli

Perfezionamento del riconoscimento vocale

Perfezionamento del riconoscimento vocale CAPITOL 3 Perfezioameto del ricooscimeto vocale Operazioi co il vocabolario di Drago NaturallySpeakig Se Drago NaturallySpeakig ricoosce ua parola i modo errato, è possibile che tale lemma o sia icluso

Dettagli

Appunti di matematica Percorso

Appunti di matematica Percorso Biaca Arrigoi Apputi di matematica Percorso Statistica e probabilità EDIZIONE RIFORMA Biaca Arrigoi Apputi di matematica Percorso Statistica e probabilità EDIZIONE RIFORMA iteret: www.cedamscuola.it e-mail:

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST

INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST CAPITOLO VI INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT 6.. Dalla popolazioe ifiita al campioe piccolo: la distribuzioe t di studet 6.. Cofroto tra ua media osservata e ua media attesa co calcolo

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioi d impresa (Note didattiche) Bruo Chiadotto CALCOLO DELLE PROBABILITA Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo

Dettagli

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE (Note didattiche) Bruo Chiadotto Fabrizio Cipollii Capitolo CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato

Dettagli

LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT

LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT LA GESTIONE DELLA QUALITA : IL TOTAL QUALITY MANAGEMENT La gestioe, il cotrollo ed il migliorameto della qualità di u prodotto/servizio soo temi di grade iteresse per l azieda. Il problema della qualità

Dettagli

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA Architetture dei sistemi itegrati digitali Alessadro Bogliolo Esercitazioe 2 Progetto e realizzazioe di u semplice sitetizzatore musicale basato su FPGA (A) Defiizioe della specifica ed esperimeti prelimiari

Dettagli

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete. - 3. La variabile casuale di Beroulli. - 4. La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso.

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

AFFIDABILITÀ. Capitolo 16 - 16.1 -

AFFIDABILITÀ. Capitolo 16 - 16.1 - Capitolo 16 AFFIDABILITÀ - 16.1 - 16.1 Itroduzioe Si defiisce affidabilità l'abilità di u dispositivo (sia esso u compoete o u sistema) di fuzioare correttamete sotto be precise codizioi d'uso per u certo

Dettagli

INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI

INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI Ig. Nio Di Fraco ENEA, Ete per le Nuove Tecologie, l Eergia e l Ambiete io.difraco@casaccia.eea.it Idice 1 Premessa 2 Logica dell'aalisi costi-beefici

Dettagli

Demand-Side Management in a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based on Bayesian Game Theory

Demand-Side Management in a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based on Bayesian Game Theory Demad-Side Maagemet i a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based o Bayesia Game Theory Matteo Sola e Giorgio M. Vitetta Dipartimeto di Igegeria Ezo Ferrari Uiversità degli Studi di Modea e Reggio

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

Indici COMIT Metodologia di calcolo

Indici COMIT Metodologia di calcolo Il presete documeto riassume le regole fodametali per il calcolo e la gestioe degli idici elaborati da Itesa Sapaolo per l itero Mercato Telematico Azioario italiao (MTA) ed il vecchio Nuovo Mercato. Gli

Dettagli

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre

Dettagli