Specifica tecnica e manuale d'uso di MTSIM, un simulatore per l'analisi del mercato elettrico in scenari di medio termine

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1 Specifica tecnica e manuale d'uso di MTSIM, un simulatore per l'analisi del mercato elettrico in scenari di medio termine G. Migliavacca, A. Formaro Febbraio 2008 Area: Governo del Sistema Elettrico

2 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 1/86 Contratto Accordo di programma con il Ministero dello Sviluppo Economico ai sensi dell art. 3 comma 2 del D.M. 23 marzo 2006 per le attività di ricerca e sviluppo di interesse generale per il sistema elettrico. Piano Annuale di realizzazione Oggetto Specifica tecnica e manuale d uso di MTSIM, un simulatore per l analisi del mercato elettrico in scenari di medio termine Area Progetto Deliverable Note Governo del Sistema Elettrico Impatto delle regole di mercato e dei vincoli tecnici ed ambientali sull esercizio del sistema elettrico italiano 3.1 PUBBLICATO (PAD ) La parziale riproduzione di questo documento è permessa solo con l'autorizzazione scritta del CESI RICERCA. N. pagine 86 N. pagine fuori testo 0 Data 29/02/2008 Mod. RAPP v. 06 Elaborato Elaborato Verificato Approvato Verificato Approvato ESE - Gianluigi Migliavacca, Annalisa Formaro Migliavacca Gianluigi (SSE) AUT ESE Annalisa Gianluigi Formaro Migliavacca REI Migliavacca Enrico Gaglioti Gianluigi (SSE) VER Gaglioti Enrico (SSE) APP CESI RICERCA S.p.A. Via R. Rubattino Milano - Italia Telefono Fax Capitale sociale Euro interamente versato Registro Imprese di Milano, C.F. e P.IVA N. R.E.A ISO 9001: 2000 CH-32919

3 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 2/86 Indice SOMMARIO INTRODUZIONE LE METODOLOGIE PER LA SIMULAZIONE DEI MERCATI ELETTRICI Simulatori di mercato ed orizzonti temporali Metodologie per la simulazione dei mercati elettrici Metodologie basate sull approccio centralizzato ai minimi prezzi Metodologie di simulazione basate sulla Teoria dei Giochi Tecniche meta-euristiche per la ricerca dei punti di equilibrio Tabu search Simulated annealing Metodi genetici Agent-based simulation Confronto tra i diversi approcci MTSIM: IL MODELLO MATEMATICO Specifiche del simulatore MTSIM Struttura del simulatore Il modello matematico del dispacciamento idrotermico Funzione obiettivo Vincoli Riformulazione dei vincoli come uguaglianze con limiti inferiori e superiori Ordine delle equazioni e delle variabili Lo unit-commitment degli impianti termici MTSIM: STRUTTURE DATI ED INTERFACCIA UTENTE Il file di input Foglio Parameter Foglio Load Foglio FuelCO Foglio FuelCost Foglio Tpp Foglio Maint Foglio MaintDate Foglio Transits Foglio Hydro Foglio PTDF Foglio Integr Foglio MustR Foglio Flex Foglio InFlows Foglio BidUp Copyright 2008 by CESI RICERCA. All rights reserved - Activity code 10760B

4 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 3/ Foglio Qinject Foglio TppVar I files di output Foglio UC Foglio PGen Foglio QFuel1/QFuel Foglio VarCost Foglio ThermRev Foglio Emiss Foglio PMarg Foglio PHydro Foglio QHydro Foglio PHydroRev Foglio QHydroCost Foglio VHydro Foglio WHydro Foglio TotalCost Foglio Prices Foglio ITran Foglio ENP Foglio EIE Foglio ET Foglio Shares Foglio AnnBalance Foglio AnnCostBalance Foglio ZoneBalance Foglio HourlyUseFuel Foglio UseFuelGenCo Foglio FuelShares Foglio GenCoRev Foglio VarCostGenCo Foglio ProdGenCo Foglio TotEmiss Foglio MargOp Foglio MargTech Parametri di configurazione e principali strutture dati Parametri di configurazione Strutture dati Descrizione delle routines di MTSIM ReadInput LoadTrim Dispatch UnitCommitment Recalculate Write DateHour LeapYear CONCLUSIONI Copyright 2008 by CESI RICERCA. All rights reserved - Activity code 10760B

5 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 4/86 6 BIBLIOGRAFIA APPENDICE: LE MATRICI DEL DISPACCIAMENTO IDROTERMICO Copyright 2008 by CESI RICERCA. All rights reserved - Activity code 10760B

