Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo

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1 Università degli Studi di Perugia Laurea specialistica in Finanza a.a Corso di Laboratorio di calcolo finanziario prof. Franco Moriconi Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo Versione 14/10/09 1 Descrizione dell esperienza In t = 0 si consideri un portafoglio azionario con prezzo corrente S 0 = 100, la cui evoluzione stocastica del prezzo S t è descritta dall e.d.s.: ds t = µ S t dt + σ S t dz t. Si effettui l analisi dimensionale dell equazione. 1.1 Valori attesi e quantili Avendo assegnato valori numerici significativi ai parametri µ e σ, e ponendo T = 2 anni, si calcoli: 1. il valore atteso E 0 ( ); 2. la deviazione standard Dst 0 ( ); 3. i percentili di : Q (p) 0 ( ) := F ( 1) (p), con p = 0.1%, 0.5%, 99.5%, 99.9%. 4. il tasso di rendimento atteso periodale del fondo, I (T ) (0, T ) := E 0 ( /S 0 1), e il tasso equivalente su base annua I(0, T ). 5. il log-return atteso periodale del fondo, R (T ) (0, T ) := E 0 [log( /S 0 )], e il log-return equivalente su base annua R(0, T ). 1.2 Il VaR Si calcoli: 6. il Value-at-Risk del portafoglio al livello di confidenza del 99%, con un unwinding period di 10 giorni lavorativi (si assuma il g.l. uguale a 1/250 anni). 1.3 Il Risk capital Ponendo T = 1 anno, si calcoli: 7. il worst-case value W 0 ( ) del portafoglio al livello di confidenza del 99.5% con la logica del quantile; 8. l unexpected loss U 0 ( ) corrispondente ; 9. il corrispondente risk capital K 0 ( ), avendo assegnato il valore numerico del rendimento a scadenza risk free di mercato r := log[1 + i(0, T )]. 1

2 1.4 La simulazione Usando l equivalente discreto dell e.d.s. di log S t, scelto il passo di discretizzazione t e ponendo ancora T = 1 anno: 10. si ricavi per simulazione Monte Carlo la distribuzione empirica di, proponendone una illustrazione per istogramma; si ricavino i valori empirici Ê0( ), I(0, T ), R(0, T ), Dst (p) 0 ( ) e Q 0 ( ), con p = 0.1%, 0.5%, 99.5%, 99.9%, e si confrontino coi corrispondenti valori teorici al variare del numero N di simulazioni; 11. si ricavi l errore standard Dst(Ê) della stima della media per diversi valori di N e per diversi valori della volatilità σ. 2 Considerazioni teoriche 2.1 Moto browniano geometrico e distribuzione lognormale L equazione differenziale stocastica: equivale alla rappresentazione (si veda [CDFM3, pp ]): con µ := µ σ 2 /2. Definendo il processo del log-return: si ha cioè : ds t = µ S t dt + σ S t dz t, (1) S t = S 0 e µ t+σ Zt, (2) R t := log S t S 0, (3) S t = S 0 e Rt con R t N ( (µ σ 2 /2)t, σ 2 t ). (4) Dalle proprietà della lognormale (si veda [CDFM2], pp ) segue che: Per i tassi attesi si ha quindi: E 0 ( ) = S 0 e (µ +σ2 /2) T = S 0 e µ T ; (5) Dst 0 ( ) = E 0 ( ) e σ2 T 1 ; (6) Q (p) 0 ( ) := F ( 1) (p) = S 0 e µ T +σ T n p. (7) I (T ) (0, T ) = E 0( ) [ 1 = e µ T 1 e I(0, T ) := 1 + I (T ) 1/T (0, T )] 1 = e µ 1 ; (8) S 0 mentre per i log-return attesi si ha, dalla (4): R (T ) (0, T ) = E 0 (R T ) = (µ σ 2 /2) T e R(0, T ) := 1 T R(T ) (0, T ) = µ σ 2 /2. (9) 2.2 Definizioni di VaR e Risk Capital Il Worst-Case-Value Per definire misure di capitale assorbito a copertura del rischio di una posizione finanziaria, quali il Value-at- Risk (VaR) e il Risk Capital, conviene partire dalla definizione di Worst-Case-Value (WCV) della posizione. Fissato un orizzonte temporale T e un livello di confidenza c (una probabilità molto vicina a 1), il Worst-Case-Value W 0 della posizione è il valore peggiore con probabilità c che la posizione può assumere nell intervallo [0, T ]. Si tratta quindi di un importo monetario il cui valore è ricavato dalla distribuzione di probabilità, specificata in t = 0, della posizione alla data futura T. In questo caso la posizione in T è espressa 2

