Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo"

Transcript

1 Università degli Studi di Perugia Laurea specialistica in Finanza a.a Corso di Laboratorio di calcolo finanziario prof. Franco Moriconi Esperienza MBG Il moto browniano geometrico. Proprietà teoriche e simulazione Monte Carlo Versione 14/10/09 1 Descrizione dell esperienza In t = 0 si consideri un portafoglio azionario con prezzo corrente S 0 = 100, la cui evoluzione stocastica del prezzo S t è descritta dall e.d.s.: ds t = µ S t dt + σ S t dz t. Si effettui l analisi dimensionale dell equazione. 1.1 Valori attesi e quantili Avendo assegnato valori numerici significativi ai parametri µ e σ, e ponendo T = 2 anni, si calcoli: 1. il valore atteso E 0 ( ); 2. la deviazione standard Dst 0 ( ); 3. i percentili di : Q (p) 0 ( ) := F ( 1) (p), con p = 0.1%, 0.5%, 99.5%, 99.9%. 4. il tasso di rendimento atteso periodale del fondo, I (T ) (0, T ) := E 0 ( /S 0 1), e il tasso equivalente su base annua I(0, T ). 5. il log-return atteso periodale del fondo, R (T ) (0, T ) := E 0 [log( /S 0 )], e il log-return equivalente su base annua R(0, T ). 1.2 Il VaR Si calcoli: 6. il Value-at-Risk del portafoglio al livello di confidenza del 99%, con un unwinding period di 10 giorni lavorativi (si assuma il g.l. uguale a 1/250 anni). 1.3 Il Risk capital Ponendo T = 1 anno, si calcoli: 7. il worst-case value W 0 ( ) del portafoglio al livello di confidenza del 99.5% con la logica del quantile; 8. l unexpected loss U 0 ( ) corrispondente ; 9. il corrispondente risk capital K 0 ( ), avendo assegnato il valore numerico del rendimento a scadenza risk free di mercato r := log[1 + i(0, T )]. 1

2 1.4 La simulazione Usando l equivalente discreto dell e.d.s. di log S t, scelto il passo di discretizzazione t e ponendo ancora T = 1 anno: 10. si ricavi per simulazione Monte Carlo la distribuzione empirica di, proponendone una illustrazione per istogramma; si ricavino i valori empirici Ê0( ), I(0, T ), R(0, T ), Dst (p) 0 ( ) e Q 0 ( ), con p = 0.1%, 0.5%, 99.5%, 99.9%, e si confrontino coi corrispondenti valori teorici al variare del numero N di simulazioni; 11. si ricavi l errore standard Dst(Ê) della stima della media per diversi valori di N e per diversi valori della volatilità σ. 2 Considerazioni teoriche 2.1 Moto browniano geometrico e distribuzione lognormale L equazione differenziale stocastica: equivale alla rappresentazione (si veda [CDFM3, pp ]): con µ := µ σ 2 /2. Definendo il processo del log-return: si ha cioè : ds t = µ S t dt + σ S t dz t, (1) S t = S 0 e µ t+σ Zt, (2) R t := log S t S 0, (3) S t = S 0 e Rt con R t N ( (µ σ 2 /2)t, σ 2 t ). (4) Dalle proprietà della lognormale (si veda [CDFM2], pp ) segue che: Per i tassi attesi si ha quindi: E 0 ( ) = S 0 e (µ +σ2 /2) T = S 0 e µ T ; (5) Dst 0 ( ) = E 0 ( ) e σ2 T 1 ; (6) Q (p) 0 ( ) := F ( 1) (p) = S 0 e µ T +σ T n p. (7) I (T ) (0, T ) = E 0( ) [ 1 = e µ T 1 e I(0, T ) := 1 + I (T ) 1/T (0, T )] 1 = e µ 1 ; (8) S 0 mentre per i log-return attesi si ha, dalla (4): R (T ) (0, T ) = E 0 (R T ) = (µ σ 2 /2) T e R(0, T ) := 1 T R(T ) (0, T ) = µ σ 2 /2. (9) 2.2 Definizioni di VaR e Risk Capital Il Worst-Case-Value Per definire misure di capitale assorbito a copertura del rischio di una posizione finanziaria, quali il Value-at- Risk (VaR) e il Risk Capital, conviene partire dalla definizione di Worst-Case-Value (WCV) della posizione. Fissato un orizzonte temporale T e un livello di confidenza c (una probabilità molto vicina a 1), il Worst-Case-Value W 0 della posizione è il valore peggiore con probabilità c che la posizione può assumere nell intervallo [0, T ]. Si tratta quindi di un importo monetario il cui valore è ricavato dalla distribuzione di probabilità, specificata in t = 0, della posizione alla data futura T. In questo caso la posizione in T è espressa 2

