Determinare la massa dei corpi del Sistema Solare

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1 Deteinae la assa dei copi del istea olae Daniele Gaspai La deteinazione della assa dei copi celesti è una delle isuazioni in assoluto più difficili da effettuae, non tanto pe difficoltà teoiche, quanto pe vei e popi ui ossevativi. La isua della assa è il noale passo in avanti nello studio dei copi del sistea solae; essa è utile pe capie un infinità di cose, ta le quali, le più ipotanti sono: 1) Deteinazione esatta obite, in paticolae del cento di assa ) Deteinazione della densità edia e quindi della coposizione chiica, nonché pie ipotesi sulla stuttua intena e sulla stessa dinaica del pianeta, coe eventuale pesenza di un capo agnetico, pesenza ed eventuale evoluzione dell atosfea ) Ipotanti indizi sulla nascita ed evoluzione del sistea solae, a patie dalle condizioni della sua nascita 4) Ipotanti conseguenza diettaente sull astonautica; conoscee la assa di un copo celeste è assolutaente condizione necessaia affinché si possa inviae con successo una sonda nella sua obita o nella sua supeficie. 5) Conoscee la assa del ole o della nosta Luna significa avee ipotanti infoazioni sull evoluzione stellae e sul noto fenoeno delle aee. Oa che sappiao a cosa seve la assa, siao in gado di die cosa essa sia? Il concetto di assa, pu essendo sotto i nosti occhi ogni giono della nosta vita, è in assoluto uno dei concetti più difficili da spiegae e da fa capie; olti di voi pobabilente confondeanno la assa con il peso di un oggetto; effettivaente questa è opinione abbastanza diffusa, e lo diosta il fatto che nella vita di tutti i gioni usiao coe unità di isua del peso il Kg, che in ealtà è unità di isua della assa, e consideiao i teini assa e peso coe sinonii. In ealtà questo è totalente sbagliato; la assa è una speciale popietà della ateia, che si può isuae attaveso delle ipotanti elazioni, tutte scopete da Newton, oai qualche secolo fa. Di sicuo la assa non è il peso di un oggetto; piuttosto il peso di un oggetto è la conseguenza dello stano copotaento che ha la ateia in quanto dotata di assa. Non è tutto; possiao ancoa coplicaci la vita, dicendo che esistono due tipi di assa: la assa ineziale e la assa gavitazionale. e capie eglio il tutto, possiao coinciae con il dienticae tutto quello che cediao di sapee sulla assa, e cecae di seguie un discoso logico: Fu lo stesso newton ad ossevae che ogni copo in quiete o in oto ettilineo unifoe, in un sistea di ifeiento ineziale (cioè non acceleato) se sottoposto ad una foza, cabia il suo stato di oto, in paticolae la sua velocità. Ogni copo, al quale viene applicata una foza subisce un acceleazione. Questo è abbastanza seplice da notae nelle couni espeienze; eno scontano è capie che nulla cabia se il copo si tova in quiete o in oto ettilineo unifoe; la foza cabia il vettoe velocità; ogni foza poduce un acceleazione, indipendenteente dallo stato di oto ettilineo unifoe o di quiete che si aveva pia (pincipio di elatività Galileiano). Newton fu un gado di capie che l entità dell acceleazione di un copo ea sicuaente popozionale alla foza applicata, a anche ad un alta gandezza, tipica del copo: la assa ineziale. Da queste d p dv consideazioni nacque la faosa seconda legge di Newton: F i ia dove p dt dt quantità di oto dell oggetto (pv), a acceleazione, i assa ineziale; aggioe è la assa ineziale, aggioe è la foza che devo applicae pe avee una stessa acceleazione; in questo caso la assa quindi appesenta la esistenza che un copo ha a cabiae il suo stato di quiete o di oto

