Calcolo delle Probabilità

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1 Calcolo delle Probabltà pr - 1 Che collegamento c è tra gl strument statstc per lo studo de fenomen real e l calcolo delle probabltà? Vedremo che non sempre la conoscenza delle caratterstche d un fenomeno può essere conseguta osservando tutta la popolazone ma deve essere estratto un campone (rlevazone parzale) La STATISTICA INDUTTIVA o INFERENZIALE ntende descrvere non tanto cò che traspare dalle manfestazon osservate (rlevazon parzal), ma quello che emergerebbe qualora la rlevazone fosse estesa all nseme d tutte le manfestazone del fenomeno. L ncertezza che derva dalla parzaltà della rlevazone è domnata dalla TEORIA DELLE PROBABILITÀ pr - 2

2 TERMINOLOGIA EVENTI: enttà caratterzzate da aleatoretà, qualcosa che può verfcars oppure no La Juventus vncerà l camponato anche quest anno? Gl event s ndcano con le lettere mauscole dell alfabeto latno = La Juventus vncerà l camponato anche quest anno S chama evento complementare ad E l verfcars d tutto cò che non è E e s ndca con E = La Juventus non vncerà l camponato quest anno S ndca con la lettera dell alfabeto greco Ω l nseme d tutt possbl rsultat d un espermento, per espermento s ntende una prova l cu esto è ncerto. Vene anche chamato evento certo o spazo camponaro =Vncerà la Juve, E 2 =Vncerà la Lazo, E 3 =Vncerà la Roma, E 4 =Vncerà l Parma, E 5 =Vncerà l Mlan. Ω è l nseme d tutt gl event E, per =1,.,18 pr - 3 TERMINOLOGIA Al verfcars d un evento verrà assocata una PROBABILITA P( )=Probabltà che la Juventus vnca l camponato Se chedessmo d assegnare questa probabltà a un tfoso della Juve, a un tfoso dell Inter (che pensa sempre che quest anno sa quello buono), a un tfoso del Torno, o a una persona oggetva, tecncamente preparata a lvello calcstco otterremmo 4 valor dvers d probabltà Come è possble assegnare correttamente la probabltà agl event? pr - 4

3 PROPRIETA FORMALI La probabltà non è ma un numero negatvo, verrà assegnata probabltà 0 agl event che c s aspetta che non s verfchno (evento quas mpossble) e probabltà 1 agl event che c s aspetta che s verfchno (evento quas certo) Sccome ogn evento è contenuto n Ω 0 < P(E ) < P(Ω) =1 ( E Ω ) P(Ω)=P( tutto quello che può accadere )=P( evento certo )=1 pr - 5 PROPRIETA FORMALI Se due event e E 2 non possono verfcars contemporaneamente (la loro ntersezone concde con l nseme vuoto) dremo che sono ncompatbl, E E = P( E E ) = Probabltà che vnca l camponato la Juve e anche l Inter? Sccome non possono vncere entrambe, gl event sono ncompatbl, la probabltà della loro ntersezone è uguale a 0 pr - 6

4 PROPRIETA FORMALI Se s vuole calcolare la probabltà che s verfch l evento oppure l evento E 2 ( unto E 2 ) e due event sono ncompatbl allora la probabltà dell unone è uguale alla somma delle probabltà PE ( E) = PE ( ) + PE ( ) Probabltà che vnca l camponato una squadra romana? Sccome non possono vncere entrambe, gl event sono ncompatbl, la probabltà della loro unone è uguale alla probabltà che vnca la Roma, pù la probabltà che vnca la Lazo. pr - 7 ASSIOMI E possble rassumere quanto vsto fno ad ora negl assom d Kolmogorov 1. E Ω, P( E) 0 2. P( Ω) = 1 3. Se E E = allora P( E E ) = P( E ) + P( E ) pr - 8