3 dalla v.a. e il WCV sarà espresso come un opportuno operatore W 0 ( ) applicato alla distribuzione di. Nella risk measure theory (si veda [ADEH]) il WCV è noto come risk measure e è usualmente indicato col simbolo ρ( ). Esistono molte definizioni alternative di WCV (o di risk measure) e la risk measure theory ha sviluppato una caratterizzazione assiomatica delle possibili alternative. Ci limiteremo qui a considerare la definizione originaria, e tuttora più diffusa, basata sul quantile; con questo approccio, in questa applicazione W 0 ( ) è definito come il p-esimo percentile di, con p = 1 c. Va segnalato però che la definizione come quantile non possiede tutte le proprietà di coerenza usualmente richieste a una misura di rischio; in particolare non rispetta la proprietà di subadditività. Una misura alternativa coerente si avrebbe, per esempio, definendo il WCV come il valor medio oltre il quantile (expected shortfall) Includere il time decay? Una avvertenza di carattere più pratico, ma altrettanto importante, riguarda tutti i casi (che sono poi quelli più frequenti) in cui la posizione di cui si valuta la rischiosità è un portafoglio contenente contratti che hanno una scadenza finita s (per esempio obbligazioni, o derivati su S). Se P 0 (s) è il valore di mercato in t = 0 di una posizione su contratti con scadenza s T, il WCV andrebbe rappresentato come W 0 [P T (s T )], nel senso che andrebbe calcolato come valore peggiore della posizione in T considerando che i contratti hanno ormai vita residua s T ; si dice che la valutazione include il time decay della posizione. L inclusione del time decay crea evidentement un problema se è s < T, qualora cioè i contratti detenuti in t = 0 scadano prima dell orizzonte T, con conseguente svuotamento del portafoglio che rappresenta la posizione. In questi casi è necessario precisare ulteriormente la definizione di WCV con delle convenzioni aggiuntive. La convenzione più spontanea è quella di definire la v.a. che rappresenta la posizione (virtuale) in T come P T := P s (0)/v(0, s, T ), dove v(0, s, T ) è il fattore di sconto default-free per il periodo [s, T ] implicito nella struttura dei tassi al tempo zero. L idea è, evidentemente, quella di riportare in T, capitalizzandolo al tasso default-free, il valore P s (0) della posizione alla data s di chiusura. In molte applicazioni, tuttavia, si preferisce aggirare i problemi legati alla scadenza definendo comunque il WCV senza time decay, cioè come se non ci fosse invecchiamento dei contratti con scadenza finita; in termini formali, si adotta la rappresentazione W 0 [P T (s)]. Ciò equivale ad assumere che l adverse market move (amm), cioè il movimento avverso di mercato che dovrebbe portare la posizione dal valote P 0 (s) in zero al valore W 0 [P T (s)] in T, avviene in realtà come uno shock istantaneo immediatamente sucessivo al tempo zero, anche se la probabilità che viene attribuita allo shock è quella propria di uno sviluppo nell arco dell intero intervallo [0, T ] Il Value-at-Risk Il Value-at-Risk è una misura di rischiosità tipicamente utilizzata per porre limiti all assunzione di rischio nell attività quotidiana di trading. L orizzonte temporale su cui si definisce il WCV, detto unwinding period è piuttosto breve, tipicamente due settimane o 10 giorni lavorativi. Esplicitamente, il VaR di una posizione al livello di confidenza c è definito come la perdita di valore della posizione, sull orizzonte temporale T, che è superata con probabilità p = 1 c. Nel nostro caso la posizione è rappresentata al valore S t del fondo e il WCV è definito come il percentile di al livello p = 1 c; si ha quindi: W 0 ( ) = F ( 1) (1 c) = S 0 e µ T +σ T n 1 c. (10) Dato che un fondo puramente azionario non ha scadenza, non si pone problema di time decay nella definizione del WCV. Il problema del passare del tempo si pone però nel calcolo della perdita. Sarebbe corretto considerare l unexpected loss, definita come differenza tra valore atteso e valore pessimistico, cioè: e definire il VaR scontando al tasso default-free, cioè: U 0 ( ) := E 0 ( ) W 0 ( ), (11) VaR( ) = v(0, T ) [ E 0 ( ) W 0 ( ) ]. (12) Data la brevità dell unwinding period, tuttavia, il discounting è di solito trascurato, accettando così la definizione: VaR( ) = E 0 ( ) W 0 ( ). (13) 3