3 dalla v.a. e il WCV sarà espresso come un opportuno operatore W 0 ( ) applicato alla distribuzione di. Nella risk measure theory (si veda [ADEH]) il WCV è noto come risk measure e è usualmente indicato col simbolo ρ( ). Esistono molte definizioni alternative di WCV (o di risk measure) e la risk measure theory ha sviluppato una caratterizzazione assiomatica delle possibili alternative. Ci limiteremo qui a considerare la definizione originaria, e tuttora più diffusa, basata sul quantile; con questo approccio, in questa applicazione W 0 ( ) è definito come il p-esimo percentile di, con p = 1 c. Va segnalato però che la definizione come quantile non possiede tutte le proprietà di coerenza usualmente richieste a una misura di rischio; in particolare non rispetta la proprietà di subadditività. Una misura alternativa coerente si avrebbe, per esempio, definendo il WCV come il valor medio oltre il quantile (expected shortfall) Includere il time decay? Una avvertenza di carattere più pratico, ma altrettanto importante, riguarda tutti i casi (che sono poi quelli più frequenti) in cui la posizione di cui si valuta la rischiosità è un portafoglio contenente contratti che hanno una scadenza finita s (per esempio obbligazioni, o derivati su S). Se P 0 (s) è il valore di mercato in t = 0 di una posizione su contratti con scadenza s T, il WCV andrebbe rappresentato come W 0 [P T (s T )], nel senso che andrebbe calcolato come valore peggiore della posizione in T considerando che i contratti hanno ormai vita residua s T ; si dice che la valutazione include il time decay della posizione. L inclusione del time decay crea evidentement un problema se è s < T, qualora cioè i contratti detenuti in t = 0 scadano prima dell orizzonte T, con conseguente svuotamento del portafoglio che rappresenta la posizione. In questi casi è necessario precisare ulteriormente la definizione di WCV con delle convenzioni aggiuntive. La convenzione più spontanea è quella di definire la v.a. che rappresenta la posizione (virtuale) in T come P T := P s (0)/v(0, s, T ), dove v(0, s, T ) è il fattore di sconto default-free per il periodo [s, T ] implicito nella struttura dei tassi al tempo zero. L idea è, evidentemente, quella di riportare in T, capitalizzandolo al tasso default-free, il valore P s (0) della posizione alla data s di chiusura. In molte applicazioni, tuttavia, si preferisce aggirare i problemi legati alla scadenza definendo comunque il WCV senza time decay, cioè come se non ci fosse invecchiamento dei contratti con scadenza finita; in termini formali, si adotta la rappresentazione W 0 [P T (s)]. Ciò equivale ad assumere che l adverse market move (amm), cioè il movimento avverso di mercato che dovrebbe portare la posizione dal valote P 0 (s) in zero al valore W 0 [P T (s)] in T, avviene in realtà come uno shock istantaneo immediatamente sucessivo al tempo zero, anche se la probabilità che viene attribuita allo shock è quella propria di uno sviluppo nell arco dell intero intervallo [0, T ] Il Value-at-Risk Il Value-at-Risk è una misura di rischiosità tipicamente utilizzata per porre limiti all assunzione di rischio nell attività quotidiana di trading. L orizzonte temporale su cui si definisce il WCV, detto unwinding period è piuttosto breve, tipicamente due settimane o 10 giorni lavorativi. Esplicitamente, il VaR di una posizione al livello di confidenza c è definito come la perdita di valore della posizione, sull orizzonte temporale T, che è superata con probabilità p = 1 c. Nel nostro caso la posizione è rappresentata al valore S t del fondo e il WCV è definito come il percentile di al livello p = 1 c; si ha quindi: W 0 ( ) = F ( 1) (1 c) = S 0 e µ T +σ T n 1 c. (10) Dato che un fondo puramente azionario non ha scadenza, non si pone problema di time decay nella definizione del WCV. Il problema del passare del tempo si pone però nel calcolo della perdita. Sarebbe corretto considerare l unexpected loss, definita come differenza tra valore atteso e valore pessimistico, cioè: e definire il VaR scontando al tasso default-free, cioè: U 0 ( ) := E 0 ( ) W 0 ( ), (11) VaR( ) = v(0, T ) [ E 0 ( ) W 0 ( ) ]. (12) Data la brevità dell unwinding period, tuttavia, il discounting è di solito trascurato, accettando così la definizione: VaR( ) = E 0 ( ) W 0 ( ). (13) 3

