Regolatori PID. Corso di Controllo Digitale. a cura di Simona Onori

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1 Regolatori PID Corso di Controllo Digitale a cura di Simona Onori Novembre 2005

2 Introduzione I regolatori lineari più usati in ambito industriale sono certamente i PID, o regolatori ad azione Proporzionale, Integrale, Derivativa. Le ragioni del loro successo sono varie: - prima di tutto il loro impiego consente di controllare in modo soddisfacente un ampia gamma di processi; - in secondo luogo, negli anni sono state sviluppate e largamente utilizzate semplici regole per la loro taratura automatica, applicabili con buoni risultati anche nel caso in cui non sia disponibile un modello matematico preciso del sistema sotto controllo; - inoltre, per la loro semplicità, i PID possono essere realizzati con le tecnologie più varie: meccaniche, pneumatiche, idrauliche, elettroniche analogiche e digitali. Questo implica una grande disponibilità commerciale, che permette la realizzazione, anche con costi contenuti, di schemi di controllo complessi. Modello dei regolatori PID analogici Tradizionalmente la struttura dei PID viene introdotta in base a considerazioni empiriche secondo le quali è opportuno che la variabile di controllo u sia generata come la somma di tre contributi. L andamento nel tempo della variabile di controllo u(t) è ( u(t) = K p e(t) 1 t T i o ) de(t) e(τ)dτ T d dt dove, indicato con y l uscita misurata del processo, e r la variabile di riferimento, e = r y e segnale di errore. Il regolatore PID è caratterizzato dalla costante K p, detta coefficiente dell azione proporzionale, e da T d e T i che sono rispettivamente la costante di tempo dell azione derivativa e la costante di tempo dell azione integrale (o tempo di reset), misurate in minuti (o in secondi). Il primo termine di (1) è proporzionale all errore e tra il segnale di riferimento r e la variabile controllata y. Il secondo è proporzionale all integrale dell errore e, ed è richiesto per imporre che l errore si annulli asintoticamente a fronte di segnali di riferimento o disturbi costanti. Infine il terzo contributo, proporzionale alla derivata di e, ha lo scopo di tentare di anticipare l andamento dell errore negli istanti futuri: se ad esempio la derivata dell errore è positiva, si aumenterà u, tramite l azione derivativa, per provocare un aumento di y e quindi una diminuzione di e 1. 1 Tramite l azione derivativa, si introduce uno zero nella funzione di trasferimento del regolatore PID, che, generando un anticipo di fase, produce una maggiore prontezza del sistema di controllo (1) 1

3 u u 10 V 10 V 0.1 V 0.1 V banda proporzionale 0.1 V 10 V error banda proporzionale 0.1 V 10 V error Figura 1: banda proporzionale Nel dominio di Laplace, l espressione del regolatore PID analogico ideale diventa: ( U(s) = K p 1 1 ) T i s st d E(s) (2) Tale funzione, essendo impropria, non e fisicamente realizzabile, a causa della presenza del termine derivativo. Banda proporzionale I parametri che caratterizzano i regolatori PID sono, le costanti K p, T d e T i. Per via della standardizzazione dei regolatori PID, nell applicazione pratica si usa far riferimento alla Banda Proporzionale, invece che al coefficiente dell azione proporzionale, per caratterizzare il funzionamento del PID. Per capire che cosa si intende per Banda Proporzionale si consideri il legame tra ingresso ed uscita di un regolatore puramente proporzionale Definizione 1 Si definisce Banda Proporzionale B p, espressa in percentuale, la variazione dell ingresso (in percento al suo campo di variazione) che comporta la variazione del 100% dell uscita. Se i segnali di ingresso e di uscita sono della stessa natura fisica e variano entro lo stesso campo di valori (ad esempio V), il guadagno K p è dato da; K p = 100 B p Nel primo grafico Figura 1 si ha una Banda Proporzionale B p = 50%, da cui K p = 2, mentre nel secondo grafico si osserva B p = 25% quindi K p = 4. L azione proporzionale dei regolatori PID viene impostata dall operatore variando la banda proporzionale, in modo manuale, oppure via software per i regolatori digitali. 2