4 La definizione più usata, però, è quella ulteriormente semplificata: VaR( ) = S 0 W 0 ( ), (14) che non effettua l attualizzazione né tiene conto del time decay nell aspettativa di, cioè della differenza tra il valore corrente del portafoglio e il valore atteso a fine periodo Il Risk Capital Il Rik Capital (requisito patrimoniale a fini di solvibilità) recupera la logica del VaR, ma in questo caso il Worst-Case-Value W 0 ( ) si riferisce a un orizzonte temporale T più lungo, tipicamente un anno (l accounting period ). Fissato quindi T = 1 e il livello di confidenza c, se si adotta la logica del quantile il WCV W 0 ( ) è espresso ancora dalla (10), per cui l unexpected loss è data da U 0 ( ) := E 0 ( ) W 0 ( ). In questo caso, data la lunghezza del periodo T, si dovrebbe scontare (al tasso default-free di mercato), per cui il risk capital resta definito, analogamente alla (12), come: K 0 (S) := v(0, 1) U 0 (S 1 ) = v(0, 1) E 0 (S 1 ) v(0, 1) W 0 (S 1 ). (15) Sono in uso tuttavia definizioni alternative; una di queste non include il time decay nel calcolo dell aspettativa: un altra è l analogo della (14). K 0 (S) := S 0 v(0, 1) W 0 (S 1 ) ; (16) K 0 (S) := S 0 W 0 (S 1 ). (17) Si arriva a questa definizione (che è quella adottata nella Standard Formula di Solvency II), supponendo di non includere il time decay nemmeno nel calcolo del WCV: dato che ciò equivale a supporre uno shock istantaneo e immediato, il calcolo non includerà neanche l attualizzazione. 2.3 Lo schema di simulazione Equivalente discreto Per i processi di diffusione gli schemi di simulazione più semplici si ottengono considerando equivalenti di Eulero dell equazione differenziale stocastica che caratterizza il processo (si veda [CDFM3], par. C.7). Si tratta di sostituire il differenziale dt con un intervallo finito t di ampiezza fissata, e i differenziali stocastici dz t con variabili aleatorie normali non correlate a media nulla e varianza t. Nel caso del moto browniano geometrico, tuttavia, risulta più accurato ricavare lo schema alle differenze costruendo l equivalente discreto dell e.d.s. del log-return. Dalla (4) R t è un moto browniano lineare, con e.d.s.: che si può discretizzare nella forma: con ε t N (0, 1) non correlate; cioè, per la (3): dr t = (µ σ 2 /2) dt + σ dz t, (18) R t = (µ σ 2 /2) t + σ t ε t, Errore standard della stima della media log S t+ t = log S t + (µ σ 2 /2) t + σ t ε t. (19) Se si indica con S k (T ) il valore di simulato nella k-esima iterazione, la media aritmetica su N iterazioni: Ê := 1 N N k=1 S k (T ), 4

5 fornisce un stima Monte Carlo del valore atteso E 0 ( ). Se si considera la varianza campionaria (delle simulazioni): ω 2 := 1 N [ ] 2 Sk (T ) N 1 Ê, si può definire la variabile scarto standardizzata: k=1 s N := Ê E 0( ) ω/ N. Per il teorema del limite centrale, s N tende a distribuirsi come una normale standard, per cui, almeno asintoticamente, l errore standard della stima Ê è dato da: Dst(Ê) = ω N. Naturalmente il valore di ω è fortemente dipendente dal valore della volatilità σ del processo di simulare. A parità di σ, la precisione della stima Monte Carlo aumenta con la radice quadrata del numero N di iterazioni. Riferimenti bibliografici [ADEH] Artzner P., Delbaen F., Eber J-M., Heath D., Coherent Risk Measures. Mathematical Finance 9, 1999, [B] Boyle P.P., Options: a Monte Carlo approach. Journal of Financial Economics, 4, 1977, [CDFM2] Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Manuale di finanza II. Teoria del portafoglio e del mercato azionario, Bologna, Il Mulino, 2005 [CDFM3] Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Manuale di finanza III. Modelli stocastici e contratti derivati, Bologna, Il Mulino,

