Alcuni appunti per il corso di METODI PROBABILISTICI PER LE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI Giovanna Nappo A.A. 2008/2009

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1 Univerità degli Studi di Roma La Sapienza Anno Accademico Facoltà di Scienze Matematiche Fiiche e Naturali Dottorato in Matematica Alcuni appunti per il coro di METODI PROBABILISTICI PER LE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI Giovanna Nappo A.A. 28/29 verione del

2 Indice Introduzione iii 1 Richiami u pazi di probabilità Eempi di pazi di probabilità Variabili aleatorie Ditribuzioni di variabili aleatorie Valori attei Variabili aleatorie in pazi miurabili ** Miura indotta e Cambio di variabile ** Appendice: variabili Gauiane Appendice: Teorema di rappreentazione di Skorohod Appendice: Spazi di variabili aleatorie Sottopazi dello pazio delle v.a.di quadrato integrabile Regreione lineare Appendice: Approccio oggettivita alla probabilità Valori attei e probabilità condizionali Definizioni Eempi Proprietà del valore atteo condizionale Equivalenza tra le definizioni di valore atteo condizionale per variabili aleatorie di quadrato ommabile Dimotrazioni delle proprietà del valore atteo condizionale Probabilità condizionali regolari Eempi Martingale Eempi di martingale e di ubmartingale Decompoizione di Doob Applicazioni: variazione quadratica e integrale tocatico a tempo dicreto Applicazioni: vero l integrale tocatico a tempo continuo Martingale, ubmartingale e tempi d arreto Tempo dicreto Tempo continuo Alcune proprietà dei tempi d arreto Cao a tempo dicreto Applicazione: la rovina del giocatore con le martingale Diuguaglianza di Kolmogorov per ubmartingale non negative Convergenza di martingale Diuguaglianza di Doob Etenioni alle martingale a tempo continuo (cenni) Procei miurabili e tempi d arreto Procei aleatori a tempo continuo Procei aleatori, definizioni ed eempi Oervazione ulla definizione di un proceo olo attravero le ue ditribuzioni finito dimenionali Eitenza di una verione continua: criterio di Chenov-Kolmogorov Le traiettorie del proceo di Wiener non ono a variazione limitata Cotruzione del proceo di Wiener e della miura di Wiener u C[, 1]. ** Cotruzione come erie di funzioni

3 ii MPEDP-dott-5-giugno Cotruzione come legge limite, ullo pazio delle funzioni continue ** Procei ad incrementi indipendenti ed omogenei Eempi di martingale a tempo continuo Procei di Markov regolari Proceo di Ortein-Ulhenbeck Moto browniano geometrico e modello di Black-Schole Appendice: dimotrazione del Teorema di eitenza di Kolmogorov Cao a tempo dicreto: metodo diretto Oervazione u R I Problemi con lo pazio canonico Appendice: dimotrazione del criterio di Chenov-Kolmogorov Proprietà del moto browniano Traformazioni del moto browniano Proprietà di Markov forte per il proceo di Wiener Principio di rifleione Traformata di Laplace Tempi di ucita da una tricia Proprietà delle traiettorie di un proceo di Wiener **** Calcolo del riolvente del nucleo del calore **** Integrale tocatico: cenni Integrale tocatico per procei integrabili, a partire dai procei elementari Eempi di calcolo di integrali tocatici Integrale tocatico per procei localmente di quadrato integrabile Oervazioni u alcune proprietà degli integrali tocatici Calcolo tocatico e formula di Itô Moto browniano geometrico e il uo differenziale tocatico Funzioni armoniche e tempi di ucita per il proceo di Wiener Applicazione ai tempi di ucita da una tricia per il proceo di Wiener con drift Applicazione: ricorrenza e tranienza per il proceo di Wiener Equazioni differenziali tocatiche Unicità per EDS: il cao Lipchitz globale Eempi di oluzioni di equazioni differenziali tocatiche: il proceo di Ortein-Ulhenbeck Eitenza per EDS: il cao Lipchitz globale Dipendenza continua dal dato iniziale e proprietà di Markov per oluzioni di EDS Tempi di ucita da una tricia per una oluzione di una EDS Soluzioni deboli di equazioni differenziali tocatiche Traformazione di Giranov e oluzioni deboli Rappreentazione di oluzioni di equazioni alle derivate parziali Rappreentazione di Feynman-Kac per il proceo di Wiener Applicazione: Formula dell arcoeno (di Lévy) Generalizzazioni Conneioni con il problema di Dirichlet Il proceo di Beel Bibliografia 182

