IPOTESI: Una squadra di n persone identiche tra loro produce congiuntamente un bene.

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1 Cooperative, Preferenze Sociali e Controllo Ottimo: La PRODUZIONE DI SQUADRA (PS) L'analisi della PS consente di illustrare l'interazione a n persone e comprendere come contratti efficienti e preferenze sociali (vergogna, sensi di colpa, dispetto, ) possano, a volte, vincere i problemi di coordinamento. Nelle economie moderne, ci sono molti esempi di PS. Essi sono inquadrabili come un problema di risorse di proprietà comune. ESEMPI: gruppi di (anche molti) produttori impiegati nella stessa impresa o un'impresa cooperativa di cui sono proprietari i lavoratori. La squadra può essere anche composta da poche persone. Ad esempio gli studi notarili, medici, ecc. IPOTESI: Una squadra di n persone identiche tra loro produce congiuntamente un bene. SCHEMA DELL INTAREZIONE PRODUZIONE Il livello di prodotto (q) dipende dall'azione (a=sforzo sul lavoro) posta in essere dagli n membri, azione definita con a i [0,1], secondo la seguente funzione di produzione: q = gσa i - k = ga - k dove a = Σa i rappresenta la somma per gli n membri e g e k sono costanti positive e note agli n membri (k ha segno meno: es. k=costo fisso). Dato che i componenti della squadra sono identici, trascureremo gli indici, con l esclusione del caso in cui siano necessari per evitare ambiguità. Non vi sono altri input a parte le azioni dei membri della squadra (pensiamo ad una compagnia di danza che si esibisce in luoghi pubblici). UTILITA Le funzioni di utilità, identiche per tutti i membri, sono u é crescente (u q >0) e concava (u qq <0) in q. u é decrescente (u a <0) e convessa (u aa >0) in a. u = u(q,a), La posizione di riserva di ciascun membro è data da z. 1/29

2 Ricordo che la posizione di riserva=fallback option è quella posizione/opzione che rende indifferente tra lavorare in squadra o da soli. Nel caso dei due pescatori era quella posizione/opzione che rendeva indifferente tra pescare o lavorare nella città vicina=next best alternative. ALLOCAZIONE I membri della squadra cercano una strategia di allocazione del guadagno prodotto dal loro lavoro, riconoscendo la possibilità che alcuni membri potrebbero approfittarsi dello sforzo dei compagni di squadra (i free riders). BENCHMARK I membri della squadra implementano un esperimento, rispolverando il sempre utile caso di Robinson Crusoe, il quale, vivendo isolato, non deve preoccuparsi di problemi di coordinamento ed è quindi in grado di trovare una soluzione efficiente. Insomma Crusoe è, al solito, il benchmark. Le assunzioni e le conclusioni standard sono spesso usate come termine di riferimento per chi le vuole migliorare. Ad esempio, noi lo abbiamo visto nella teoria del prospetto che ha come benchmark l UA. L approccio con benchmark è comune ad altre Scienze: pensiamo alla somiglianza dello studio della Fisica in assenza di gravità e dell Economia senza frizioni. MASSIMO VINCOLATO STANDARD Gli agenti sanno che se la produzione potesse avvenire ad opera di un unico produttore (=> levo la i), proprietario del prodotto finale, il proprietario-produttore farebbe questi consueti calcoli lagrangiani: e arriverebbe alla seguente FOC: L = u(q,a)+ (q - ga + k) L/ q = u q + = 0 L/ a = u a - g = 0 u q =- u a + gu q = 0 => u q g + u a = 0 => g = (u a /u q ) Robinson uguaglia la produttività marginale dell'azione (g) al SMS tra disutilità dello sforzo (u a ) e utilità del bene prodotto (u q ): sforzandosi di più sta peggio=u a ma produce=g, ricava=q e sta meglio=u q 2/29