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 IL RISCHIO 1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 2.1 La volatilità storica... 4 2.2 Altri metodi di calcolo... 5 3 LA CORRELAZIONE..6 4 IL VALUE AT RISK....8 4.1 I metodi analitici... 9 4.2 La

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione Il monitoraggio della gestione finanziaria nei fondi pensione Prof. Università di Cagliari micocci@unica.it Roma, 4 maggio 2004 1 Caratteristiche tecnico - attuariali dei fondi pensione Sistema finanziario

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

FORWARD RATE AGREEMENT

FORWARD RATE AGREEMENT FORWARD RATE AGREEMENT FLAVIO ANGELINI. Definizioni In generale, un contratto a termine o forward permette una compravendita di una certa quantità di un bene differita a una data futura a un prezzo fissato

Dettagli

Tassi a pronti ed a termine (bozza)

Tassi a pronti ed a termine (bozza) Tassi a pronti ed a termine (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2006/2007 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 3 2.2 Obbligazioni

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

L approccio parametrico o delle varianze-covarianze

L approccio parametrico o delle varianze-covarianze L approccio parametrico o delle varianze-covarianze Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008 AGENDA Il VaR nell ipotesi di

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Azionario Flessibile 7 anni Scheda sintetica - Informazioni specifiche 1 di 6

Azionario Flessibile 7 anni Scheda sintetica - Informazioni specifiche 1 di 6 Scheda sintetica - Informazioni specifiche 1 di 6 La parte Informazioni Specifiche, da consegnare obbligatoriamente all investitore contraente prima della sottoscrizione, è volta ad illustrare le principali

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO NELL ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN BENI STRUMENTALI

IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO NELL ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN BENI STRUMENTALI IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO NELL ANALISI DEGLI INVESTIMENTI IN BENI STRUMENTALI Testo di riferimento: Analisi finanziaria (a cura di E. Pavarani) McGraw-Hill 2001 cap. 11 (dottor Alberto Lanzavecchia) Indice

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

La ricerca operativa

La ricerca operativa S.S.I.S. PUGLIA Anno Accademico 2003/2004 Laboratorio di didattica della matematica per l economia e la finanza La ricerca operativa Prof. Palmira Ronchi (palmira.ronchi@ssis.uniba.it) Gli esercizi presenti

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Orientamenti ABE in materia di. valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2

Orientamenti ABE in materia di. valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2 Orientamenti ABE in materia di valore a rischio in condizioni di stress (VaR in condizioni di stress) EBA/GL/2012/2 Londra, 16.05.2012 1 Oggetto degli orientamenti 1. Il presente documento contiene una

Dettagli

NOTE METODOLOGICHE PRINCIPALI MARGINI ECONOMICI - SOCIETA INDUSTRIALI, COMMERCIALI E PLURIENNALI

NOTE METODOLOGICHE PRINCIPALI MARGINI ECONOMICI - SOCIETA INDUSTRIALI, COMMERCIALI E PLURIENNALI NOTE METODOLOGICHE PRINCIPALI MARGINI ECONOMICI - SOCIETA INDUSTRIALI, COMMERCIALI E PLURIENNALI Valore aggiunto Valore della produzione - Consumi di materie - Spese generali + Accantonamenti Mol (Valore

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Metodi numerici per la risoluzione di equazioni. Equazioni differenziali ordinarie

Metodi numerici per la risoluzione di equazioni. Equazioni differenziali ordinarie Metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 5-31 ottobre 2005 Outline 1 Il problema di Cauchy Il problema

Dettagli

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi;

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi; Capitolo 3 Prodotti derivati: forward, futures ed opzioni Per poter affrontare lo studio dei prodotti derivati occorre fare delle ipotesi sul mercato finanziario che permettono di semplificare dal punto

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

Qual è il fine dell azienda?