6 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 5/86 STORIA DELLE REVISIONI Numero revisione Data Protocollo Lista delle modifiche e/o dei paragrafi modificati SOMMARIO Questo rapporto ha una duplice valenza: da un lato si propone di fornire al lettore un introduzione ai vari approcci modellistici per la simulazione dei mercati elettrici nel medio termine, dall altro si propone di descrivere le caratteristiche del software di simulazione MTSIM, dettagliandone sia la struttura matematica che le interfacce di input-output. In tal modo, è possibile vedere il presente documento anche come una sorta di manuale d uso di MTSIM. Dopo una breve introduzione, il rapporto si articola nelle seguenti parti: il capitolo 2 fornisce una panoramica dei più comuni approcci modellistici alla simulazione dei mercati elettrici. I vari approcci (minimi prezzi, teoria dei giochi, tecniche meta-euristiche) vengono introdotti per somme linee. Vengono evidenziati i pregi ed i difetti di ciascuna metodologia, chiarendo le ragioni per le quali l approccio dei minimi prezzi, apparentemente un po datato, sia stato scelto per l implementazione di MTSIM; il capitolo 3 descrive in dettaglio il modello matematico implementato da MTSIM; il capitolo 4 descrive le strutture dati mediante le quali MTSIM si interfaccia con l utente: struttura del file dati di ingresso, struttura dei files di uscita, scritti da MTSIM e contenenti i risultati del calcolo, parametri di configurazione, principali routines del programma. Pertanto, oltre a costituire una guida per l utente che voglia utilizzare MTSIM per svolgere studi di scenario nel medio termine, il documento consente di trarre indicazioni utili per la lettura del codice di programmazione dell applicativo.

7 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 6/86 1 INTRODUZIONE La liberalizzazione dei mercati elettrici, avvenuta negli ultimi anni nei principali Paesi europei ed, in particolare, in Italia, ha cambiato profondamente il funzionamento di tali mercati. Da una gestione centralizzata, attuata dalle vecchie società elettriche verticalmente integrate sulla base della minimizzazione dei costi di produzione e di dispacciamento, si è passati ad una situazione decentralizzata nella quale una molteplicità di soggetti indipendenti, produttori, grandi clienti, traders, svolgono transazioni che hanno come oggetto quantità di energia elettrica, che vengono trasportate dai luoghi di produzione a quelli di consumo (o alla connessione con la rete di distribuzione alla quale i consumatori sono allacciati) mediante la rete di trasmissione. Il punto di incontro di tutte queste transazioni è costituito fisicamente dalla rete di trasmissione (nelle mani di un unico soggetto usualmente chiamato Independent System Operator o Transmission System Operator, secondochè abbia solo la gestione o anche la proprietà della rete) e finanziariamente dal mercato elettrico, ove si incontrano domanda ed offerta. Quest ultimo è solitamente organizzato sotto forma di aste in cascata e/o di una contrattazione privata basata sulla stipula di contratti bilaterali fisici. Le vecchie società elettriche mettevano a punto la propria strategia di produzione mediante l utilizzo di modelli di ottimizzazione che calcolavano la schedula ottima di produzione dei diversi impianti tale da soddisfare, al minimo costo, il carico orario previsto, tenendo conto dei vincoli di transito e della struttura topologica della rete di trasmissione. La liberalizzazione del mercati ha prodotto una moltiplicazione dei soggetti decisionali. In particolare, ogni produttore è libero di stabilire una propria strategia sia per quanto concerne l accensionespegnimento degli impianti (unit commitment), sia con riferimento alla propria offerta sui mercati dell energia (in termine di coppie prezzo-quantità). Di conseguenza, da un lato i risultati dei mercati derivano dall interazione di più strategie indipendenti, dall altro il criterio con il quale tali strategie vengono messe a punto non è più quello della riduzione del costo complessivo di produzione, ma quello di massimizzare il profitto di ciascun produttore. Pertanto, i prezzi d offerta dell energia non rispecchiano i costi ma un trade-off tra necessità di massimizzare l energia venduta (che porterebbe ad offrire al costo marginale di produzione) e volontà di innalzare il più possibile i prezzi di vendita (che darebbe luogo ai cosiddetti comportamenti strategici, attuati mediante una riduzione della capacità offerta oppure di un incremento del prezzo di offerta rispetto al costo marginale di produzione). Il fatto che un produttore opti per una strategia del primo o del secondo tipo dipende in primo luogo dalle sue dimensioni (produttori dotati di forte potere di mercato sono sicuramente più propensi ad attuare comportamenti strategici, mentre piccoli produttori sono tipicamente più portati verso comportamenti da price taker: massimizzare la quantità prodotta, lasciando ai produttori dominanti l attuazione di comportamenti strategici atti ad innalzare il prezzo di mercato), ma anche da altri fattori (disincentivi regolatori, struttura della base azionaria). Questi ultimi fattori, indipendenti da una mera politica di massimizzazione del profitto, sono di difficile modellizzazione da parte di strumenti di simulazione dei