3 I membri della squadra cercano di replicare Robinson e, quindi, di implementare l'allocazione (il livello dello sforzo=a) che deriva da tale condizione di primo ordine per ogni membro. Come fare? Idea: sciogliamo la squadra in modo che ogni membro possa lavorare da solo come farebbe Crusoe. Problemi: COSTI FISSI. C è una ragione per l'esistenza della squadra: ripartire i costi fissi tra i partecipanti. Per esempio, assumiamo che l'esistenza di un costo fisso, per l appunto k, faccia sì che il livello dello sforzo implementato dalla condizione di primo ordine di cui sopra, a*, sia tale che q = ga* - k <0 (i.e. sforzo ottimo conduce a costi>ricavi) ovvero, in termini di utilità: u=u(q,a*)= u(ga*-k,a*)< z E chiaro che la soluzione Crusoe non sarebbe possibile dati gli alti livelli del costo fisso. INFORMAZIONE L informazione sulle azioni intraprese dagli altri membri non sono pienamente osservabili o, più in generale, l'informazione sul comportamento degli altri potrebbe non essere sufficiente a rendere vincolante e verificabile un contratto di lavoro che ha per oggetto lo sforzo lavorativo (nel jobs act di Renzi sono previste, tra l'altro, nuove opportunità per il datore di lavoro di monitorare il lavoratore. Squinzi ha applaudito, Camusso, no). Ma, a parte il caso particolare di impedimento tecnico da costi fissi, se i membri riuscissero a raggiungere un accordo credibile essi potrebbero implementare la soluzione Crusoe come soluzione cooperativa. IPOTESI DI ACCORDO VINCOLANTE Supponiamo, dunque, che i membri della squadra si incontrino per trovare una soluzione nella forma di un contratto enforceable. 3/29

4 Che tipo di contratto potrebbe essere discusso? La squadra offre ai suoi membri un contratto al quale ciascun membro reagisce secondo i criteri della best response. Si noti la somiglianza con il problema ipotetico del regolatore sociale nella tragedia dei pescatori. Stipulare un contratto giusto richiede che, per ogni contratto proposto, il gruppo prima determini le migliori risposte dei membri e poi li aggreghi per ottenere il prodotto totale che risulterebbe, dato il contratto e data la produzione ottima dei vari membri. DUE VINCOLI DA CONSIDERARE Il contratto deve fornire ai membri della squadra un livello di utilità non inferiore a quello della loro posizione di riserva, soddisfacendo quindi i loro vincoli di partecipazione. Anche le funzioni di miglior risposta costituiscono dei vincoli definiti vincoli di compatibilità agli incentivi - del problema di ottimo della squadra. Tra breve vedremo perché. PRIMO TENTATIVO DI CONTRATTO La squadra come unico soggetto ha, come osservato, il ruolo del first mover. Supponiamo che i membri considerino una proposta che consiste nel dividere equamente il prodotto (q=y/n) al netto di x, offrendo a ciascun membro un reddito (y) per periodo pari a y = (q-x)/n dove x 0 rappresenta l'ammontare che la squadra decide di allocare per i progetti comuni. E ovvio che il singolo agente parteciperà al progetto comune se e solo se non gli si leva una x così grande che gli impedirebbe di ottenere almeno z. Ovvero: se lavorando da solo ottengo z, lavoro in squadra se e solo se ottengo di più. Insomma, x è selezionato per soddisfare il vincolo di partecipazione dei membri della squadra. In ulteriori termini: dando la miglior risposta rispetto al contratto proposto (da cui gli asterischi), ogni agente produce l ottimo output q* con l ottimo sforzo a*. A ciò non può essere levato un x eccessivo rispetto a z e, quindi x deve essere tale da verificare la disuguaglianza che trovate nel testo di Bowles: 4/29

5 NB la funzione di utilità ha per argomenti costi e benefici. Inoltre, se x è tale da far rispettare il vincolo di partecipazione, che sia y=q/n oppure y=[(q/n)-(x/n)] qui non incide. Cioè, x incide solo sulla decisione di se partecipare. Come funziona il contratto? Il problema di ottimo di ciascun membro consiste nel variare a i per massimizzare u i Notate che è ricomparso l'indice dell'agente i. Ciò è perché, anche se tutti gli agenti sono identici, ciascuno di essi agisce indipendentemente e considera le azioni degli altri come esogene nel momento in cui prende la propria decisione. Insomma, ciascun agente i deve risolvere il summenzionato problema di massimo per conto suo. OTTIMO VINCOLATO Ora la fz. di utilità è: u(y,a) Ora la fz di produzione è: y= (ga k)/n Come di consuetudine, cerchiamo la FOC via Lagrange: L = u(y,a)+ (y ga/n + k/n) dl/dy = u y + = 0 dl/da = u a - (g/n) = 0 g/n = (u a /u y ) che è la solita uguaglianza: prodotto marginale dell'azione (g) uguale all SMS. Solita, ma non identica: 5/29

