IL MOTO ACCELERATO E IL CALCOLO RICORRENTE

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1 IL MOTO ACCELERATO E IL CALCOLO RICORRENTE OBIETTIVI - Acquisire le tecniche del calcolo ricorrente per la risoluzione di equazioni fisiche, servendosi del foglio elettronico - Risolvere il problema cinematico del moto accelerato utilizzando le equazioni orarie elementari derivanti dalle definizioni delle grandezze s, v ed a - Apprendere i comandi Excel per assegnare un nome ad una zona 1 - INTRODUZIONE 1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO Affronteremo lo studio cinematico del moto accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica di calcolo molto efficace con l uso del foglio elettronico. Si tratta di risolvere il problema del moto senza usare le relative formule per le grandezze s, v ed a, ma utilizzando solo le loro definizioni elementari. Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto rettilineo uniforme, di quello uniformemente accelerato e forse di qualche altro tipo (moto circolare uniforme, moto armonico...). Si è dunque in grado di utilizzare le formule di calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto. Ma tali formule sono valide solo per i casi particolari a cui si riferiscono; non sono valide nel caso generale di moti vari. Potenza del metodo Il metodo che qui si propone ha una validità del tutto generale e perciò è uno strumento molto potente. Il suo utilizzo è fortemente legato all uso del calcolatore, perché richiede lo svolgimento di parecchi calcoli ripetuti. Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto elementare delle leggi della Fisica, anche in casi complessi. Gli strumenti matematici richiesti sono concettualmente semplici (sostanzialmente le quattro operazioni aritmetiche). Limiti del metodo È necessario però conoscere anche i limiti di questo strumento; si tratta infatti di un metodo di calcolo approssimato, con gli inevitabili errori che ciò comporta. Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che il metodo introduce e soprattutto a valutarne l entità, in modo da capire e controllare la validità dei risultati che otterremo. 1.) IL CALCOLO RICORRENTE Nel moto accelerato, la velocità di un corpo varia nel ; la conoscenza di tale grandezza è legata a quella dell accelerazione. Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire il suo ) è legato sia alla velocità iniziale che alla accelerazione. Come è noto, non è possibile calcolare la velocità istantanea di un oggetto conoscendo solo lo spazio percorso; non si può usare la relazione v =, valida solo per il moto rettilineo uniforme. s t In conclusione, e velocità nel moto accelerato sono legati all andamento dell accelera-

2 zione del corpo. Rivediamo ora alcune definizioni delle grandezze fisiche della cinematica. Definizione di accelerazione Sappiamo che l accelerazione media di un corpo nell intervallo di è data da: v v v1 v( t + ) v( t) a m = = = (1) dove v(t) indica la velocità all istante t (istante iniziale dell intervallo) e v(t + ) quella all istante finale. Sappiamo anche che quanto più piccolo è l intervallo, tanto più questo valore si avvicina all accelerazione istantanea. Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia uniformemente accelerato. In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l accelerazione istantanea del corpo, che coincide con quella media. Dalla (1) possiamo ottenere: v( t + ) = v( t) + a () La quantità a rappresenta la variazione di velocità. Se l accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione () è esatta (cioè non dà luogo ad approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo: la velocità in un istante successivo all istante t è data dalla velocità all istante t più la sua variazione intervenuta nell intervallo di. Calcolo ricorrente della velocità Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di generico t usando la tecnica del calcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo. Supponiamo che l accelerazione del moto sia a = m/s, la velocità iniziale v() = e l intervallo di = 1 s. Usando la () si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1,, 3 secondi dopo la partenza): v(1) = v() + 1 = m/s v() = v(1) + 1 = + = 4 m/s v(3) = v() + 1 = 4 + = 6 m/s In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza usare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco. In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa approssimazione. Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo. Definizione di velocità La definizione di velocità media di un corpo nell intervallo di è la seguente: s s s1 s( t + ) s( t) v m = = = (3) dove al solito s(t) indica lo all istante t (istante iniziale dell intervallo) ed s(t + ) quello all istante finale. Dalla (3) si ottiene: s( t + ) = s( t) + v (4) La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più esatta, come la (), ma solo approssimata, poiché la velocità non è costante nel. Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrente utilizzando il foglio elettronico.

3 - IN LABORATORIO DI INFORMATICA.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL In ambiente Excel inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue. A B C D E F G 1 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 3 t v s s esatto a = m/s 4 =,1 s 5 =,5*a*A5^ 6 =A5+Dt =B5+a*Dt =C5+B5*Dt =,5*a*A6^ Posizionatevi sulla cella F3; nel menù Inserisci selezionate Nome Definisci. Nella finestra di dialogo che appare, inserite a nella finestra Nomi nella cartella di lavoro:, assicurandovi che la finestra Riferito a: contenga l indirizzo della cella F3; cliccate infine su OK. Nella Casella Nome (in alto a sinistra, sotto la barra dei pulsanti) compare ora il nome a, anziché l indirizzo di cella F3. D ora in poi potrete riferirvi a questa cella indicandola con tale nome. In modo analogo assegnate alla cella F4 il nome Dt. Inserite poi le formule indicate in tabella (nelle celle relative, naturalmente, comparirà il risultato della formula stessa). Copiate le celle 6A:6D per 5 righe sotto. Costruite ora il grafico della velocità, dello approssimato e di quello esatto (calcolato 1 con la formula del moto uniformemente accelerato s = at ) in funzione del. I due grafici, dello MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO approssimato ed esatto, sono molto simili fra loro ed hanno l aspetto di una parabola 3 passante per l origine. Si tratta, 5 come è noto, del grafico di un velocita` moto uniformemente accelerato. 15 Lo approssimato è leggermente inferiore a quello 1 spost. esatto esatto; ciò è dovuto al fatto che, 5 nel calcolo ricorrente, abbiamo utilizzato la velocità iniziale 4 6 nell intervallo di. Che cosa accadrebbe se usassimo invece la velocità finale? Sostituite la formula presente nella cella C6 con =C5+B6*Dt e copiatela poi sotto; osservate come cambia il grafico. Questa volta lo approssimato è leggermente superiore a quello esatto. Per valutare l entità dell approssimazione si può modificare il valore di, portandolo a, s; affinché i grafici

