Corso di Analisi: Algebra di Base. 3^ Lezione
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- Giorgiana Marchesi
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1 Corso di Analisi: Algbra di Bas ^ Lzion Disquazioni algbrich. Disquazioni di. Disquazioni di. Disquazioni faoriali. Disquazioni biquadraich. Disquazioni binomi. Disquazioni fra. Sismi di disquazioni. Allgao Esrcizi.
2 DISEQUAZIONI DI GRADO : Pr disquazion si innd una disguaglianza ra du sprssioni algbrich. I simboli ch rapprsnano al disguaglianza sono di simboli di maggiorazion () di minorazion (). Risolvr una disquazion significa drminar un insim di valori da assgnar alla variabil affinché risuli vrificaa la disguaglianza daa. a b a b b a Es. - da noar ch il valor di non fa par dll insim dll soluzioni. Equivalnmn pormo rapprsnar l insim dll soluzioni rova rami la dfinizion di inrvallo ( insim di numri rali limiao da du srmi inclusi o sclusi dallo ssso). E quindi dir ch quivalnmn significa : R : ] [ Es. (inrvallo apro) - in quso caso il valor di fa par dll insim dll soluzioni. E cioè saranno soluzioni dlla disquazion u l [ [ Sarà possibil comunqu vrificar s l soluzioni sono corr considrando un valor dll inrvallo ( pr s. ) sosiuirlo alla disguaglianza daa : () ch sicuramn vrifica.
3 Da noar ch s avssimo quindi il cofficin dl rmin incognio ngaivo convrrà cambiar sgno a ui i rmini dlla disquazion ricordando ch con ssi cambirà ncssariamn anch il vrso. Di qui allora si avrà : - - DISEQUAZIONI DI GRADO : a b c a a b c ) ) ) b R \ ) / R a ) R ) / R Es. 9 quaz. associaa ±
4 da cui si ha : - Es. R \ Da ricordar ch un polinomio di grado il cui discriminan sia nullo rapprsna smpr il quadrao di un binomio. Pr cui ( ) Es. R Es. ±
5 Es. 9 / R infai ricordiamo ch : 9 ( ) non può mai ssr vro! Es. 9 / R b \ a Es. / R
6 Ricordiamo com fao imporan ch un quazion di grado dl ipo : a b c il cui discriminan sia è smpr scomponibil nlla forma : a E quindi s abbiamo 9 possiamo scrivr quivalnmn : ( ) DISEQUAZIONI FATTORIALI : Drivano da u l disquazioni di grado ugual o suprior al. A( ) B( ) C( )... Z( ) Risolvrmo ali ipi di disquazioni discundo la posiivià di ogni singolo faor ; quindi schmaicamn avrmo : A( ) B( ) C( ) Z( )
7 Riprndndo l smpio di sopra abbiamo ch : ( ) ( ) Risolvrmo quindi com sgu : ( ) ( ) - cioè sarà vrificaa pr valori srni all du soluzioni. Dobbiamo infin unir rami prodoo i risulai finali dlla disquazion :prndrmo com risulai ch vrificano la disquazion qulli ch sono concordi con il sgno inizial dlla sssa. E quindi in quso caso abbiamo ch : DISEQUAZIONI BIQUADRATICHE Così com già affronao pr l quazioni anch pr l disquazioni di grado mancani di rmini di grado dispari si parla di BIQUADRATICA. Simbolicamn si avrà : a b c La risoluzion di al ipo di disquazion avvrrà rami il modo di sosiuzion : dopo avr poso andrmo a risolvr una smplic disquazion di grado nlla variabil pr riporarci infin dopo una ulrior sosiuzion all corrispondni disquazioni pur nlla variabil.
