Regolatori PID. Corso di Controllo Digitale. a cura di Simona Onori

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Regolatori PID. Corso di Controllo Digitale. a cura di Simona Onori s.onori@disp.uniroma2.it"

Transcript

1 Regolatori PID Corso di Controllo Digitale a cura di Simona Onori Novembre 2005

2 Introduzione I regolatori lineari più usati in ambito industriale sono certamente i PID, o regolatori ad azione Proporzionale, Integrale, Derivativa. Le ragioni del loro successo sono varie: - prima di tutto il loro impiego consente di controllare in modo soddisfacente un ampia gamma di processi; - in secondo luogo, negli anni sono state sviluppate e largamente utilizzate semplici regole per la loro taratura automatica, applicabili con buoni risultati anche nel caso in cui non sia disponibile un modello matematico preciso del sistema sotto controllo; - inoltre, per la loro semplicità, i PID possono essere realizzati con le tecnologie più varie: meccaniche, pneumatiche, idrauliche, elettroniche analogiche e digitali. Questo implica una grande disponibilità commerciale, che permette la realizzazione, anche con costi contenuti, di schemi di controllo complessi. Modello dei regolatori PID analogici Tradizionalmente la struttura dei PID viene introdotta in base a considerazioni empiriche secondo le quali è opportuno che la variabile di controllo u sia generata come la somma di tre contributi. L andamento nel tempo della variabile di controllo u(t) è ( u(t) = K p e(t) 1 t T i o ) de(t) e(τ)dτ T d dt dove, indicato con y l uscita misurata del processo, e r la variabile di riferimento, e = r y e segnale di errore. Il regolatore PID è caratterizzato dalla costante K p, detta coefficiente dell azione proporzionale, e da T d e T i che sono rispettivamente la costante di tempo dell azione derivativa e la costante di tempo dell azione integrale (o tempo di reset), misurate in minuti (o in secondi). Il primo termine di (1) è proporzionale all errore e tra il segnale di riferimento r e la variabile controllata y. Il secondo è proporzionale all integrale dell errore e, ed è richiesto per imporre che l errore si annulli asintoticamente a fronte di segnali di riferimento o disturbi costanti. Infine il terzo contributo, proporzionale alla derivata di e, ha lo scopo di tentare di anticipare l andamento dell errore negli istanti futuri: se ad esempio la derivata dell errore è positiva, si aumenterà u, tramite l azione derivativa, per provocare un aumento di y e quindi una diminuzione di e 1. 1 Tramite l azione derivativa, si introduce uno zero nella funzione di trasferimento del regolatore PID, che, generando un anticipo di fase, produce una maggiore prontezza del sistema di controllo (1) 1

3 u u 10 V 10 V 0.1 V 0.1 V banda proporzionale 0.1 V 10 V error banda proporzionale 0.1 V 10 V error Figura 1: banda proporzionale Nel dominio di Laplace, l espressione del regolatore PID analogico ideale diventa: ( U(s) = K p 1 1 ) T i s st d E(s) (2) Tale funzione, essendo impropria, non e fisicamente realizzabile, a causa della presenza del termine derivativo. Banda proporzionale I parametri che caratterizzano i regolatori PID sono, le costanti K p, T d e T i. Per via della standardizzazione dei regolatori PID, nell applicazione pratica si usa far riferimento alla Banda Proporzionale, invece che al coefficiente dell azione proporzionale, per caratterizzare il funzionamento del PID. Per capire che cosa si intende per Banda Proporzionale si consideri il legame tra ingresso ed uscita di un regolatore puramente proporzionale Definizione 1 Si definisce Banda Proporzionale B p, espressa in percentuale, la variazione dell ingresso (in percento al suo campo di variazione) che comporta la variazione del 100% dell uscita. Se i segnali di ingresso e di uscita sono della stessa natura fisica e variano entro lo stesso campo di valori (ad esempio V), il guadagno K p è dato da; K p = 100 B p Nel primo grafico Figura 1 si ha una Banda Proporzionale B p = 50%, da cui K p = 2, mentre nel secondo grafico si osserva B p = 25% quindi K p = 4. L azione proporzionale dei regolatori PID viene impostata dall operatore variando la banda proporzionale, in modo manuale, oppure via software per i regolatori digitali. 2

4 La banda proporzionale è espressa normalmente in frazione percentuale dell intervallo di funzionamento dello strumento: all interno della banda proporzionale la potenza in uscita sarà proporzionale all errore, all esterno di questa banda la potenza sara la massima oppure zero. Riducendo la banda proporzionale (i.e. aumentando il guadagno) l accuratezza del controllore migliora, visto che basta un errore più piccolo per avere una data modifica della potenza in uscita. Filtraggio dei rumori ad alte frequenze: PID reale Bisogna osservare che la funzione di trasferimento (2) non e fisicamente realizzabile a causa dell azione derivativa, che causa una ampia amplificazione dei rumori di misura. L azione derivativa e necessaria fino ad una certa frequenza, oltre la quale e conveniente che vi sia attenuazione per filtrare il rumore fuori dalla banda di regolazione. Per queste ragioni, il termine derivativo e implementato come: K p st d K pst d 1 st d /N (3) con valori tipici di N da 5 a 20 per posizionare il polo all esterno della banda di interesse. L approssimazione (3) puo essere interpretata come il termine derivativo ideale st d filtrato da un sistema del primo ordine con costante di tempo T d /N. In pratica, tale approssimazione si comporta come una derivata per segnali a bassa frequenza. Il guadagno ad alta frequenza risulta essere limitato al valore KN. La struttura del regolatore PID reale è data da: ( U(s) = K p 1 1 ) T i s st d E(s) (4) 1 st d /N Configurazioni dei regolatori PID Oltre alla configurazione classica del regolatore PID che prevede di considerare le tre azioni, proporzionali, integrale, derivativa, agenti direttamente sulla variabile d errore, come mostrato in Figura 2, si possono realizzare altre configurazioni dei PID, volte a migliorare le prestazioni del sistema di controllo. Un incoveniente della realizzazione classica, è quello che la derivazione è effettuata direttamente sull errore e; in questo caso, in presenza di uno scalino del segnale di riferimento r, l uscita del derivatore, e di conseguenza la variabile di controllo u, hanno un andamento di tipo impulsivo. Questa brusca variazione può provocare la saturazione dell attuatore e l allontanamento del sistema dalla zona di linearità, con riferimento alla quale normalmente si progetta il regolatore. Per queste ragioni frequentemente l azione derivativa è esercitata sulla sola variabile di uscita y, come mostrato in Fig. 3 Poichè y è l uscita di un sistema che usualmente ha le caratteristiche di un filtro passa basso, le sue variazioni istantanee (e quindi 3

5 K p r y _ K p T i s u K pst d Figura 2: PID con derivazione dell uscita r _ y K p K p T i s _ u K pst d Figura 3: Configurazione PI-D la sua derivata) sono in genere contenute e la presenza dell azione derivativa non provoca l andamento impulsivo di u. Un ultima configurazione possibile dei regolatori PID prevede lo spostamente anche dell azione proporzionale sulla variabile controllata y, in accordo allo schema a blocchi in Fig. 4 r _ K p T i s _ u K p K pst d y Figura 4: Configurazione I-PD Anche in questo caso l obiettivo è quello di rendere meno brusche le variazioni della variabile di controllo a fronte di sollecitazioni dovute a rapide variazioni del segnale di riferimento. Nel caso di regolatori digitali, le diverse configurazioni implementative del regolatore PID rimangono valide e i singolo blocchi, e.g. P, PD, PI, ecc., possono essere realizzati mediante le tecniche di discretizzazione che verranno presentate nella prossima sezione. 4