2 ettilineo unifoe: copi con assa inoe vengono acceleati di più ispetto a copi di assa aggioe, a paità di foza applicata. La assa (ineziale) esiste a pescindee dall abiente dove si tova il copo, sia esso sulla supeficie teeste o nel pofondo spazio in copleta senza di gavità. La assa gavitazionale è un alta popietà della ateia a che non ha alcun legae fisico con la sua assa ineziale; coe abbiao appena visto quest ultia è una costante di popozionalità ta la foza applicata e l acceleazione subita; lo stesso discoso vale pe la foza di gavità. Fu infatti sepe lo stesso Newton a capie il otivo pe il quale ogni copo sulla supeficie teeste cada sulla supeficie; questa potebbe essee un ossevazione banale, a quanti di voi si sono chiesti ed hanno veaente capito il peché gli oggetti cadono? Newton iuscì a ispondee a questa (appaenteente) banale doanda; esso capì che ta due copi esiste una foza, sepe attattiva, invesaente popozionale al quadato della loo distanza e popozionale ad una costante, detta costante di gavitazione univesale e a delle gandezze che descivono in qualche odo le popietà dei copi in gioco, dette appunto asse gavitazionali. Newton fu in gado di capie che la foza che iesce a fa cadee una ela da un albeo è esponsabile del oto dei pianeti e dell inteo univeso. G1g g gli fu quindi in gado di capie l entità di questa foza, sepe attattiva: F. (in ealtà questa foula vale pe un sistea a sietia sfeica)le asse 1 g e g sono chiaate asse gavitazionali e descivono le popietà dei copi di attae alti copi; sulla base delle due definizioni date, si capisce che le asse ineziali e gavitazionali non sono in alcun odo legate, e non c è quindi nessun otivo fisico evidente pe il quale pe uno stesso copo queste due popietà debbano essee uguali. a si sa che la Natua spesso aa sopendee, e ben pesto si capì che pu non avendo nessun legae appaente, i valoi delle due asse coincidono pefettaente!la assa ineziale e la assa gavitazionale, pu descivendo due popietà copletaente divese della ateia, hanno in ealtà lo stesso identico valoe! Fu il fisico ungheese tvos che pe pio cecò di isuae le diffeenza ta assa gavitazionale ed ineziale con una seie di espeienti; egli, con gande stupoe tovò due valoi copletaente identici, anche se involontaiaente, fu lo stesso Galilei a povae questo. Infatti egli notò che, in assenza di attito, tutti i copi cadono con la stessa acceleazione, indipendente dalla loo assa; una piua e un pesante asso, cadono esattaente con la stessa acceleazione e, se lasciati cadee allo stesso istante, toccano tea contepoaneaente. Questo copotaento è giustificabile dal punto di vista fisico, solo assuendo che la assa ineziale è uguale a quella gavitazionale; infatti la seconda legge di Newton affea che un copo sottoposto ad una foza subisce un acceleazione: F 1 ia, ente la legge di gavitazione (sepe G1g g dello stesso Newton) ci dice che ogni copo subisce una foza pai a: F, e quindi in G1g g definitiva si ha: F 1 i a e quindi: indipendente dalla assa del copo, alloa deve essee G supeficie teeste si iconduce a : g dove 1, G1 g g a ; siccoe l acceleazione è 1, 1i i 1g 1, G 1 e quindi: a. Questo, sulla assa della Tea, aggio della Tea e g acceleazione di gavità: questa è l acceleazione con la quale ogni copo, indipendenteente dalla sua assa, cade sul suolo teeste, veso il cento della Tea. 1, 1,