8 Es. a b c poso a b c b b ac ± a poso quindi risolvndo in roviamo il ch pora a : R l soluzioni finali saranno da dalla union dll singol soluzioni; E quindi avrmo ch. Ricordiamo ch la soluzion pova ssr rovaa anch in alra manira : poiché ricordando ch b c a( ) ( ) a allora avrmo : ( ) da risolvr com disquazion faorial :
9 ( ) R ; - E quindi avrmo ch :. Es. ; ; - - quindi ; ; DISEQUAZIONI BINOMIE Com viso pr l quazioni anch pr l disquazioni di grado suprior al cosiui da un polinomio di soli du rmini ( binomio ) si parla di disquazion binomia. La forma sarà dl ipo a n b La risoluzion corra di al ipo di quazion avvrrà rami corrispondn quazion faorial.
10 Es: risolvr : Es: risolvr : Es: risolvr : Da un puno di visa oggivamn praico bnchè il modo corro sia qullo nunciao dianzi possiamo risolvr una disquazion binomia in manira più smplic: a) com una disquazion di grado pura ( s di indic n-pari ) b) com una disquazion di grado con la rlaiva srazion di radic ( s di indic n-dispari ). Sinicamn : Risaminando gli smpi prcdni si ha : Es: risolvr : ) ( ) ( ) ( dispari n a b a b b a pari n a b a b a b b a pari n a b a b a b b a n n n n n n n n n n n
11 Es: risolvr : Es: risolvr : Es: risolvr : Es: risolvr : R DISEQUAZIONI FRATTE Così com l quazioni fra l disquazioni si prsnano nlla forma : A( ) B( ) A( ) opp. B( ) La loro risoluzion ricalca idnicamn il modo usao pr l faoriali :quindi indipndnmn dal sgno si discurà la posiivià dl singolo numraor dl singolo dnominaor. E quindi sarà : A( ) B( ) di qui ci comporrmo com pr l faoriali N.B. com si può noar pr la ralà di una frazion il dnominaor non può ssr mai nullo ( quindi B( ) non B( ) ). Es.
12 ; D N quindi il risulao final sarà Es. ; D N pr cui avrmo : ; ; D N da cui i risulai finali ch sono : - - -
13 SISTEMI DI DISEQUAZIONI : Pr sisma di disquazioni inndiamo l insim di du o più disquazioni. Risolvr al sisma significa drminar qull insim di valori da aribuir alla incognia affinché l singol disguaglianz siano conmporanamn vrifica ( valurmo l inrszioni dlla lina coninua). Es. andiamo a risolvr singolarmn ogni disquazion ; ; - quindi non ssndo la lina coninua prsn conmporanamn pr l r disquazioni concludrmo ch il sisma non ha soluzioni.
14 Esrcizi dlla lzion di Algbra di bas ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI E DI GRADO ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE ES ERCIZI SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI
15 USO DEI PULSANTI Visualizza solo la soluzion dll'srcizio Visualizza l soluzioni di ui gli srciz i Nascond l soluzioni T orna all'indic dgli srcizi T orna all'indic dlla lzion
16 Risolvr l sguni disquazioni di primo di scondo grado : ' ± disquazioni l rlaiva ablla la pr poichè associaa quaz l risolvndo 9 -
17 .. ' ± disquazioni l rlaiva ablla la pr poichè associaa quaz l risolvndo.. ' ± disquazioni l rlaiva ablla la pr poichè associaa quaz l risolvndo -
18 ' ± disquazioni l rlaiva ablla la pr poichè associaa quaz l risolvndo.. ' ± disquazioni l rlaiva ablla la pr poichè associaa quaz l risolvndo. -
19 ( ) risolvndo l' quazion associaa ± pr la ablla rlaiva l disquazioni -. risolvndo l' quaz. associaa poichè pr la ablla rlaiva l disquazioni / R. 9 9 risolvndo l' quaz. associaa 9 poichè 9 ± pr la ablla rlaiva l disquazioni