6 Regolatori PID digitali Molto spesso si ha a che fare con sistemi di controllo realizzati mediante calcolatori, capaci di elaborare solo grandezze discrete. Si richiede allora la conseguente discretizzazione della funzione di trasferimento PID analogica nella forma (1) o (2). Nella sintesi dei regolatori digitali e presente ovviamante un parametro ulteriore, ossia il periodo di campionamento T s, il cui valore deve essere scelto con opportuna cura a seconda del sistema in esame. Richiami sui metodi di discretizzazione L algoritmo digitale che realizza l azione PID, come già detto, è ottenuto mediante discretizzazione della funzione di trasferimento dei regolatori PID continui. I vari algoritmi che si ottengono differiscono tra loro per il diverso metodo di discretizzazione usato, ma tendono tutti a comportarsi come quello analogico da cui derivano, all aumentare della frequenza di campionamento. Si preferisce discretizzare separatamente i vari blocchi in modo che a ciascuno di essi corrisponda un preciso modulo software, risultando in tal caso facile riconfigurare, via software, la struttura finale del regolatore (PI, PD, ecc.). Per implementare una legge di controllo continua in forma digitale si può operare sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza, e le tecniche di approssimazione numerica usate sono - Trasformazione rettangolare (o metodo delle differenze all indietro o di Eulero); - Trasformazione bilineare (o di Tustin, o metodo d integrazione trapezoidale). Trasformazione rettangolare Si consideri la funzione di trasferimento di un integratore Y (s) X(s) = 1 s dy dt = x t 0 dy t dt dt = xdt 0 Per t = kt s, kts Per t = (k 1)T s, si ottiene (k 1)Ts 0 0 dy kts kts dt dt = xdt y[kt s ] y[0] = xdt (5) 0 0 dy (k 1)Ts (k 1)Ts dt dt = xdt y[(k 1)T s ] y[0] = xdt (6) 0 0 5

7 Sottraendo (6) da (5) si ha y[kt s ] y[(k 1)T s ] = kts (k 1)T s xdt (7) dove, il secondo membro puo essere approssimato con T s x[kt s ], cioe attraverso l area del rettangolo di Fig. 5(a). Applicando la Z-trasformata si ha che, nel dominio del tempo diventa Y [z] z 1 Y [z] = T s X[s] y n = y n 1 T s x n In pratica, l approssimazione rettangolare consiste nel fare la sostituzione della variabile s con: s = 1 z 1 T s (8) Trasformazione bilineare La trasformazione bilineare si differenzia da quella rettangolare per il modo di approssimare l operatore di integrazione. Infatti, nell operazione di discretizzazione dell integratore, il membro destro di (7), i.e. kt s (k 1)T s xdt viene approssimato tramite: x[kt s ] x[(k 1)T s ] T s (9) 2 cioe con l area del trapezio mostrato in Fig. 5(b). Per cui, (7), con la (9) sostituita al secondo membro, diventa, nella variabile z, Y [z] z 1 Y [z] = T s X[z] z 1 X[z] 2 (10) (a) Approssimazione rettangolare (b) Approssimazione trapezoidale Figura 5: Metodi di integrazione numerica 6

8 e nel dominio del tempo y n = y n 1 T s 2 x n T s 2 x n 1 In pratica l approssimazione bilineare consiste nell effettuare la trasformazione s = 2 T s 1 z 1 1 z 1 (11) che mappa il semipiano sinistro in s nel cerchio unitario del piano z. Sostituendo la relazione bilineare (11) in (2) si ha: D PID (z) = dove K i = Kp T i e K d = K p T d. U(z) ( E(z) = K p 1 1 T s z 1 T i 2 z 1 2 ) z 1 = (12) T s z 1 = (K p K it s 2 2K d T s )z 2 (K i T s 4K d T s )z (K p K it s 2 2K d T s ) z 2 (13) 1 Regolatore PID digitale: forma posizionale A partire dall espresione del regolatore PID ideale nel dominio del tempo, i.e. ( u(t) = K p e(t) 1 t T i o ) de(t) e(τ)dτ T d dt si ricavano le seguenti espressioni digitalizzate, usando i metodi di integrazione visti. Il PID digitale secondo l integrazione rettangolare è: u(n) = K p (e(n) T s T i n i=0 e(i) T d T s (e(n) e(n 1))) mentre regolatore PID digitale secondo l integrazione trapezoidale è: u(n) = K p (e(n) T s T i n i=0 e(i) e(i 1) 2 T d T s (e(n) e(n 1))) Come si vede, entrambe le espressioni di u(n) sono nella forma di un equazione alle differenze, facile da implementare in un linguaggio di programmazione. Queste particolari forme dell algoritmo del regolatore digitale sono chiamate posizionali perchè, ad ogni passo di campionamento si calcola direttamente il nuovo valore del controllo che dipende dai valori al tempo presente e ai tempi passati dell errore. (14) 7

9 Regolatore PID digitale: forma di velocità In certi casi, il sistema di controllo è disposto in modo tale che il segnale di controllo è guidato direttamente da un integratore. Risulta allora naturale modificare l algoritmo in modo tale che restituisca la velocità della variabile di controllo. La variabile di controllo è poi ottenuta integrando la sua velocità. Un algoritmo di questo tipo è chiamato algoritmo di velocità. A partire dall espressione del regolatore PID nel dominio di Laplace, ( U(s) = K p 1 1 ) T i s st d E(s) (15) e applicando le trasformazioni (8) e (11) tra il piano s e il piano z e antitrasformando poi nel dominio del tempo, si ottengo rispettivamente gli algoritmi digitali u(n) = u(n) u(n 1) = K p [e(n) e(n 1) T s T i e(n) T d T s (e(n) 2e(n 1)e(n 2))] e u(n) = u(n 2) K p 2TiTs [(T 2 s 2T i T s 4T d T i )e(n)(2t 2 s 8T d T i )e(n 1)(T 2 s 2T i T s 4T d T i )e(n 2)] I controllori PID digitali ottenuti discretizzando direttamente a partire dal dominio della frequenza sono differenti, nella struttura, a quelli ottenuti a partire da considerazioni nel dominio del tempo, e sono conosciuti come algoritmi PID digitali in forma di velocità, o incrementali, in quanto ad ogni passo di campionamento si calcola la variazione del controllo. Altre espressioni per i regolatori PID digitali possono essere ottenute discretizzando i vari termini con tecniche diverse. Una forma di algoritmo particolarmente utilizzata in pratica è quella che si ottiene sostituendo il termine derivativo con la funzione T d s 1 T d s/n Nell equazione T d du(t) de(t) u(t) = T d N dt dt si approssima la derivata con l approssimazione della differenza all indientro, i.e. Questa può essere scritta come u n = T d u n u n 1 e n e n 1 u n = T d N T s T s T d u n 1 T dn (e n e n 1 ) T d NT s T d NT s 8

