Lezione 10. Anelli e moduli noetheriani ed artiniani.

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1 Lezoe 0 Aell e modul oethera ed arta. Sa A u aello. Proozoe 0. Sa u A-modulo. Allora le eguet roretà oo equvalet. a) Og catea acedete d ottomodul d è tazoara, coè er og ucceoe d ottomodul d ete u dce tale che = er og dce. b) Og eme o vuoto d ottomodul d ha u elemeto mamale (er cluoe). c) Og ottomodulo d è ftamete geerato. Dmotrazoe: Provamo che a) b). Sa S u ottoeme o vuoto d ottomodul d. Suoamo er aurdo che S o abba u elemeto mamale. Allora, er og S ete u elemeto S tale che (cluoe tretta). Cò coete d cotrure, rcorvamete, ua catea acedete d ottomodul d o tazoara, cotro a). Provamo che b) c). Sa N u ottomodulo d. Suoamo er aurdo che N o a ftamete geerato. Allora, er og ottomodulo ftamete geerato N ' d N, ha che N' N, e qud ete x N \ N'. Sa N '' = N' + Ax. Queto è u ottomodulo ftamete geerato d N tale che N' N' ' (cluoe tretta). Cò rova che l eme S de ottomodul ftamete geerat d N ( S, erché { 0 } S ) o ha alcu elemeto mamale, cotro b). Provamo che c) a). Sa ua catea acedete d ottomodul d. Allora N = è u ottomodulo d, e come tale è ftamete geerato. Sa x,..., x u tema d geerator d N. Per og =,..., ete u dce tale che x. Sa = max { =,..., }. Allora N, e qud, er og dce, N N, da cu =. Nota U modulo er l quale vale la codzoe a) dce verfcate la codzoe della catea acedete, abbrevata come a.c.c. (dall glee acedg cha codto). Defzoe 0. U A-modulo dce oetherao e verfca ua delle codzo a), b), c) della Proozoe 0.. L aello A dce oetherao e è tale come modulo u e teo (oa: valgoo a), b), c) co deale al oto d ottomodulo.) Eemo 0.3 Come coegueza della codzoe c) della Proozoe 0., a) og aello ad deal rcal è u aello oetherao, b) og azo vettorale u u camo è u modulo oetherao e e olo e ha dmeoe fta, c) u modulo fto è emre oetherao, d) u modulo oetherao è emre ftamete geerato. Proozoe 0.4 Sa u A-modulo, e a N u uo ottomodulo. Allora è oetherao e e olo e N e /N oo oethera.

2 Dmotrazoe: Suoamo che a oetherao. Allora, bae alla codzoe c) della Proozoe 0., og ottomodulo d è ftamete geerato. Teuto coto del teorema d corrodeza er modul, egue che ache N e /N verfcao la codzoe c), e qud oo oethera. Vcevera, uoamo che N e /N ao oethera. Sa ua catea acedete d ottomodul d. Allora N è ua catea acedete d ottomodul d N e (*) N N + N N + N / N + N / N / è ua catea acedete d ottomodul d /N. Ete u dce tale che, er og N = N e + N / N = + N N, e qud ha la eguete comozoe d alcazo: /, ha cl + N / N ϕ / N = / N ϑ / N + N / N m + N m + N = m + N m + N m + N dove m e l rmo e l ultmo omorfmo oo quell dat el ecodo teorema d omorfmo (Algebra 3, Teorema.4). Poché, + N / N = + N / N, l omomorfmo cl rultate dalla comozoe è l dettà. Segue che l cluoe / N / N è l dettà. Da cò, er l teorema d corrodeza er modul, egue che =. Cò rova che la catea (*) è tazoara, e qud è oetherao. Dalla Proozoe 0.4 egue, co u facle ragoameto duttvo: Corollaro 0.5 Ua omma dretta d u umero fto d A-modul og addedo dretto è u A-modulo oetherao. è oetheraa e e olo e Oervazoe 0.6 Tale roretà o etede, evdetemete, alle omme drette d ft A- modul oethera. No è oetherao, ad eemo, lo Z-modulo Z, quato la catea acedete d ottomodul N Z Z Z o è tazoara. Vale, oltre, la eguete caratterzzazoe: Proozoe 0.7 U modulo u u aello oetherao è oetherao e e olo e è ftamete geerato.