8 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 7/86 mercati elettrici. Per una trattazione completa dei concetti di comportamento strategico, potere di mercato e delle relative metodologie di misurazione, si rimanda al rapporto [1]. In considerazione dei mutamenti strutturali sopra accennati, la modellistica dei mercati elettrici ha subito una forte evoluzione negli ultimi anni, con la nascita di modelli basati sulla teoria dei giochi. Quest ultima modellizza i comportamenti di ciascun produttore come un problema di ottimizzazione separato (massimo profitto). I problemi dei produttori coesistono con il problema di clearing del mercato elettrico (massimizzazione del parametro social welfare). Il tutto costituisce un problema multiobiettivo e multi-decisore e rientra, pertanto, nel dominio della teoria dei giochi. Quest ultima non è, in realtà una disciplina unitaria, ma esistono vari approcci (tabulare, iterativo, ecc). Per una trattazione completa della teoria dei giochi e della sua applicazione ai mercati elettrici si rimanda a [2]. Nell ambito della Ricerca di Sistema Elettrico, negli scorsi anni CESI RICERCA ha realizzato alcuni applicativi di simulazione che utilizzano l approccio della teoria dei giochi, con orizzonti temporali sia di lungo termine (simulatore LREMS, vedi [3]), sia di breve-medio termine (simulatore SREMS, vedi [4]). L esperienza conseguita con l utilizzo di tali simulatori ha, tuttavia, permesso di evidenziare il fatto che i vantaggi teorici di tali approccio (presunta aderenza alla realtà economica del mercati elettrici liberalizzati) sono controbilanciati da un numero di pesanti limitazioni strutturali alle quali è difficile ovviare: 1. Non convessità dei modelli matematici I modelli risultanti sono strutturalmente non convessi (specialmente nel caso in cui si voglia simulare anche il comportamento strategico dei produttori con riferimento ai vincoli di trasporto sulla rete, vedi [5][6]). Le metodologie di teoria dei giochi, più adatte alla modellazione di problemi di grandi dimensioni (quali quello del mercato elettrico nazionale), sono basate su approcci iterativi e calcolano un punto di equilibrio senza fornire alcuna garanzia sul fatto che si tratti dell ottimo assoluto 1. La possibilità che venga calcolato un ottimo locale, già di per sé fattore grave e limitante, produce conseguenze ancora più serie qualora si voglia utilizzare lo strumento per prove comparative: ad es. misurare l effetto della variazione di un parametro strutturale quale un incremento della capacità di trasmissione tra due zone. La non certezza nell ascrivere il diverso risultato ottenuto dalle due prove al differente valore del parametro strutturale e non piuttosto, al fatto che il solutore ha calcolato l equilibrio in un diverso ottimo locale produce un rumore di fondo difficilmente eliminabile che rischia di invalidare i risultati ottenuti. 2. Difficoltà nel mettere a punto una cifra di merito realistica Tutta la letteratura sull applicazione dei modelli di teoria dei giochi al mercato elettrico presenta modelli della competizione nei quali i produttori mirano a massimizzare il profitto. La realtà è molto più composita: i grandi produttori derivano spesso da società elettriche verticalmente integrate ed hanno tuttora una forte base azionaria pubblica. Pertanto non hanno interesse a spingere al massimo la 1 L approccio tabulare, teoricamente in grado di esplorare l intero spazio delle soluzioni e di trovare l ottimo assoluto, è di fatto inutilizzabile per modellizzare problemi di dimensione realistica in quanto comporterebbe tempi di calcolo inaccettabili.

9 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 8/86 competizione al fine di conseguire il massimo prezzo di vendita o, comunque, di massimizzare i profitti. A questo si aggiunge l azione sanzionatoria delle Autorità regolatorie, che è atta a sconsigliare l esercizio del potere di mercato. Sfortunatamente, gli obiettivi delle strategie realistiche si lasciano difficilmente catturare mediante modello quantitativi e, anche qualora fosse possibile scrivere tali tipi di modelli, essi dipenderebbero da un numero elevato di parametri strategici, difficilmente tarabili a priori. Di conseguenza, i modelli basati sulla teoria dei giochi finiscono comunque per implementare strategie non realistiche. 3. Necessità di modellare vincoli integrali I modelli di teoria dei giochi sono notoriamente piuttosto pesanti e normalmente la letteratura scientifico-tecnica ne riporta una applicazione nel breve periodo (aggiustamento delle strategie d offerta su una singola ora). Modellare il comportamento strategico su un orizzonte di medio termine richiede la modellazione di una serie di vincoli intertemporali, spesso di natura integrale, che fanno sì che non sia facile rielaborare i modelli in modo tale che si possano risolvere come una sequenza di modelli orari in cascata. Accoppiare le ore aumenta significativamente le dimensioni del problema e (quadraticamente) i tempi di calcolo rendendo velocemente i problemi ingestibili. D altra parte, i vincoli intertemporali derivano da aspetti di primaria importanza, non trascurabili: vincoli di unit-commitment sulle unità, vincoli idraulici di bacino, vincoli sulla produzione e/o sulla quantità di combustibile consumato. A questi si aggiunge l ulteriore vincolo introdotto dal meccanismo di emissions trading post-kyoto: il totale annuo delle emissioni di anidride carbonica di un dato Paese è fissato a priori, a meno di acquisti su mercati internazionali delle quote in difetto (Emissions Trading, Clean Development Mechanism). Pertanto, nell ottica di realizzare un simulatore di mercato con un orizzonte temporale annuo, al fine di svolgere analisi di scenario, e di implementare al suo interno anche il vincolo sulle emissioni di CO 2, si è deciso di accantonare per il momento l approccio della teoria dei giochi per riprendere il vecchio approccio centralizzato, riadattandolo al mercato liberalizzato: passando da un approccio ai minimi costi ad uno ai minimi prezzi, introducendo le variabili strategiche dei produttori sotto forma di un prezzo di bid-up, prezzo che si somma al costo variabile e che viene acquisito come una variabile di ingresso dello scenario di simulazione. Il fatto di acquisire il dato strategico come input della simulazione costituisce da un lato una limitazione e dall altro un vantaggio di questo approccio. Infatti, se da un lato le strategie inserite, non essendo il risultato di un ottimizzazione, possono portare alla realizzazione di strategie subottime, dall altro, proprio per la loro creazione a mano, è possibile tentare di tener conto di tutti i sopraccitati fattori decisionali indipendenti da quello di ottimizzazione del profitto, difficilmente traducibili in formulazioni quantitative. La profilatura oraria delle strategie dei produttori può essere fatta sulla base della ricostruzione di dati storici, nonché dell incorporazione di aspetti oggettivi (ad esempio la profilatura secondo la produzione idroelettrica giornaliera per tener conto delle differenze tra ore di punta e off-