5 ALCUNE REGOLE E E= Ω qund PE ( ) + PE ( ) = 1 e dunque PE ( ) = 1 PE ( ) Se E E 1 2 ( ) allora P( E E) = PE ( ) + PE ( ) P E E pr - 9 EVENTI ELEMENTARI Insem contenent un solo elemento In generale lo spazo camponaro vene descrtto n termn d event elementar { } Ω = ω1, ω2,..., ωn Se gl event elementar sono tutt equprobabl, coè ({ }) { } ( ) ({ }) P ω 1 = P ω 2 =... = P ωn Allora la probabltà d un evento qualsas E composto da pù event elementar ( ) P E = # cas favorevol (all'evento) # cas possbl (dell'espermento) pr - 10

6 PROBABILITA CONDIZIONATA Dat due event ed E 2 d cu se ne conoscono le probabltà P( ) e P(E 2 ) c chedamo se la probabltà del verfcars dell uno vara sapendo che s è verfcato l altro PE ( E) PE ( E) = con PE ( ) > PE ( 2) ESEMPIO: Lanco d un dado = estrarre un numero par ; E 2 = estrarre un numero >=4 P( ) =3/6 ; P(E 2 )=3/6 La probabltà d estrarre un numero par camba se s sa che l numero estratto è >=4? 2 (4,6) { } { } PE ( 1 E2) P 2/6 2 1 PE ( 1 E2) = = = = PE ( ) P( 4,5,6 ) pr - 11 EVENTI INDIPENDENTI Due event e E 2 s dranno ndpendent se la probabltà del verfcars dell uno rmane nvarata sapendo che s è verfcato l altro, coè P( E E) = PE ( ) e PE ( E) = PE ( ) PE ( 1 E2) = PE ( 1) PE ( 2) Se due event sono ndpendent PE ( Infatt 1 E2) PE ( 1 E2) P( E1 E2) = = PE ( 1) e PE ( 2 E1) = = PE ( 2) PE ( ) PE ( ) Event compatbl ma ndpendent! Event compatbl ma ndpendent! ESEMPIO: Mazzo d 40 carte = estrarre una carta d denar P( ) = 10/40 ; E 2 = estrarre un asso P(E 2 )=4/40 La probabltà d estrarre una carta d denar camba se s sa che la carta estratta è un asso? PE ( 1 E2) P(asso d denar) PE ( 1 E2) = = = = = PE ( ) P(asso) PE ( 1 E2) = PE ( 1) PE ( 2) = = pr - 12

7 EVENTI INDIPENDENTI Event compatbl ma ndpendent! Event compatbl ma ndpendent! ESEMPIO 2: Mazzo d 40 carte = estrarre una carta d denar P( ) = 10/40 ; E 2 = estrarre una fgura P(E 2 )=12/40 La probabltà d estrarre una carta d denar camba se s sa che la carta estratta è una fgura? PE ( 1 E2) P(fgura d denar) PE ( 1 E2) = = = = = PE ( ) P(fgura) PE ( 1 E2) = PE ( 1) PE ( 2) = = denar non denar fgura non fgura condzonate d rga denar non denar fgura non fgura pr - 13 LEGGI DI DE MORGAN E E = E E E E = E E L operazone d complementazone scamba l operazone d unone con l operazone d ntersezone e vceversa pr - 14

8 SCHEMI DI CAMPIONAMENTO S supponga d estrarre una pallna da un urna a) Estrazone con rmessa, la probabltà d estrazone d una sngola pallna rmane costante n ogn estrazone b) Estrazone senza rmessa, la probabltà d estrazone d una sngola pallna camba S supponga d estrarre una untà da una popolazone a) Camponamento con rpetzone (event ndpendent) b) Camponamento senza rpetzone (event condzonat) pr - 15 COEFFICIENTE BINOMIALE In quant modo posso estrarre n blocco (senza rmessa) element da un nseme d n element? Combnazon d n element pres alla volta dove n n! = ( n )!! ( ) ( ) n! = n n 1 n Propretà: n n n n 0! = 1, = 1, = n, = 0 1 n pr - 16