10 T d T d NT s è Il vantaggio di usare il metodo delle differenze all indietro è quello che il termine sempre compreso tra 0 e 1, per ogni valore dei parametri, il che garantisce che l equazione alle differenze è stabile. Se, insieme all approssimazione alle differenze all indietro per il termine derivativo, si usa l approssimazione alle differenze in avanti per il termine integrale si ottiene il controllore digitale D PID (z) = U(z) ( E(z) = K p 1 T s T i (z 1) T d T s T d /N ) z 1 (16) z T d /(NT s T d ) Ponendo e α = T s T i, β = NT d NT s T d, γ = T d NT s T d q 0 = K p (1 β), q 1 = K p (1 γ α 2β), q 2 = K p (γ αγ β) si puo riscrivere (16) nella forma polinomiale, cioe come rapporto di due polinomi nella variabile z: D PID (z) = q 0z 2 q 1 z q 2 (z 1)(z γ) (17) Tuning dei parametri: sintesi dei regolatori PID La sintesi dei regolatori PID consiste nella scelta della configurazione del regolatore più adatta all applicazione, e nella scelta dei parametri K p, T i, T d e T s. Questa operazione è indicata come tuning. Una volta determinata la funzione di trasferimento del controllore si passa alla sua discretizzazione secondo i metodi precedentemente illustrati. Verranno presentati due metodi di taratura dei regolatori PID, entrambi basati su constatazioni empiriche: - Metodo della risposta a gradino, o primo metodo di Zieger e Nichols; - Metodo della risposta in frequenza, o secondo metodo di Zieger e Nichols. Metodo della risposta a gradino Questo metodo è basato sull idea di descrivere il processo da sottoporre a controllo con un modello del tipo: Ae τs 1 Ts 9

11 Essenzialmente il modello comprende un guadagno statico pari ad A, un tempo di ritardo τ, ed una costante tempo T. Questi parametri possono essere stimati sperimentalmente applicando in entrata al processo (sconnesso dalla catena di controllo) un segnale a gradino di ampiezza unitaria e misurando la risposta temporale del processo. I parametri che caratterizzano la funzione di trasferimento del processo vengono determinati da un fit dei dati sperimentali ottenuto approssimando il transitorio misurato in uscita dal processo con la retta tangente nel punto di flesso. La procedura è illustrata in Fig. 6 Figura 6: Risposta al gradino del sistema controllato: al processo, operando ad anello aperto, viene mandato in entrata un segnale a gradino di ampiezza unitaria. I dati sperimentali (curva continua) sono approssimati nella zona del flesso con la linea tangente (curva tratteggiata). L intercetta di tale curva con l asse di tempi fornisce la stima del ritardo τ, mentre la costante tempo T viene fornita dal tempo di salita della curva. Il guadagno in continua A è uguale al valore asintotico (ricordiamo che il segnale di ingresso ha ampiezza unitaria) Una volta noti A, τ e T è possibile calcolare i valori che ottimizzano la resa del controllore, trovando il miglior compromesso tra stabilità e velocità di risposta. Le relazioni che forniscono i valori dei parametri del controllore in funzione dei dati ottenuti sperimentalmente sono riportate nella Tabella sottostante. P PI PD PID 1R/3 0.9R/12 K p AR AR T i τ 303R 920R T d 1.25R/6 AR τ 6 2R 223R 1.33 R/4 AR τ 326R 138R τ 4 112R Il metodo appena descritto funziona solo per sistemi stabili ad anello aperto, i quali siano ragionevolmente descritti dal modello semplificato presentato in Fig. 6. Per sistemi più complicati, inclusi quelli che non sono stabili ad anello aperto, si deve ricorrere ad altri 10

12 metodi. Un metodo alternativo utilizzato frequentemente è il secondo metodo di Ziegler e Nichols presentato di seguito. Metodo di Ziegler e Nichols in frequenza Il sistema reazionato è stabile ad anello chiuso solo se il guadagno in continua ad anello aperto è mantenuto ad un certo livello (che dipendera dal sistema). Aumentando il guadagno, nei sistemi a stabilita il sistema diventa instabile. Tra la zona di stabilità (poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso con componente reale negativa) e la zona di instabilità (poli con componente reale positiva) esiste un limite (poli con componente reale nulla) in cui il sistema non diverge, ma oscilla con ampiezza di oscillazione costante. Quindi, se aumentando il guadagno in continua si arriva ad una situazione di oscillazione stabile, possiamo assumere che un valore di guadagno nettamente inferiore a tale limite possa corrispondere ad una condizione di lavoro ragionevole. La procedura da seguire per l ottimizzazione del controllore è la seguente: - Annullare, o quantomeno ridurre al minimo livello possibile, le azioni di integrazione e derivata facendo lavorare il controllore in modo puramente proporzionale. - Operando ad anello chiuso, aumentare progressivamente (e prudentemente) il valore di K p fino a che si osserva che l uscita y(t) oscilla in modo permanente (limite di stabilità). Indichiamo con K 0 il valore limite di K p. Indichiamo con T 0 il periodo di oscillazione misurato quando K p = K 0. Se il sistema non entra mai in oscillazione, il metodo non è applicabile. - A seconda della configurazione del controllore, applicare i parametri riportati nella Tabella sottostante. P PI PD PID K p 0.5K K 0 0.5K 0 0.6K 0 T i 0.85T 0 0.5T 0 T d 0.2T T 0 Per concludere, ricordiamo alcuni limiti pratici dei metodi di tuning dei controllori appena descritti. Noi abbiamo sempre assunto che i processi da controllare siano lineari e stazionari. Purtroppo tali approssimazioni non sono sempre valide. In particolare, uno degli errori più comuni è quello di ottimizzare i parametri del controllore quando il processo da controllare si trova in condizioni molto diverse da quelle operative. In tal caso eventuali 11

13 non-linearità possono giocare un ruolo importante e l ottimizzazione iniziale può perdere di significato. In altri casi le oscillazioni che devono essere innescate per tarare il controllore secondo il metodo di Ziegler e Nichols in frequenza possono provocare danni al processo stesso. Quindi, nella pratica, bisogna operare con prudenza ricordando che i metodi semi-empirici appena descritti forniscono una ottimizzazione solo parziale del controllore. Il risultato finale dipende strettamente dal comportamento dinamico del processo sotto controllo. Fenomeno del Wind-up La presenza combinata dell azione integrale e di una saturazione dovuta all attuatore provoca un effetto di tipo non lineare che può deteriorare significatamente le prestazioni del sistema di controllo. L attuatore con ingresso w e uscita u è descritto dalla relazione u M, w(t) u M ; u(t) = w(t), u m w(t) u M ; u m, w(t) < u m. Si consideri il caso di un sistema di controllo con il regolatore dato dalla sola parte integrale I. Quando l errore e = r y si mantiene dello stesso segno per un certo periodo, lo stato dell integratore, che coincide con la sua uscita, wcresce in modulo sempre piu. Cio avviene anche se l effettiva variabile di ingresso w viene limitata al valore u M o u m dalla saturazione dovuta all attuatore. Quando questo accade, se l errore cambia segno e necessario attendere che lo stato w dell integratore torni ad assumere valori in modulo inferiori a u M prima che l attuatore riprenda ad operare in zona lineare, cioe si abbia w(t) = u(t). In altri termini bisogna attendere la scarica dell azione integrale. Il fenomeno descritto prende il nome di carica integrale o integral wind-up. Di conseguenza, i controllori che contengono un termine integrale provocano una sovraelongazione transitoria quando l attuatore satura se non si adottano opportuni accorgimenti. Vi sono diversi modi per evitare la saturazione del termine integrale. Per i controllori PID analogici è molto usato quello illustrato in Fig. 7. Il sistema ha una retroazione extra che è generata misurando l uscita dell attuatore e generando un segnale di errore e s, che risulta essere la differenza tra l uscita del controllore w(t) e l uscita dell attuatore u(t). Il segnale e s è allora retroazionato all ingresso dell integratore attraverso il guadagno 1/T t. Tale segnale sarà nullo quando la saturazione non si verifica, e questo garantisce che nel periodo di funzionamento lineare dell attuatore, il sistema di controllo opera normalmente. Quando l attuatore satura, il segnale e s è non nullo. La configurazione di retroazione principale, i.e. quella attorno al processo, si apre a causa del 12