10 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 9/86 peak), di dati economici, di bilancio e di altri fattori. In ogni caso, tale soggetto esula dagli scopi del presente rapporto. Nel capitolo che segue, prima di introdurre il modello matematico di MTSIM verrà fornita una rassegna ed un confronto tra le principali metodologie per il calcolo degli equilibri dei mercati elettrici. Oltre agli approcci basati sui minimi prezzi e sulla teoria dei giochi, verrà introdotta una categoria di metodologie, dette meta-euristiche, che hanno avuto una certa diffusione negli ultimi anni perché permettono di modellare in modo meno quantitativo i comportamenti strategici degli operatori e, proprio per questo, si prestano maggiormente ad includere aspetti non-quantitativi presenti nelle strategie dei produttori, nonché a facilitare l esplorazione dell intero spazio delle soluzioni alla ricerca di un ottimo globale. In realtà, come verrà messo in evidenza, tutto ciò è piuttosto velleitario. Nella letteratura tecnica non esistono applicazioni a problemi dotati di un livello di complessità tale da avvicinarsi alla modellazione di sistemi reali. Inoltre, la ricerca dell ottimo viene svolta con regole empiriche che, lungi dall assicurare la convergenza all ottimo locale, non assicurano nemmeno convergenza, stabilità e tempi di calcolo ragionevoli.

11 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 10/86 2 LE METODOLOGIE PER LA SIMULAZIONE DEI MERCATI ELETTRICI Il presente capitolo introduce le più diffuse metodologie di simulazione dei mercati elettrici. Dopo un iniziale classificazione dei simulatori sulla base dell orizzonte temporale e del tipo di studi a cui si indirizzano, vengono introdotti brevemente i diversi approcci (teoria dei giochi, minimi prezzi, metodologie meta-euristiche). Un breve confronto conclude il capitolo. 2.1 Simulatori di mercato ed orizzonti temporali In Fig. 1 è riportato il significato usualmente abbinato agli orizzonti temporali con riferimento alla simulazione dei mercati elettrici. In Fig. 2, sono elencati gli studi a cui tali orizzonti sono funzionali. Analisi strategia di bidding Produttori Analisi di scenario Centri di di ricerca e stakeholders Analisi impatto regolatorio Analisi di impatto Regolatori 1 ora 1 settimana 1 mese 1 anno 20 anni Breve termine Medio termine Lungo termine Fig. 1 Simulatori del mercato elettrico ed orizzonti temporali 1 1 ora settima Short term Descrizione dettagliata Ottimizzazione bidding 1 Medium mes term Livello dettaglio interme Analisi scenario 1 ann 20 anni Long term Basso livello di dettaglio Analisi evoluzione impia Fig. 2 Orizzonti temporali in relazione al tipo di applicazione

12 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 11/86 Orizzonti di breve termine si associano usualmente ad un lasso di termine tra l ora e la settimana. Tale orizzonte di studio è d interesse per i produttori, per la messa a punto di strategie d offerta ottimizzate. Pertanto è importante che si considerino tutti gli aspetti modellistici con grande dettaglio. Per medio termine si intende usualmente un orizzonte più lungo del breve termine (uno o più mesi fino ad un anno), ma tale da permettere una modellizzazione a parco impianti fisso. Lo scopo principale è quello di compiere analisi di scenario al fine di valutare ipotesi what if (es. sul prezzo dei combustibili) oppure analisi di nuovi provvedimenti regolatori. Pertanto, l interesse è prevalentemente da parte delle Autorità regolatorie, al fine di valutare l impatto di nuove regole di mercato, oppure di centri di ricerca e/o studio, al fine di analizzare scenari di evoluzione del mercato elettrico. Infine, i modelli di lungo periodo (con orizzonti fino ad alcuni decenni), analizzano specificatamente l evoluzione del parco impianti in funzione dei diversi drivers di mercato. Sono, pertanto, di interesse sia per le Autorità di regolazione sia per i centri di ricerca. La modellistica, visto l orizzonte temporale trattato, dovrà essere necessariamente più semplificata (un po per l indisponibilità di previsioni di lungo termine di parametri di dettaglio, un po per mantenere la trattabilità numerica del modello). Nel seguito, ci focalizzeremo sui modelli di medio termine, ai quali MTSIM appartiene. Va, però, detto che gran parte delle osservazioni fatte nel presente capitolo con riferimento ai diversi approcci alla simulazione vale indipendentemente dall orizzonte temporale di riferimento. 2.2 Metodologie per la simulazione dei mercati elettrici Esistono numerosi strumenti di simulazione dei mercati elettrici orientati al medio termine (orizzonte annuale). Gli approcci più comuni sono di tre tipi (Fig. 3): estrapolazione di risultati futuri di mercato a partire da serie storiche, utilizzando modelli in grado di gestire la stocasticità di eventi, quali modelli ARMAX; modelli di ottimizzazione che calcolano soluzioni ai minimi costi. Come già accennato, tali modelli descrivevano le decisioni centralizzate sul dispacciamento del parco idro-termico ai tempi delle società verticalmente integrate. Oggi, in presenza di mercati liberalizzati e di un processo decisionale decentralizzato, basato sulle offerte economiche degli operatori, tali modelli vengono tipicamente rivisti in termini di minimizzazione della spesa (minimi prezzi), includendo oltre ai termini che tengono conto dei costi variabili di produzione, anche un termine strategico di bid-up, profilato con criteri dipendenti dal carico e da ipotesi sulle strategie delle diverse società (es. risk aversion). modelli di teoria dei giochi, in cui ciascun leader di mercato risolve un suo problema di ottimizzazione ed è rappresentato da un processo decisionale a sé stante. Le interazioni tra i vari market players all interno del mercato, anch esso rappresentato come processo di ottimazione, portano ad un equilibrio di Nash (paragrafo 2.4), inteso come punto dal quale nessun giocatore ha convenienza a deviare unilateralmente.