20 . risolvndo l' quaz. associaa poichè 9 pr la ablla rlaiva l disquazioni R. risolvndo l' quaz. associaa poichè pr la ablla rlaiva l disquazioni R. risolvndo l' quaz. associaa poichè b a pr la ablla rlaiva l disquazioni / R { } o anch
21 . ( ) ( ) risolvndo l' quazion associaa pr la ablla rlaiva l disquazioni R. ( ) associaa ( ) poichè pr la ablla rlaiva l disquazioni risolvndo l' quaz. ±
22 9. R disquazio ni l rlaiva ablla la pr associaa quazion l risolvndo '. R / disquazioni l rlaiva ablla la pr associaa quazion l risolvndo 9 ' 9 9 9
23 Risolvr l sguni disquazioni di grado suprior al scondo :. rami Ruffini ( )( ) - ( )( ) R pr cui si ha : -. rami Ruffini ( )( ) ( )( ) pr cui si ha :
24 . rami Ruffini pr cui si ha :. rami Ruffini 9 pr cui si ha :
25 . rami Ruffini ( )( ) ( )( ) pr cui si ha : ( ) ( ) R 9 R pr cui si ha : { } o anch / R
26 . rami Ruffini [ ]. parzialmn racc pr cui si ha : Povamo risolvr anch la disquazion com biquadraica : om ' ± risosiundo novol io rin il pr associaa quazion dall poso
27 pr cui si ha :. om ' ± risosiundo novol io rin il pr associaa quazion dall poso pr cui si ha :
28 9. om ' R ± risosiundo novol io rin il pr associaa quazion dall poso pr cui si ha :. om ' ± risosiundo novol io rin il pr associaa quazion dall poso - -
29 pr cui si ha :. rami Ruffini ora poiché il polinomio di quaro grado non è saamn scomponibil ( la rlaiva quazion associaa non ha soluzioni rali ) d sprim una quanià smpr posiiva R si ha ch : quindi più diramn si avrà ch s :
30 . rami Ruffini ( )( ) ora poiché il polinomio di quaro grado non è saamn scomponibil ( la rlaiva quazion associaa non ha soluzioni rali ) d sprim una quanià smpr posiiva R si ha ch : ( )( ) quindi più diramn si avrà ch s : ( ). diramn si avrà ch :. ( ) ora poiché : ( ) ( )( )( ) da cui pr l'sponn dispari ( n dispari di faori ) : ( )
31 . rami Ruffini ( )( 9) ora poiché il polinomio di scondo grado non è saamn scomponibil ( la rlaiva quazion associaa non ha soluzioni rali ) d sprim una quanià smpr posiiva R si ha ch : ( )( 9) quindi più diramn si avrà ch s :. diramn si avrà ch :. ( ) ora poiché : ( ) ( )( )( )( ) da cui pr l'sponn pari ( n pari di faori ) : ( ) R
32 . quindi : più smplicmn si pova procdr in quso modo : : qui di poso 9. R quindi :
33 . ora poiché : da cui pr l'sponn pari ( n pari di faori ) : : R / o mglio la disquazion è vrificaa da :
34 Risolvr l sguni disquazioni fra :. D N quindi : con. R D N - -
35 quindi :. D N quindi : - - -
36 . D N quindi :. D N -
37 quindi : D N quindi :
38 . D N quindi :. D N - -
39 quindi : D N quindi :
40 . D N poso quindi : - -
41 Risolvr i sguni sismi di disquazioni :. di qui si ha :. di qui si ha : R / -
42 . { } R di qui si ha :. R di qui si ha :
43 . R 9 di qui si ha :.
44 di qui si ha :. pr la disquazion faorial si ha : quindi il sisma divna : - -
45 di qui si ha : / R. 9 9 di qui si ha : 9
46 di qui si ha :. R
47 di qui si ha :
[ ] [ ] [ ] [ ] lim. x 1 3 R. lim. lim. lim. lim. lim. lim 5 R. lim. Calcola i seguenti limiti risolvendo le eventuali forme di indeterminazione
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