4 La banda proporzionale è espressa normalmente in frazione percentuale dell intervallo di funzionamento dello strumento: all interno della banda proporzionale la potenza in uscita sarà proporzionale all errore, all esterno di questa banda la potenza sara la massima oppure zero. Riducendo la banda proporzionale (i.e. aumentando il guadagno) l accuratezza del controllore migliora, visto che basta un errore più piccolo per avere una data modifica della potenza in uscita. Filtraggio dei rumori ad alte frequenze: PID reale Bisogna osservare che la funzione di trasferimento (2) non e fisicamente realizzabile a causa dell azione derivativa, che causa una ampia amplificazione dei rumori di misura. L azione derivativa e necessaria fino ad una certa frequenza, oltre la quale e conveniente che vi sia attenuazione per filtrare il rumore fuori dalla banda di regolazione. Per queste ragioni, il termine derivativo e implementato come: K p st d K pst d 1 st d /N (3) con valori tipici di N da 5 a 20 per posizionare il polo all esterno della banda di interesse. L approssimazione (3) puo essere interpretata come il termine derivativo ideale st d filtrato da un sistema del primo ordine con costante di tempo T d /N. In pratica, tale approssimazione si comporta come una derivata per segnali a bassa frequenza. Il guadagno ad alta frequenza risulta essere limitato al valore KN. La struttura del regolatore PID reale è data da: ( U(s) = K p 1 1 ) T i s st d E(s) (4) 1 st d /N Configurazioni dei regolatori PID Oltre alla configurazione classica del regolatore PID che prevede di considerare le tre azioni, proporzionali, integrale, derivativa, agenti direttamente sulla variabile d errore, come mostrato in Figura 2, si possono realizzare altre configurazioni dei PID, volte a migliorare le prestazioni del sistema di controllo. Un incoveniente della realizzazione classica, è quello che la derivazione è effettuata direttamente sull errore e; in questo caso, in presenza di uno scalino del segnale di riferimento r, l uscita del derivatore, e di conseguenza la variabile di controllo u, hanno un andamento di tipo impulsivo. Questa brusca variazione può provocare la saturazione dell attuatore e l allontanamento del sistema dalla zona di linearità, con riferimento alla quale normalmente si progetta il regolatore. Per queste ragioni frequentemente l azione derivativa è esercitata sulla sola variabile di uscita y, come mostrato in Fig. 3 Poichè y è l uscita di un sistema che usualmente ha le caratteristiche di un filtro passa basso, le sue variazioni istantanee (e quindi 3

5 K p r y _ K p T i s u K pst d Figura 2: PID con derivazione dell uscita r _ y K p K p T i s _ u K pst d Figura 3: Configurazione PI-D la sua derivata) sono in genere contenute e la presenza dell azione derivativa non provoca l andamento impulsivo di u. Un ultima configurazione possibile dei regolatori PID prevede lo spostamente anche dell azione proporzionale sulla variabile controllata y, in accordo allo schema a blocchi in Fig. 4 r _ K p T i s _ u K p K pst d y Figura 4: Configurazione I-PD Anche in questo caso l obiettivo è quello di rendere meno brusche le variazioni della variabile di controllo a fronte di sollecitazioni dovute a rapide variazioni del segnale di riferimento. Nel caso di regolatori digitali, le diverse configurazioni implementative del regolatore PID rimangono valide e i singolo blocchi, e.g. P, PD, PI, ecc., possono essere realizzati mediante le tecniche di discretizzazione che verranno presentate nella prossima sezione. 4

6 Regolatori PID digitali Molto spesso si ha a che fare con sistemi di controllo realizzati mediante calcolatori, capaci di elaborare solo grandezze discrete. Si richiede allora la conseguente discretizzazione della funzione di trasferimento PID analogica nella forma (1) o (2). Nella sintesi dei regolatori digitali e presente ovviamante un parametro ulteriore, ossia il periodo di campionamento T s, il cui valore deve essere scelto con opportuna cura a seconda del sistema in esame. Richiami sui metodi di discretizzazione L algoritmo digitale che realizza l azione PID, come già detto, è ottenuto mediante discretizzazione della funzione di trasferimento dei regolatori PID continui. I vari algoritmi che si ottengono differiscono tra loro per il diverso metodo di discretizzazione usato, ma tendono tutti a comportarsi come quello analogico da cui derivano, all aumentare della frequenza di campionamento. Si preferisce discretizzare separatamente i vari blocchi in modo che a ciascuno di essi corrisponda un preciso modulo software, risultando in tal caso facile riconfigurare, via software, la struttura finale del regolatore (PI, PD, ecc.). Per implementare una legge di controllo continua in forma digitale si può operare sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza, e le tecniche di approssimazione numerica usate sono - Trasformazione rettangolare (o metodo delle differenze all indietro o di Eulero); - Trasformazione bilineare (o di Tustin, o metodo d integrazione trapezoidale). Trasformazione rettangolare Si consideri la funzione di trasferimento di un integratore Y (s) X(s) = 1 s dy dt = x t 0 dy t dt dt = xdt 0 Per t = kt s, kts Per t = (k 1)T s, si ottiene (k 1)Ts 0 0 dy kts kts dt dt = xdt y[kt s ] y[0] = xdt (5) 0 0 dy (k 1)Ts (k 1)Ts dt dt = xdt y[(k 1)T s ] y[0] = xdt (6) 0 0 5