4 MPEDP-dott-5-giugno-29 iii Introduzione **(DA RIVEDERE e arricchire) ** **Lo copo del coro è quello di introdurre i concetti bailari della teoria dei procei tocatici e del calcolo tocatico per capire il legame tra queti e alcune equazioni alle derivate parziali.** Queti appunti i baano u una raccolta di vari appunti, critti durante vari anni di inegnamento di cori univeritari ui procei aleatori. E queto piega la non completa coerenza della preentazione degli argomenti. Inoltre il teto contiene alcune note che negli ultimi anni non ono tate utilizzate e quindi non ono tate riguardate: il coro di dottorato mi dà l opportunità di riparare a queta mancanza. Nella preparazione delle lezioni ho utilizzato diveri teti e i principali ono il teto di P. Baldi [1] e quello di A. N. Shiryaev [14]. Ma andrebbero citati anche altri teti, come ad eempio il teto di L. Breiman [5], quello di I. Karatza e S. E. Shreve [7], quello di D. Revuz e M. Yor [11], i teti di S. Ro [12] e [13], il teto di P. Billingley [3], quello di J. M. Steele [15], e altri ancora. Infine va conigliato agli tudenti la lettura delle note del Prof. Lorenzo Bertini [2], preparate per queto teo coro negli anni accademici precedenti (le note ono reperibile al uo ito Web). Infine gli tudenti potranno cegliere tra alcuni argomenti,non completamente volti a lezione, e che potranno eporre in forma di eminario: Teorema di rappreentazione di Kolmogorov, (quete note, Billingley [3]) Teorema di Chenov-Kolmogorov (Baldi [1] o quete note e/o per una dimotrazione differente le note del Prof. Bertini [2], che a loro volta ono baate ul libro di Stroock e Varadhan [16] ) Approimazione del moto browniano (Billingley [4]) Problema di Dirichlet (Baldi [1] e/o I. Karatza e S. E. Shreve [7]). Formula di Feynman-Kac per il proceo di Wiener e/o per oluzioni di equazioni differenziali tocatiche (I. Karatza e S. E. Shreve [7]) Formula di Tanaka e tempo locale (Revuz e Yor [11]) Applicazioni a problemi di controllo (Baldi [1]) Approimazione di equazioni differenziali tocatiche (D. Higham SIAM [??])**(da completare) DA FINIRE...

5 Capitolo 1 Richiami u pazi di probabilità 1.1 Eempi di pazi di probabilità Come dovrebbe eere noto uno pazio di probabilità è una terna (Ω, F, P), dove F è una σ-algebra, ovvero F è una famiglia di ottoiniemi di Ω, cioè F è un ottoinieme di P(Ω), tale che Ω F; (1.1) e A F, allora A c F; (1.2) e A n F, n N, allora n N A n F; (1.3) P è una miura di probabilità, ovvero P :F [, 1]; A P(A) con le proprietà che P(Ω) = 1; (1.4) e A n F, n N, con A n A m = per n m, (1.5) allora P ( ) A n = P ( ) A n. n N n N La σ-algebra F rappreenta l informazione diponibile, ovvero gli eventi appartenenti a F ono gli unici eventi di cui abbiamo la poibilità di apere e i ono verificati oppure no. Oltre alla miura di probabilità P, per tutti gli eventi A F con P(A) >, i poono definire le probabilità condizionate 1 all evento A, che rappreentano la valutazione della probabilità nel cao in cui i verificae l evento A: P( A) F : [, 1] (1.6) E P(E A) := P(E A) P(A) (1.7) Vediamo ora alcuni eempi elementari di pazi di probabilità: 1 È facile verificare che la funzione P( A) definita in (1.6) è una probabilità, cioè oddifa gli aiomi delle probabilità. Per mettere in evidenza tale fatto va detto che Kolmogorov aveva adottato la notazione P A ( ), ovvero P A (E) invece di P(E A), anche per mettere meglio in evidenza queta proprietà. 1