6 PROBLEMA DELL 1/N Confrontiamo le due FOC ottenute (Crusoe vs Squadra): g = (u a /u y ) vs g/n = (u a /u y ) E chiaro che gli incentivi forniti dal contratto proposto vengono sminuiti essendo spartiti tra i membri del team. Ovvero, più siamo noi (grande n), meno io mi sforzo (piccolo a i *). Questo esempio di free riding viene chiamato il problema 1/n nella produzione di squadra. SECONDO TENTATIVO DI ACCORDO La squadra, però, non si scoraggia e continua a cercare il contratto appropriato. Qualcuno propone di pagare a ciascun membro l'intero prodotto (q) meno una costante v: y = q* v dove v è una costante tale che deve far verificare la seguente uguaglianza: q* n(q* v) = x. Come prima, x è ciò che rimane per i progetti comuni una volta che tutti i membri sono stati pagati e, come prima, gli asterischi indicano i valori finali una volta che i membri hanno agito secondo i criteri della miglior risposta al contratto proposto. QUAL E IL RUOLO DELLA COSTANTE v? Far agire l individuo come se avesse di fronte il problema di Crusoe evitando il problema 1/n. Vediamo perché, ricordando che q* n(q* v) = x e che y = q* v. ny=q* implica che n(q* v)=q* => v = [(n-1)/n]q* Sostituendo questa v in q* n(q* v) = x otteniamo q*-n(q*-[(n-1)/n]q*)=x => q*-nq*+(n-1)q* = 0 = x Cioè, sottraendo v, x vale zero. Intuitivamente, il problema torna ad essere quello di Crusoe e i membri della squadra, massimizzando in modo indipendente la propria utilità, calcolano le FOC di Robinson Crusoe, ovvero u y g + u a = 0. Il problema 1/n è superato. 6/29

7 Altrimenti detto, il problema 1/n è superato poiché l inclusione di v nel contratto fa sì che l individuo si appropri di tutto il prodotto marginale (g) che, a differenza di prima e grazie a v, non deve essere più diviso con gli altri. Pertanto l individuo non ha più disincentivi a portare il suo contributo marginale fino al punto di Crusoe. Questo contratto implementa un risultato efficiente perché induce ciascun membro a considerare nella sua utilità il suo intero contributo marginale alla produzione e non solo un n-esimo di esso (cioè g/n). Queste soluzioni, che implementano un ottimo paretiano, sono chiamate contratti ottimi. Ma perché u y g + u a = 0 è P-ottimo? Vediamolo organizzando le definizioni: -u a = disutilità marginale dello sforzo dell individuo u y = utilità marginale del reddito (assunta uguale per tutti gli individui) g = prodotto marginale da dividere tra i membri della squadra g/n = extra reddito che va a ogni membro della squadra se g viene equidistribuito u y (g/n) = incremento nell utilità marginale di ogni membro per ogni extra sforzo pro capite nu y (g/n) = u y g = incremento nell utilità sociale (infatti nella società ci sono n membri uguali) Ora, per avere una situazione P-ottima, si deve avere che il beneficio marginale sociale (u y g) deve essere pari alla disutilità marginale dello sforzo (-u a ). Ma, come visto, questa è anche la FOC di Crusoe: u y g + u a = 0 => u y g = -u a Per cui, l ottimo individuale u y g + u a = 0 è anche P-ottimo. QED. PROBLEMA COL CONTRATTO OTTIMO: IL RISCHIO Forte della brillante idea, l ideatore del contratto ottimo è sicuro che i compagni di squadra lo approvino. Ma loro non lo fanno. Perché? Risposta breve: per la presenza di rischi. Vediamo meglio. Supponiamo che il prodotto ora abbia una componente stocastica: 7/29

