DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

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1 DISEQUAZIONI ALGEBICHE Classe II a.s. 00/0 prof.ssa ita Schettino INTEVALLI DI Impariamo cosa sono gli intervalli di numeri reali Sono sottoinsiemi continui di numeri reali e possono essere limitati o illimitati Sono limitati se vi sono estremi finiti,un primo e un secondo estremo, illimitati se vi è un solo estremo

2 Es: 0 < a < 8 è l intervallo aperto di tutti i numeri reali a compresi tra 0 e 8 vale a dire maggiori di 0 e minori di 8, ed è limitato inferiormente e superiormente a<7 è l intervallo aperto di tutti i numeri reali a minori di 7 ed è illimitato inferiormente ( o limitato superiormente) a< 0, a è l unione degli intervalli costituiti da tutti i numeri reali minori di 0 o maggiori o uguali a - è l intervallo chiuso e limitato (inferiormente e superiormente) costituito da tutti i numeri reali maggiori o uguali di - e minori o uguali di < è l intervallo (aperto inferiormente e chiuso superiormente) di tutti i numeri reali maggiori di e minori o uguali di Gli intervalli di numeri reali si possono rappresentare sulla retta reale 0 8 0<a<8 a< a< 0 a

3 DEFINIZIONE Dati due polinomi P() e (), il problema di determinare i valori di per cui è P() () o P() < () si dice disequazione nell incognita isolvere una disequazione significa determinare i valori reali di che soddisfano la disuguaglianza. Per le disequazioni valgono due principi di equivalenza come per le equazioni con una importantissima differenza Il principio si enuncia come segue: Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso termine POSITIVO, si ottiene una disequazione equivalente alla data. 6

4 Come conseguenza pratica si ha che, quando si moltiplicano o dividono i due membri della disequazione per un termine negativo (ad es. - per un cambio di segno) va invertito il verso della disequazione (cosa che richiama le disuguaglianze in Z, Q e ) Inoltre, utilizzando i principi di equivalenza, ogni disequazione può scriversi nella forma normale P() 0 a cui sempre ci si riporta per la risoluzione 7 DISEQUAZIONI DI GADO Forma normale a b 0 a b < 0 con a 0(coefficiente), b termine noto Si risolvono come le equazioni di grado tenendo solo conto del segno di disuguaglianza Soluzioni: b b oppure< a a 8

5 ESEMPI es : 6 0 (soluzioni ) 6 = APPESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI - La linea continua evidenzia l intervallo delle soluzioni 9 ESEMPI es : < 9 < < < 9 (soluzioni ) APPESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI La linea continua evidenzia l intervallo delle soluzioni 0

6 es : svolgendo ESEMPI ( ) ( ) 6 le 8 operazioni 8 6 indicate si (soluzioni ha ) DISEQUAZIONI Gli esempi precedenti evidenziano le regole di risoluzione delle disequazioni di grado o lineari Vanno applicate le regole delle equazioni lineari riportando il verso della disequazione

7 DISEQUAZIONI Se a<0, è comodo cambiare i segni di TUTTI i termini e il VESO della disequazione Questa è la regola più importante delle disequazioni es : < 9 ESEMPI 9 < 8 8 Il verso della disequazione è stato invertito perché il coefficiente dell incognita è negativo Sono stati cambiati i segni di tutti i termini

8 DISEQUAZIONI DI GADO Forma normale : a b c 0 oppure a b c< 0 con a 0 Si risolvono seguendo due passi: a) isoluzione dell equazione associata b) Determinazione degli intervalli delle soluzioni DISEQUAZIONI DI GADO L equazione associata può ammettere ) Due soluzioni reali e distinte ) Due soluzioni reali e coincidenti ) Soluzioni non reali (o complesse) Vediamo il primo caso come si risolve 6

9 Disequazioni algebriche DISEQUAZIONI DI GADO a) L equazione associata si risolve applicando la formula risolutiva e determinando i valori e b) egole per la determinazione degli intervalli delle soluzioni: 0 ha per soluzioni i valori esterni all intervallo, <0 ha per soluzione i valori interni all intervallo, 7 ESEMPI < 0 ± = = = = ± = = Poiché la disequazione è <0, le soluzioni sono all interno dell intervallo, - < < 8

10 0 ± = 6 7 = = 6 ESEMPI ± 7 = 6 7 = = 6 Poiché la disequazione è 0, le soluzioni sono all esterno dell intervallo -, < o 9 DISEQUAZIONI DI GADO caso: soluzioni dell equazione associata reali e coincidenti egole per la determinazione degli intervalli delle soluzioni: 0 ha per soluzioni tutti i numeri reali tranne <0 non ammette nessuna soluzione 0

11 DISEQUAZIONI DI GADO caso: nessuna soluzione reale dell equazione associata egole per la determinazione degli intervalli delle soluzioni: 0 ha per soluzioni tutti i numeri reali <0 non ammette nessuna soluzione TABELLA IASSUNTIVA forma normale a b c 0 = e complesse Soluzioni: valori esterni a e Soluzioni: tutti i numeri reali tranne Soluzioni: tutti i numeri reali <0 = e complesse Soluzioni: valori interni a e Nessuna soluzione Nessuna soluzione

12 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Sistema di disequazioni è formato da due o più disequazioni di e/o di grado nella stessa incognita verificate contemporaneamente A() (<,, ) B() C() < (,, ) D() SISTEMI DI DISEQUAZIONI isolvere un sistema di disequazioni significa determinare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni, ossia determinare tutti i valori dell incognita che siano soluzioni di tutte le disequazioni

13 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Si svolge risolvendo ciascuna disequazione singolarmente, poi sulla stessa retta dei numeri reali si rappresentano gli intervalli dove sono verificate le disequazioni ossia dove si trovano contemporaneamente le linee continue di soluzioni. Questi intervalli sono le soluzioni del sistema ossia delle disequazioni contemporaneamente < 0 ESEMPI < 7 appresentazione sulla retta reale 7 I tratti rossi delle linee indicano le soluzioni comuni alle due disequazioni 6

14 ESEMPI 6< 0 < < 0 appresentazione sulla retta reale Questo sistema risulta impossibile perchè non vi è nessun intervallo in cui le soluzioni sono comuni 7 DISEQUAZIONI FATTE Sono del tipo A( ) 0 B( ) oppure A( ) < 0 B( ) Si risolvono col metodo del FALSO SISTEMA: A()0 B()0 e si rappresentano le soluzioni sulla stessa retta reale, completando lo schema con linee discontinue. Le linee continue indicano segno e le linee discontinue segno -. Poi si applicano le regole dei segni 8

15 <, ESEMPIO < Le soluzioni sono gli intervalli con il segno -, perché il testo chiede la disequazione negativa 9 Sviluppando i calcoli per portare la disequazione in forma normale, si ottiene la disequazione fratta: 7 ( ) Applicando il metodo del falso sistema, separiamo il numeratore ed il denominatore ponendoli entrambi 0 < <, isolvendo ciascuna disequazione, si ottengono le soluzioni della prima e della seconda che vanno riportate sull asse dei numeri reali 0

16 - - / - - Come si vede, l asse reale viene suddivisa in quattro intervalli, in alcuni dei quali (primo e terzo) la frazione assume segno negativo e negli altri (secondo e quarto) segno positivo. Poiché la disequazione data richiedeva il segno positivo, gli intervalli soluzione della disequazione data sono: - < < - /