7 Sottraendo (6) da (5) si ha y[kt s ] y[(k 1)T s ] = kts (k 1)T s xdt (7) dove, il secondo membro puo essere approssimato con T s x[kt s ], cioe attraverso l area del rettangolo di Fig. 5(a). Applicando la Z-trasformata si ha che, nel dominio del tempo diventa Y [z] z 1 Y [z] = T s X[s] y n = y n 1 T s x n In pratica, l approssimazione rettangolare consiste nel fare la sostituzione della variabile s con: s = 1 z 1 T s (8) Trasformazione bilineare La trasformazione bilineare si differenzia da quella rettangolare per il modo di approssimare l operatore di integrazione. Infatti, nell operazione di discretizzazione dell integratore, il membro destro di (7), i.e. kt s (k 1)T s xdt viene approssimato tramite: x[kt s ] x[(k 1)T s ] T s (9) 2 cioe con l area del trapezio mostrato in Fig. 5(b). Per cui, (7), con la (9) sostituita al secondo membro, diventa, nella variabile z, Y [z] z 1 Y [z] = T s X[z] z 1 X[z] 2 (10) (a) Approssimazione rettangolare (b) Approssimazione trapezoidale Figura 5: Metodi di integrazione numerica 6

8 e nel dominio del tempo y n = y n 1 T s 2 x n T s 2 x n 1 In pratica l approssimazione bilineare consiste nell effettuare la trasformazione s = 2 T s 1 z 1 1 z 1 (11) che mappa il semipiano sinistro in s nel cerchio unitario del piano z. Sostituendo la relazione bilineare (11) in (2) si ha: D PID (z) = dove K i = Kp T i e K d = K p T d. U(z) ( E(z) = K p 1 1 T s z 1 T i 2 z 1 2 ) z 1 = (12) T s z 1 = (K p K it s 2 2K d T s )z 2 (K i T s 4K d T s )z (K p K it s 2 2K d T s ) z 2 (13) 1 Regolatore PID digitale: forma posizionale A partire dall espresione del regolatore PID ideale nel dominio del tempo, i.e. ( u(t) = K p e(t) 1 t T i o ) de(t) e(τ)dτ T d dt si ricavano le seguenti espressioni digitalizzate, usando i metodi di integrazione visti. Il PID digitale secondo l integrazione rettangolare è: u(n) = K p (e(n) T s T i n i=0 e(i) T d T s (e(n) e(n 1))) mentre regolatore PID digitale secondo l integrazione trapezoidale è: u(n) = K p (e(n) T s T i n i=0 e(i) e(i 1) 2 T d T s (e(n) e(n 1))) Come si vede, entrambe le espressioni di u(n) sono nella forma di un equazione alle differenze, facile da implementare in un linguaggio di programmazione. Queste particolari forme dell algoritmo del regolatore digitale sono chiamate posizionali perchè, ad ogni passo di campionamento si calcola direttamente il nuovo valore del controllo che dipende dai valori al tempo presente e ai tempi passati dell errore. (14) 7

9 Regolatore PID digitale: forma di velocità In certi casi, il sistema di controllo è disposto in modo tale che il segnale di controllo è guidato direttamente da un integratore. Risulta allora naturale modificare l algoritmo in modo tale che restituisca la velocità della variabile di controllo. La variabile di controllo è poi ottenuta integrando la sua velocità. Un algoritmo di questo tipo è chiamato algoritmo di velocità. A partire dall espressione del regolatore PID nel dominio di Laplace, ( U(s) = K p 1 1 ) T i s st d E(s) (15) e applicando le trasformazioni (8) e (11) tra il piano s e il piano z e antitrasformando poi nel dominio del tempo, si ottengo rispettivamente gli algoritmi digitali u(n) = u(n) u(n 1) = K p [e(n) e(n 1) T s T i e(n) T d T s (e(n) 2e(n 1)e(n 2))] e u(n) = u(n 2) K p 2TiTs [(T 2 s 2T i T s 4T d T i )e(n)(2t 2 s 8T d T i )e(n 1)(T 2 s 2T i T s 4T d T i )e(n 2)] I controllori PID digitali ottenuti discretizzando direttamente a partire dal dominio della frequenza sono differenti, nella struttura, a quelli ottenuti a partire da considerazioni nel dominio del tempo, e sono conosciuti come algoritmi PID digitali in forma di velocità, o incrementali, in quanto ad ogni passo di campionamento si calcola la variazione del controllo. Altre espressioni per i regolatori PID digitali possono essere ottenute discretizzando i vari termini con tecniche diverse. Una forma di algoritmo particolarmente utilizzata in pratica è quella che si ottiene sostituendo il termine derivativo con la funzione T d s 1 T d s/n Nell equazione T d du(t) de(t) u(t) = T d N dt dt si approssima la derivata con l approssimazione della differenza all indientro, i.e. Questa può essere scritta come u n = T d u n u n 1 e n e n 1 u n = T d N T s T s T d u n 1 T dn (e n e n 1 ) T d NT s T d NT s 8