3 Olte ad ave capito che assa ineziale e gavitazionale hanno lo stesso valoe (pu essendo concettualente due cose divese!), siao aivati ad una elazione olto potente che ci consente di isuae diettaente la assa della Tea, conoscendo sepliceente il suo aggio e l acceleazione con cui un copo cade. L unica incognita, di cui non abbiao ancoa palato è la costante G, detta costante di gavitazione univesale. ssa è una costante della Natua, e il suo valoe è sepe tale a pescindee dalla foa dei copi e dalle loo posizioni. A die la veità, il valoe della costante di gavitazione univesale, è il più difficile da isuae di tutte le costanti della natua; esso infatti si può calcolae soltanto studiando attentaente le inteazioni gavitazionali ta due oggetti, a il poblea è che la foza di gavità è di gan lunga la più debole delle foze della natua, con la conseguenza che sevono asse enoi pe notae un qualche effetto, o avee delle pecisioni di isuazione che ichiedono una ceta tecnologia. Non a caso, il valoe di G fu sconosciuto fino al faoso espeiento di Cavendish, effettuato nel 1798, e quindi più di 100 anni dopo che Newton la popose coe legge della natua. Attualente il valoe di G non è conosciuto con la stessa pecisione delle alte costanti della natua, 11 e vale: G ( ± ) x10. kg s appiao quindi oa cosa sia in ealtà la assa, a il peso cosa è? Il peso alto non è che la foza con cui un copo, di aa, è attatto veso il cento della Tea dal suo capo gavitazionale.; in alte paole la foza peso è la foza di gavità che un copo subisce in quanto si tova sulla G1 supeficie teeste; esso è chiaaente legato alla assa; infatti si ha: F 1a ; a G g e quindi F 1 g ; il peso non è alto che la assa dell oggetto oltiplicata pe l acceleazione di gavità. Chiaaente se conosciao il peso e l acceleazione di gavità siao in gado di conoscee facilente la assa del copo, e natualente anche vicevesa. Il peso tuttavia, olte ad avee un unità di isua che non siao abituati a vedee (N Newton) è chiaaente dipendente dal valoe dell acceleazione di gavità e quindi il peso è una qualcosa che dipende da dove il copo si tova; se abbiao un oggetto di assa 1Kg sulla tea, alloa esso peseà 9.8N, in quanto l acceleazione edia di gavità è di 9.8 / s ; sulla luna esso peseà 6 volte di eno, peché la gavità lunae è 1/6 di quella teeste; è chiao peò che la sua assa è sepe la stessa! Nella vita di tutti i gioni, siccoe ta assa e peso c è solo una costante di popozionalità, è noale confondee i due teini ed assueli quasi coe sinonii; l ipotante è capie bene che in ealtà sono due cose copletaente divese! Una cuiosità: a le bilance, cosa isuano?la assa o il peso? In ealtà quasi tutte le bilance isuano il peso (sono dei dinaoeti) e poi taite la costante di popozionalità ci danno il isultato in Kg, e quindi una assa. Cosa succede peò se potiao una noale bilancia pesapesone sulla Luna?uccede che essa ci da un valoe diveso; secondo la bilancia la nosta assa è cabiata, a in ealtà solo il nosto peso è cabiato; l eoe deiva dal fatto che la costante di popozionalità è iasta sepe la stessa, e cioè g. LA DTRINAZION DLLA AA DI CORI CLTI Dopo ave spiegato beveente la foza di gavità e cosa sia la assa, andiao a vedee coe potela calcolae; Il nosto obiettivo è oa quello di tovae dei etodi pe stiae la assa dei copi celesti, dalla Tea al più piccolo asteoide, passando pe il nosto ole. Ci sono sostanzialente etodi pe il calcolo della assa, ed essi sono, dal più gossolano al più peciso: 1,