Qual è il fine dell azienda? CORSO DI FINANZA AZIENDALE SVILUPPO DELL IMPRESA E CREAZIONE DI VALORE Testo di riferimento: Analisi Finanziaria (a cura di E. Pavarani) - McGraw-Hill - 2001 Cap. 9 1 Qual è il fine dell azienda? Massimizzare

Dettagli

Analisi Costi e Benefici Laura Vici laura.vici@unibo.it LEZIONE 5

Analisi Costi e Benefici Laura Vici laura.vici@unibo.it LEZIONE 5 Analisi Costi e Benefici Laura Vici laura.vici@unibo.it LEZIONE 5 Rimini, 26 aprile 2006 1 The Inter temporal Effects of International Trade Valore in $ del consumo di beni oggi G D F H 1/(1+r) G Valore

Dettagli

derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici

derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici PREFAZIONE Il mercato italiano dei prodotti derivati 1. COSA SONO LE OPZIONI? Sottostante Strike

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Evoluzione Risk Management in Intesa

Evoluzione Risk Management in Intesa RISCHIO DI CREDITO IN BANCA INTESA Marco Bee, Mauro Senati NEWFIN - FITD Rating interni e controllo del rischio di credito Milano, 31 Marzo 2004 Evoluzione Risk Management in Intesa 1994: focus iniziale

Dettagli

Un introduzione al rischio di credito

Un introduzione al rischio di credito UNIVERSITÀ CA FOSCARI DI VENEZIA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA APPLICATA Martina Nardon Un introduzione al rischio di credito n. 123/2004 Un introduzione al rischio di credito Martina Nardon Dipartimento

Dettagli

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Alessio Porretta Universita di Roma Tor Vergata Gli elementi tipici di un gioco: -un numero di agenti (o giocatori): 1,..., N -Un insieme di strategie

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

Rischio e Volatilità

Rischio e Volatilità 2 Meeting annuale SellaAdvice Trading Rho,, 20 novembre 2004 Rischio e Volatilità Relatore: Maurizio Milano Da dove deve partire un analisi tecnica operativa a supporto di un attività di trading? L elemento

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

L analisi economico finanziaria dei progetti

L analisi economico finanziaria dei progetti PROVINCIA di FROSINONE CIOCIARIA SVILUPPO S.c.p.a. LABORATORI PER LO SVILUPPO LOCALE L analisi economico finanziaria dei progetti Azione n. 2 Progetti per lo sviluppo locale LA FINANZA DI PROGETTO Frosinone,

Dettagli

Equazioni non lineari

Equazioni non lineari Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali Trovare il valore x R tale che f (x) = 0,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

DOCUMENTO DI SINTESI STRATEGIA DI ESECUZIONE E TRASMISSIONE DEGLI ORDINI BANCA CENTROPADANA CREDITO COOPERATIVO

DOCUMENTO DI SINTESI STRATEGIA DI ESECUZIONE E TRASMISSIONE DEGLI ORDINI BANCA CENTROPADANA CREDITO COOPERATIVO DOCUMENTO DI SINTESI STRATEGIA DI ESECUZIONE E TRASMISSIONE DEGLI ORDINI LA NORMATIVA MIFID BANCA CENTROPADANA CREDITO COOPERATIVO Novembre 2010 La Markets in Financial Instruments Directive (MiFID) è

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA L ERRORE DI MISURA Errore di misura = risultato valore vero Definizione inesatta o incompleta Errori casuali Errori sistematici L ERRORE DI MISURA Errori casuali on ne si conosce l origine poiche, appunto,

Dettagli

Dipendenza dai dati iniziali

Dipendenza dai dati iniziali Dipendenza dai dati iniziali Dopo aver studiato il problema dell esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy, il passo successivo è vedere come le traiettorie di queste ultime dipendono

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Pag 1 di 92 Francesco Sardo ELEMENTI DI STATISTICA PER VALUTATORI DI SISTEMI QUALITA AMBIENTE - SICUREZZA REV. 11 16/08/2009 Pag 2 di 92 Pag 3 di 92 0 Introduzione PARTE I 1 Statistica descrittiva 1.1