9 ESEMPIO: COEFFICIENTE BINOMIALE Nell aula ogg c sono 20 student: 10 d SPC, 7 d SPM e 3 d SPE. Decdo d chamare alla lavagna 3 student. 1. Quante sono le possbl combnazon? 2. Qual è la probabltà che sano tutt d SPC? 3. Se ne chamo 1 per corso d laurea, quante sono le possbl combnazon? 4. Qual è la probabltà che sano uno per ognuno de tre cors d laurea? 20 1) = ) = = che è uguale a ) = ) = = che è uguale a 3! SPM,SPC,SPE; SPM, SPE, SPC; SPC,SPM,SPE; SPC,SPE,SPM; SPE,SPC,SPM; SPE,SPM,SPC pr - 17 ESERCIZIO: ESTRAZIONE SENZA RIMESSA Da un urna contenente 15 pallne (5 rosse, 5 verd e 5 blu), se ne estraggono 2 senza remmssone; calcolare la probabltà che queste sano dello stesso colore. Soluzone: N=15 5 rosse; 5 verd; 5 blu n=2 (senza remmssone) Trattandos d estrazon senza remmssone non v è l ndpendenza delle prove, nfatt la composzone dell urna s modfca ad ogn estrazone. Inoltre vene chesta la probabltà che s estraggano due pallne dello stesso colore e non d un colore partcolare. S fa osservare che nell urna v sono pallne d tre color dfferent present n par numero (5 rosse; 5 verd; 5 blu), pertanto la probabltà cercata sarà data dalla seguente espressone: 5 4 Pr{ 2 dellostesso colore } = 3 = pr - 18

10 PRINCIPIO DELLE PROBABILITA TOTALI Se A, A,..., A sono una partzone d Ω ed E è un qualsas altro evento 1 2 = 1 ( ) ( ) PE ( ) = P E A P A Se Se conoscamo conoscamo le le probabltà probabltà degl degl event event d d una una partzone partzone (a (a pror) pror) e e conoscamo conoscamo le le probabltà probabltà condzonate condzonate del del verfcars verfcars d d un un qualsas qualsas altro altro evento evento agl agl event event della della partzone, partzone, samo samo sempre sempre n n grado grado d d calcolare calcolare la la probabltà probabltà dell evento dell evento stesso stesso event A, A,..., A sono una partzone se e solo se 1 2 Partzone d Ω A = Ω e scelt a caso due event A e A allora A A = j j pr - 19 FORMULA DI BAYES Se A, A,..., A sono una partzone d Ω ed E è un qualsas altro evento 1 2 PA ( E) = = 1 ( ) P( A ) P E A ( ) P( A ) P E A Se Se sappamo che che s s è è verfcato l evento l evento E samo samo n n grado grado d d calcolare la la probabltà che che s s sa sa verfcato l evento l evento A.. Dato Dato l effetto l effetto samo samo n n grado grado d d calcolare la la probabltà della della causa causa che che lo lo ha ha generato (probabltà a a posteror). E E come come se se no no aggornassmo le le nostre nostre conoscenze a a pror pror su su A a a seguto seguto del del verfcars dell evento E. E. La Laprobabltà a pror pror P(A P(A ) ) dventa dventa una una probabltà a posteror P(A P(A E) E) pr - 20

11 ESEMPIO pr - 21 ESEMPIO N cubett esamnat N cubett dfettos P(A) P(E A) IMPIANTO A A IMPIANTO B A IMPIANTO C A a) Probabltà total P(E)=P(E A1)P(A1)+P(E A2)P(A2)+P(E A3)P(A3) = 0.04 b) Formula d Bayes P(A1 E)= [P(E A1)P(A1)]/P(E) = 0.18 pr - 22