4 1) tia della densità edia di un copo; con questo dato e il suo aggio, siao in gado di 4 icavaci la assa, coe: Vρ dove V volue π nel caso di copi sfeici, e ρ densità edia del pianeta; questo è in assoluto il dato più sensibile ad eoi; infatti la densità edia di un pianeta dipende sia dalla coposizione chiica edia (effetto di diffeenziazione), sia dall effetto di copessione gavitazionale della ateia contenuta nel suo inteno, che dipende dalla sua assa. Questo etodo è olto appossiato, a alcune volte è l unico in gado di daci qualche isposta ) Teza legge di Kepleo: attaveso questa legge, possiao deteinae con ottia pecisione sia la assa del nosto ole, che la assa di qualunque copo celeste che possiede un satellite olto eno assiccio. Questa tecnica consente anche di deteinae la assa della Luna, anche se è ichiesta la conoscenza della assa del nosto pianeta ) Acceleazione di gavità: isuando l acceleazione edia di gavità del copo celeste, siao facilente in gado di calcolae accuataente la sua assa; nonostante questo sia il etodo più peciso, è anche il più difficile da attuae, poiché bisogna conoscee l acceleazione di gavità. e questo è facile da ealizzae sulla Tea, non lo è altettanto pe tutti gli alti copi celesti a noi lontani; l unico odo è di inviae una sonda veso il copo da esploae ed analizzae con quale acceleazione essa ne viene attatta. chiao peò che, pe non specae una costosissia sonda solo pe un accuata isua della assa del pianeta la assa dell oggetto sia già nota, o aleno stiata; questo etodo quindi può essee efficaceente utilizzato solaente pe iglioae (a volte di olto) pecedenti isue. 1) Densità edia di un copo. Questa è la tecnica che si utilizza pe fae una pia stia ozza e veloce, o in assenza di alte infoazioni. Infatti le uniche infoazioni necessaie solo il aggio (edio) del copo celeste e la sua densità (edia); se il aggio si isua facilente, altettanto non si può die pe la densità. Il valoe edio, deve tenee conto di: - coposizione chiica supeficiale, e quindi densità supeficiale - livello di diffeenziazione gavitazionale. La diffeenziazione gavitazionale è infatti quel pocesso che a causa dell autogavità del copo celeste pota gli eleenti più densi a sisteasi veso il cento, ente quelli eno densi tendono a sisteasi in possiità della zona supeficiale. Il fenoeno è analogo al galleggiaento di uno stato d olio in un bicchiee d acqua; se consideiao che i pianeti, nelle loo fasi di foazione, eano copi copletaente fusi, alloa non facciao fatica a capie coe gli eleenti più densi coe il feo e il nichel siano spofondati veso il nucleo, ente eleenti più leggei coe silicati e coposti del cabonio, siano iasti in supeficie. Con le foule appena viste, siao in gado di spiegae il peché: abbiao visto infatti che un copo ieso in un capo gavitazionale sente una foza popozionale alla sua assa: F 1 g (la foza peso), e quindi è chiao che un volue unitaio di feo avà una assa aggioe di un pai volue di cabone, e quindi sentià una foza aggioe (pu acceleando sepe con la stessa acceleazione g!); in questo scenaio gli eleenti più pesanti si dispongono nel nucleo, ente quelli leggei copongono la costa; il pianeta è quindi coposto di stati che hanno divesa coposizione chiica e divesa densità. Questo significa che pe stiae la densità edia, non possiao assolutaente liitaci a studiae la coposizione chiica degli eleenti in supeficie, che non appesentano un capione significativo. Un esepio? L abbondanza di feo nella costa teeste è di cica il 5%, ente nel nucleo si pensa che esso costituisca cica l 80%; non possiao quindi pendee il 5% del feo in supeficie coe appesentante dell intea abbondanza di questo etallo nell inteo pianeta.