10 T d T d NT s è Il vantaggio di usare il metodo delle differenze all indietro è quello che il termine sempre compreso tra 0 e 1, per ogni valore dei parametri, il che garantisce che l equazione alle differenze è stabile. Se, insieme all approssimazione alle differenze all indietro per il termine derivativo, si usa l approssimazione alle differenze in avanti per il termine integrale si ottiene il controllore digitale D PID (z) = U(z) ( E(z) = K p 1 T s T i (z 1) T d T s T d /N ) z 1 (16) z T d /(NT s T d ) Ponendo e α = T s T i, β = NT d NT s T d, γ = T d NT s T d q 0 = K p (1 β), q 1 = K p (1 γ α 2β), q 2 = K p (γ αγ β) si puo riscrivere (16) nella forma polinomiale, cioe come rapporto di due polinomi nella variabile z: D PID (z) = q 0z 2 q 1 z q 2 (z 1)(z γ) (17) Tuning dei parametri: sintesi dei regolatori PID La sintesi dei regolatori PID consiste nella scelta della configurazione del regolatore più adatta all applicazione, e nella scelta dei parametri K p, T i, T d e T s. Questa operazione è indicata come tuning. Una volta determinata la funzione di trasferimento del controllore si passa alla sua discretizzazione secondo i metodi precedentemente illustrati. Verranno presentati due metodi di taratura dei regolatori PID, entrambi basati su constatazioni empiriche: - Metodo della risposta a gradino, o primo metodo di Zieger e Nichols; - Metodo della risposta in frequenza, o secondo metodo di Zieger e Nichols. Metodo della risposta a gradino Questo metodo è basato sull idea di descrivere il processo da sottoporre a controllo con un modello del tipo: Ae τs 1 Ts 9

11 Essenzialmente il modello comprende un guadagno statico pari ad A, un tempo di ritardo τ, ed una costante tempo T. Questi parametri possono essere stimati sperimentalmente applicando in entrata al processo (sconnesso dalla catena di controllo) un segnale a gradino di ampiezza unitaria e misurando la risposta temporale del processo. I parametri che caratterizzano la funzione di trasferimento del processo vengono determinati da un fit dei dati sperimentali ottenuto approssimando il transitorio misurato in uscita dal processo con la retta tangente nel punto di flesso. La procedura è illustrata in Fig. 6 Figura 6: Risposta al gradino del sistema controllato: al processo, operando ad anello aperto, viene mandato in entrata un segnale a gradino di ampiezza unitaria. I dati sperimentali (curva continua) sono approssimati nella zona del flesso con la linea tangente (curva tratteggiata). L intercetta di tale curva con l asse di tempi fornisce la stima del ritardo τ, mentre la costante tempo T viene fornita dal tempo di salita della curva. Il guadagno in continua A è uguale al valore asintotico (ricordiamo che il segnale di ingresso ha ampiezza unitaria) Una volta noti A, τ e T è possibile calcolare i valori che ottimizzano la resa del controllore, trovando il miglior compromesso tra stabilità e velocità di risposta. Le relazioni che forniscono i valori dei parametri del controllore in funzione dei dati ottenuti sperimentalmente sono riportate nella Tabella sottostante. P PI PD PID 1R/3 0.9R/12 K p AR AR T i τ 303R 920R T d 1.25R/6 AR τ 6 2R 223R 1.33 R/4 AR τ 326R 138R τ 4 112R Il metodo appena descritto funziona solo per sistemi stabili ad anello aperto, i quali siano ragionevolmente descritti dal modello semplificato presentato in Fig. 6. Per sistemi più complicati, inclusi quelli che non sono stabili ad anello aperto, si deve ricorrere ad altri 10