4 siano confrontabili, bisognerà MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO limitare la scala dell asse X a 6 s e quella dell asse Y a 3 m. Si può osservare che i due grafici, dello appros- 3 5 simato ed esatto, sono ora più velocita` distanti: l approssimazione è 15 peggiorata. Dunque l approssimazione è 1 spost. esatto migliore se l intervallo è piccolo; ma, diminuendo, è ne- 5 cessario ripetere più volte il calcolo ricorrente per arrivare allo 4 6 stesso istante finale (bisogna cioè copiare più volte le formule). Esistono vari metodi per rendere più preciso il calcolo ricorrente senza diminuire troppo. Si può calcolare la media (aritmetica) fra velocità iniziale e finale (ma non in tutti i casi questo è possibile!). Oppure si può usare il metodo di Feynman o qualche sua variante, come vedremo nel prossimo paragrafo..) MIGLIORARE LA PRECISIONE Proviamo a prendere come velocità media nell intervallo la media aritmetica delle velocità iniziale e finale: v( t + ) + v( t) v m = Nel foglio di lavoro sostituite la formula presente nella cella C6 con =C5+(B5+B6)/*Dt e copiatela poi sotto. Adesso lo approssimato è esattamente uguale all altro! Purtroppo questo è vero solo per il moto uniformemente accelerato; ma anche per altri tipi di moto questo metodo può portare un sensibile miglioramento. In metodo di Feynman Un metodo alternativo, dovuto a Feynman, consiste nel calcolare la velocità nell istante intermedio fra l inizio e la fine dell intervallo; questo richiede un piccolo supplemento di formule nel modello e, in genere, funziona abbastanza bene. Una variante di questo metodo, sostanzialmente equivalente ma più facile da implementare, consiste nel calcolare la posizione col valore iniziale della velocità e la velocità col valore finale dell accelerazione (o viceversa); naturalmente il metodo ha senso quando l accelerazione non è costante. Il moto armonico Un esempio tipico è quello del moto armonico; ricordiamo che l equazione (differenziale) che descrive questo moto è a = ks, dove la costante k è il quadrato della pulsazione ω. Useremo ancora le formule ricorrenti () e (4) viste sopra, che ripetiamo per comodità: s t + = s t + v e v( t + ) = v( t) + a ( ) ( ) t

5 Dopo aver salvato il foglio di lavoro precedente, createne uno nuovo (menù File Nuovo... Cartella di lavoro, oppure cliccate sul pulsante (Nuovo)). Inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue; assegnate poi alle celle F3 ed F4 rispettivamente i nomi Dt e k. Inserite infine le formule indicate (nelle celle relative, naturalmente, comparirà il risultato della formula stessa). A B C D E F G 1 MOTO ARMONICO Parametri: 3 t a v s =,7 s 4 k = 5 s 5 =-D5*k 1 6 =A5+Dt =-D6*k =C5+B5*Dt =D5+C5*Dt Copiate le celle 6A:6D per 1 righe sotto. Costruite il grafico dello in funzione del MOTO ARMONICO Il grafico ottenuto per lo mostra qualcosa di poco realistico: un moto oscillatorio con ampiezza crescente. Non si tratta di moto armonico! Se però modifichiamo la formula presente nella cella D6, applicando la variante del metodo di Feynman, le cose cambiano radicalmente: l ampiezza del moto diviene costante (come deve essere!), anche aumentando (un po ) l intervallo. Modificate la formula in D6 sostituendola con =D5+C6*Dt; in questo modo si utilizza, nel calcolo dello, la velocità finale nell intervallo di. 1,5 1,5 -,5-1 -1,5 MOTO ARMONICO Questo tipo di trucco funziona bene con moti analoghi al moto armonico, come il moto di un pendolo (anche per oscillazioni ampie) o il moto dei pianeti e dei satelliti; meno bene con moti in cui l accelerazione dipende dalla velocità (moto in un fluido, moto di una particella carica in campo magnetico,...) È possibile verificare anche la relazione fra la costante k e la pulsazione ω (o il periodo T,

6 1,5 1,5 -,5-1 -1,5 MOTO ARMONICO π ricordando che T = = ); f ω nell ultimo grafico qui accanto, ottenuto limitando il massimo a 5 s, si può vedete che il periodo ( intercorrente fra due massimi o fra due minimi successivi) è di circa,8 s, in buon accordo col valore calcolato di,81 s. Il metodo indicato può anche essere usato al contrario, come accennato sopra: Ripristinate in D6 la vecchia formula =D5+C5*Dt; in C6 modificate invece la formula facendola diventare =C5+B6*Dt. Osservate il grafico: praticamente non è cambiato; dunque le due varianti del metodo si equivalgono. In una scheda successiva vedremo che il metodo proposto non è adatto, come accennato sopra, a tutti i tipi di moti; questo ci fa capire che è necessaria molta prudenza e oculatezza, quando si usano metodi di calcolo approssimati!