14 Figura 7: Sistema di controlo con AW. fatto che l ingresso del processo e mantenuto costante, u(t) = u M. Durante questa fase, attraverso il guadagno 1/T t viene fatto variare il termine integrale in modo che l uscita w(t) del controllore sia uguale a quella u(t) dell attuatore. In altre parole, se l attuatore satura, l anello di controreazione forza il termine integrale a valori tali da far coincidere w(t) con u(t) prevenendo la crescita non controllata dell integratore stesso. La velocità con cui w(t) viene riportata ad u(t) è inversamente proporzionale a T t, costante di tempo di desaturazione. Durante il periodo di saturazione dell attuatore il sistema di desaturazione è un sistema a catena chiusa il cui schema a blocchi è riportato in Fig. 22 Il segnale u M è costante e e Kp T i u M e s 1 1 _ T t s P D w(t) Figura 8: Feedback di anti-windup costitutisce il segnale di riferimento. Gli altri segnali costituiscono dei disturbi che tendono a far variare il segnale w(t) e contro i quali agisce la catena di controreazione in modo tanto più efficace quanto minore è T t (elevato guadagno di anello). Dispositivi digitali di antisaturazione A partire dall espressione dinamica del controllore a due gradi di liberta nella variabile z: R(z)u(z) = T(z)r(z) S(z)y(z) (18) che schematicamente e rappresentata in Fig. 9, si vuole riscrivere l equazione del regolatore in modo che tenga conto del segnale saturato e risolvere cosi il problema del windup dell integratore. 13

15 r T(z) R(z) u S(z) R(z) y _ Figura 9: Schema del controllore a due gradi di liberta. Nel caso sia disponibile la misura della posizione dell attuatore o una sua stima basata su un semplice modello algebrico dell attuatore stesso, si puo ricorrerre alla soluzione descritta dalle equazioni { A0 (z)w(z) = T(z)r(z) S(z)y(z) (A 0 (z) R(z))u, u = sat(w), (19) dove A 0, e il polinomio di progetto nella variabile z, che verra scelto in modo opportuno con le radici nel cerchio unitario. Nel caso in cui il polinomio S(z) = T(z), tipico dei regolatori PID, (18) diventa e la soluzione antiwindup diventa u(z) = S(z) S(z) (r(z) y(z)) = e(z) (20) R(z) R(z) w(z) = S(z) A 0 (z) w(z) A 0(z) R(z) u(z) A 0 (z) Chiaramente A 0 deve essere scelto in modo tale che le funzioni di trasferimento S(z) A 0 (z) R(z) A 0 (z) siano proprie e asintoticamente stabili. A 0 (z) e r _ e q w S A 0 u P(s) y z A 0 R A 0 Figura 10: Schema del controllore con dispositivo anti-windup. Si osservi che se l attuatore opera in zona di linearita la funzione di trasferimento complessiva tra l errore e e il controllo u coincide con (20). Si supponga ora che l errore si mantenga di segno costante, ad esempio positivo, per un certo periodo di tempo. Se l errore varia lentamente, rispetto alla dinamica associata alle radici di A 0 (z), la variabile q tende ad assumere valori positivi. Se u e saturata, ad esempio al valore u M, poiche, il polinomio 14

16 A 0 e stato scelto in modo tale che la funzione A 0 R(z) A 0 (z) abbia guadagno unitario, anche la variabile z tende al valore costante u M con una dinamica anch essa funzione di A 0. Se poi e cambia segno, anche q assume segno negativo, e la variabile w = q z diventa inferiore al limite di saturazione u M, cioe il sistema torna a funzionare con comportamento lineare. Da questa analisi segue che il rientro in zona lineare di w dovuto al cambio di segno di e e tanto piu veloce quanto piu rapido e il transitorio dovuto alle radici di A 0 (z). Il regolatore PID, scritto in forma polinomiale (17), e della forma (18) con R(z) = (z 1)(z γ) = z 2 (γ 1)z γ, e S(z) = T(z) = q 0 z 2 q 1 z q 2 Percio, nel caso di progettazione di filtro anti-windup per un regolatore PID, si ha { A 0 w(z) = (q 0 z 2 q 1 z q 2 )e(z) [A 0 z 2 (γ 1)z γ]u(z), (21) Una scelta possibile di progetto e A 0 = z 2. Antitrasformando (21) con la scelta di A 0 si ottiene complessivamente { w(n) = q0 e(n) q 1 e(n 1) q 2 e(n 2) (1 γ)u(n 1) γu(n 2), u(n) = sat(w(n)), (22) Internal Model Control Un altro modo per affrontare il problema del windup e quello di ricorrere alla tecnica dell Internal Model Control (IMC), che verra qui presentata per sistema a tempo continuo, ma che puo essere applicata ai sistemi a tempo discreto senza alcuna perdita di generalita. Tale tecnica si basa sostanzialmente sulla rappresentazione del sistema mostrata nello schema in Fig. 11. r e w _ C(s) P(s) u y _ P(s) z Figura 11: Schema con Internal Model Control P(z) e una copia del processo P(z) che si suppone asintoticamente stabile. Se si calcola l errore e del sistema in Fig. 11, si ha: e = r (y P(w u)) = r Pu Pw Pu 15

17 che, sotto l ipotesi P = P diventa e = r Pw In pratica la soluzione adottata, che consiste nel progettare un controllore che abbia al suo interno una copia del sistema, e equivalente al sistema: u P(s) y r _ e w C(s) P(s) ỹ Figura 12: Blocco di saturazione portato fuori. in cui il blocco nonlineare di saturazione e stato portato fuori dall anello di controllo. Predittore di Smith Si vuole ora illustrare uno schema di controllo detto predittore di Smith (1957) che permette di affrontare problemi di sintesi per processi con ritardo rappresentati dalla funzione di trasferimento P (s) = P(s)e Tps L obiettivo consiste nel portare il ritardo fuori dalla controreazione, permettendo cosi di progettare il controllore solo sulla base di P(s). Si consideri lo schema generale di controllo a controreazione di Fig. 13 e lo si modifichi secondo lo schema di Fig. 14. r e u y y C(s) P(s) p e Tps _ Figura 13: Schema di controllo con ritardo. Si vuole scegliere P e (s) in modo tale che z coincida con y p (uscita non ritardata) e cioe che il parallelo tra P(s)e T p s e P e (s) coincida con P(s): P(s)e Tps P e (s) = P(s) P e (s) = (1 e Tps )P(s) 16

18 r e C w y p y _ e (s) P(s) e Tps P e (s) z Figura 14: Schema di controllo con predittore di Smith. Con questa scelta di P e (s) si ottiene il predittore di Smith. Definendo P(s) = N p (s)/d p (s) e C e (s) = N ce (s)/d ce (s) si possono rendere gli schemi di Fig. 13 e di Fig. 14 equivalenti con: C e (s) C(s) = 1 C e (s)p e (s) = N ce (s)d p (s) D ce (s)d p (s) N ce (s)n p (s) Nce(s)Np(s)e Tps Si noti che tra gli zeri di C(s) ci sono i poli del processo (radici di D p (s)) e quindi e opportuno richiedere la stabilita asintotica del processo. Il compensatore ottenuto risulta caratterizzato da una funzione di trasferimento non razionale per la presenza del termine e Tps a denominatore. Se il regolatore e digitale, l implementazione del ritardo finito non comporta problemi. Altrimenti potrebbe essere necessario usare un approssimante di Pade nell espressione implementata del controllore. Si noti che P e (0) = 0 e quindi a fronte di segnali di riferimento a gradino, a regime, l uscita y(t) e la variabile z(t) coincidono (cosi come e = r z e e = r y). Percio, per avere errore nullo a regime permanente, il compensatore C e (s) deve includere un azione integrale (polo in s = 0). Si osservi che posto F e (s) = C e(s)p(s) 1 C e (s)p(s) la funzione di trasferimento, nello schema predittore di Smith, tra il riferimento r(t) e l uscita y(t) si esprime come F(s) = C(s)P (s) 1 C(s)P (s) = C e (s)p (s) 1 C e (s)p e (s) C e (s)p (s) = F e(s)e Tps e quindi il ritardo e Tps compare come fattore nella F(s). Tutte le considerazioni precedenti hanno come ipotesi fondamentale la perfetta conoscenza sia di P(s) che del del ritardo T p. Funzionamento Manuale/Automatico Il controllore è stato considerato sempre inserito nella catena di controllo; questo tipo di funzionamento è detto automatico e corrisponde al modo di funzionamento normale. Per 17