4 La definizione più usata, però, è quella ulteriormente semplificata: VaR( ) = S 0 W 0 ( ), (14) che non effettua l attualizzazione né tiene conto del time decay nell aspettativa di, cioè della differenza tra il valore corrente del portafoglio e il valore atteso a fine periodo Il Risk Capital Il Rik Capital (requisito patrimoniale a fini di solvibilità) recupera la logica del VaR, ma in questo caso il Worst-Case-Value W 0 ( ) si riferisce a un orizzonte temporale T più lungo, tipicamente un anno (l accounting period ). Fissato quindi T = 1 e il livello di confidenza c, se si adotta la logica del quantile il WCV W 0 ( ) è espresso ancora dalla (10), per cui l unexpected loss è data da U 0 ( ) := E 0 ( ) W 0 ( ). In questo caso, data la lunghezza del periodo T, si dovrebbe scontare (al tasso default-free di mercato), per cui il risk capital resta definito, analogamente alla (12), come: K 0 (S) := v(0, 1) U 0 (S 1 ) = v(0, 1) E 0 (S 1 ) v(0, 1) W 0 (S 1 ). (15) Sono in uso tuttavia definizioni alternative; una di queste non include il time decay nel calcolo dell aspettativa: un altra è l analogo della (14). K 0 (S) := S 0 v(0, 1) W 0 (S 1 ) ; (16) K 0 (S) := S 0 W 0 (S 1 ). (17) Si arriva a questa definizione (che è quella adottata nella Standard Formula di Solvency II), supponendo di non includere il time decay nemmeno nel calcolo del WCV: dato che ciò equivale a supporre uno shock istantaneo e immediato, il calcolo non includerà neanche l attualizzazione. 2.3 Lo schema di simulazione Equivalente discreto Per i processi di diffusione gli schemi di simulazione più semplici si ottengono considerando equivalenti di Eulero dell equazione differenziale stocastica che caratterizza il processo (si veda [CDFM3], par. C.7). Si tratta di sostituire il differenziale dt con un intervallo finito t di ampiezza fissata, e i differenziali stocastici dz t con variabili aleatorie normali non correlate a media nulla e varianza t. Nel caso del moto browniano geometrico, tuttavia, risulta più accurato ricavare lo schema alle differenze costruendo l equivalente discreto dell e.d.s. del log-return. Dalla (4) R t è un moto browniano lineare, con e.d.s.: che si può discretizzare nella forma: con ε t N (0, 1) non correlate; cioè, per la (3): dr t = (µ σ 2 /2) dt + σ dz t, (18) R t = (µ σ 2 /2) t + σ t ε t, Errore standard della stima della media log S t+ t = log S t + (µ σ 2 /2) t + σ t ε t. (19) Se si indica con S k (T ) il valore di simulato nella k-esima iterazione, la media aritmetica su N iterazioni: Ê := 1 N N k=1 S k (T ), 4

5 fornisce un stima Monte Carlo del valore atteso E 0 ( ). Se si considera la varianza campionaria (delle simulazioni): ω 2 := 1 N [ ] 2 Sk (T ) N 1 Ê, si può definire la variabile scarto standardizzata: k=1 s N := Ê E 0( ) ω/ N. Per il teorema del limite centrale, s N tende a distribuirsi come una normale standard, per cui, almeno asintoticamente, l errore standard della stima Ê è dato da: Dst(Ê) = ω N. Naturalmente il valore di ω è fortemente dipendente dal valore della volatilità σ del processo di simulare. A parità di σ, la precisione della stima Monte Carlo aumenta con la radice quadrata del numero N di iterazioni. Riferimenti bibliografici [ADEH] Artzner P., Delbaen F., Eber J-M., Heath D., Coherent Risk Measures. Mathematical Finance 9, 1999, [B] Boyle P.P., Options: a Monte Carlo approach. Journal of Financial Economics, 4, 1977, [CDFM2] Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Manuale di finanza II. Teoria del portafoglio e del mercato azionario, Bologna, Il Mulino, 2005 [CDFM3] Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Manuale di finanza III. Modelli stocastici e contratti derivati, Bologna, Il Mulino,