5 Da cosa dipende il livello di diffeenziazione gavitazionale? ostanzialente dalla assa e quindi dalla gavità del pianeta e dal suo tasso di affeddaento dopo la foazione ( e dalla sua stoia evolutiva: ad esepio sconti con asteoidi). Un piccolo pianeta coe plutone, ad una distanza così gande dal ole, non ha avuto abbastanza tepo, ne abbastanza gavità da pote ave sviluppato una stuttua a stati coplessa e netta coe quella teeste; pe questo, nella stia della assa si può anche tascuae questo fatto. Quest affeazione è ancoa più vea pe la totalità degli asteoidi della fascia pincipale e pe olti piccoli KBO; gli asteoidi infatti, sono nella quasi totalità, oggetti piccoli, e di foa iegolae; è natuale pensae che se un tale copo celeste non ha avuto odo di assuee una foa sfeica, non può neanche avee avuto un efficiente pocesso di diffeenziazione (i due pocessi hanno dei punti in coune); questo è povato anche dalla coposizione chiica supeficiale, osta nella gande aggioanza dei casi, una pesenza di feo olto aggioe di quella pesente nella costa teeste. e assuiao che tutti i copi del sistea solae si siano foati da una stessa nube potosolae, alloa è lecito pensae che le abbondanze di etalli, sopattutto ta i pianeti occiosi, siano all incica le stesse e che la divesa coposizione sia da icecae altove, coe ad esepio nel diffeente pocesso di diffeenziazione. - La pessione intena: la densità del feo, in noali condizioni è di 7800 Kg /, ente quella del nucleo inteno teeste, coposto quasi esclusivaente da feo è di ben 1000 Kg / ; questo è dovuto all enoe pessione che il nucleo subisce a causa della pesenza degli stati sovastanti; la pessione intena deve quindi essee consideata, aleno pe i pianeti più gandi.

6 Coe si può vedee, non è facile, dalle seplici ossevazioni, calcolae la densità edia di un copo celeste. ossiao distinguee gandi faiglie di copi celesti, che pesentano difficoltà e seplificazioni divese: 1) asteoidi e (piccoli) KBO, cioè copi celesti in cui possiao tascuae gli ultii due punti visti sopa; questo è paticolaente veo ano a ano che si pala di oggetti piccoli e coe etodo di confonto possiao utilizzae la foa sfeica o no del copo. ) ianeti occiosi: pe essi, possiao consideae coe paagone la Tea, e icavae la densità edia, utilizzando coe odello il nosto pianeta, natualente coeggendo pe le divese diensioni e coposizioni chiiche. ) ianeti gassosi: in questo caso il odello teeste non ci aiuta peché la coposizione chiica è totalente diffeente e le densità edie sono olto divese da quelle teesti. e stiae coettaente la densità alloa si dovebbe stiae la coposizione chiica edia e poi costuie un odello fisico-ateatico del copotaento che segue una sfea di tale diaeto sottoposta alla sua stessa autogavità. Questo poblea appaenteente coplicato, in ealtà non pesenta poblei di svolgiento; piuttosto esta l incognita della coposizione chiica edia. chiao adesso peché questo etodo è conveniente applicalo solaente quando non si hanno alte stade da pecoee; fotunataente, nella aggioanza dei casi questo si veifica con i copi inoi del sistea solae, che possiedono una stuttua ben più seplice. ) Teza legge di Kepleo: la legge deivata speientalente da Kepleo, può esseci davveo olto utile nel calcolo delle asse; essa, nella sua foa esatta, deivata dal poblea dei due copi, contiene in se la teoia della gavitazione sviluppata da Newton, a la ende di più facile applicazione nel calcolo della assa. (è chiao che la legge di kepleo e la gavitazione di newton in ealtà descivono la stessa cosa, cioè la gavità, che è l unica foza che egola la dinaica del sistea solae (aleno a gandi linee) anche se sotto punti di vista divesi). La teza legge di Kepleo, nella sua foa esatta affea che, pe un sistea / π a di due copi, il peiodo di ivoluzione è dato da: ; chiaaente essa è G( + ) valida sia se applicata ta un pianeta e il ole o ta un pianeta ed un suo satellite; l unica condizione ichiesta è che i due copi obitino intono al coune cento di assa. In ealtà essa si ifeisce ad un sistea costituito da soli due copi, cosa che non succede nel caso del sistea solae. Infatti, pe una tattazione esatta, doveo consideae tutti i copi e le utue inteazioni gavitazionali. iccoe questo poblea a n copi non lo sappiao isolvee in aniea esatta, un sistea di n copi viene consideato coe tanti sistei a due copi al quale poi si ceca di aggiungee le petubazioni gavitazionali esecitate dalla pesenza degli alti. Tuttavia c è da die che nella gande