19 la messa a servizio del sistema, per la ricerca dei guasti e manutenzione, è necessario poter far funzionare il controllore in funzionamento manuale. Ciò significa che viene variata manualmente l uscita del controllore, ed, in questo caso, viene aperto l anello di controllo. Nei controllori standard PID commerciali è previsto un commutatore A/M che permette di passare da un modo di funzionamento all altro. In generale, quindi, oltre al controllore vero e proprio, vi è anche una Unità per il Cantrollo Manuale (UCM) che genera direttamente il segnale di comando all attuatore. Nella commutazione, ad esempio A M, se il valore dell uscita di UCM è in generale diverso da quello fornito dal controllore, ne risulterebbe una brusca variazione del segnale di comando all attuatore. Ciò si verifica anche nel caso apposto M A. Per evitare questo brusca variazione (bump) è necessario provvedere al bilanciamento (o allineamento) di UCM e del controllore in modo che ciascuno abbia in uscita lo stesso valore al momento della commutazione, in tal caso si parla di bumpless transfer. Per realizzare ciò è necessario che in funzionamento automatico l uscita della UCM segua l uscita del controllore e, viceversa, che in funzionamento M, l uscita del controllore sia forzata a seguire quella manuale. Fondamentalmente, poiché il regolatore PID è un sistema dinamico, bisogna preoccuparsi che lo stato del sistema sia quello giusto quando si commuta di modalità. Una commutazione bumpless è semplice da ottenere per un regolatore scritto in forma incrementale, come mostrato in Fig. 15. Figura 15: Quando il commutatore A/M si trova in A e l attuatore non è saturato, il segnale e s è nullo e il controllore PID opera normalmente. Per quanto riguarda UCM, essa è costituita da un sistema a controreazione, del tutto analogo a quello impiegato per la desaturazione dell azione integrale. Il segnale u costituisce il riferimento e l uscita v m dell integratore viene forzata ad inseguire u che, a sua volta, coincide con v a. Al momento della commutazione in manuale A/M si ha, quindi, il perfetto bilanciamento di UCM con il controllore, cioè v m = v a e bumpless transfer. In funzionamento manuale e con attuatore non in saturazione, risulta che v m = v per cui 18

20 l uscita del blocco 1/Tr è nulla e l integratore della UCM può essere fatto variare a rampa mediante i pulsanti indicati in figura (uno per aumentare ed uno per diminuire il segnale di uscita). Per quanto riguarda il controllore, il segnale e, attraverso il blocco 1/T t agisce sull integratore forzando l uscita del controllore a divenire uguale all uscita dell attuatore. I segnali che derivano dai termini P e D e dall errore e compaiono come disturbi nell anello di controllo di bilanciamento che, quindi può essere ottenuto solo se 1/Tr è sufficientemente elevato. L uscita del controllore va insegue costantemente l uscita vm per cui, al momento della commutazione in automatico M/A si avrà il bilanciamento v m = v a. Si noti che lo schema impiegato, che utilizza l uscita dell attuatore, realizza anche la desaturaziane sia del termine integrale del controllare e sia dell integrale di UCM Commutazione A/M nei controllori digitali Nei controllori digitali la commutazione A M ed M A viene realizzata con la stessa tecnica impiegata nei contrallori analogici, come illustrato in Fig.??: I blocchi di figura Figura 16:. sono subroutine diverse che vengano attivate in dipendenza della posizione del commutatore rilevata, come lo stato dei pulsanti della routine principale. In un controllore digitale, la commutazione da funzionamento automatica a quello manuale (A/M) non comporta alcuna brusca variazione dell uscita u(t), dato che viene mantenuto il valore di u(k) nel registro dal DAC, successivamente incrementato, o diminuito, di una quantità molto piccola e costante, ad ogni istante di campionamento. Per quanto riguarda la commutazione inversa, cioè da manuale ad automatico, negli algoritmi assoluti è possibile sfruttare la capacità logica di un sistema digitale, ad esempio, forzando le variabili di stato dell algoritmo in modo da allineare l uscita con quella impostata manualmente quando si procede alla commutazione M A. La commutazione M A è intrinsecamente senza brusche variazioni nel caso di algoritmi incrementali, infatti, la grandezza di uscita è lo stato di un integratore (ad esempio 19

21 la posizione di un motore a passo) che non può quindi variare bruscamente. Le tecniche di commutazione M A bumpless sopra illustrate sano valide solo per regolatori, analogici o digitali, che contengono un azione integrale, ed è infatti lo stato dell integratore che può essere forzato in modo da ottenere l allineamento. Nel caso di algoritmi P o PD, si può prevedere la generazione di una rampa lineare che porti con gradualità l uscita dal valore in manuale a quello di uscita dall algoritmo. Esercizio Sia dato il processo G(s) = per il quale e stato progettato il regolatore PI dove K p = 1.4 e T i = 1/6. C(s) = 1.4 s 6 s 45 (s 9)(s 5) = 1.4(1 6 s ) 1. Si discretizzi, con il metodo di Tustin, il regolatore C(s) con un tempo di campionamento T s = Verificare in simulazione che il segnale di controllo non superi i valori [ 1.5, 1.5]. In caso contrario progettare una soluzione anti-windup. Soluzione 1. Il metodo di discretizzazione Tustin prevede l uso della trasformazione Si ha s = 2 T s z 1 z 1 ( C(z) = ) s s= 2 z 1 Ts z1 ( ) z(2 6Ts ) 2 6T s = 1.4 2(z 1) 2.42z 1.6 = 0.7 z 1 2. Simulando il sistema a ciclo chiuso con il regolatore discretizzato si ottiene il segnale di controllo di Fig.17. Poiche tale segnale non si mantiene entro il range [ 1.5, 1.5], l attuatore andra in saturazione (curva in magenta in Fig.18) e per limitarne gli effetti negativi che si avranno sull uscita controllata si vuole progettare un dispositivo antiwindup. 20

22 Come e stato visto a lezione si sceglie il polinomio A 0 monico e con tutte le radici nel cerchio unitario e tale che le funzioni di trasferimento S A o e Ao R R siano proprie. Una possibile scelta e A 0 = z, con cui si ottiene w(z) = ( z 1 )e(z) z 1 u(z) Complessivamente il compensatore con la soluzione anti-windup e : { w(k) = 1.69e(k) 1.12e(k 1) u(k 1) u(k) = sat(w(k)) L effetto della compensazione anti-windup si vede nelle simulazioni riportate in Fig. 19 e in Fig. 20. Da quest ultima si osserva come l uscita del sistema con AW presenta un minor overshoot e un minore settling time rispetto alla situazione senza anti-windup. Figura 17: Segnale di controllo del sistema a ciclo chiuso. 21

23 Figura 18: Segnali di controllo in ingresso (giallo) e in uscita (magenta) dal blocco di saturazione. Figura 19: Segnale di controllo saturato e non saturato nella configurazione con anti-windup. 22

Sistemi di controllo industriali

Sistemi di controllo industriali Sistemi di controllo industriali Regolatori PID: funzionamento e taratura Modello, funzionamento e realizzazione pratica Metodi di taratura in anello chiuso Metodi di taratura in anello aperto Un esempio

Dettagli

CONTROLLORI STANDARD PID. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Controllori Standard PID

CONTROLLORI STANDARD PID. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Controllori Standard PID ONTROLLORI STANDARD PID Guido Vagliasindi ontrolli Automatici A.A. 6/7 ontrollori Standard PID MODELLO DEI REGOLATORI PID Tra le ragioni del vastissimo utilizzo dei regolatori PID nella pratica dell automazione

Dettagli

Spiegare brevemente il principale beneficio del controllo in cascata (per sistemi a fase non minima).