12 metodi. Un metodo alternativo utilizzato frequentemente è il secondo metodo di Ziegler e Nichols presentato di seguito. Metodo di Ziegler e Nichols in frequenza Il sistema reazionato è stabile ad anello chiuso solo se il guadagno in continua ad anello aperto è mantenuto ad un certo livello (che dipendera dal sistema). Aumentando il guadagno, nei sistemi a stabilita il sistema diventa instabile. Tra la zona di stabilità (poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso con componente reale negativa) e la zona di instabilità (poli con componente reale positiva) esiste un limite (poli con componente reale nulla) in cui il sistema non diverge, ma oscilla con ampiezza di oscillazione costante. Quindi, se aumentando il guadagno in continua si arriva ad una situazione di oscillazione stabile, possiamo assumere che un valore di guadagno nettamente inferiore a tale limite possa corrispondere ad una condizione di lavoro ragionevole. La procedura da seguire per l ottimizzazione del controllore è la seguente: - Annullare, o quantomeno ridurre al minimo livello possibile, le azioni di integrazione e derivata facendo lavorare il controllore in modo puramente proporzionale. - Operando ad anello chiuso, aumentare progressivamente (e prudentemente) il valore di K p fino a che si osserva che l uscita y(t) oscilla in modo permanente (limite di stabilità). Indichiamo con K 0 il valore limite di K p. Indichiamo con T 0 il periodo di oscillazione misurato quando K p = K 0. Se il sistema non entra mai in oscillazione, il metodo non è applicabile. - A seconda della configurazione del controllore, applicare i parametri riportati nella Tabella sottostante. P PI PD PID K p 0.5K K 0 0.5K 0 0.6K 0 T i 0.85T 0 0.5T 0 T d 0.2T T 0 Per concludere, ricordiamo alcuni limiti pratici dei metodi di tuning dei controllori appena descritti. Noi abbiamo sempre assunto che i processi da controllare siano lineari e stazionari. Purtroppo tali approssimazioni non sono sempre valide. In particolare, uno degli errori più comuni è quello di ottimizzare i parametri del controllore quando il processo da controllare si trova in condizioni molto diverse da quelle operative. In tal caso eventuali 11

13 non-linearità possono giocare un ruolo importante e l ottimizzazione iniziale può perdere di significato. In altri casi le oscillazioni che devono essere innescate per tarare il controllore secondo il metodo di Ziegler e Nichols in frequenza possono provocare danni al processo stesso. Quindi, nella pratica, bisogna operare con prudenza ricordando che i metodi semi-empirici appena descritti forniscono una ottimizzazione solo parziale del controllore. Il risultato finale dipende strettamente dal comportamento dinamico del processo sotto controllo. Fenomeno del Wind-up La presenza combinata dell azione integrale e di una saturazione dovuta all attuatore provoca un effetto di tipo non lineare che può deteriorare significatamente le prestazioni del sistema di controllo. L attuatore con ingresso w e uscita u è descritto dalla relazione u M, w(t) u M ; u(t) = w(t), u m w(t) u M ; u m, w(t) < u m. Si consideri il caso di un sistema di controllo con il regolatore dato dalla sola parte integrale I. Quando l errore e = r y si mantiene dello stesso segno per un certo periodo, lo stato dell integratore, che coincide con la sua uscita, wcresce in modulo sempre piu. Cio avviene anche se l effettiva variabile di ingresso w viene limitata al valore u M o u m dalla saturazione dovuta all attuatore. Quando questo accade, se l errore cambia segno e necessario attendere che lo stato w dell integratore torni ad assumere valori in modulo inferiori a u M prima che l attuatore riprenda ad operare in zona lineare, cioe si abbia w(t) = u(t). In altri termini bisogna attendere la scarica dell azione integrale. Il fenomeno descritto prende il nome di carica integrale o integral wind-up. Di conseguenza, i controllori che contengono un termine integrale provocano una sovraelongazione transitoria quando l attuatore satura se non si adottano opportuni accorgimenti. Vi sono diversi modi per evitare la saturazione del termine integrale. Per i controllori PID analogici è molto usato quello illustrato in Fig. 7. Il sistema ha una retroazione extra che è generata misurando l uscita dell attuatore e generando un segnale di errore e s, che risulta essere la differenza tra l uscita del controllore w(t) e l uscita dell attuatore u(t). Il segnale e s è allora retroazionato all ingresso dell integratore attraverso il guadagno 1/T t. Tale segnale sarà nullo quando la saturazione non si verifica, e questo garantisce che nel periodo di funzionamento lineare dell attuatore, il sistema di controllo opera normalmente. Quando l attuatore satura, il segnale e s è non nullo. La configurazione di retroazione principale, i.e. quella attorno al processo, si apre a causa del 12

14 Figura 7: Sistema di controlo con AW. fatto che l ingresso del processo e mantenuto costante, u(t) = u M. Durante questa fase, attraverso il guadagno 1/T t viene fatto variare il termine integrale in modo che l uscita w(t) del controllore sia uguale a quella u(t) dell attuatore. In altre parole, se l attuatore satura, l anello di controreazione forza il termine integrale a valori tali da far coincidere w(t) con u(t) prevenendo la crescita non controllata dell integratore stesso. La velocità con cui w(t) viene riportata ad u(t) è inversamente proporzionale a T t, costante di tempo di desaturazione. Durante il periodo di saturazione dell attuatore il sistema di desaturazione è un sistema a catena chiusa il cui schema a blocchi è riportato in Fig. 22 Il segnale u M è costante e e Kp T i u M e s 1 1 _ T t s P D w(t) Figura 8: Feedback di anti-windup costitutisce il segnale di riferimento. Gli altri segnali costituiscono dei disturbi che tendono a far variare il segnale w(t) e contro i quali agisce la catena di controreazione in modo tanto più efficace quanto minore è T t (elevato guadagno di anello). Dispositivi digitali di antisaturazione A partire dall espressione dinamica del controllore a due gradi di liberta nella variabile z: R(z)u(z) = T(z)r(z) S(z)y(z) (18) che schematicamente e rappresentata in Fig. 9, si vuole riscrivere l equazione del regolatore in modo che tenga conto del segnale saturato e risolvere cosi il problema del windup dell integratore. 13

