Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n

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1 Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x 3 3x 2 + 5x 2) = (x 2 x + 3)(x 2) Siano A = 3x 2 2xy+ 1 3 y2 e B = x xy y2. L espressione (A+2) (B A)+(B+5) vale 6x 2 4xy y2 + 7 Si lavora dapprima sull espressione (A + 2) (B A) + (B + 5) = A + 2 B + A + B + 5 = 2A + 7. Ora, sostituendo ad A il polinomio associato si ottiene 2A + 7 = 6x 2 4xy y2 + 7 Equazioni e disequazioni algebriche Quesiti 26, 28, 30, 37, L equazione 2x + 2 x 1 + 3x 2 x è impossibile in R = 1

2 Condizioni di esistenza: x = 1, x = 0. Procedendo con il denominatore comune, si deve risolvere l equazione x(2x + 2) + (x 1)(3x 2) x(x 1) = 0 che, dopo alcuni semplici passaggi algebrici risulta essere 2x 2 x + 1 = 0. Questa equazione di secondo grado ha un Δ negativo e quindi non ammette radici reali. 2. Per quali valori del parametro reale k l equazione 2x 2 + kx + 2 = 0 ammette due soluzioni reali coincidenti? per k = 4, k = 4 Un equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali coincidenti se Δ = 0 pertanto occorre risolvere k 2 16 = 0 che ha per soluzioni k = 4, k = Le soluzioni della disequazione x 2 10x + 25 > 0 sono x = 5 La disequazione proposta è equivalente alla disequazione (x 5) 2 > 0. Sapendo che una quantità elevata al quadrato è sempre positiva o nulla, le soluzioni della disequazione sono le soluzioni di x 5 = 0 ossia x = Le soluzioni dell equazione 8x 2 + 6x + 1 = 0 sono x = 1 2, x = 1 4

3 L equazione si presenta nella forma ax 2 + bx + c = 0 con formula risolutiva x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a che applicata alla nostra equazione dà come soluzioni x 1 = 1 2, x 2 = Le soluzioni del sistema di disequazioni x(3 x) 0 ( x 2)(1 x) 0 sono 1 x 3 La soluzione di un sistema di disequazioni è l intersezione delle soluzioni di ognuna delle disequazioni. La prima disequazione ha soluzioni per 0 x 3 mentre la seconda ha soluzioni x 2 x 1. L intersezione di questi due insiemi di soluzioni è quindi 0 x 3. Geometria Analitica Quesiti 31, 32, 33, 33, 34, Le rette di equazione x + y 2 = 0 e x + 2y 3 = 0 sono incidenti ma non perpendicolari La retta di equazione x + y 2 = 0 ha coefficiente angolare uguale a 1 mentre le retta di equazione x + 2y 3 = 0 ha coefficiente angolare uguale a 1. I coefficienti 2 angolari sono diversi quindi le rette sono incidenti. Inoltre il prodotto dei coefficienti angolari è diverso di 1 e quindi le rette non sono perpendicolari. 2. Determinare il raggio e il centro della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi (3, 2), ( 2, 5)

4 x 2 + y 2 x 3y 16 = 0 Il centro della circonferenza corrisponde al punto medio del diametro (x c, y c ) = ( 3 2 2, ) = ( 1 2 2, 3 2 ) e il raggio è esattamente la metà della lunghezza del diametro. Poichè la lunghezza di un segmento AB con A = (x A, y A ) e B = (x B, y B ) è data da si ha AB = r = 1 2 (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 (3 + 2) 2 + ( 2 5) 2 = L equazione della retta passante per il punto P = ( 4, 3) e perpendicolare alla retta 2x + y + 6 = 0 è x 2y 2 = 0 La retta 2x + y + 6 = 0 ha coefficiente angolare pari a 2 e, pertanto, la retta ad essa perpendicolare avrà coefficiente angolare pari a 1 2. La retta cercata si ottiene risolvendo l equazione y + 3 = 1 (x + 4) 2 ossia x 2y 2 = Determinare l equazione della circonferenza di centro C = (1, 2) e raggio r = 3. x 2 + y 2 2x + 4y 4 = 0 L equazione di una circonferenza, dato il centro C = (x C, y C ) e il raggio r è data da (x x C ) 2 + (y y C ) 2 = r 2.

5 Pertanto, la circonferenza cercata ha equazione (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 ossia x 2 + y 2 2x + 4y 4 = 0 5. L equazione 9x y 2 = 114 rappresenta un ellisse Equazioni e Disequazioni Irrazionali, Esponenziali e Logaritmiche Quesiti 27, 29, 36, 38, Le soluzioni dell equazione 2x x = 9 sono x = 2 L equazione data è equivalente all equazione 2x + 13 = 9 + 3x. Questa equazione ha come campo di esistenza 2x x 0 ossia x 3. Si può quindi procedere ad elevare ambo i membri al quadrato ottenendo la seguente equazione di secondo grado che ha come soluzioni x 1 accettabile. 9x x + 68 = 0 = 34 9, soluzione non accettabile, e x 2 = 2, soluzione 2. Le soluzioni dell equazione 3 10 x = 10 x 3 sono x = 9

6 Per le proprietà delle potenze si ha 3 10 x = 10 x 3 10 x 3 = 10 x 3 2 x = x x = 9 3. Le soluzioni della disequazione x sono x 1 Il campo di esistenza della disequazione data è x ossia x 1. Visto che il secondo membro della disuguaglianza è negativo, qualsiasi valore di x che soddisfi la condizione di esistenza è soluzione. Pertanto le soluzioni sono x Le soluzioni della disequazione log log 2 x > 0 sono x > 1 3 La disequazione data ha come campo di esistenza x > 0 e si risolve con le proprietà dei logaritmi: log log 2 x > 0 log 2 (3x) > 0 3x > 1 x > Le soluzioni della disequazione 1 + x 2 sono x 3, x 1

7 La disequazione data ha come soluzione l unione delle soluzioni delle seguenti disequazioni: 1 + x 2 e Ossia x 1 e x x 2.