6 2 MPEDP-dott-5-giugno-29 Eempio 1.1. Qualunque ia Ω, la σ-algebra banale F = {, Ω} è una σ-algebra, e neceariamente P(Ω) = 1 e P( ) =. Eempio 1.2. Qualunque ia Ω, preo un ottoinieme proprio A di Ω la σ-algebra F = {, A, A c, Ω} è una σ-algebra, e neceariamente P(Ω) = 1, P( ) =, P(A) = p, P(A c ) = 1 p, per un p [, 1]. Eempio 1.3. Qualunque ia Ω, ia {H m, m = 1, 2,..., N} una partizione finita di Ω, cioè e gli eventi ono incompatibili: ed eautivi: H n H m = per n m, n, m {1, 2,..., N} N m=1 H m = Ω, allora la famiglia M = {A = m I H m, al variare di I {1, 2,..., N}}, (con la convenzione che m H m = ) è una σ-algebra. Inoltre e p 1, p 2,..., p N ono numeri non negativi, a omma 1, ovvero allora P : M [, 1]; A P(A), con p m, m = 1, 2,..., N, N p m = 1, m=1 P(A) = m I p m, per A = m I H m, (1.8) definice una probabilità u (Ω, M). Eempio 1.4. Le proprietà dell eempio precedente valgono anche nel cao di una partizione numerabile {H m, m N} con i dovuti cambiamenti: cioè, e allora la famiglia H n H m = per n m, n, m N, H m = Ω, m N F = {A = m I H m, al variare di I N}, (con la convenzione che m H m = ), è una σ-algebra 2. Inoltre e p 1, p 2,..., p m,... ono numeri non negativi, omma 1, ovvero p m, m N, p m = 1, [ m N 2 La verifica è banale: [ Ω = H m [, ovvero I = N m N e A = [ H m, allora A c = [ H m [ m I m I c e A n = H m, n 1, allora A n = H m, per I = n=1i n. m I n n=1 m I

7 MPEDP-dott-5-giugno-29 3 allora P : F [, 1]; A P(A), con P(A) = m I p m, per A = m I H m, (1.9) definice una probabilità u (Ω, F). La verifica di quet ultima proprietà è banale 3. Elenchiamo adeo alcune proprietà e notazioni relative alle σ-algebre: 1 l interezione di σ-algebre è una σ-algebra Sia {G α, α Λ} una famiglia di σ-algebre, allora F := α Λ G α è una σ-algebra 4. 2 l unione di σ-algebre non è (in generale) una σ-algebra Bata motrare con un controeempio che l unione di due σ-algebre non è una σ-algebra: ad eempio e G i = {, A i, A c i, Ω}, con A 1 A 2, A 1, A 2, allora G 1 G 2 = {, A 1, A 2, A c 1, A c 2, Ω} non è una σ-algebra. 3 la σ-algebra generata da una collezione di eventi Sia K un ottoinieme di P(Ω), l inieme delle parti di Ω, allora σ(k) := è la σ-algebra 5 generata da K. G:K G In particolare quindi la σ-algebra M, generata dalla partizione {H m ; m N} come nell Eempio 1.4, coincide con σ({h m ; m N}), in quanto, come già vito M è una σ-algebra, e inoltre ogni σ-algebra che contenga {H m ; m N}, deve neceariamente contenere tutte le unioni del tipo m I H m. 4 la σ-algebra generata da una collezione di σ-algebre Nel cao in cui K = α Λ G α, dove G α ono σ-algebre, allora i pone G α := σ ( ) G α. α Λ α Λ In particolare e M = σ({h m ; m N}) e N = σ ( {K l ; l N} ), allora M N = σ({h m K l ; m N, l N}) = { E = H m K l ; con J N N }. =X (m,l) J 3 La funzione P : M [, 1] definita in (1.9) è una probabilità, infatti [ P(Ω) p m = 1, m N e A n = H m [ [ M, n N, con A n A n =[ = per n n, m I n [ allora A n = H m A =X =X con I I n, X e con I n =X I n = per n n, n N m I n N e quindi P A n =P p l p m P A n, n N l I n N m I n n N 4 La verifica è banale: Ω F, in quanto Ω G α, per ogni α Λ; [ [ e A F, cioè e A G α, per ogni α Λ, allora A c G α, per ogni α Λ, e quindi A c F; e A n F, n N cioè e A n G α, per ogni α Λ, n N allora A n G α, per ogni α Λ, e quindi A n F; 5 Il fatto chetg:k G ia una σ-algebra, deriva dalla proprietà che l interezione di σ-algebre è una σ-algebra. n N n N