aggioanza dei casi, una tattazione così appofondita non è ichiesta e le elazioni del poblea dei due copi sono valide e lo estano su un tepo di scala abbastanza lungo. Avete counque odo di veificae questa appossiazione (e in pate l avete già avuto): i isultati che si ottengono sono sopendenteente vicini alla ealtà o counque influenzati da eoi di divesi odini di gandezza aggioi. iccoe sappiao coe calcolae la assa della Tea con l uso dell acceleazione di gavità, possiao usae la legge di kepleo pe calcolae la assa dei copi celesti gavitazionalente legati con il nosto pianeta: la Luna e il ole; pe la nosta stella abbiao quindi: 4π a G, dove a è il seiasse aggioe dell obita teeste (l unità astonoica), e è il peiodo di ivoluzione (che vale s ); pe la Luna, bisogna chiaaente utilizzae il seiasse lunae e il suo peiodo di

7 ivoluzione: 4π a G. facile notae che, nel caso del calcolo della assa del ole, possiao anche tascuae la assa del nosto pianta, siccoe è cica 1 ilione di volte inoe, e quindi influià sul isultato finale solo a patie dalla sesta cifa. Il discodo invece non può essee fatto pe la elazione che ci da la assa della luna, in quanto i due copi, pu non essendo uguali, sono peò confontabili. Abbiao quindi tovato il odo di calcolae la assa della Tea, della Luna e del ole, con la legge di Kepleo; siccoe tutti gli alti copi celesti sono legati al ole, non è difficile iaginae che applicando la legge di Kepleo al geneico sistea ianeta-ole, posso icavae la assa di ogni copo del sistea olae. Questo è veo solaente in linea teoica; in ealtà, anche se fisicaente veo, il calcolo pota a isultati pivi di senso: peché? La isposta è seplice; tutti i pianeti del sistea olae hanno asse che sono da 1000 (Giove) a iliadi di volte inoi di quella del ole; pe avee un calcolo pivo di eoi (visto che esso si popaga) doveo conoscee con una pecisione ipensabile tutti i dati ichiesti, coe seiasse aggioe e peiodo di ivoluzione, nonché avee una potenza di calcolo abbastanza elevata da pote tascuae gli eoi di aotondaento. Visto che stiao palano di nuei con cica 40 cife (!) la cosa coincia a diventae abbastanza coplicata! Inolte, la foula stessa agevola la popagazione degli eoi; senza entae nel eito, vediao che il seiasse aggioe copae al cubo e il peiodo al quadato; un piccolissio eoe nell inseiento del seiasse aggioe, copota un eoe totale di odini di gandezza (cioè ille volte!); pe il peiodo l eoe è solo di odini di gandezza, pe non palae del valoe della assa da sottae che ha appena cife! facilente intuibile che non possiao chiedee una pecisione così elevata, e quindi appae un utopia cecae di calcolae le asse planetaie con la assa del ole. Il calcolo può dae un isultato cedibile (aleno coe odine di gandezza) pe pianeti assicci coe Giove e atuno, ente, pe esepio, se applicato a ate, anche con dati olto pecisi, esso da isultati pivi di senso (una assa negativa!). ovate infatti ad applicae la teza legge di Kepleo al sistea ate-ole, con i seguenti dati: 4π a G e a 1.57a g ; il isultato che si ottiene ( g ) è olto stano, decisaente pivo di significato! e calcolae quindi le asse dei pianeti, dobbiao tovae un alta idea; chiaito il fatto che i etodi pe il calcolo sono i te già descitti all inizio, appae chiao che non abbiao olte scelte; tuttavia, abbiao detto che la legge di Kepleo si può applicae a qualunque sistea (che si può consideae di due copi) gavitazionalente legato; tutti i pianeti, ad esclusione di ecuio e Venee, hanno da uno (la Tea) a dozzine di satelliti che gli uotano attono; questa è la nosta chiave; alcuni satelliti sono piccoli e densi coe l acqua, e quindi con una assa veaente esigua se confontata con quella dei loo pianeti. I satelliti di ate sono due asteoidi di pochi K di diaeto, ente, sebbene Giove ospiti i satelliti più gandi del sistea solae, la loo assa è ben poca cosa se confontata con un gigante del genee; stessa cosa vale pe tutti gli alti pianeti, ad esclusione, ancoa una volta, di lutone e Caonte. e quest ultii, la configuazione che si pesenta è siile al caso Luna-Tea, anzi, olto più accentuato; le asse dei due copi celesti sono confontabili e quindi la legge di Kepleo ci fonisce la assa totale del sistea, non le singole asse; pe sepaae i due contibuti si devono tovae alte vie, che coe vedeo, non sono olto difficili, aleno pe il sistea lutone Caonte, aettendo di conoscee aggio, distanza e assuendo una coposizione chiica uguale (gli indizi ci sono tutti, coe pocedeeste voi?).