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

Il VaR: Metodi quantitativi basilari. Aldo Nassigh Financial Risk Management A.A. 2011/12 Lezione 2

Il VaR: Metodi quantitativi basilari. Aldo Nassigh Financial Risk Management A.A. 2011/12 Lezione 2 Il VaR: Metodi quantitativi basilari Aldo Nassigh Financial Risk Management A.A. 2011/12 Lezione 2 Distribuzione futura del rendimento di un asset/portafoglio Il calcolo del VaR richiede la conoscenza

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

((e ita e itb )h(t)/it)dt. z k p(dz) + r n (t),

((e ita e itb )h(t)/it)dt. z k p(dz) + r n (t), SINTESI. Una classe importante di problemi probabilistici e statistici é quella della stima di caratteristiche relative ad un certo processo aleatorio. Esistono svariate tecniche di stima dei parametri

Dettagli

Valutazione di intangibili e impairment

Valutazione di intangibili e impairment IMPAIRMENT EVIDENZE DAI MEDIA ITALIANI Valutazione di intangibili e impairment -Valutazione di attività immateriali in aziende editoriali -Valutazioni per impairment test 1 La valutazione di asset si ha

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Unità di ricerca Business Intelligence, Finance& Knowledge

Unità di ricerca Business Intelligence, Finance& Knowledge Unità di ricerca Business Intelligence, Finance& Knowledge ( www.economia.unimi.it/lda/adamss ) Facoltàdi Scienze, Università degli Studi di Milano 10 febbraio 2006 Coordinatore: Davide La Torre (Professore

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Appendice III. Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi

Appendice III. Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi Appendice III (articolo 5, comma 1 e art. 22 commi 5 e 7) Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi 1. Tecniche di modellizzazione 1.1 Introduzione. In generale,

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

1. Scopo dell esperienza.

1. Scopo dell esperienza. 1. Scopo dell esperienza. Lo scopo di questa esperienza è ricavare la misura di tre resistenze il 4 cui ordine di grandezza varia tra i 10 e 10 Ohm utilizzando il metodo olt- Amperometrico. Tale misura

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

La MKT (Mean Kinetic Temperature) come criterio di accettabilità sui controlli della temperatura

La MKT (Mean Kinetic Temperature) come criterio di accettabilità sui controlli della temperatura La (Mean Kinetic Temperature) come criterio di accettabilità sui controlli della temperatura Come funzionano i criteri di valutazione sulla temperatura Vi sono 5 parametri usati per la valutazione del

Dettagli

Perché investire nel QUANT Bond? Logica di investimento innovativa

Perché investire nel QUANT Bond? Logica di investimento innovativa QUANT Bond Perché investire nel QUANT Bond? 1 Logica di investimento innovativa Partiamo da cose certe Nel mercato obbligazionario, una equazione è sempre vera: Rendimento = Rischio E possibile aumentare

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Dipendenza di un carattere QUANTITATIVO da un carattere QUALITATIVO

Dettagli

Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito

Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito Finalità La finalità del presente Principio è quella di definire il trattamento contabile delle imposte sul reddito. L aspetto principale della

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

R I S K M A N A G E M E N T & F I N A N C E

R I S K M A N A G E M E N T & F I N A N C E R I S K M A N A G E M E N T & F I N A N C E 2010 Redexe S.u.r.l., Tutti i diritti sono riservati REDEXE S.r.l., Società a Socio Unico Sede Legale: 36100 Vicenza, Viale Riviera Berica 31 ISCRITTA ALLA CCIAA

Dettagli

IFRS 2 Pagamenti basati su azioni

IFRS 2 Pagamenti basati su azioni Pagamenti basati su azioni International Financial Reporting Standard 2 Pagamenti basati su azioni FINALITÀ 1 Il presente IRFS ha lo scopo di definire la rappresentazione in bilancio di una entità che

Dettagli

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

UNIVERSITA DI PISA FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2004-2005 TESI DI LAUREA

UNIVERSITA DI PISA FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2004-2005 TESI DI LAUREA UNIVERSITA DI PISA FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2004-2005 TESI DI LAUREA SVILUPPO DI METODI DECONVOLUTIVI PER L INDIVIDUAZIONE DI SORGENTI INDIPENDENTI

Dettagli