3 Dmotrazoe: U modulo oetherao è ftamete geerato come coegueza della codzoe c) della Proozoe 0.. Vcevera, uoamo che a u modulo ftamete geerato u u aello oetherao A. Allora, vrtù della Proozoe 3.0, è omorfo, er qualche tero otvo, ad u quozete d A. Quet ultmo è oetherao vrtù del Corollaro 0.5, qud lo è er la Proozoe 0.4. Teorema 0.8 (Teorema della bae d Hlbert) Se A è u aello oetherao, allora ache l aello de olom A [x] è u aello oetherao. Dmotrazoe: Se l aello A è baale, lo è ache A [x]. Suoamo allora che A o a rdotto al olo zero. Provamo che og deale d A [x] è ftamete geerato. Sa I u deale o ullo d A [x]. Sa J l eme de coeffcet drettor de olom aarteet ad I, comreo lo zero. Allora J è u deale o ullo d A (verfcarlo er eerczo), e qud è ftamete geerato. Sa a,...,a u tema d geerator (o ull) d J. Per og =,...,, a f (x) u olomo aarteete ad I avete a come coeffcete drettore, e a r l grado d f (x). Poamo r = max r, e a I' = ( f( x),..., f ( x)). Allora I' I. Sa f ( x) I, o ullo, a a l uo coeffcete drettore, e a d l uo grado. Suoamo darma che d r. S ha a = c a er oortu c,..., c A; qud f ( x) c f x x ( ) I = d r ecearo, l rocedmeto, cotruce u olomo = ha grado more d d. Retedo, e g( x) = f ( x) h( x) I d grado more d r r tale che h( x) I '. Detto l otto-a-modulo d A [x] geerato da, x, x,..., x, ha che g( x). Abbamo coì rovato che f ( x) = g( x) + h( x) I + I ' I, qud I = I + I '. Ora, er la Proozoe 0.7, è u A-modulo oetherao, qud, vrtù della codzoe c) della Proozoe 0., l uo ottomodulo I è ftamete geerato. Ioltre I ' è u A[x ] - modulo ftamete geerato er cotruzoe. Segue che I è ftamete geerato come A[x] - modulo. Dal Teorema 0.8 egue, co u facle ragoameto duttvo: Corollaro 0.9 Se A è u aello oetherao, allora l aello de olom A [ x,..., x ] è u aello oetherao. Oervazoe 0.0 U aello d olom o ullo u eme fto d determate o è ma oetherao. Ifatt, detto A l aello de coeffcet, oto = A[ x, x,...], allora la eguete ucceoe crecete d ottomodul d o è tazoara: ( x ) ( x, x ) ( x, x,..., x ) Se ella dmotrazoe del Teorema 0.8 ottucoo a coeffcet drettor coeffcet de term d grado mmo, uò rovare che l aello delle ere formal d oteze A[[ x ]] è oetherao e lo è l aello A. I geerale ha

4 Corollaro 0. Se A è u aello oetherao, allora l aello delle ere formal d oteze A[[ x,..., x ]] è u aello oetherao. Eerczo 0. Sa K u camo. Trovare tem d geerator ft er eguet deal dell aello K [ x, : a) I = { f ( x, f (0,0) = 0} ; b) I = { f ( x, f ( α, β ) = 0}, er u fato ( α, β ) K. Svolgmeto: a) I è l eme de olom d K [ x, avet terme oto ullo. Dall Oervazoe.0 aamo che I = ( x,. b) Sa f ( x, K[ x,, f ( x, = a x y. Allora f ( x, I e e olo e, =0 g( x, = f ( x + α, y + β ) K[ x, è tale che g ( 0,0) = 0, coè, er la arte a), e e olo e g( x, ( x,. a allora f ( x, = g( x α, y β ) ( x α, y β ). Qud I ( x α, y β ). L cluoe oota è ovva. Duque I = ( x α, y β ). S ot che la arte b) geeralzza l Teorema d Ruff, e uò eere agevolmete etea a K x, x,..., x ]. [ Itroducamo ora ua ozoe che è, er coì dre, duale retto a quella d modulo oetherao. Ivertedo la relazoe d cluoe tra ottomodul, dalla equvaleza tra le codzo a) e b) della Proozoe 0. ottee la eguete Proozoe 0.3 Sa u A-modulo. Allora le eguet roretà oo equvalet. a) Og catea dcedete d ottomodul d è tazoara, coè er og ucceoe d ottomodul d ete u dce tale che = er og dce. b) Og eme o vuoto d ottomodul d ha u elemeto mmale (er cluoe). Nota U modulo er l quale vale la codzoe a) dce verfcate la codzoe della catea dcedete, abbrevata come d.c.c. (dall glee decedg cha codto). Defzoe 0.4 U A-modulo dce artao e verfca ua delle codzo a), b) della Proozoe 0.3. L aello A dce artao e è tale come modulo u e teo (oa: valgoo a), b) co deale al oto d ottomodulo ). Oervazoe 0.5 U modulo artao o è ecearamete ftamete geerato. Sa A = Z e, dato u umero rmo, coderamo l eguete otto-z-modulo (ottogruo) d / : Q Z a = a, Z N. I ottogru ror d oo tutt e ol ottoem