8 Cobinando quindi la legge di Kepleo pe il sistea ianeta-ole con quella ianeta- atellite, assuendo tascuabili le petubazioni sui due oti obitali (satellite e satellite+pianeta-ole), e scegliendo un satellite con una assa olto infeioe al pianeta, siao in gado di aivae ad una elazione olto ipotante: e il pianeta e il ole, si ha / / π a π a ; ente pe il pianeta e il suo satellite: ; G( + ) G( + ) un dividendo le due elazione ebo a ebo e anipolando un po, si ha: un 1 + a + un a un ; i appoti ta paentesi, possono essee scitti, + a a + 1 con buona appossiazione: 1 + 1, e quindi la elazione che otteniao un a saà: ; consideando anche la legge di Kepleo pe il sistea ianeta-ole: a un un 4π a + abbiao un sistea di due equazioni in due incognite ( e G un ) a un a facilente isolvibile: ; in effetti, non abbiao bisogno neanche di 4π a un + G conoscee la assa olae, peché il sistea peette di icavae entabe le asse. chiao che se conosciao a pioi la assa solae, i calcoli si seplificano: a un. I isultati che si ottengono sono olto attendibili, e la loo accuatezza a dipende sostanzialente dai dati inseiti e dall usae asse planetaie olto inoi di quella solae e asse dei satelliti olto inoi di quelle dei pianeti (aleno 1000 volte). La foula non può essee applicata al sistea Tea-Luna e lutone-caonte, in quanto non vengono soddisfatte le condizioni delle asse. La pecisione aggiunta è gande pe pianeti tipo ate, Uano e nettuno e tutti i copi celesti che hanno piccoli satelliti (olti asteoidi e KBO), ente pe Giove e atuno, le cui asse non sono così piccole se copaate al ole, il isultato può essee iglioato, in paticolae pe Giove. e il pianeta gigante, una pecisione aggioe può essee aggiunta confontando il valoe ottenuto da queste elazioni con quello ottenuto dall applicazione delle teza legge di Kepleo vista in pecedenza, che pota a isultati sensati nel caso del pianeta gassoso. C è da die che questa è piuttosto una pignoleia che una vea utilità; i isultati ottenuti sono influenzati da alti eoi e appossiazioni (quali l assuee il pianeta a densità costante e sfeico) e la diffeenza è counque apiaente tascuabile. Con questo sistea, si può calcolae in un alto odo la assa teeste; invece di consideae la nosta Luna, possiao consideae le alte igliaia di satelliti atificiali che vi obitano intono. iccoe bisogna conoscee alcuni eleenti obitali coe il seiasse aggioe e il peiodo di ivoluzione (esatti), la cosa non è così seplici. ossiao seplificae notevolente le cose consideando i satelliti geostazionai, cioè che hanno lo stesso peiodo obitale della otazione teeste e obita cicolae ed equatoiale; pe essi è

9 facile calcolae anche il seiasse aggioe della sua obita (che coincide con il aggio) e il peiodo di ivoluzione uguale alla otazione teeste: oe 56 inuti e 4 secondi. chiao che questo calcolo è un esecizio pe capie coe si calcola la assa di un pianeta conoscendo dati obitali di un satellite obitante; infatti i satelliti geostazionai, coe tutti gli alti satelliti atificiali, necessitano, pe essee essi in obita, di una conoscenza pecisa della assa teeste! upponiao di conoscee anche la assa solae;la distanza dell