8 q = {ga -k}(1 +ε) dove ε è l'elemento stocastico a media zero e varianza σ conosciuta dai membri della squadra. Se ε fosse osservabile il contratto precedente, scritto in termini del prodotto atteso anziché realizzato, potrebbe essere implementato a condizione che l'impresa sia in grado di prendere a prestito il necessario per permettere il pagamento di ga-k-v ad ogni membro. Infatti, atteso vuol dire realizzato in media, per cui ci saranno momenti produttivi più bassi della media che devono essere finanziati. In caso contrario, il contratto dovrebbe essere scritto necessariamente in termini del prodotto effettivo. Supponiamo comunque che il contratto ottimo assicuri che i membri della squadra ricevano un guadagno atteso sufficiente a soddisfare il loro vincolo di partecipazione (=> in media è ok). Il problema è che, data la natura stocastica del prodotto e se la squadra ha una dimensione significativa, allora il guadagno realizzato in ogni periodo potrebbe oscillare molto rispetto al guadagno atteso. In altri termini, shock alla produzione totale farebbero sì che i membri della squadra sarebbero soggetti, in certi periodi, al pagamento di un ammontare notevole alla loro squadra. A meno gli agenti siano neutrali al rischio o abbiano un accesso illimitato al credito, due casi non proprio diffusi in realtà, essi non accetteranno una situazione così rischiosa in cui il vincolo di partecipazione potrebbe non sempre essere soddisfatto. Si può dire che qui il problema è la varianza che, se eccessiva rispetto al tipo di propensione al rischio e/o alla capacità di credito, genera l inaccettabilità di un contratto altrimenti ottimo. TERZO TENTATIVO DI ACCORDO I membri allora provano un altro approccio: il monitoraggio alla pari. Lavorando insieme, ciascun membro ha informazioni su cosa stanno facendo i suoi compagni di squadra e potrebbe usarle per implementare un accordo riguardante il livello di sforzo da profondere attraverso l'uso di sanzioni informali come la disapprovazione sociale oppure persino delle multe imposte dai membri verso coloro che contribuiscono meno di quanto stipulato nell'accordo. PROBLEMA: i membri della squadra hanno pochi incentivi a punire coloro che non rispettano l'accordo: mentre i costi vanno a ricadere sull'individuo punito, i benefici vanno divisi tra tutti i membri della squadra. Per cui anche la norma che punisce i violatori dell'accordo sembra presentare lo stesso problema 1/n che induce free riding nella scelta sul livello di sforzo. 8/29

9 Comunque, che ci sia questo genere di problema oppure no dipende dalla natura dell'uomo. E noi ormai sappiamo che l Uomo è molto più ricco di emozioni dell Homo economicus standard. In merito, infatti, sia l Ultimatum Game che il Gioco dei Beni Pubblici dimostrano che le persone sono desiderose di punire coloro che violano una norma. Il gioco dei beni pubblici lo abbiamo visto nelle precedenti lezioni basate sul libro di Hey. Vediamone ora la versione di Bowles (Capitolo III). 9/29

10 IL GIOCO DEI BENI PUBBLICI (Cap. III di Bowles) Come l Ultimatum Game, questo gioco suggerisce che l Homo economicus non segue poi così strettamente le assunzioni dell economia standard. Il gioco dei beni pubblici è talvolta chiamato dilemma del prigioniero con n-partecipanti perché ne condivide la struttura di incentivi. Se gli agenti si conformano La previsione dell assioma dell interesse personale (c i = 0 per i) è contraddetta invariabilmente in vari esperimenti. Nei giochi one-shot i contributi sono in media circa metà della dotazione, mentre nei giochi multiperiodali i contributi iniziano verso metà e poi diminuiscono, così che, in un gioco con dieci round, la maggioranza dei giocatori non contribuisce per nulla nel round finale. Una spiegazione è che molti avevano interpretato la diminuzione nei contributi come il riflesso del disappunto per le aspettative che altri avrebbero contribuito di più, assieme con il desiderio di punire 10/29