13 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 12/86 Analisi dei dati esamina serie storiche del Strumenti di ottimizzazione basati su modelli Strumenti di price forecasting basati Modelli delle strategie basati sulla Teoria dei Giochi Strumenti di simulazione Fig. 3 Approcci alla simulazione dei mercati elettrici Approccio classico (utilities verticalmente integrate) min 0 t g 2 ( A 1gt pgt + A1 gt pgt + A gtsgt ) p gm s gt p gt p gm s gt Approccio competitivo (market context) Teoria dei giochi I mlt <σ lz pgt ( pht qht ) C zt < I + Mlt z g z h z = p gt C zt g z max λ( i) z j G ( i) P( j) j G ( q( j) q( j) q( j) j Cost j ( P( j)) i) i= 1, NZ G( i) s. t. min L ( j) q( j) g I mlt <σ lz pgt ( pht qht ) C zt < I + Mlt z g z h z p gt = C zt q g z MIN + ( j) q( j) q ( j) MAX problema di mercato price maker Fig. 4 Differenza tra approccio classico ai minimi prezzi e teoria dei giochi In Fig. 4 sono evidenziate le principali differenze modellistiche tra l approccio classico e quello che utilizza la teoria dei giochi. Nell approccio classico esiste un unico problema di ottimizzazione, minimizzazione dei costi oppure dei prezzi vincolato per tenere conto dei limiti di produzione degli impianti, dei limiti di transito tra zone, del bilancio delle potenze, ecc. Nell approccio della teoria dei giochi, ciascun produttore risolve un problema di massimizzazione dei profitti vincolato con i limiti di produzione dei propri impianti. Ai problemi dei produttori si aggiunge quello risolto dal gestore del

14 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 13/86 mercato elettrico, che massimizza il parametro social welfare con un certo numero di vincoli (limiti di transito tra zone, bilancio delle potenze, ecc). 2.3 Metodologie basate sull approccio centralizzato ai minimi prezzi Il problema del dispacciamento, riformulato in termini di mercati elettrici liberalizzati, si presenta nel modo seguente: trovare il dispacciamento a minima spesa totale degli impianti di produzione tale da soddisfare il carico (supposto rigido, cioè insensibile ai segnali di prezzo), posto che gli impianti offrano la loro potenza ad un prezzo superiore ai costi (il price bid-up essendo uno dei parametri d ingresso della simulazione) e posto che siano rispettati una serie di vincoli: potenza minima e massima di ogni impianto, bilanci orari di potenza, limiti di transito tra zone, vincoli di unit commitment (tempo minimo di accensione, tempo minimo di spegnimento, eventuali vincoli di rampa), vincoli integrali (impianti idroelettrici a bacino, contratti di combustibili, emissioni, ecc). Particolarmente critici sono i vincoli di unit commitment che trasformerebbero il modello in un problema a numeri interi di difficile gestione. Pertanto, questi vincoli vengono generalmente pre-trattati in modo tale che alla scrittura del problema del dispacciamento siano già stati stabiliti gli intervalli temporali di accensione e spegnimento degli impianti. Una delle modalità è quella scelta da MTSIM per la cui descrizione si rimanda al paragrafo 3.2. E chiaro che il disaccoppiamento tra risoluzione del problema di unit commitment e problema del dispacciamento può portare ad identificare delle soluzioni subottime. D altra parte, questa è l unica modalità che si può adottare per rendere affrontabile un problema di dimensioni realistiche (i problemi a numeri interi sono risolti con tecniche di tipo branch and bound che, benché siano state parecchio affinate negli ultimi anni, rimangono applicabili solamente a sistemi di piccola dimensione). Come già accennato, una grossa limitazione di questo approccio è costituita dalla necessità di fornire in ingresso alla simulazione il valore del bid-up orario dei singoli impianti. Tuttavia, alla luce di quanto illustrato nell introduzione al presente rapporto, tale limitazione è di fatto meno grave di quanto appare.