Spiegare brevemente il principale beneficio del controllo in cascata (per sistemi a fase non minima). Spiegare brevemente il principale beneficio del controllo in cascata (per sistemi a fase non minima). Il controllo in cascata si usa per migliorare la risposta al setpoint, e soprattutto al disturbo di

Dettagli

L idea alla base del PID èdi avere un architettura standard per il controllo di processo

L idea alla base del PID èdi avere un architettura standard per il controllo di processo CONTROLLORI PID PID L idea alla base del PID èdi avere un architettura standard per il controllo di processo Può essere applicato ai più svariati ambiti, dal controllo di una portata di fluido alla regolazione

Dettagli

Controllori PID, metodi di taratura e problemi d implementazione

Controllori PID, metodi di taratura e problemi d implementazione Controllori PID, metodi di taratura e problemi d implementazione Prof. Luigi Glielmo Università del Sannio L. Glielmo 1 / 23 Contenuto della presentazione Controllori PID Metodi di taratura in anello aperto

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 9- p. /3 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri,

Dettagli

Orlando Allocca Regolatori standard

Orlando Allocca Regolatori standard A09 159 Orlando Allocca Regolatori standard Copyright MMXII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-4882-7

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

REGOLATORI STANDARD PID

REGOLATORI STANDARD PID CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm REGOLATORI STANDARD PID Ing. Federica Grossi Tel. 059 2056333 e-mail: federica.grossi@unimore.it

Dettagli

REGOLATORI STANDARD PID

REGOLATORI STANDARD PID SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/sistemicontrollo.html Regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo - PID Tre azioni di combinate

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Il controllo di sistemi ad avanzamento temporale si basa sulle tecniche di controllo in retroazione, ovvero, elabora le informazione sullo stato del processo (provenienti dai sensori) in modo sa inviare

Dettagli

REGOLATORI PID: TECNICHE DI SINTESI E PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE

REGOLATORI PID: TECNICHE DI SINTESI E PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE REGOLATORI PID: TECNICHE DI SINTESI E PROBLEMATICHE IMPLEMENTATIVE PID: DESIGN TECHNIQUES AND IMPLEMENTATION ISSUES Relatore: Laureando: Prof.ssa Maria Elena Valcher Davide Meneghel Corso di Laurea in

Dettagli

Proprieta` dei sistemi in retroazione

Proprieta` dei sistemi in retroazione Proprieta` dei sistemi in retroazione Specifiche di controllo: errore a regime in risposta a disturbi costanti errore di inseguimento a regime quando il segnale di riferimento e` di tipo polinomiale sensibilita`

Dettagli

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo:

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo: .5 Stabilità dei sistemi dinamici 9 Risulta: 3 ( s(s + 4).5 Stabilità dei sistemi dinamici Si è visto come un sistema fisico può essere descritto tramite equazioni differenziali o attraverso una funzione

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

REGOLATORI STANDARD PID

REGOLATORI STANDARD PID CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale REGOLATORI STANDARD PID Ing. Luigi Biagiotti Tel. 5 29334 / 5 29368 e-mail: lbiagiotti@deis.unibo.it http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

Dettagli

Prestazioni dei sistemi in retroazione

Prestazioni dei sistemi in retroazione Prestazioni dei sistemi in retroazione (ver..2). Sensitività e sensitività complementare Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig... Vogliamo determinare quanto è sensibile il sistema in anello

Dettagli

Capitolo 7 Analisi di Sistemi a Dati Campionati

Capitolo 7 Analisi di Sistemi a Dati Campionati Capitolo 7 Analisi di Sistemi a Dati Campionati Un sistema di controllo digitale è costituito da elementi a tempo continuo (il processo da controllare, l attuatore, il trasduttore analogico, il filtro

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso

PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso Prof. Bruno Picasso LEZIONI: Introduzione al corso. Introduzione ai sistemi dinamici. I sistemi dinamici come sistemi di equazioni differenziali; variabili

Dettagli

FEDELTÀ DELLA RISPOSTA DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE: ANALISI DELLA PRECISIONE IN REGIME PERMANENTE

FEDELTÀ DELLA RISPOSTA DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE: ANALISI DELLA PRECISIONE IN REGIME PERMANENTE FEDELTÀ DELLA RISPOSTA DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN RETROAZIONE: ANALISI DELLA PRECISIONE IN REGIME PERMANENTE Nello studio dei sistemi di controllo in retroazione spesso si richiede che l uscita segua

Dettagli

REGOLATORI STANDARD O PID

REGOLATORI STANDARD O PID REGOLATORI STANDARD O ID Consideriamo il classico esempio di compensazione in cascata riportato in figura, comprendente il plant o sistema controllato con funzione di trasferimento G (s), il regolatore

Dettagli

Controlli Automatici prof. M. Indri Sistemi di controllo digitali

Controlli Automatici prof. M. Indri Sistemi di controllo digitali Controlli Automatici prof. M. Indri Sistemi di controllo digitali Schema di controllo base r(t) + e(t) {e k } {u k } u(t) Campionatore (A/D) Controllore digitale Ricostruttore (D/A) Sistema (tempo cont.)

Dettagli

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO Sono stati trattati gli elementi base per l'analisi e il dimensionamento dei sistemi di controllo nei processi continui. E' quindi importante:

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Obiettivo: analisi e sintesi dei sistemi di controllo in retroazione in cui è presente un calcolatore digitale Il controllo digitale è ampiamente usato, grazie alla diffusione di microprocessori e microcalcolatori,

Dettagli

Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche:

Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche: 3. Specifiche dei Sistemi Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche: nel dominio del tempo (tempo di salita, tempo di assestamento, sovraelongazione, ecc.); nel dominio della

Dettagli

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

L ERRORE A REGIME NELLE CATENE DI REGOLAZIONE E CONTROLLO

L ERRORE A REGIME NELLE CATENE DI REGOLAZIONE E CONTROLLO L ERRORE A REGIME NELLE CATENE DI REGOLAZIONE E CONTROLLO Per errore a regime si intende quello rilevato dopo un intervallo sufficientemente lungo dal verificarsi di variazioni del riferimento o da eventuali

Dettagli

CORSO di AUTOMAZIONE INDUSTRIALE

CORSO di AUTOMAZIONE INDUSTRIALE CORSO di AUTOMAZIONE INDUSTRIALE (cod. 8469) APPELLO del 10 Novembre 2010 Prof. Emanuele Carpanzano Soluzioni Esercizio 1 (Domande generali) 1.a) Controllo Modulante Tracciare qualitativamente la risposta

Dettagli

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Sistemi di controllo (già analizzati) Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza) C(s) controllore analogico impianto attuatori