5 =, ( N ) e, er og, cotee olo + ottogru:. 0 Qud è uo Z-modulo artao; o è, erò, ftamete geerato. Le verfche delle recedet affermazo oo lacate al lettore. I effett è facle vedere che: a - e a u ottogruo d aartee er qualche tero a o dvble er, allora v aartee ; - e,..., oo umer atural, l ottogruo d geerato dagl elemet,, è, ove = max ; =,, - e m è u tero maggore d, allora m. S uò oltre dmotrare che og ottoeme fto d geera. Da quet ultma affermazoe egue, artcolare, che o ammette alcu tema d geerator mmale. Ivece è charo che og modulo oetherao, quato ftamete geerato, ammette u tema d geerator mmale. A modul arta etedoo, erò, dvere altre mortat roretà de modul oethera. Le dmotrazo de rultat eguet oo del tutto aaloghe a quelle de corrodet rultat er modul oethera. Proozoe 0.6 Sa u A-modulo, e a N u uo ottomodulo. Allora è artao e e olo e N e /N oo arta. Corollaro 0.7 Ua omma dretta d u umero fto d A-modul è artaa e e olo e og addedo dretto è u A-modulo artao. Proozoe 0.8 U modulo ftamete geerato u u aello artao è artao. Nota Se cofrota la Proozoe 0.8 co la Proozoe 0.7, c accorge che dall eucato maca qualcoa: c aetterebbe, er aaloga, ache l mlcazoe cotrara: u modulo artao u u aello artao è ftamete geerato. I realtà, cò è vero, ma o amo acora grado d dmotrarlo. Lo faremo ù avat.

6 Nell Oervazoe 0.5 abbamo vto u modulo artao che o è oetherao. Etoo ache modul oethera che o oo arta. Eemo 0.9 Sa K u camo. Allora l aello de olom K[ x ], che è oetherao, o è artao: fatt ete ua catea dcedete o tazoara d deal d K[ x ] : 3 ( x) ( x ) ( x ) ( x ) Etoo ache modul che oo a oethera che arta. U eemo aturale è dato da modul ft. Vale erò ache la eguete caratterzzazoe, d mmedata verfca: Proozoe 0.0 Sa V uo azo vettorale ul camo K. Allora oo equvalet le eguet codzo: a) V ha dmeoe fta u K. b) V è oetherao. c) V è artao. Corollaro 0. Og camo è u aello oetherao ed artao. L Eemo 0.9, eme al Corollaro 0. motra, tra l altro, che o vale l aalogo del Teorema 0.8 er gl aell arta. Eemo 0. Etoo modul che o oo é oethera é arta: bae alla Proozoe 0.0, bata coderare gl az vettoral d dmeoe fta. Eerczo 0.3 Sa u A-modulo, e a f : u omomorfmo. a) Se f è ettvo, è emre ache urettvo? b) Se f è urettvo, è emre ache ettvo? c) S uò trarre qualche cocluoe geerale, a queto rooto, e è oetherao od artao? Svolgmeto: a) La rota è egatva (ache e è oetherao). U cotroeemo è gà tato dato ell Eerczo 4.6 b). b) La rota è egatva. Bat eare all omomorfmo d Z-modul Z Z N N ( a ) ( a ) N + N c) Se è oetherao, allora f urettvo f ettvo. Suoamo che f a urettvo, e che, er aurdo, f o a ettvo. Allora ete x Kerf, x 0. Eedo f urettvo, ete y tale che f ( = x. Ioltre, y 0 e y Ker f \ Kerf. Qud f è urettvo, ma o ettvo, e ha Kerf Kerf (cluoe tretta). Retedo l ragoameto maera rcorva, cotruce la eguete catea acedete o tazoara d ottomodul d : 3 Kerf Kerf Kerf Kerf,

7 e cò cotraddce la oetheratà d. I maera aaloga rova che e è artao, allora f ettvo f urettvo: er la dmotrazoe bata adattare l ragoameto a Im f. Oervazoe 0.4 Abbamo vto, elle Proozo 0.4 e 0.6, che og ottomodulo d u modulo oetherao (artao) è acora oetherao (artao). Queta roretà o vale er ottoaell. Bata oervare che og domo d tegrtà è ottoaello del uo camo delle frazo, e quet ultmo è emre oetherao ed artao (Corollaro 0.): coì K[ x,..., x,...] è u ottoaello o oetherao dell aello oetherao K( x,..., x,...), e Z è u ottoaello o artao dell aello artao Q. U cotroeemo ù tereate è dato dal eguete Eerczo 0.5* Nell aello de olom K[ x, y ], a L l ottoazo vettorale geerato da e dall eme de moom x y, ove e oo ter oegatv tal che >. Provare che allora L è u ottoaello o oetherao d K[ x, y ]. (Tracca: S rov che l deale I d L formato da olom d L co terme oto ullo o è ftamete geerato. Suoedo er aurdo che I = ( f( x,,..., fr ( x, ), coder l eme S de moom del to x y che comaoo co coeffcete o ullo uo de olom f ( x, y ). Se S è vuoto, allora deduca che x I, aurdo. Se S o è vuoto, a l mamo tero tale che x y + S. S cocluda allora che x y I, aurdo.) La oetheratà e l artatà d u aello trafercoo agl aell localzzat: Proozoe 0.6 Sa A u aello oetherao (artao), e a S u eme moltlcatvo d A. Allora A S è u aello oetherao (artao). Dmotrazoe: Bata rcordare che, bae al Teorema 8.7 a), gl deal d A S oo tutt e ol della forma IA S co I deale d A e teere coto dell Oervazoe 8.8. Eerczo 0.7* Sao I,..., I r deal dell aello A tal che =,..., r, l aello A I è oetherao, allora A è oetherao. r I = (0). Provare che e, er, og =