15 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 14/ Metodologie di simulazione basate sulla Teoria dei Giochi La teoria dei giochi è la branca della ricerca operativa che si occupa dei processi decisionali a molti decisori, a molti obiettivi (uno per ciascun decisore) e ad informazione completa o incompleta. Nell approccio della teoria dei giochi non ha più senso parlare di decisione ottima, in quanto il risultato ottenuto da ogni decisore dipende anche dalle scelte degli altri. Si preferisce, dunque, parlare di punto di equilibrio, intendendo con ciò l insieme di scelte (una per ogni giocatore) da cui nessun giocatore ha interesse a spostarsi. Strategia è l insieme di principi che determinano quale scelta viene effettuata dai giocatori in ogni realizzazione del gioco. Se la mossa è la stessa in ogni partita, si parla di strategie pure (ad esempio, giocare sempre pari o sempre dispari), altrimenti si parla di strategie miste e si definisce una probabilità associata ad ogni alternativa (ad esempio, giocare pari il 60% delle volte e dispari il 40% delle volte). Le strategie pure possono essere viste come caso particolare delle strategie miste. Esistono varie formulazioni del concetto di equilibrio, tra cui la più diffusa è quella dell equilibrio di Nash. Un vettore di strategie è un equilibrio di Nash se ogni giocatore sta giocando una strategia ottima a fronte delle strategie di tutti gli altri giocatori. In altre parole, un equilibrio di Nash è tale che nessun giocatore ha incentivo a modificare unilateralmente la propria strategia, perché è la migliore possibile a fronte di quelle giocate dagli altri giocatori. L equilibrio di Nash può essere anche immaginato come il risultato di un lungo processo di trial and error, nel quale ogni giocatore a turno modifica la propria strategia finché si raggiunge un punto in cui nessuno ha più convenienza a modificarla. In realtà, quest ultima giustificazione, sebbene sembri intuitiva (è di fatto la più diffusa) non è del tutto convincente: niente assicura che il processo iterativo sia stabile, cioè tenda ad un equilibrio. Si può dimostrare (teorema di Nash) che tutti i giochi caratterizzati da un numero finito di strategie per ogni giocatore hanno almeno un equilibrio di Nash, eventualmente a strategie miste. La teoria dei giochi trova applicazione in molte discipline tra cui la teorie economiche che modellano i sistemi oligopolistici. La condizione più tipica di molti mercati, tra cui quello elettrico, è quella di un numero limitato di grandi produttori, ciascuno dei quali detiene una quota significativa di mercato. A questi grandi produttori può eventualmente affiancarsi un certo numero di piccoli produttori price takers. Questa situazione economica, usualmente denominata oligopolio, è la più difficile da modellare proprio perché richiede di tenere in conto la presenza di una moltitudine di soggetti, ciascuno dei quali tende ad ottimizzare una propria cifra di merito (profitto, quota di mercato, ecc.) che può, in generale, essere diversa da quella degli altri. Alla moltitudine dei decisori e degli obiettivi si può aggiungere una ulteriore complessità derivante dalla conoscenza imperfetta che ciascun decisore ha degli obiettivi e dei vincoli degli altri decisori e, in generale, dell ambiente nel quale si muove. Prendendo come riferimento una situazione di oligopolio non cooperativo, i modelli classici dei sistemi oligopolistici studiano gli equilibri di Nash che si creano a seguito della dinamica delle strategie dei diversi soggetti. Supponendo che, come nel caso dell energia elettrica, i prodotti delle diverse società

16 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 15/86 siano fra loro indistinguibili nella sostanza e nella visione degli acquirenti, le uniche variabili decisionali sono prezzo e quantità. Una possibile ipotesi modellistica è quella che ciascun oligopolista decida la quantità da produrre e lasci al mercato la formazione del prezzo di vendita (ipotesi di Cournot); un altra possibilità, speculare alla prima è che ogni società decida un prezzo di vendita e lasci al mercato la determinazione della quantità prodotta (ipotesi di Bertrand). Esistono, inoltre, due varianti (modello di Stackelberg e modello di Leadership di prezzo) che presuppongono la presenza di un leader di mercato. Passando agli approcci specifici dei mercati elettrici, esistono modellizzazioni come giochi discreti (che discretizzano le strategie in forma di tabelle di numeri) e come giochi continui (che definiscono le strategie come funzioni obiettivo da ottimizzare). Il primo approccio pur essendo di per sé attraente perché permette, come già accennato, di esplorare l intero spazio delle soluzioni, dà luogo molto spesso a problemi caratterizzati da complessità computazionale e tempi di calcolo inaccettabili. Le modellizzazioni come giochi continui sono le più comuni. Molti sono i metodi che sono stati applicati: storicamente il primo approccio è consistito in vari tipi di riadattamento dell approccio di Cournot. Questo è l approccio, tra tutti quelli classici, che meglio si adatta ai mercati elettrici. Infatti, visto il forte potere di mercato dei grandi produttori, il modello di Bertrand, che porta ad una concorrenza al ribasso di prezzo fino ad arrivare, se possibile, ai costi marginali, fornirebbe risultati lontani da quelli della realtà. Tra gli adattamenti più noti si possono citare il modello iterativo di Borenstein- Bushnell ed il modello di Otero-Novas. Il tentativo di svincolarsi dai modelli classici, nei quali la strategia dei produttori era o solo sulle quantità o solo sui prezzi d offerta, ha portato a formulare i modelli basati sul concetto di supply function. Tali modelli, partendo dall osservazione che le offerte sono costituite da più punti prezzoquantità, che, uniti tra loro, costituiscono una curva (detta appunto supply function), sviluppano una teoria che dovrebbe permettere di ricavare tale curva come soluzione di una equazione differenziale. Tuttavia, sono necessarie forti semplificazioni affinché il problema possa essere affrontato matematicamente. Negli ultimi anni si è sviluppata una nuova categoria di metodi che tende a sfruttare la peculiarità della formazione del prezzo dell energia come esito di un asta coordinata alla quale i vari soggetti partecipano senza conoscere con certezza né le caratteristiche degli impianti dei competitori né la domanda prevista per l ora di riferimento. Nascono così gli approcci legati alla teoria delle aste. Per un approfondimento dei modelli di teoria dei giochi e della loro applicazione ai mercati elettrici si rimanda a [2]. Si fa comunque notare che tutti gli approcci sono soggetti alle limitazioni e criticità alle quali si faceva cenno nell introduzione al presente rapporto, essendo queste strutturali all approccio della teoria dei giochi.