11 chi contribuiva poco (o almeno di non essere sfruttati) in una situazione in cui ciò può essere effettuato solo riducendo il proprio contributo. Una sorta di spirale perversa verso la 0-contribuzione. Inizialmente si pensava che questa diminuzione nella contribuzione confermasse il modello convenzionale: l idea era che, una volta che i soggetti avessero compreso il problema, non avrebbero contribuito per nulla. Tuttavia, esperimenti fatti riproponendo inaspettatamente un secondo gioco dei BP a giocatori che avevano appena finito di giocarne uno mostrano che i giocatori sembrano NON tener conto dell esperienza fatta nel primo gioco. Cioè, invece di ripartire da come si erano comportati alla fine del primo gioco, essi si comportavano come se fosse il loro primo gioco: al primo round del secondo gioco i contributi ricominciavano ad essere circa la metà e poi diminuivano fino a zero nel decimo e finale round. In ogni caso, sia il gioco del BP che quello dell ultimatum suggeriscono che gli agenti potrebbero voler punire chi vìola le regole comuni. 11/29

12 INTERAZIONI E PREFERENZE SOCIALI Torniamo a noi. Si è visto che ci sono motivi per cui i membri della squadra non sono incentivati a punire coloro che non rispettano l'accordo. Si è però anche visto che la natura dell Uomo può far decidere altrimenti. UN ESEMPIO, DUE OBIETTVI OBIETTVI 1. le preferenze possono attenuare il problema di coordinamento nelle produzioni di squadra. 2. le preferenze sociali possano essere usate nell'analisi delle interazioni sociali. ESEMPIO Preferenze sociali Supponiamo che i membri della squadra abbiano le seguenti motivazioni. Essi possono essere auto-interessati e quindi si preoccupano solo del proprio guadagno. Possono essere, incondizionatamente, altruistici o maligni (dispettosi) e quindi attribuiscono un certo peso, positivo o negativo (o zero), ai guadagni degli altri indipendenti (è perciò che altruismo/dispetto sono incondizionati) dai beliefs o sul tipo o sui passati comportamenti degli altri. Possono essere reciprocatori e quindi attribuire al benessere degli altri un valore che dipende da quanto i reciprocatori (che quindi sono condizionati) credono che gli altri siano persone brave/gentili/educate, o cattive: se sei OK, ti premio; altrimenti ti punisco (ricordate l Ultimatum Game). Possono avere norme riguardo a quanto dovrebbero contribuire: se violano la norma possono avere dei sensi di colpa. Infine, se violano la norma e vengono puniti pubblicamente, possono provare vergogna. Queste motivazioni (a parte il dispetto) possono indurre i membri della squadra a internalizzare l'effetto delle loro azioni sugli altri: La reciprocità induce il membro della squadra a punire i free riders. La vergogna può aumentare l'effetto indotto da una punizione imposta dagli altri. Il senso di colpa può indurre un più alto livello di contributo alla produzione. 12/29

13 Schema dell interazione sociale Consideriamo una squadra con due membri, i e j. La produzione della squadra varia linearmente con la produzione dei singoli membri. Ciascuno di essi riceve un ammontare pari a <1 volte la somma dei contributi. Ciascuno può allocare una frazione a k [0, 1] per k=i,j di un'unità di sforzo alla squadra e il rimanente (1 a k ) a un progetto privato. Dopo che ciascuno ha scelto un'allocazione, i contributi di ciascuno al progetto vengono resi pubblici e i può imporre una penalità μ ij su j, mentre j può imporre una penalità μ ji su i al costo di cμ 2 /2. PARTE OGGETTIVA Astraendo per il momento dal costo μ ij, il guadagno materiale di i è: PARTE SOGGETTIVA - Senso di colpa Ogni membro soffre a causa di un costo attribuito al senso di colpa pari a γ(a* a) 2 se il suo contributo devia dal contributo stabilito dalla norma (a*). NB se a* = a => senso di colpa =0. Può sembrare strano che si possa provare colpa per aver contribuito troppo al progetto comune (a*>a). Però lavorare (a*>a) implica contribuire meno di quanto sarebbe ottimo dedicare al progetto privato e, cioè, meno di (1 a*). Se ora immaginate che il progetto privato potrebbe consistere, per esempio, nel badare ai propri figli, potete capire il senso di colpa: papino, ho la recita dell asilo: mi vieni a vedere? Di seguito assumeremo che i membri contribuiscano meno del livello della norma, ma questa è una semplificazione, volta solamente a facilitare l'interpretazione del risultato. - Benevolenza e Reciprocità Come nel caso della funzione di utilità basata sulla reciprocità del capitolo III, il peso β ( benevolenza ) che ciascun membro attribuisce all'utilità dell'altro dipende sia dall'altruismo (o malignità) incondizionato sia dalla reciprocità. La benevolenza del membro i verso j è 13/29

