TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

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1 FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA ANNO ACCADEMICO ESERCIZI DI TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Esercizio : Risolvere la seguente disequazione >. Svolgimento: Trovare le soluzioni della disequazione data significa determinare l ascissa dei punti della circonferenza goniometrica le cui ordinate sono maggiori di. Gli angoli x tali che = sono x = 6 + k e x = k, k Z, essendo la funzione seno periodica di periodo. Allora la disequazione data è verificata se 6 + k < x < k, k Z. Esercizio : Risolvere la seguente disequazione sin x + + < 0. Svolgimento: Ponendo y = la disequazione data diventa la cui soluzione è data da y + y + < 0, < y <. Allora la disequazione data equivale a < <. Gli angoli x tali che = sono x = + k, k Z,

2 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA mentre quelli per cui = sono x = k e x = 6 + k, k Z, essendo la funzione seno periodica di periodo. Allora la disequazione data è verificata se 7 + k < x < k, x + k, k Z. Esercizio : Risolvere la seguente disequazione + <. Svolgimento: Tale disequazione è lineare in seno e coseno e si può risolvere utilizzando le formule parametriche = t t, = + t + t x + k, k Z, dove t = tan x. Per poter usare queste formule bisogna imporre che x + k, k Z. Ponendo x = + k, k Z nella disequazione e tenendo conto del fatto che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo si ha sin + cos = 0 + ( = <, quindi x = + k, k Z, sono soluzioni della disequazione data. Sostituendo nell equazione le formule parametriche si ottiene Facendo il minimo comune multiplo si ha t + t + t + t <. t + t t + t < 0, da cui segue t t + t < 0. Essendo + t > 0, tale disequazione equivale a e quindi a le cui soluzioni sono date da t t < 0, t (t > 0, t < 0 t >.

3 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA Allora si ha La disequazione tan x da cui segue tan x < 0 tan x >. < 0 ha come soluzione + k < x < + k, k Z, + k < x < + k, k Z. Infine la disequazione tan x e quindi se >, è verificata se 4 + k < x < + k, k Z, + k < x < + k, k Z. Tenendo conto del fatto che x = + k, k Z, sono soluzioni, allora la disequazione data è verificata se + k < x < + k, k Z. Esercizio 4: Risolvere la seguente disequazione ( sin x + > 0. Svolgimento: Tale disequazione è omogenea di secondo grado e per risolverla conviene dividere entrambi i membri per cos x : tale passaggio è lecito solo se 0. Se = 0 allora x = + k, k Z. Sostituendo tali valori nella disequazione si ha ( sin ( + k + = + = > 0, ( 0 0 ( ( sin + k cos + k quindi x = + k, k Z, sono soluzioni della disequazione data. Dividendo entrambi i membri della disequazione per cos x > 0 si ottiene ( tan x + tan x > 0. cos ( + k

4 4 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA Ponendo y = tan x tale disequazione diventa ( y + y > 0, le cui soluzioni sono y < y >. Allora si ha tan x < tan x >. La disequazione tan x < è verificata se + k < x < k, k Z, mentre l equazione tan x > ha come soluzioni 4 + k < x < + k, k Z. Quindi, tenendo conto del fatto che x = data risulta verificata se + k, k Z, sono soluzioni, la disequazione 4 + k < x < k, k Z. Esercizio 5: Risolvere la seguente disequazione. Svolgimento: Facendo il minimo comune multiplo la disequazione data diventa che equivale a 0 Poiché 0. x R essendo x R, la disequazione data equivale a > 0,

5 che ha come soluzione CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA 5 + k < x < + k, k Z. Esercizi: Risolvere le seguenti disequazioni. >. tan x (tan x < < 5. sin x < > 0 7. < 0 8. < < 9. cos x + < sin x 0. tan x < ( > 0. cos x > tan x < tan x 6. > 0 7. sin 5x + sin 4x > 0 8. > 0 9. cos x <

6 6 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA 0. > 0. sin x < 0. < cos x > 0 + > 0 5. cos x < tan x < 0 > 0. + <. sin x <. + > 0. + < 0 4. sin x < 0 5. > 0 6. ( > 0 7. >

7 8. sin x > tan x CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA 7 9. sin x > < 4. 0 < cot x 4. + > > 0 tan x tan x < 45. cos 5x + cos 4x tan x + < 47. > 48. sin x < 49. tan x < 50. cos x < < 5. tan x > > cos x 57. < < 0

8 8 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA 58. < < ( 59. < cos x + + > 0 6. < 6. cos x cos x + > cos x > 65. tan x 66. < sin x cos x > < < 70. > 0 7. tan x + cot x + ( < 0 7. < cos x cot x < 0 < 77. sin x + + > 0

9 78. 4 sin x > + CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA < 80. tan x < 0 8. > tan x < 0 ( ( < tan x > 85. ( + > cos x > 87. cos 7x > sin x + cos x 89. < sin x 0 9. > 9. 0 < < cos x > <

10 0 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA 97. cos x > 98. cos x < ( 99. ( > Esercizio 6: Risolvere la seguente equazione = 0. Svolgimento: Innanzitutto studiamo il segno degli argomenti dei due moduli: 0 se k x + k, k Z < 0 se + k < x < + k, k Z e 0 se k x + k + k x + k, k Z < 0 se + k < x < + k, k Z. Si presentano quattro diversi casi. Caso : k x + k, k Z. L equazione data è equivalente a = 0. ( Poiché = sin x, l equazione si può riscrivere come ( = sin x, le cui soluzioni sono x = x + k x = ( x + k, k Z, e quindi x = 4 + k, k Z. Di queste soluzioni le uniche che verificano la condizione k x + k, k Z, sono date da x = 4 + k, k Z.

11 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA Caso : + k < x + k, k Z. L equazione data è equivalente a e quindi a ( = 0, + = 0. ( Poiché = cos + x, l equazione si può riscrivere come ( cos + x =, che risulta verificata se x = + x + k x = ( + x + k, k Z, e quindi se x = 4 + k, k Z. Di queste soluzioni le uniche che verificano la condizione k Z, sono date da x = 4 + k, k Z. + k x + k, Caso : + k < x + k, k Z. L equazione data si può riscrivere come che equivale a ( = 0. = 0. Tale equazione è stata già risolta nel Caso. Le soluzioni trovate sono x = 4 + k, k Z, e di queste soluzioni le uniche che verificano la condizione + k < x + k, k Z, sono date da x = k, k Z. Caso 4: + k < x + k, k Z. L equazione data si può riscrivere come e quindi come = 0, + = 0,

12 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA che è l equazione studiata nel Caso. Le soluzioni trovate sono x = 4 + k, k Z, e di queste soluzioni le uniche che verificano la condizione + k < x + k, k Z, sono date da x = k, k Z. In conclusione l equazione data ha come soluzioni x = 4 + k x = 4 + k, k Z. Esercizi: Risolvere le seguenti equazioni. = +. = 4 +. = ( = = ( + tan x + 6. = 7. sin x = = 0 9. tan x + = 0 0. cos x sin x =. Esercizi: Risolvere i seguenti sistemi

13 . > 0 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA. + < tan x 0 tan x < 0 > 0 > <. Esercizi: Determinare il dominio delle seguenti funzioni. y = +. y = +. y = 4. y = 5. y = sin x 6. y = + 7. y = 8. y = cos x + 9. y = sin x

14 4 CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA 0. y = tan x + tan x. y =. y = x x cos 4 x cos x. y = + 4. y = 5. y = sin x 6. y = 7. y = 8. y = x tan x + tan x + + cos x + 9. y = y =.

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