8 4 MPEDP-dott-5-giugno-29 5 la σ-algebra dei Boreliani Nel cao in cui K = A, la famiglia degli aperti di R k, allora B(R k ) := σ(a) è detta σ-algebra dei boreliani, o σ-algebra di Borel, ed ogni elemento di I di B(R k ) è detto boreliano. 1.2 Variabili aleatorie Definizione 1.1. Dato uno pazio di probabilità (Ω, F, P) 6, una variabile aleatoria reale X è una funzione F-miurabile, ovvero una funzione X : Ω R; ω X(ω), tale che la controimmagine di ogni aperto O A ia un elemento di F 7, cioè tale che X 1 (O) := {ω tali che X(ω) O} F, per ogni aperto O A. Si dice anche che X è una variabile aleatoria F-miurabile. Una definizione analoga vale nel cao di variabili aleatorie multidimenionali bata infatti otituire R con R k. X : Ω R k ; ω X(ω) = ( X 1 (ω),..., X k (ω) ), Vediamo alcuni eempi di variabili aleatorie F-miurabili, al variare della σ-algebra F. Eempio 1.5. Se F = {, Ω}, allora le uniche variabili aleatorie reali X F-miurabili ono le cotanti: Se X : Ω R; ω X(ω) = c, allora X 1 (O) è l evento impoibile(=inieme vuoto ), e c / O, oppure è l inieme certo(=ω), e c O. Vicevera e X : Ω R; ω X(ω) non è cotante allora X aume almeno due valori c 1 e c 2 ditinti (cioè eitono ω i tale che X(ω i ) = c i, per i = 1, 2, con c 1 c 2 ). Quindi e c 1 O, ma c 2 / O, allora ω 1 X 1 (O), mentre ω 2 / X 1 (O), ovvero X 1 (O) Ω (dove le incluioni ono in eno tretto), e quindi X non è F-miurabile. Si noti che l eempio precedente motra anche che tutte le variabili aleatorie cotanti ono miurabili ripetto a qualunque σ-algebra ({, Ω} F, per ogni σ-algebra F). Eempio 1.6. Sia {H m, m N} una partizione numerabile, e ia M come nell eempio 1.4. Allora X : Ω R; ω X(ω) è M-miurabile, e e olo e eite una ucceione di cotanti {c m, m N} 8, tale che X(ω) = m N c m I Hm (ω). (1.1) Se X è definita come in (1.1) allora X è M-miurabile, infatti per ogni aperto O, X 1 (O) = H m, m:c m O ovvero X 1 (O) = m I H m M, per I = {m : c m O}. Vicevera e X è M-miurabile, cioè, per ogni aperto O, eite un I N tale che X 1 (O) = m I H m, 6 In realtà bata che ci ia uno pazio probabilizzabile, ovvero bata olo la coppia (Ω, F), mentre non è neceario pecificare la miura di probabilità P. 7 Si noti l analogia con la definizione di funzione continua f : R k R d, come una funzione tale che le controimmagini di aperti ono aperti. 8 Si noti che non i aume che i valori di {c m} iano tutti ditinti, ad eempio nel cao della ucceione cotante, cioè c m = c per ogni m N, i trova una variabile aleatoria cotante.