14 α i [ 1,+1] rappresenta il dispetto o l'altruismo incondizionato di i, λ i [0, 1] è il grado di reciprocità di i. Il livello della motivazione reciproca dipende, quindi, da quanto j ha deviato dal contributo fissato dalla norma di i: Se j ha contribuito al progetto comune più della norma di i (a j >a i *) e se λ i >0, allora i diviene benevolente verso j ( ij >0) e valuta positivamente il benessere di j nel suo calcolo dell'utilità; Se, invece, j ha contribuito meno di a* allora i diventa malevolente nei confronti di j (β ij < 0) e la sua utilità aumenta se il benessere di j diminuisce. NB Rispetto a quanto trovate nell espressione del capitolo III, λ i é stato eliminato dal denominatore per ridurre la notazione e la confusione nei calcoli. Dunque, l agente i valuta anche il payoff di j. Assumiamo che, nel valutare il payoff di j, i non valuti il costo che j dovrebbe sostenere per punirlo. Ciò poiché sembra poco plausibile pensare che i possa incrementare il proprio contributo poiché 1) i è interessato a j e poiché 2) i sa che j deve affrontare dei costi nel punirlo se lui (cioè i) non contribuisce in misura sufficiente. - Vergogna La vergogna è un'emozione sociale evocata dal disprezzo degli altri, disprezzo misurato dalla volontà degli altri di incorrere in costi per punire un comportamento vergognoso. La vergogna è misurabile come segue: Quindi, σ é una misura della suscettibilità di i alla vergogna di essere punito dagli altri (μ ji ). Considerato tutto quanto detto finora, dunque, la punizione ad opera degli altri infligge sia un costo sia materiale (μ ji ) che un costo soggettivo (s i ). La misura totale del costo del la punizione ad opera degli altri è data da μ ji (1+σ i (a i * a j )). Per semplicità, nel caso numerico considerato di seguito, assumiamo che i due contributi stabiliti dalle rispettive norme siano identici e anche che α i e α j siano entrambe non negative. 14/29

15 Combinando le informazioni di cui sopra, otteniamo la funzione di utilità dell'individuo i: L'utilità di i è quindi espressa, nell ordine di cui alla formula, come la somma algebrica di: guadagno materiale di i (includendo il costo di essere puniti), valutazione, da parte di i, del guadagno materiale individuale di j, valutazione soggettiva, da parte di i, del proprio senso di colpa, valutazione soggettiva, da parte di i, della vergogna che prova egli stesso, costo sofferto da i nel punire j Una funzione analoga descrive l'utilità di j (basta cambiare i con j e viceversa). Si noti che i fa due scelte: 1) sceglie a i, poi, sulla base di quanto ha contribuito j, 2) decide se e in che misura punire j. Se j decide di contribuire per un ammontare tale per cui allora i punirà j. Il livello di punizione che massimizza l'utilità di i é dato da cμ ij = β ij. Infatti, questa uguaglianza rispetta la condizione che la scelta del livello ottimo di punizione deve essere tale che il costo marginale della pena (cμ ij ) sia proprio uguale al beneficio marginale della pena che, in altri termini, è la valutazione negativa del benessere altrui ( β ij ). Ciò, ovviamente, fintantoché β ij < 0: altrimenti si sceglie un livello di punizione pari a zero. 15/29

