Definizione. Il valore assoluto lascia inalterato ciò che è già positivo e rende positivo ciò che positivo non è.

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1 VALORE ASSOLUTO Definizione a a, a, se a se a 0 0 Esempi x x, x, se x se x Il valore assoluto lascia inalterato ciò che è già positivo e rende positivo ciò che positivo non è. Utilizzando le funzioni e il loro grafico possiamo visualizzarlo immediatamente: y y f f x x Se quella rappresentata qui a fianco è la funzione y f x, quello colorato (cioè la curva che si trova tutta nel semipiano positivo delle y ) è il grafico della funzione y f x, ottenuta prendendo il grafico di f x quando già si trovava nel semipiano positivo delle y e capovolgendo il grafico che stava nel semipiano negativo

2 EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO In presenza di valore assoluto possiamo sempre utilizzare la definizione e distinguere i vari casi che si hanno. Facendolo si vede però che alcune situazioni si presentano sempre uguali ed è pertanto possibile saltare alcuni passaggi. Per esempio, vogliamo risolvere l equazione x. Utilizziamo la definizione e distinguiamo i due casi: x 0 x 0.. x x Sono due sistemi misti (nel sistema sono presenti sia equazioni che disequazioni) che hanno le seguenti soluzioni: S, S. Pertanto l insieme soluzione dell equazione di partenza sarà S S S ;. Vediamo cosa succede risolvendo invece quest altra equazione: x. I due casi saranno x 0 x 0.. x x Entrambi questi sistemi sono privi di soluzione e pertanto S Ø. Ancora un esempio. Vogliamo risolvere x 0. I due casi sono x 0. x 0 e le soluzioni dei due sistemi sono S 0,. x 0 x 0 S S S 0. S Ø. Pertanto Questi esempi si possono generalizzare ad una qualsiasi equazione del tipo x k, con k R. Se ricorressimo anche qui alla definizione di valore assoluto troveremmo che l equazione non ammette soluzione per k 0 (risultato ovvio se si tiene conto che il valore assoluto è sempre positivo e pertanto non può mai essere uguale ad un valore negativo), ha la soluzione x 0 se k 0, e le due soluzioni x k se k 0. Quanto detto si può applicare ad ogni equazione in cui un valore assoluto è uguagliato ad un numero reale. Esempi. x essendo k 0 l equazione non ammette alcuna soluzione S Ø.. x 0 essendo k 0 l equazione ammette come soluzioni i valori di x che annullano l argomento del valore assoluto x 0 S. x essendo k 0 l equazione ammette come soluzioni i valori di x che risolvono

3 separatamente le due equazioni x e x S Ø; pertanto S S S S. Diverso è il caso in cui nell equazione sia presente oltre al valore assoluto un espressione nell incognita, oppure l equazione in cui sono presenti più di un valore assoluto. In questi casi utilizziamo la definizione di valore assoluto e impostiamo i sistemi risolventi. Esempi. x x x 0. x x. x 0 x x Risolviamo il primo sistema. La prima disequazione ammette soluzioni negli intervalli x e x. L equazione ha come soluzioni i valori x. Ricordando che le soluzioni di un sistema sono quelle comuni a tutte le equazioni e/o disequazioni presenti, bisogna verificare che i valori trovati risolvendo l equazione appartengano agli intervalli individuati con la disequazione. Poiché x e entrambe le soluzioni del sistema sono accettabili e si ha S. Risolviamo ora il secondo sistema. x, La prima disequazione ammette soluzioni nell intervall0 x. L equazione, con gli opportuni 7 passaggi, è equivalente a 7x 0 e ha come soluzioni i valori x. Poiché , entrambe le soluzioni del sistema sono accettabili e si ha S Le soluzioni dell equazione di partenza saranno allora S S S ;. 7

