Diseguaglianze e disequazioni. definizioni proprietà tecniche risolutive

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1 Diseguaglianze e disequazioni definizioni proprietà tecniche risolutive

2 Che cosa è una diseguaglianza? Una diseguaglianza è una relazione di ordine che intercorre fra numeri. Le possibili relazioni sono: < ; > ; ; Es: 3 < 4; 5 > 2; ; 9-3 2

3 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di una diseguaglianza uno stesso numero, si ottiene una diseguaglianza dello stesso verso. es. -3 < < < < 4-5

4 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Moltiplicando o dividendo ambo i membro di una diseguaglianza per uno stesso numero positivo, si ottiene una diseguaglianza dello stesso verso. es. -2 < < < 3-2 : 3 < 3 : 3-2 ⅓ < 3 ⅓

5 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Moltiplicando o dividendo ambo i membro di una diseguaglianza per uno stesso numero negativo, si ottiene una diseguaglianza di verso opposto. es. -2 < 3-2 (- 3) > 3 (- 3) -2 < 3-2 :( -3) > 3 :( -3) -2 (- ⅓ )> 3 (-⅓)

6 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Elevando ad un numero naturale, diverso da zero, ambo i membri di una diseguaglianza tra numeri non negativi, si ottiene una diseguaglianza dello stesso verso. Es. 4 < 5

7 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Dati due numeri concordi e diversi da zero, la diseguaglianza tra i loro reciproci ha verso contrario rispetto a quella fra i numeri di partenza. Es. 2 < 3 1/2 > 1/3-3 > -4-1/3 < - 1/4

8 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? In generale le diseguaglianze non si possono sottrarre membro a membro, né moltiplicare ( a meno che non riguardino numeri positivi), né dividere.

9 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Due diseguaglianze aventi lo stesso verso si possono sommare membro a membro ottenendo una diseguaglianza dello stesso verso delle due precedenti. es. - 5 < 2 e 5 < < 2 + 6

10 Di quali proprietà godono le diseguaglianze? Due diseguaglianze dello stesso verso si possono moltiplicare membro a membro solo se sono fra numeri positivi. Es. 2 < 3 e 5 < < 3 7

11 DISEQUAZIONI Definizione Proprietà Tecniche risolutive

12 disequazioni Una disequazione è una diseguaglianza che contiene almeno una lettera detta incognita, di cui si cercano i valori per i quali la diseguaglianza è vera. es. 3x<5; 2x+1>x-3; x+2 3-2x; x 5-4x

13 Classificazione delle disequazioni Una disequazione si dice: Intera se l incognita non compare al denominatore Fratta se l incognita compare anche o solo al denominatore Letterale se, oltre all incognita, compaiono altre lettere

14 Classificazione delle disequazioni Esempi: Intera : 3x+2<4-x Fratta : 1/x +2>5 Letterale : ax+5x>1-2ax

15 Soluzioni di una disequazione Si dice soluzione di una disequazione quel numero che, sostituito nella disequazione al posto dell incognita, la trasforma in un diseguaglianza vera. Le soluzioni di una disequazione dipendono dall insieme numerico in cui esse sono cercate, detto dominio o insieme di definizione della disequazione.

16 Rappresentazione dell insieme delle soluzioni L insieme delle soluzioni di una disequazione può essere rappresentato graficamente sulla retta reale. linea continua : insieme delle soluzioni linea tratteggiata : insieme dei numeri che punto vuoto: punto pieno: non sono soluzioni numero che non è soluzione numero che è soluzione

17 Esempi Disequazione X 3 Insieme delle soluzioni S={xεR/x 3} Rappresentazione sulla retta 0 3 X>-2/3 S={xεR/x >-2/3} -2/3 0 2<x<6 S={x εr/2<x <6} 2 6

18 Principi di equivalenza per le disequazioni Primo principio Sommando o sottraendo ad ambo i membri di una disequazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica definita per tutti i valori della variabile, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

19 Principi di equivalenza per le disequazioni Secondo principio Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente e dello stesso verso. Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo si ottiene una disequazione equivalente e di verso contrario.