15 r T(z) R(z) u S(z) R(z) y _ Figura 9: Schema del controllore a due gradi di liberta. Nel caso sia disponibile la misura della posizione dell attuatore o una sua stima basata su un semplice modello algebrico dell attuatore stesso, si puo ricorrerre alla soluzione descritta dalle equazioni { A0 (z)w(z) = T(z)r(z) S(z)y(z) (A 0 (z) R(z))u, u = sat(w), (19) dove A 0, e il polinomio di progetto nella variabile z, che verra scelto in modo opportuno con le radici nel cerchio unitario. Nel caso in cui il polinomio S(z) = T(z), tipico dei regolatori PID, (18) diventa e la soluzione antiwindup diventa u(z) = S(z) S(z) (r(z) y(z)) = e(z) (20) R(z) R(z) w(z) = S(z) A 0 (z) w(z) A 0(z) R(z) u(z) A 0 (z) Chiaramente A 0 deve essere scelto in modo tale che le funzioni di trasferimento S(z) A 0 (z) R(z) A 0 (z) siano proprie e asintoticamente stabili. A 0 (z) e r _ e q w S A 0 u P(s) y z A 0 R A 0 Figura 10: Schema del controllore con dispositivo anti-windup. Si osservi che se l attuatore opera in zona di linearita la funzione di trasferimento complessiva tra l errore e e il controllo u coincide con (20). Si supponga ora che l errore si mantenga di segno costante, ad esempio positivo, per un certo periodo di tempo. Se l errore varia lentamente, rispetto alla dinamica associata alle radici di A 0 (z), la variabile q tende ad assumere valori positivi. Se u e saturata, ad esempio al valore u M, poiche, il polinomio 14

16 A 0 e stato scelto in modo tale che la funzione A 0 R(z) A 0 (z) abbia guadagno unitario, anche la variabile z tende al valore costante u M con una dinamica anch essa funzione di A 0. Se poi e cambia segno, anche q assume segno negativo, e la variabile w = q z diventa inferiore al limite di saturazione u M, cioe il sistema torna a funzionare con comportamento lineare. Da questa analisi segue che il rientro in zona lineare di w dovuto al cambio di segno di e e tanto piu veloce quanto piu rapido e il transitorio dovuto alle radici di A 0 (z). Il regolatore PID, scritto in forma polinomiale (17), e della forma (18) con R(z) = (z 1)(z γ) = z 2 (γ 1)z γ, e S(z) = T(z) = q 0 z 2 q 1 z q 2 Percio, nel caso di progettazione di filtro anti-windup per un regolatore PID, si ha { A 0 w(z) = (q 0 z 2 q 1 z q 2 )e(z) [A 0 z 2 (γ 1)z γ]u(z), (21) Una scelta possibile di progetto e A 0 = z 2. Antitrasformando (21) con la scelta di A 0 si ottiene complessivamente { w(n) = q0 e(n) q 1 e(n 1) q 2 e(n 2) (1 γ)u(n 1) γu(n 2), u(n) = sat(w(n)), (22) Internal Model Control Un altro modo per affrontare il problema del windup e quello di ricorrere alla tecnica dell Internal Model Control (IMC), che verra qui presentata per sistema a tempo continuo, ma che puo essere applicata ai sistemi a tempo discreto senza alcuna perdita di generalita. Tale tecnica si basa sostanzialmente sulla rappresentazione del sistema mostrata nello schema in Fig. 11. r e w _ C(s) P(s) u y _ P(s) z Figura 11: Schema con Internal Model Control P(z) e una copia del processo P(z) che si suppone asintoticamente stabile. Se si calcola l errore e del sistema in Fig. 11, si ha: e = r (y P(w u)) = r Pu Pw Pu 15

17 che, sotto l ipotesi P = P diventa e = r Pw In pratica la soluzione adottata, che consiste nel progettare un controllore che abbia al suo interno una copia del sistema, e equivalente al sistema: u P(s) y r _ e w C(s) P(s) ỹ Figura 12: Blocco di saturazione portato fuori. in cui il blocco nonlineare di saturazione e stato portato fuori dall anello di controllo. Predittore di Smith Si vuole ora illustrare uno schema di controllo detto predittore di Smith (1957) che permette di affrontare problemi di sintesi per processi con ritardo rappresentati dalla funzione di trasferimento P (s) = P(s)e Tps L obiettivo consiste nel portare il ritardo fuori dalla controreazione, permettendo cosi di progettare il controllore solo sulla base di P(s). Si consideri lo schema generale di controllo a controreazione di Fig. 13 e lo si modifichi secondo lo schema di Fig. 14. r e u y y C(s) P(s) p e Tps _ Figura 13: Schema di controllo con ritardo. Si vuole scegliere P e (s) in modo tale che z coincida con y p (uscita non ritardata) e cioe che il parallelo tra P(s)e T p s e P e (s) coincida con P(s): P(s)e Tps P e (s) = P(s) P e (s) = (1 e Tps )P(s) 16