17 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 16/ Tecniche meta-euristiche per la ricerca dei punti di equilibrio Negli ultimi anni sono state proposte alcune nuove metodologie, comunemente note con il nome di tecniche meta-euristiche, con lo scopo di permettere una scansione intelligente dello spazio di stato alla ricerca degli equilibri, ed, in particolare, di quello ottimo caratterizzato dal migliore valore della funzione obiettivo. Le metodologie meta-euristiche si classificano (Fig. 5) sulla base del tipo di ricerca svolta (nell intorno del punto corrente oppure casuale nello spazio di stato) e sul fatto che l evoluzione riguardi un punto candidato (point-to-point) o riguardi il progressivo evolvere di una popolazione di candidati. Fig. 5 Classificazione delle metodologie meta-euristiche Le tecniche meta-euristiche fanno tipicamente riferimento a processi studiati in altri settori della scienza (termodinamica, genetica, scienze naturali e sociali) per proporre, su basi euristiche, un metodo di ricerca dell ottimo globale. Raramente è possibile, tuttavia, dimostrare matematicamente la consistenza degli algoritmi proposti dal punto di vista delle proprietà di convergenza e tempo di calcolo. Rispetto alle metodologie tradizionali, basate sulla teoria dell ottimizzazione, le tecniche meta-euristiche sono caratterizzate dai seguenti vantaggi: sono in grado di trattare problemi che non permettono una formulazione matematica rigorosa del modello (cioè in termini di funzione obiettivo e vincoli); lavorano sull intero spazio di stato discretizzato, ma attuano una ricerca guidata, che, se ben mirata, richiede tempi di calcolo notevolmente ridotti rispetto all applicazione di metodologie esaustive. Al contrario di quanto richiesto dalle tecniche tabellari utilizzate dalla teoria dei giochi, non è richiesto il pre-calcolo di tutti i valori di pay-off nella tabella delle strategie; permettono di attuare una ricerca su più punti di equilibrio e, in via di principio, di trovare gli ottimi globali di problemi non convessi; è possibili tener conto delle strategie miste senza che questo comporti un particolare aggravio metodologico o computazionale. Per contro, esistono anche parecchi svantaggi comuni a tutte le metodologie meta-euristiche: ogni metodologia rappresenta, in realtà, un classe di metodi. Le caratteristiche in termini di convergenza, stabilità e tempi di calcolo, dipendono in larga misura da dettagli applicativi che possono a loro volta essere definiti solo una volta noto il problema da risolvere; la convergenza ad un punto di ottimo può essere lenta e spesso non è garantita matematicamente;

18 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 17/86 poiché l esplorazione dello spazio di stato non è esaustiva, non sussistono garanzie che, una volta trovato un punto di ottimo, non ne esista un altro migliore. Nell ambito dell approfondimento delle metodologie meta-euristiche (in particolare delle tecniche genetiche), uno degli autori del presente rapporto è stato coinvolto come membro esterno della commissione di giudizio ( jury ) di una tesi di dottorato presso il Politecnico di Losanna EPFL ([7]) Tabu search La ricerca dell equilibrio ottimo viene condotta nei seguenti passi logici: un singolo passo muove da un punto S ad un punto S nei dintorni di S; per evitare di ritornare ciclicamente su punti già esplorati, viene mantenuta una tabu list con i punti visitati di recente, il cui raggiungimento è penalizzato; la lista tabu può anche essere modificata al fine di guidare la ricerca nell intorno di un punto candidato all ottimo; è possibile, inoltre, creare un aspiration set, che aggira le prescrizioni della tabu list e conduce la ricerca ad esplorare regioni ritenute interessanti (es. se tutte le mosse sono tabù, seleziona la più vecchia; favorisci le mosse che portano su soluzioni drasticamente diverse); ad ogni passo, viene creato un neighborhood set contenente i punti adiacenti a quello corrente, un tabu set ed un aspiration set e si seleziona il migliore candidato Simulated annealing Questa metodologia replica il procedimento di annealing, con il quale un metallo viene fuso e poi raffreddato lentamente. Ad ogni istante viene raggiunto un punto di equilibrio termodinamico muovendosi nell intorno dello stato corrente seguendo la distribuzione di Boltzmann: temperature più elevate favoriscono cambi di stato più grandi. Viene spesso citata l analogia con un recipiente che contiene una pallina sottoposta ad agitazione termica (Fig. 6). Se l energia termica è elevata (forte calore fornito dalla fiamma), la pallina è dotata di una forte agitazione termica e, pertanto, riuscirà a saltare agevolmente dalla regione di attrazione di un minimo ad un altra, superando la montagnetta interposta. Man mano che la temperatura diminuisce, la minore energia cinetica rende gli scavallamenti sempre più improbabili, finché la pallina rimane stabilmente all interno della regione di un solo attrattore al quale converge. Il metodo numerico si rifà alla situazione fisica sopra descritta: ad ogni iterazione vengono generati casualmente possibili successori della corrente posizione; il migliore fra questi (dal punto di vista della cifra di merito) viene paragonato con il punto corrente: se è migliore, viene accettato; se non è migliore, c è ancora una probabilità che il nuovo punto, peggiore del corrente, venga accettato, al fine di evitare di convergere a minimi locali. Tale probabilità è tanto più elevata quanto