16 Quando la punizione è positiva essa, come atteso, è positivamente correlata a λ e negativamente correlata a α. Assumiamo ora che i sappia che la punizione inflittagli da j, se positiva, sarà μ ji = β ji /c. Sostituendo tale valore nella funzione di utilità di i, costui arriverà a calcolare il livello ottimo di contributo. Per capire l algebra di seguito riporto, per memoria, sia la funzione di utilità che altre equazioni già viste: Ricordiamoci ora la funzione di utilità nella quale vanno sostituiti i summenzionati valori: Sostituendo e ponendo uguale a zero la derivata della funzione di utilità post-sostituzioni rispetto ad a i, si arriva alla seguente: La condizione 4.18 richiede che a i * venga scelto in modo da uguagliare il costo e il beneficio marginale del contribuire. Infatti: 1+ (1+β ij ) = costo marginale del contributo alla produzione sul proprio guadagno individuale e quello dell'altro, quest'ultimo valutato dalla benevolenza di i nei confronti di j, λ j /c = riduzione marginale della punizione derivante dal contribuire di più (se, cioè, a i >a i *), 2 j (.) = variazione marginale del senso di colpa (varia solo se a i a i *), 16/29

17 i {.}=riduzione del senso di vergogna derivante sia dall'avvicinarsi al contributo stabilito dalla norma (a i > a i *) che dall invocare una minore punizione. Ricordando che β ij =α i + λ i (a j a i *), se λ i > 0 allora la differenziazione totale della condizione di primo ordine (cfr. equazione 4.18) rivela che (da i /da j )>0, per cui il contributo di i è crescente rispetto al contributo di j. Inoltre è anche vero che, per a i * > a i, si ha che (da i /dγ i )>0 e (da i /dσ i )> 0, per cui un aumento del senso di colpa e della suscettibilità alla vergogna di i ne incrementano il contributo. L'utilità del membro j implica considerazioni analoghe. Le funzioni di miglior risposta implicate dalle condizioni di primo ordine di i e j sono mostrate in figura 4.6. Figura 4.6. I contributi di equilibrio al progetto di squadra con preferenze sociali. Le linee tratteggiate illustrano gli effetti di statica comparata di: uno spostamento verso l'alto della funzione di miglior risposta di j indotto da un aumento del senso di colpa = Δγ j uno spostamento verso destra della funzione di miglior risposta di i causato da un incremento del livello di altruismo di i = Δ i. Se i motivi sociali fossero assenti, nessun membro contribuirebbe poiché, fintantoché <1, il beneficio materiale marginale sarebbe minore del costo marginale di contribuire (cfr. la parte oggettiva ). 17/29

18 Invece, livelli significativi di reciprocità inducono i membri a punire coloro che hanno contribuito in misura minore e questo motivo, da solo o in aggiunta al sentimento di vergogna, può indurre alti livelli di contribuzione. Insomma, reciprocità, vergogna e altri motivi sociali aumentano i contributi di tutti i membri. Il modello è facilmente generalizzabile ad una squadra a n membri. Anche in assenza della punizione, l'altruismo o il senso di colpa possono indurre i membri a contribuire di più. Poiché la loro interazione è talvolta complessa, sembra una buona idea controllare che effettivamente esista un equilibrio di Nash plausibile. ESEMPIO DI CONTROLLO (di esistenza di un NE) Assumiamo che i e j siano identici (=>tralascio gli indici) per cui a i =a j =a*. Dunque, la funzione di utilità si semplifica: e si ha anche che β ij =α i => ij =-α i /c Ricordando che il guadagno materiale è i =1-a i + (a i +a j )- ij, sostituiamo il tutto nella funzione di utilità semplificata e otteniamo: Poniamo ora: = 0.6, α = 0, a i =a j =a* = 0.5, λ = 0.3, γ = 0.6, σ = 0.6, c=0.75. Mettendo i valori dei parametri di questo esempio nella fz. di utilità ora trovata si ha che essa si riduce ulteriormente: u i = =0.1 (per j i calcoli sono simili). Ciò implica che se l agente i contribuisce come da norma e cioè a*=0.5 - allora costui otterrà 1.1 che è una cifra maggiore di quella che otterrebbe contribuendo zero e, cioè, 1. Viene 1 poiché gli agenti sono identici: a i =a j =0. Per cui u=1= (0+0). Dunque conviene contribuire. 18/29