18 r e C w y p y _ e (s) P(s) e Tps P e (s) z Figura 14: Schema di controllo con predittore di Smith. Con questa scelta di P e (s) si ottiene il predittore di Smith. Definendo P(s) = N p (s)/d p (s) e C e (s) = N ce (s)/d ce (s) si possono rendere gli schemi di Fig. 13 e di Fig. 14 equivalenti con: C e (s) C(s) = 1 C e (s)p e (s) = N ce (s)d p (s) D ce (s)d p (s) N ce (s)n p (s) Nce(s)Np(s)e Tps Si noti che tra gli zeri di C(s) ci sono i poli del processo (radici di D p (s)) e quindi e opportuno richiedere la stabilita asintotica del processo. Il compensatore ottenuto risulta caratterizzato da una funzione di trasferimento non razionale per la presenza del termine e Tps a denominatore. Se il regolatore e digitale, l implementazione del ritardo finito non comporta problemi. Altrimenti potrebbe essere necessario usare un approssimante di Pade nell espressione implementata del controllore. Si noti che P e (0) = 0 e quindi a fronte di segnali di riferimento a gradino, a regime, l uscita y(t) e la variabile z(t) coincidono (cosi come e = r z e e = r y). Percio, per avere errore nullo a regime permanente, il compensatore C e (s) deve includere un azione integrale (polo in s = 0). Si osservi che posto F e (s) = C e(s)p(s) 1 C e (s)p(s) la funzione di trasferimento, nello schema predittore di Smith, tra il riferimento r(t) e l uscita y(t) si esprime come F(s) = C(s)P (s) 1 C(s)P (s) = C e (s)p (s) 1 C e (s)p e (s) C e (s)p (s) = F e(s)e Tps e quindi il ritardo e Tps compare come fattore nella F(s). Tutte le considerazioni precedenti hanno come ipotesi fondamentale la perfetta conoscenza sia di P(s) che del del ritardo T p. Funzionamento Manuale/Automatico Il controllore è stato considerato sempre inserito nella catena di controllo; questo tipo di funzionamento è detto automatico e corrisponde al modo di funzionamento normale. Per 17

19 la messa a servizio del sistema, per la ricerca dei guasti e manutenzione, è necessario poter far funzionare il controllore in funzionamento manuale. Ciò significa che viene variata manualmente l uscita del controllore, ed, in questo caso, viene aperto l anello di controllo. Nei controllori standard PID commerciali è previsto un commutatore A/M che permette di passare da un modo di funzionamento all altro. In generale, quindi, oltre al controllore vero e proprio, vi è anche una Unità per il Cantrollo Manuale (UCM) che genera direttamente il segnale di comando all attuatore. Nella commutazione, ad esempio A M, se il valore dell uscita di UCM è in generale diverso da quello fornito dal controllore, ne risulterebbe una brusca variazione del segnale di comando all attuatore. Ciò si verifica anche nel caso apposto M A. Per evitare questo brusca variazione (bump) è necessario provvedere al bilanciamento (o allineamento) di UCM e del controllore in modo che ciascuno abbia in uscita lo stesso valore al momento della commutazione, in tal caso si parla di bumpless transfer. Per realizzare ciò è necessario che in funzionamento automatico l uscita della UCM segua l uscita del controllore e, viceversa, che in funzionamento M, l uscita del controllore sia forzata a seguire quella manuale. Fondamentalmente, poiché il regolatore PID è un sistema dinamico, bisogna preoccuparsi che lo stato del sistema sia quello giusto quando si commuta di modalità. Una commutazione bumpless è semplice da ottenere per un regolatore scritto in forma incrementale, come mostrato in Fig. 15. Figura 15: Quando il commutatore A/M si trova in A e l attuatore non è saturato, il segnale e s è nullo e il controllore PID opera normalmente. Per quanto riguarda UCM, essa è costituita da un sistema a controreazione, del tutto analogo a quello impiegato per la desaturazione dell azione integrale. Il segnale u costituisce il riferimento e l uscita v m dell integratore viene forzata ad inseguire u che, a sua volta, coincide con v a. Al momento della commutazione in manuale A/M si ha, quindi, il perfetto bilanciamento di UCM con il controllore, cioè v m = v a e bumpless transfer. In funzionamento manuale e con attuatore non in saturazione, risulta che v m = v per cui 18