Dettagli

13-1 SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE. y(t) TMP. y k. Trasduttore. Schema di base di un sistema di controllo digitale

13-1 SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE. y(t) TMP. y k. Trasduttore. Schema di base di un sistema di controllo digitale SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE + e k u k u(t) r k C D/A P y k TMP A/D Trasduttore y(t) Schema di base di un sistema di controllo digitale A/D: convertitore analogico digitale C: controllore digitale

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici

Prova scritta di Controlli Automatici Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare

Dettagli

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Controlli Automatici - A.A. 1/11 Ingegneria Gestionale 13 Settembre 11 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: robustezza e prestazioni Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Regolatori PID Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Regolatori PID CENNI STORICI

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/45 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri

Dettagli

Comportamento a regime dei sistemi di controllo in retroazione Appunti di Controlli Automatici

Comportamento a regime dei sistemi di controllo in retroazione Appunti di Controlli Automatici Comportamento a regime dei sistemi di controllo in retroazione Appunti di Controlli Automatici Versione 1.0 Ing. Alessandro Pisano SOMMARIO Introduzione 3 1. Stabilità a ciclo chiuso e teorema del valore

Dettagli

Modellazione e Analisi di Reti Elettriche

Modellazione e Analisi di Reti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Davide Giglio Introduzione alle eti Elettriche e reti elettriche costituite da resistori, condensatori e induttori (bipoli),

Dettagli

LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO

LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO MOD. 1 Sistemi di controllo e di regolazione. Si tratta di un ripasso di una parte di argomenti effettuati l anno scorso. Introduzione. Schemi a blocchi di

Dettagli

ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE

ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO

Dettagli

Controllo di velocità angolare di un motore in CC

Controllo di velocità angolare di un motore in CC Controllo di velocità angolare di un motore in CC Descrizione generale Il processo è composto da un motore in corrente continua, un sistema di riduzione, una dinamo tachimetrica ed un sistema di visualizzazione.

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Università degli studi di Salerno. Project Work svolto da Federico Fabbricatore matr. 0612200629. Traccia

Università degli studi di Salerno. Project Work svolto da Federico Fabbricatore matr. 0612200629. Traccia Università degli studi di Salerno Project Work svolto da Federico Fabbricatore matr. 0612200629 Traccia SINGLE LOOP CUSTOM PROCESS con Process Model = Disturbance Model 1. adotta un controllore PID ideale

Dettagli

Principi di Automazione e Controllo

Principi di Automazione e Controllo Principi di Automazione e Controllo Ing. Fabio Piedimonte Corso IFTS per Tecnico Superiore di Produzione Ver 1.0 Indice 1 Introduzione al problema dell automazione 4 1.1 I processi..................................

Dettagli

Appendice Circuiti con amplificatori operazionali

Appendice Circuiti con amplificatori operazionali Appendice Circuiti con amplificatori operazionali - Appendice Circuiti con amplificatori operazionali - L amplificatore operazionale Il componente ideale L amplificatore operazionale è un dispositivo che

Dettagli

Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta. La trasformata di Laplace

Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta. La trasformata di Laplace Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta La trasformata di Laplace ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI CLASSE QUINTA A INFORMATICA INDICE Segnali canonici Trasformata di Laplace Teoremi sulla trasformata

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

Sistema dinamico a tempo continuo

Sistema dinamico a tempo continuo Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Cap. 2 ELEMENTI DI MECCATRONICA

Cap. 2 ELEMENTI DI MECCATRONICA Cap. 2 ELEMENTI DI MECCATRONICA 2.1 La meccatronica 2.2 Componenti di un azionamento elettromeccanico 2.3 Accoppiamento motore-carico 2.4 Regolazione di un azionamento Corso di Meccanica Applicata alle

Dettagli

Introduzione. Classificazione delle non linearità

Introduzione. Classificazione delle non linearità Introduzione Accade spesso di dover studiare un sistema di controllo in cui sono presenti sottosistemi non lineari. Alcuni di tali sottosistemi sono descritti da equazioni differenziali non lineari, ad

Dettagli

LABORATORY OF AUTOMATION SYSTEMS ADAPTIVE CONTROLLERS

LABORATORY OF AUTOMATION SYSTEMS ADAPTIVE CONTROLLERS Laboratory of Automation Systems p. 1/46 LABORATORY OF AUTOMATION SYSTEMS ADAPTIVE CONTROLLERS Prof. Claudio Bonivento CASY-DEIS, University of Bologna claudio.bonivento@unibo.it Laboratory of Automation

Dettagli

Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva.

Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva. 2. Stabilità Uno dei requisiti più importanti richiesti ad un sistema di controllo è la stabilità, ossia la capacita del. sistema di raggiungere un stato di equilibrio dopo la fase di regolazione. Per

Dettagli

Introduzione. Ing. Gianmaria De Tommasi A.A. 2008/09. Controllo Digitale. Introduzione. Sommario. Informazioni sul corso.

Introduzione. Ing. Gianmaria De Tommasi A.A. 2008/09. Controllo Digitale. Introduzione. Sommario. Informazioni sul corso. Controllo Ing. Gianmaria De Tommasi A.A. 2008/09 1 2 di un sistema di controllo digitale Segnali tempo continuo e segnali tempo discreto Metodologie di progetto di sistemi di controllo digitali Alcune

Dettagli

ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA

ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE L. EINAUDI ALBA ISTITUTO D ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA CLASSE 5H Docenti: Raviola Giovanni Moreni Riccardo Disciplina: Sistemi elettronici automatici PROGETTAZIONE DIDATTICA ANNUALE COMPETENZE FINALI Al termine

Dettagli

IL SAMPLE AND HOLD UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO. Progetto di Fondamenti di Automatica. PROF.: M. Lazzaroni

IL SAMPLE AND HOLD UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO. Progetto di Fondamenti di Automatica. PROF.: M. Lazzaroni UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Informatica IL SAMPLE AND HOLD Progetto di Fondamenti di Automatica PROF.: M. Lazzaroni Anno Accademico

Dettagli

Progetto di un sistema di controllo nel dominio della frequenza

Progetto di un sistema di controllo nel dominio della frequenza Contents Progetto di un sistema di controllo nel dominio della frequenza 3. Le specifiche del progetto nel dominio della frequenza......... 3.2 Sintesi del controllore........................... 6.3 Determinazione

Dettagli

Applicazioni dell amplificatore operazionale

Applicazioni dell amplificatore operazionale Capitolo 10 Applicazioni dell amplificatore operazionale Molte applicazioni dell amplificatore operazionale si basano su circuiti che sono derivati da quello dell amplificatore non invertente di fig. 9.5

Dettagli

Fondamenti di Automatica - I Parte Il progetto del controllore

Fondamenti di Automatica - I Parte Il progetto del controllore Fondamenti di Automatica - I Parte Il progetto del controllore Antonio Bicchi, Giordano Greco Università di Pisa 1 INDICE 2 Indice 1 Introduzione 3 2 Approssimazioni della f.d.t. in anello chiuso 5 3 Metodi

Dettagli

LUOGO DELLE RADICI. G(s) H(s) 1+KG(s)H(s)=0

LUOGO DELLE RADICI. G(s) H(s) 1+KG(s)H(s)=0 LUOGO DELLE RADICI Il progetto accurato di un sistema di controllo richiede la conoscenza dei poli del sistema in anello chiuso e dell influenza che su di essi hanno le variazioni dei più importanti parametri

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Controllo a Retroazione della velocità di un veicolo