19 Ne risulta che a N = 0.5 ovvero, i membri implementano reciprocamente le contribuzioni stabilite dalle norme comuni e, come risultato, non provano né senso di vergogna né senso di colpa né si puniscono l'un l'altro. In termini di benefici materiali netti (cioè -a) derivanti dal loro contributo al progetto, entrambi guadagnano 0.1: i -a i =1-a i + (a i +a j )- ij -a i =0.1= ( ) (per j i calcoli sono simili). COSA SUCCEDE SE GLI AGENTI VIOLANO LA NORMA (i.e. se a* 0.5) E' importante ricordare che in assenza di preferenze sociali (e fintantoché <1), i membri della squadra non avrebbero contribuito affatto al progetto comune. Il fatto che con preferenze sociali si contribuisca indica i) che queste preferenze sono importanti e che ii) sono importanti anche a prescindere dal fatto che in equilibrio gli agenti non provino né senso di colpa, né vergogna o benevolenza. Come conferma, consideriamo gli stessi due individui in uno stato di disequilibrio, in cui j contribuisce 0.4 e i contribuisce solamente 0.1. A seguito di tale comportamento, i guadagna 0.2 in termini di benefici materiali netti derivanti dal progetto (ovvero, 0.2=0.6( )-0.1). Tuttavia j svilupperebbe una forte malevolenza verso i (β ji < 0 ) e, come risultato, lo punirebbe duramente, infliggendogli costi materiali pari a 0.16=( 2 /2c)=(0.5 2 /2*0.75). Ciò, inoltre, indurrebbe un senso di vergogna in i che arrecherebbe ulteriori costi, questa volta soggettivi, pari a Va anche aggiunto l ulteriore costo soggettivo dovuto al senso di colpa (0.10). Insomma: si parte da guadagni oggettivi pari a 0.2 ma, sottraendo i costi soggettivi, si arriva ad una utilità totale di -0.1 (= ). Dunque, la miglior risposta di i è data da un aumento del contributo al progetto. Non c è nessuna ragione a priori per cui le preferenze sociali non possano persistere in equilibrio (anche se sembra improbabile che alti livelli di vergogna, colpa o punizione reciproca siano persistenti). Però, di fatto, non è così. Per capire perché di fatto non compaiono in equilibrio, supponiamo che i due membri si attengano a due norme di contribuzione differenti, con a j * > a i *. Queste norme sono di equilibrio e quindi nessuno degli agenti prova senso di vergogna o di colpa. Ma, a tali valori di equilibrio, il fatto che i contribuisca meno rispetto a j, può indurre j a punirlo e questa punizione fa parte degli incentivi per i ad aderire alla norma. Insomma, non si può parlare di 19/29

20 equilibrio definitivo e l equilibrio deve prevedere che le emozioni non possano più giocare alcun ruolo. QED. Vi sono alcuni attributi del modello degni di nota. PRIMO: l'altruismo e la reciprocità si possono controbilanciare. Infatti, un membro reciprocatore che è sufficientemente altruistico, non punirebbe un suo compagno di squadra, anche se questi contribuisse in misura inferiore. Comunque, potrebbe nutrire una benevolenza (netta) nulla nei confronti di quest'ultimo. Come risultato, si avrebbero bassi livelli di contribuzione da parte di entrambi. SECONDO: una persona che contribuisce poco, a causa di un livello basso di contribuzione definito dalla propria norma, a*, sarà anche meno reattivo ad una punizione. Ciò si può evincere dall'effetto della punizione sull'utilità, ovvero, 1 σ i (a i * a j ). TERZO: quando uno o più membri sono reciprocatori, l'interazione presenterà degli effetti positivi, in quanto le azioni di un membro inducono cambiamenti sulle azioni degli altri. La figura 4.6 descrive un NE unico in presenza di tali effetti. Non è comunque difficile pensare a tali interazioni in presenza di equilibri stabili molteplici, alcuni con un alto livello di contribuzione ed altri con un livello basso. 20/29

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