9 MPEDP-dott-5-giugno-29 5 allora qualunque ia c R, preo O n l intervallo aperto (c 1/n, c + 1/n) i ha che X 1 ({c}) = X 1( O n) = X 1 (O n ) = H m = H m M, n n n m I n m Tn In Eempio 1.7. Sia X : Ω R; ω X(ω), una funzione dicreta, ovvero tale che l immagine X(Ω) = {x R, tali che eite un ω con X(ω) = x} di X ia un inieme numerabile (finito o infinito), cioè X(Ω) = {x m, m N}, con x n x m per n m. Allora X(ω) = m N x m I Hm (ω), (1.11) dove H m = X 1 ({x m }) = {ω tali che X(ω) = x m }. Si noti che {H m, m N} forma una partizione numerabile. Inoltre la funzione X è una variabile aleatoria F-miurabile, e e olo e H m = X 1 ({x m }) F, per ogni m N, come è immediato da (1.11), oervando che, come nel cao precedente, X 1 (O) = H m. m:x m O Infine la variabile aleatoria X i dice emplice o elementare, e l inieme X(Ω) è un inieme finito. Si può dimotrare che 1 e X è una variabile aleatoria F-miurabile, allora la controimmagine X 1 (I) F, per ogni boreliano I B(R), 2 la variabile aleatoria X è F-miurabile, e e olo e ciacuna componente X i è F-miurabile 9, per ogni i = 1,..., k. In particolare X 1 ({x}) F, per ogni x R, in quanto {x} = n (x 1/n, x + 1/n). Connea con la precedente Definizione 1.1 è la eguente definizione: Definizione 1.2. Sia data una funzione X : Ω R k ; ω X(ω) = ( X 1 (ω),..., X k (ω) ). Si dice σ-algebra generata da X, la σ-algebra σ(x) = G R X G dove R X è la famiglia delle σ-algebre, per le quali X è G-miurabile 1. Si dimotra che 3 La σ-algebra generata da X, i può caratterizzare come: 4 la funzione X è F-miurabile, e e olo e σ(x) F, σ(x) = {A = X 1 (I), per I B(R k )}, 5 le variabili aleatorie σ(x)-miurabili a valori in R d ono tutte e ole le variabili aleatorie Z per le quali eite una funzione g boreliana 11 tale che Z = g(x). {z } {z } 9 Dimotriamo olo la neceità, che è immediata: bata prendere O = R R O i R R. 1 i 1 volte k i volte La famiglia R X non è vuota, in quanto contiene almeno G = P(Ω), l inieme delle parti di Ω. 11 Una funzione g : R k R d, i dice boreliana e è una funzione tale che le controimmagini di aperti ono boreliani. Ovviamente le funzioni continue ono boreliane. Sono boreliane anche le funzioni continue a tratti, o meglio ancora cotanti a tratti. Per chi non avee familiarità con i concetti di miurabilità può penare a quete funzioni, o a funzioni che iano limite puntuale di funzioni di uno dei due tipi precedenti.