Controllo a Retroazione della velocità di un veicolo Facoltà di Ingegneria Corso di Studi in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Controlli Automatici Controllo a Retroazione della velocità di un veicolo Anno Accademico 2011/2012 Candidato: Marco Ferro

Dettagli

Controllo di motori in corrente continua. A cura di: Ing. Massimo Cefalo Ing. Fabio Zonfrilli

Controllo di motori in corrente continua. A cura di: Ing. Massimo Cefalo Ing. Fabio Zonfrilli Controllo di motori in corrente continua A cura di: Ing. Massimo Cefalo Ing. Fabio Zonfrilli Sistema di Controllo d rif - C(s) P(s) y T(s) n C(s) P(s) Controllore Sistema d n Disturbo Rumore T(s) Trasduttore

Dettagli

MESSA IN SCALA DI ALGORITMI DIGITALI

MESSA IN SCALA DI ALGORITMI DIGITALI Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica MESSA IN SCALA DI ALGORITMI DIGITALI Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio

Dettagli

6 Cenni sulla dinamica dei motori in corrente continua

6 Cenni sulla dinamica dei motori in corrente continua 6 Cenni sulla dinamica dei motori in corrente continua L insieme di equazioni riportato di seguito, costituisce un modello matematico per il motore in corrente continua (CC) che può essere rappresentato

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Progetto di controllo e reti correttrici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Caratteristiche dinamiche e criteri di messa a punto dei regolatori P.I.D. NOTE TECNICHE 06-02 - 1998. RigaSoft

Caratteristiche dinamiche e criteri di messa a punto dei regolatori P.I.D. NOTE TECNICHE 06-02 - 1998. RigaSoft aratteristiche dinamiche e criteri di messa a punto dei regolatori P.I.D. NOTE TENIHE 06-02 - 1998 RigaSoft 2 >

Dettagli

Criteri di stabilità (ver. 1.2)

Criteri di stabilità (ver. 1.2) Criteri di stabilità (ver. 1.2) 1 1.1 Il concetto di stabilità Il concetto di stabilità è piuttosto generale e può essere definito in diversi contesti. Per i problemi di interesse nell area dei controlli

Dettagli

Retroazione In lavorazione

Retroazione In lavorazione Retroazione 1 In lavorazione. Retroazione - introduzione La reazione negativa (o retroazione), consiste sostanzialmente nel confrontare il segnale di uscita e quello di ingresso di un dispositivo / circuito,

Dettagli

Il luogo delle radici (ver. 1.0)

Il luogo delle radici (ver. 1.0) Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Funzioni di trasferimento

Dettagli

Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4

Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 2 Aprile 26 Sia dato il sistema di controllo a controreazione di Fig. 1, in cui il processo ha funzione di trasferimento P (s) = 1 (1 +.1s)(1 +.1s).

Dettagli

Elettronica dei Sistemi Digitali Algoritmi di channel routing per standard cells; verifica progettuale

Elettronica dei Sistemi Digitali Algoritmi di channel routing per standard cells; verifica progettuale Elettronica dei Sistemi Digitali Algoritmi di channel routing per standard cells; verifica progettuale Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei

Dettagli

CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale CONTROLLO IN RETROAZIONE

CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale CONTROLLO IN RETROAZIONE CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale CONTROLLO IN RETROAZIONE Ing. Luigi Biagiotti Tel. 5 29334 / 5 29368 e-mail: lbiagiotti@deis.unibo.it http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

Dettagli

GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI

GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI SISTEMA NAZIONALE PER L'ACCREDITAMENTO DI LABORATORI DT-000 GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI INDICE parte sezione pagina 1. INTRODUZIONE. FONDAMENTI.1. Misurando,

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

7. Trasformata di Laplace

7. Trasformata di Laplace 7. Trasformata di Laplace Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Trasformata di Fourier e segnali causali In questa lezione ci occuperemo principalmente di segnali causali: Definizione 7.1 (Segnali causali)

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi

Dettagli

CAPITOLO 8 PROCESSO DI IDENTIFICAZIONE E COMPENSAZIONE DELL ATTRITO INTRODUZIONE 8.1 IL PROBLEMA DEL CONTROLLO

CAPITOLO 8 PROCESSO DI IDENTIFICAZIONE E COMPENSAZIONE DELL ATTRITO INTRODUZIONE 8.1 IL PROBLEMA DEL CONTROLLO 80 CAPITOLO 8 PROCESSO DI IDENTIFICAZIONE E COMPENSAZIONE DELL ATTRITO INTRODUZIONE In questo capitolo è descritto un metodo teorico per l identificazione dell attrito, attraverso l impiego della normale

Dettagli

L'automazione nei processi industriali

L'automazione nei processi industriali L'automazione nei processi industriali Un processo industriale è l insieme delle operazioni che concorrono a trasformare le caratteristiche e le proprietà di materiali, tipi di energia e/o informazioni

Dettagli

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE Specializzazioni: Elettronica e Telecomunicazioni Elettrotecnica - Informatica Modesto Panetti

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE Specializzazioni: Elettronica e Telecomunicazioni Elettrotecnica - Informatica Modesto Panetti ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE Specializzazioni: Elettronica e Telecomunicazioni Elettrotecnica - Informatica Modesto Panetti BARI Via Re David 186 - Tel : 080/5425512 080/5560840 Anno Scolastico : 2009/2010

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa

Dettagli

Electrical motor Test-bed

Electrical motor Test-bed EM_Test_bed Page 1 of 10 Electrical motor Test-bed 1. INTERFACCIA SIMULINK... 2 1.1. GUI CRUSCOTTO BANCO MOTORE... 2 1.2. GUIDE... 3 1.3. GUI PARAMETRI MOTORE... 3 1.4. GUI VISUALIZZAZIONE MODELLO 3D MOTORE...

Dettagli

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro Segnali e Sistemi Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici Gianni Borghesan e Giovanni Marro Indice Introduzione 2. Notazione............................. 2 2 Classificazione

Dettagli

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione 0.0. 3.2 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi

Dettagli

FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI

FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI Guida alla soluzione degli esercizi d esame Dott. Ing. Marcello Bonfè Esercizi sulla scomposizione di modelli nello spazio degli stati: Gli esercizi nei

Dettagli

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

Rappresentazione grafica di un sistema retroazionato

Rappresentazione grafica di un sistema retroazionato appresentazione grafica di un sistema retroazionato La f.d.t. di un.o. ha generalmente alcune decine di poli Il costruttore compensa il dispositivo in maniera da dotarlo di un singolo polo (polo dominante).

Dettagli

Esercizi in MATLAB-SIMULINK

Esercizi in MATLAB-SIMULINK Appendice A Esercizi in MATLAB-SIMULINK A.1 Implementazione del modello e del controllo di un motore elettrico a corrente continua A.1.1 Equazioni del modello Equazioni nel dominio del tempo descrittive

Dettagli

Dinamica di sistemi controllati in retroazione. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Impianti Chimici Politecnico di Milano

Dinamica di sistemi controllati in retroazione. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Impianti Chimici Politecnico di Milano L5 Dinamica di sistemi controllati in retroazione Davide Manca Strumentazione e Controllo di Impianti Chimici Politecnico di Milano L5 Tipologie di problemi di controllo Esistono due tipologie distinte

Dettagli

Strumentazione e Controllo dei Processi Chimici I : Introduzione ai Sistemi di Controllo

Strumentazione e Controllo dei Processi Chimici I : Introduzione ai Sistemi di Controllo Strumentazione e Controllo dei Processi Chimici I : Introduzione ai Sistemi di Controllo Claudio Scali Laboratorio di Controllo dei Processi Chimici (CPCLab) Dipartimento di Ingegneria Chimica (DICCISM)

Dettagli