20 l uscita del blocco 1/Tr è nulla e l integratore della UCM può essere fatto variare a rampa mediante i pulsanti indicati in figura (uno per aumentare ed uno per diminuire il segnale di uscita). Per quanto riguarda il controllore, il segnale e, attraverso il blocco 1/T t agisce sull integratore forzando l uscita del controllore a divenire uguale all uscita dell attuatore. I segnali che derivano dai termini P e D e dall errore e compaiono come disturbi nell anello di controllo di bilanciamento che, quindi può essere ottenuto solo se 1/Tr è sufficientemente elevato. L uscita del controllore va insegue costantemente l uscita vm per cui, al momento della commutazione in automatico M/A si avrà il bilanciamento v m = v a. Si noti che lo schema impiegato, che utilizza l uscita dell attuatore, realizza anche la desaturaziane sia del termine integrale del controllare e sia dell integrale di UCM Commutazione A/M nei controllori digitali Nei controllori digitali la commutazione A M ed M A viene realizzata con la stessa tecnica impiegata nei contrallori analogici, come illustrato in Fig.??: I blocchi di figura Figura 16:. sono subroutine diverse che vengano attivate in dipendenza della posizione del commutatore rilevata, come lo stato dei pulsanti della routine principale. In un controllore digitale, la commutazione da funzionamento automatica a quello manuale (A/M) non comporta alcuna brusca variazione dell uscita u(t), dato che viene mantenuto il valore di u(k) nel registro dal DAC, successivamente incrementato, o diminuito, di una quantità molto piccola e costante, ad ogni istante di campionamento. Per quanto riguarda la commutazione inversa, cioè da manuale ad automatico, negli algoritmi assoluti è possibile sfruttare la capacità logica di un sistema digitale, ad esempio, forzando le variabili di stato dell algoritmo in modo da allineare l uscita con quella impostata manualmente quando si procede alla commutazione M A. La commutazione M A è intrinsecamente senza brusche variazioni nel caso di algoritmi incrementali, infatti, la grandezza di uscita è lo stato di un integratore (ad esempio 19

21 la posizione di un motore a passo) che non può quindi variare bruscamente. Le tecniche di commutazione M A bumpless sopra illustrate sano valide solo per regolatori, analogici o digitali, che contengono un azione integrale, ed è infatti lo stato dell integratore che può essere forzato in modo da ottenere l allineamento. Nel caso di algoritmi P o PD, si può prevedere la generazione di una rampa lineare che porti con gradualità l uscita dal valore in manuale a quello di uscita dall algoritmo. Esercizio Sia dato il processo G(s) = per il quale e stato progettato il regolatore PI dove K p = 1.4 e T i = 1/6. C(s) = 1.4 s 6 s 45 (s 9)(s 5) = 1.4(1 6 s ) 1. Si discretizzi, con il metodo di Tustin, il regolatore C(s) con un tempo di campionamento T s = Verificare in simulazione che il segnale di controllo non superi i valori [ 1.5, 1.5]. In caso contrario progettare una soluzione anti-windup. Soluzione 1. Il metodo di discretizzazione Tustin prevede l uso della trasformazione Si ha s = 2 T s z 1 z 1 ( C(z) = ) s s= 2 z 1 Ts z1 ( ) z(2 6Ts ) 2 6T s = 1.4 2(z 1) 2.42z 1.6 = 0.7 z 1 2. Simulando il sistema a ciclo chiuso con il regolatore discretizzato si ottiene il segnale di controllo di Fig.17. Poiche tale segnale non si mantiene entro il range [ 1.5, 1.5], l attuatore andra in saturazione (curva in magenta in Fig.18) e per limitarne gli effetti negativi che si avranno sull uscita controllata si vuole progettare un dispositivo antiwindup. 20

22 Come e stato visto a lezione si sceglie il polinomio A 0 monico e con tutte le radici nel cerchio unitario e tale che le funzioni di trasferimento S A o e Ao R R siano proprie. Una possibile scelta e A 0 = z, con cui si ottiene w(z) = ( z 1 )e(z) z 1 u(z) Complessivamente il compensatore con la soluzione anti-windup e : { w(k) = 1.69e(k) 1.12e(k 1) u(k 1) u(k) = sat(w(k)) L effetto della compensazione anti-windup si vede nelle simulazioni riportate in Fig. 19 e in Fig. 20. Da quest ultima si osserva come l uscita del sistema con AW presenta un minor overshoot e un minore settling time rispetto alla situazione senza anti-windup. Figura 17: Segnale di controllo del sistema a ciclo chiuso. 21

23 Figura 18: Segnali di controllo in ingresso (giallo) e in uscita (magenta) dal blocco di saturazione. Figura 19: Segnale di controllo saturato e non saturato nella configurazione con anti-windup. 22

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