10 6 MPEDP-dott-5-giugno-29 Eempio 1.8. Sia X una funzione emplice, come in Eempio 1.7, allora σ(x) = σ({h m, m N}) = {A = m I H m ; I N}, dove H m = X 1 ({x m }). Inoltre tutte e ole le variabili aleatorie σ(x)-miurabili ono le funzioni Z : Ω R; ω Z(ω) := m c m I Hm, come dicende immediatamente dall Eempio 1.6. Di coneguenza e g : R R tale che g(x m ) = c m, per ogni m N, allora Z(ω) := c m I Hm = Z(ω) = g(x m )I X 1 ({x m})(ω) = ) g(x m )I {xm }( X(ω) = g(x(ω)). m m m Terminiamo queta ezione, ricordando che le operazioni di maimo, minimo, omma, prodotto, di due funzioni miurabili, danno luogo a funzioni miurabili: quindi e X ed Y ono variabili aleatorie F-miurabili, lo ono anche X Y = max(x, Y ), X Y = min(x, Y ), X + Y, XY. In particolare ono variabili aleatorie X + := X e X := ( X). 1.3 Ditribuzioni di variabili aleatorie Sia (Ω, F, P) uno pazio di probabilità e ia X : Ω R k ; ω X(ω) una variabile aleatoria a valori in R k. Tramite X è poibile definire una miura di probabilità P X ullo pazio miurabile (R k, B(R k )) nel eguente modo: P X : B(R k ) [, 1] I P X (I) := P ( X I ). È facile verificare che effettivamente P X definice una probabilità ui boreliani B(R k ). La miura di probabilità coì definita è detta miura di probabilità indotta da X, o ditribuzione di X. A volte, per indicare la miura di probabilità indotta, i ua il imbolo PX 1, che nace dall fatto che P X (I) := P ( X I ) = P ( X 1 (I) ). Nel eguito, a volte ueremo anche il imbolo µ X per indicare la ditribuzione di probabilità di X. Come è noto, aociata alla variabile aleatoria X c è anche la funzione di ditribuzione 12 F X (x) := P(ω Ω : X(ω) x) = P X ( (, x] ), x R k. (1.12) La funzione di ditribuzione gode di alcune proprietà caratterizzanti 13 : Proprietà delle funzioni di ditribuzione F X (x) [, 1] 1 La funzione F X è continua dall alto 14, nel eno che, per ogni x R k i ha dove y x ignifica y i x + i, per ogni i = 1,, k. lim F X(y 1,, y i,, y k ) = F (x 1,, x i,, x k ), y x 12 Si ricordi che, per k 1, l evento e l inieme nella (1.12) ono ripettivamente {ω Ω : X(ω) x} = {ω Ω : X 1 (ω) x 1,, X k (ω) x k } e (, x] = (, x 1 ] (, x k ]. 13 Si veda la ezione Nel cao k = 1 la proprietà 1 corriponde alla continuità da detra.

11 MPEDP-dott-5-giugno La funzione F X (x) è monotona non decrecente. 3 Siano a = (a 1,, a k ) e b = (b 1,, b k ), i definica (a, b) = {x R k : i = 1,, k, i ha x i = a i oppure x i = b i }, e i definica n a (x) il numero di i tali che x i = a i, per x (a, b). Se a i b i, per ogni i = 1,, k, allora 15 x (a,b) ( 1) n a(x) F X (x). 4 Per ogni x R k e per ogni i = 1,, k i ha che lim F X(x 1,, x i 1, y i, x i+1,, x k ) =. y i Inoltre lim F X(x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x k ) = 1. x + È importante ottolineare che la funzione di ditribuzione F X individua la miura di probabilità indotta P X ulla famiglia (di boreliani) (, b] := {x R k : x i b i } con b = (b 1,, b k ) R k. Queta famiglia ha la proprietà di eere chiua ripetto all interezione finita: (, b] (, b ] = (, b b ], dove b b := (b 1 b 1,, b k b k). Ciò è ufficiente a individuare la miura di probabilità indotta, grazie a un riultato molto utile di teoria della miura: Lemma 1.1 (Lemma di Dynkin, Billingley 1984 [3]). Sia A una famiglia di eventi che genera la σ-algebra G e che è chiua ripetto alla interezione finita (cioè: A, B A implica A B A). Se due miure di probabilità ν e µ coincidono u A, allora le due miure coincidono u G = σ(a). Definizione 1.3 (variabili aleatorie con denità dicreta). Si dice che una variabile aleatoria elementare X ha denità dicreta ( x1 x 2 x m p 1 p 2 p m ) dove x 1, x 2, x m ono elementi di R k e p 1, p 2, p m ono numeri reali tali che p j per ogni j = 1, 2,, m, m p j = 1, j=1 15 Nel cao k = 1, la proprietà 3 corriponde alla proprietà di monotonia 2: Nel cao k = 2, invece la proprietà 3 diviene: e a b allora F X (a) F X (b). e a 1 b 1 e a 2 b 2 allora F X (b 1, b 2 ) F X (a 1, b 2 ) F X (b 1, a 2 ) + F X (a 1, a 2 ). Per k 2 la proprietà 3 non i riduce alla proprietà di monotonia 2, come motra il eguente controeempio: F (x 1, x 2 ) =]( e x <, oppure e x + y < 1, oppure e y <. 1 e x, y, e x + y 1 Si vede facilmente che F è una funzione monotona. Tuttavia F non oddifa la proprietà, infatti F (1, 1) F (1, ) F (, 1) + F (, ) = = 1.