19 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 18/86 più è elevata la temperatura (cioè durante i primi passi dell algoritmo). Ciò è deciso mediante l applicazione del criterio di Metropolis: ( f f ) max T > Random( [ 0,1]) dove T è la temperatura (decrescente con il procedere delle iterazioni) e f-fmax sono i valori della funzione obiettivo, rispettivamente nel punto corrente e nel massimo. Fig. 6 Simulated annealing: analogia termodinamica Metodi genetici Si tratta di una famiglia di metodi, nei quali una popolazione di individui evolve iterativamente verso l ottimo (evoluzione della specie). Gli individui sono codificati come stringhe, tipicamente binarie. Si introduce una funzione di fitness per valutare la qualità degli individui: valori più elevati di fitness corrispondono a situazioni più vicine all ottimo. L algoritmo parte con una popolazione iniziale, che può, per esempio, essere distribuita uniformemente nello spazio di stato. Ad ogni passo: si calcola la funzione di fitness di ciascun individuo; N individui vengono selezionati per la riproduzione (la probabilità di selezione è proporzionale al valore di fitness); si creano discendenti del set iniziale di individui che possono essere o identici alla generazione precedente o trasformati, con un dato tasso, utilizzando gli operatori tipici della genetica (cross-over, mutazione) Agent-based simulation Sebbene non ufficialmente classificate come tecniche meta-euristiche, le metodologie che vanno sotto il nome di agent-based simulation hanno parecchi punti in comune con queste.

20 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Pag. 19/86 Le metodologie di agent-based simulation decompongono un sistema in un certo numero di processi (agents) che evolvono fra loro in modo indipendente ricevendo stimoli dall ambiente circostante e perseguendo propri obiettivi. Tuttavia, va notato che, sebbene il concetto di obiettivo da perseguire sembri a prima vista analogo a quello dei metodi meta-euristici, tale concetto non va visto qui in senso stretto: ogni agent organizza le proprie azioni in funzione di conseguire degli obiettivi ma questi non sono necessariamente organizzati in una strategia coerente, in una pianificazione di alto livello. Un tipico comportamento degli agents implementa il reinforcement learning algorithm: supponiamo che in un dato istante un certo agent si trovi in un determinato stato s t e che possa scegliere la sua mossa all interno di un set A(S t ), che lo porterà in un nuovo stato nell intorno di s t ; ogni azione è associata ad un valore di reward. I rewards vengono sommati nel tempo pesati con un dato tasso di sconto; gli agenti sviluppano nel tempo la capacità di mappare tutte le possibili azioni del set A nel punto corrente S={ S t } e i corrispondenti valori di reward. In questo modo essi sulla base del passato apprendono a orientare le proprie azioni al fine di ottimizzare il reward totale. Dunque, pur essendo la simulazione agent based non direttamente connessa con l ottimizzazione di una cifra di merito ma, piuttosto, con l esplorazione del comportamento congiunto di un gruppo di individui, di fatto la tendenza di questi a migliorare il proprio reward fa sì che il sistema nel suo complesso tenda ad evolvere verso situazioni di ottimo. Applicazioni delle metodologie agent based sono state create in vari campi. Un semplice esempio è dato dalle strategie di mutazione di colore di una colonia di camaleonti sulla base della percezione dell ambiente circostante (http://eco83.econ.unito.it/terna/chameleons/chameleons.html). Sono state anche realizzate alcune applicazioni ai modelli dei mercati elettrici, in particolare da Tesfation (http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi/dyntestames.jslt.pdf). 2.6 Confronto tra i diversi approcci I modelli basati su estrapolazione (Fig. 3) sono tipici di studi econometrici all interno di analisi per l ottimizzazione di portafoglio, hedging, etc. Tali modelli hanno però il difetto di non tener conto di nuove condizioni, che potrebbero modificare significativamente il comportamento d offerta degli operatori. Inoltre, non possono essere utilizzati in caso di scarsità di dati o di mercati nuovi. Infine, la pesantezza computazionale derivante dalla grande mole di dati che devono trattare, li rende inadatti per svolgere proiezioni su orizzonti temporali più lunghi di qualche mese. Con riferimento alle tecniche meta-euristiche ed alla simulazione agent based, la mancanza di una teoria unificante e, soprattutto, di garanzie su convergenza e tempi di calcolo fanno sì che tali metodologie siano ancora immature per essere implementate su modelli realistici di grandi dimensioni. Come già accennato, l apparente superiorità teorica dei modelli basati sulla teoria dei giochi rispetto a quelli di ottimizzazione deve confrontarsi con alcuni svantaggi che i primi hanno sui secondi, tra cui:

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