4 . x x x 4 In questa equazione sono presenti più valori assoluti. Studiamo il segno di ciascun argomento e riportiamolo in un unico schema che ci permetterà di impostare i sistemi risolventi. L argomento del primo valore assoluto risulta positivo negli intervalli x 0 e x. L argomento del secondo valore assoluto risulta positivo negli intervalli x e x. Nello schema seguente, dove è stato riportato il segno degli argomenti, possiamo vedere che nel primo ( x ) e nel quarto ( x ) intervallo entrambi gli argomenti sono positivi, nel secondo intervallo ( x 0 ) il primo è positivo e il secondo negativo, nel terzo ( 0 x ) sono entrambi negativi e nel quarto intervallo ( x ) il primo valore assoluto ha argomento negativo e il secondo positivo. 0 argomento del ^ valore assoluto argomento del ^ valore assoluto L equazione data è allora equivalente ai seguenti sistemi: x x. x x x 4 0 x. x x x x 0 x x x x x x x 4 4 Le soluzioni di questi sistemi saranno anche soluzioni dell equazione data. Sarà quindi S S S S S4 Primo sistema: L equazione diventa x 0 e ammette l unica soluzione x che non è accettabile perché non appartiene agli intervalli individuati dalla prima riga del sistema S Ø Secondo sistema: L equazione diventa x x 6 0 e ha come soluzioni x,. Confrontiamole con l intervallo x 0 della prima riga del sistema: x ~, appartiene all intervallo, mentre x sicuramente non vi appartiene perché è positivo S 4 4 Non sarebbe corretto dire studiamo il segno del valore assoluto in quanto esso assume sempre segno positivo. Per decidere con quale intervallo si deve prendere l estremo è necessario ricordare la definizione di valore assoluto. Essendo x x nell intervallo in cui x 0 e x x nell intervallo in cui x 0 l argomento risulta 0., ne segue che l = è preso associato all intervallo in cui

5 Terzo sistema: L equazione diventa x 6 0 e ammette l unica soluzione x che non è accettabile perché non appartiene all intervallo 0 x della prima riga del sistema S Ø Quarto sistema: 9 6 L equazione diventa x x 0 e ha come soluzioni x,. Confrontiamole con l intervallo x della prima riga del sistema: x non vi appartiene, mentre x 4 4 appartiene all intervallo. S 4 Concludendo 7 S S S S S 4,. 4 In presenza di più di due valori assoluti si procede come nell esempio precedente: - si studia il segno dell argomento di ogni valore assoluto - si riporta tale segno in uno schema in cui l asse reale resta suddiviso in intervalli per i quali si sa, intervallo per intervallo, se togliere un valore assoluto lasciando inalterato l argomento (caso di argomento positivo o nullo) o cambiandogli il segno (caso di argomento negativo) - si impostano i sistemi risolventi, uno per ciascun intervallo, a meno che in intervalli diversi non si presentino le stesse condizioni sui segni degli argomenti - le soluzioni dell equazione saranno tutte le soluzioni di questi sistemi DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO Analogamente a quanto visto per le equazioni, la regola generale per risolvere disequazioni in cui siano presenti uno o più valori assoluti è quella di utilizzarne la definizione. Si studia quindi il segno dell (/degli) argomento (/i) e, a seconda del segno che ha (/hanno) nei vari intervalli, si sostituisce al valore assoluto l argomento o il suo opposto. Quando però siamo in presenza di un unico valore assoluto confrontato con un numero è possibile saltare alcuni passaggi. Vediamo come prima con esempi numerici e poi generalizzando. Vogliamo risolvere la disequazione x. Utilizziamo la definizione e distinguiamo i due casi: x 0. x. x 0 x S x R / 0 x, Sono due sistemi di disequazioni che hanno le seguenti soluzioni: S x R / x 0. Pertanto l insieme soluzione dell equazione di partenza sarà S S S x R / x.

6 Vediamo cosa succede risolvendo invece quest altra disequazione: x. I due casi saranno x 0 x 0.. x x Entrambi questi sistemi sono privi di soluzione e pertanto S Ø (risultato ovvio se si tiene conto che il valore assoluto è sempre positivo o nullo e pertanto non può mai essere minore di un valore negativo). Ancora un esempio. Vogliamo risolvere x 0. I due casi sono x 0 x 0.. x 0 x 0 Anche in questo caso, trattandosi di sistemi impossibili, S Ø. Questi esempi si possono generalizzare ad una qualsiasi disequazione del tipo x k, con k R. Se ricorressimo anche qui alla definizione di valore assoluto troveremmo che la disequazione non ammette soluzione per k 0, mentre se k 0 sono soluzione tutti i valori che appartengono all intervallo k;k, cioè tutti gli x tali che k x k. Se invece della disuguaglianza stretta ci fosse quella larga, se dovessimo cioè risolvere la disequazione x k, con k R, troveremmo che la disequazione non ammette soluzione per k 0, mentre se 0 k sono soluzione tutti i valori che appartengono all intervallo k;k, cioè tutti gli x tali che k x k (si vede immediatamente che nel caso k 0, l unica soluzione possibile sarebbe x 0). Applichiamo quanto visto a degli esempi in cui come argomento del valore assoluto ci sia un espressione in x (per il momento noi ci limitiamo a considerare polinomi, ma l argomento di un valore assoluto può essere un espressione che coinvolge funzioni qualsiasi). Esempi. 7x x essendo k 0 la disequazione non ammette alcuna soluzione S Ø.. x 8 0 essendo k 0 la disequazione ammette come soluzioni i valori di x che annullano l argomento del valore assoluto x S. x essendo k 0 la disequazione ammette come soluzioni i valori di x tali che x, cioè x, cioè S x R / x. x 4. x la disequazione ammette come soluzioni i valori di x tali che x, cioè x. Questa doppia disuguaglianza è equivalente al sistema x x 0. 0