obita dalla supeficie teeste è di 570 K; pe tovae il seiasse aggioe, che è anche il aggio obitale, questo valoe va chiaaente ifeito al coune cento di assa del sistea tea-satellite, che può essee identificato con il cento del nosto pianeta (la assa del satellite la si tascua, essa è di qualche centinaio di Kg!), e quindi 8 1 a d K c, ente 86400s, a c, s, sun g ; quindi: a 7 un g, un a 7 7 valoe esteaente vicino a quello attualente accettato ( g ). ) Acceleazione di gavità: Con questo etodo siao in gado di isuae accuataente la G assa teeste, dalla seplice elazione già vista: g g e quindi: ; G intoducendo i dati, coe aggio teeste, e acceleazione di gavità, ( 678K, 7 g 9.81 / s ) toviao g ; in ealtà questo è un dao appossiato, e anche un calcolo in appaenza così seplice, può essee coplicato a piacee, nella iceca della assia pecisione. Infatti sappiao che la Tea è leggeente schiacciata ai poli, e quindi aggio equatoiale e polae non coincidono: quale pendee dunque? Non solo, anche l acceleazione di gavità saà divesa, a causa dello schiacciaento polae, a sopattutto della foza centifuga sepe pesente su un copo in otazione, utilizzando un sistea di ifeiento non ineziale. La foza centifuga è una foza appaente che si anifesta soltanto se si consideano sistei di ifeiento uotanti, coe appunto il caso di ogni pianeta. Il suo veso è contaio a quello della gavità e quindi il isultato è un acceleazione di gavità isultante inoe di quella eale. L effetto è assio all equatoe, in cui la velocità di otazione aggiunge il assio, e nullo ai poli dove essa è nulla. Il isultato è che l acceleazione isuata all equatoe è di 9.78 / s, ente ai poli di 9.8 / s (a solo una piccolissia pecentuale è dovuta effettivaente alla foza centifuga). La doanda quindi soge spontanea: quale valoi pendee? Un buon copoesso è pendee dei valoi edi, sia pe il aggio che pe l acceleazione di gavità; un calcolo più coplesso che tenga conto dello schiacciaento polae, e della divesa distibuzione delle asse (che povoca le cosiddette anoalie gavitazionali) ichiede un odello olto peciso della stuttua e coposizione teeste, con il isultato che si ottengono dati olto olto siili a quelli già tovati; insoa, in questo caso il gioco non vale la candela! Data la sua seplicità e pecisione, il etodo può venie applicato anche ad alti copi celesti a solo a condizione di iglioae le isuazioni pecedenti; la situazione è abbastanza seplice; basta calcolae l acceleazione subita da una sonda in otta veso il pianeta consideato, la sua distanza dal cento del pianeta stesso e quindi calcolae la assa dalle foule appena viste, coe già accennato in pecedenza. Il etodo è seplice a ichiede l invio di una sonda veso il pianeta, e quindi difficile da ettee in patica; tuttavia, pe pianeti che non possiedono satelliti, questo è l unico etodo pe conoscee con sufficiente pecisione la loo assa; è popio in questo odo che si isuò la assa di Venee e ecuio, quando negli anni 70 le sonde aine passaono nelle loo vicinanze;

10 seba stano, a fino a quel oento si conosceva solo una stia alquanto appossiata, data da congettue sulla loo coposizione supeficiale e stuttua intena.