7 La prima disequazione è verificata quando x, la seconda quando x oppure x. Riportiamo in uno schema di sistema le soluzioni delle due disequazioni per individuare le soluzioni comuni: ^ disequazione ^ disequazione sistema S x R / x x. Vediamo ora come ci si comporta nel caso x k, con k R. Cominciamo con degli Esempi. x x 7 8 essendo k 0 la disequazione sarà sempre verificata S R (il valore assoluto è sempre positivo e pertanto sarà sempre maggiore di un numero negativo!). 6x 8 0 con k 0 la disequazione sarà sempre verificata tranne che per il valore che annulla l argomento del valore assoluto 4 S R /. 4x 9 applichiamo la definizione di valore assoluto e impostiamo i due sistemi 4x 0 4x 0 risolventi:.. 4x 9 4x 9 Il primo è equivalente alla disequazione 4x 9, e il secondo alla 4x 9. Queste due disequazioni risolte daranno le soluzioni della disequazione iniziale. Generalizzando l esempio precedente si può dire che la disequazione x k è sempre verificata con k 0, escludendo il valore che annulla l argomento se k 0, mentre con k 0 ha come soluzioni i valori di x tali che x k oppure x k. Nel caso x k, con k R, si può facilmente concludere che la disequazione è sempre verificata se k 0, mentre con k 0 ha come soluzioni i valori di x tali che x k oppure x k.

8 4. x x le soluzioni saranno i valori di x tali che x x oppure x x. Risolviamo la prima disequazione: le soluzioni dell equazione associata sono x,, cioè x e x, pertanto S x R / x. Le soluzioni dell equazione associata alla seconda disequazione sono 4 x,, cioè x e x, pertanto S x R / x x. Le soluzioni della disequazione data saranno pertanto S S S x R / x x x.. 7x x x x in questo caso dobbiamo studiare il segno dell argomento 7 ( x 7x 0 quando x x 0 ) e impostare i due sistemi risolventi. 7 7 x x 0 x 0.. x 7x x x x 7x x x Risolviamo la seconda disequazione del primo sistema: x, cioè x e utilizziamo lo schema di sistema per determinarne le soluzioni 7 0 ^ disequazione ^ disequazione sistema S x R / x 0. Risolviamo la seconda disequazione del secondo sistema: 6x x 0, cioè x 6x 0. Le soluzioni dell equazione associata alla seconda 9 disequazione sono x,. La disequazione sarà quindi verificata x R / x. Riportiamo le soluzioni in uno schema per individuare le soluzioni di questo secondo sistema

9 7 0 ^ disequazione ^ disequazione sistema S x R / x 0. Pertanto S S S x R / x. x 6. x x In questa disequazione sono presenti più valori assoluti. Prima di studiare il segno di ciascun argomento e riportarlo in un unico schema che ci permetterà di impostare i sistemi risolventi, essendo x sempre positivo (con x 0 ), conviene passare subito ad una disequazione intera x x x con x 0. L argomento del primo valore assoluto risulta positivo negli intervalli x e x. L argomento del secondo valore assoluto risulta positivo nell intervallo x 0 (il valore x 0 non potrà però essere preso perché annulla il denominatore). Nello schema seguente, dove è stato riportato il segno degli argomenti, possiamo vedere che nel primo intervallo ( x ) il primo valore assoluto ha argomento positivo e il secondo negativo, nel secondo intervallo ( x 0 ) sono entrambi negativi, nel terzo ( 0 x ) il primo è negativo e il secondo positivo, nel quarto ( x ) sono entrambi positivi. 0 argomento del ^ valore assoluto argomento del ^ valore assoluto La disequazione data è allora equivalente ai seguenti sistemi: x. x x. x 0 x x. 0 x x x 4. x x x Le soluzioni di questi sistemi saranno anche soluzioni dell equazione data. Sarà quindi S S S S

10 Primo sistema: La seconda disequazione diventa x 0 le cui soluzioni sono x x che, confrontate S x R / x con l intervallo individuato nella prima riga del sistema, portano a Secondo sistema: La seconda disequazione diventa 0 ed è sempre verificata; le soluzioni del sistema saranno quindi S x R / - x 0 Terzo sistema: La seconda disequazione diventa x 0 le cui soluzioni sono x che, confrontate con l intervallo individuato nella prima riga del sistema, portano a S x R / 0 x. Quarto sistema: La seconda disequazione diventa 0 che non è mai verificata; sarà quindi S Ø Concludendo S S S S S4 x R / x x 0. 4