12 8 MPEDP-dott-5-giugno-29 e, per ogni boreliano I, vale P X (I) := P(X I) = In particolare quindi il ignificato di p j è chiaro, eendo P(X = x j ) = p j. m p j. La definizione è analoga nel cao di variabili aleatorie dicrete, la cui ditribuzione viene caratterizzata attravero una denità dicreta u un inieme numerabile {x k, k 1} ( x1 x 2 x m x m+1 ) p 1 p 2 p m p m+1 Eempio 1.9 (variabili aleatorie con ditribuzione binomiale). Ogni variabile aleatoria X per la quale P X (I) := j=1 x j I n ( ) n p h (1 p) n h h viene detta una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p e i crive in breve X Bin(n, p). Definizione 1.4 (variabili con denità). Siupponga di avere una funzione f : R k R con le proprietà: f(x) per ogni x R k, f(x) dx = 1, R k h= h I i dice che X ha ditribuzione con denità (di probabilità) f e accade che, per ogni boreliano I B(R k ), P X (I) := f(x) dx. Eempio 1.1 (ditribuzione gauiana). Come cao particolare i conideri il cao della variabile aleatoria unidimenionale con denità 1 f(x) = e (x µ)2 2σ 2 2 π σ dove µ è un numero reale e σ è un numero (trettamente) poitivo. Una variabile aleatoria con queta ditribuzione è detta gauiana o normale di valore atteo (o valore medio) µ e varianza σ 2. Brevemente i indica X N(µ, σ 2 ). Se µ = e σ 2 = 1 i dice che X è una variabile gauiana (o normale) tandard. Vediamo ora dei emplici eempi di calcolo della ditribuzione indotta. Eempio 1.11 (una variabile aleatoria binomiale). Sia ia Ω = {, 1} N = {ω = (ω 1, ω 2,..., ω N ), con ω i {, 1}, per i = 1, 2,..., N}, I F = P(Ω), l inieme delle parti di Ω, ia la probabilità definita attravero la relazione P({ω}) := p PN i=1 ωi (1 p) N PN i=1 ωi, dove p è un numero fiato con la condizione che p (, 1). Sia infine X la variabile aleatoria definita da Si vede facilmente che N X(ω) := ω i. i=1

13 MPEDP-dott-5-giugno la variabile aleatoria X aume olo i valori {, 1,... N}, 2 per h {, 1,... N} i ha 16 P X (h) := P(X = h) = 3 per ogni boreliano I P X (I) := P(X I) = ( ) N p h (1 p) N h, h N ( N h h= h I ) p h (1 p) N h Eempio 1.12 (Variabili eponenziali). Sia Ω = (, 1) F = B(, 1) e P la miura di Lebegue u (, 1). Sia λ > e X(ω) := log(1 ω)/λ. Allora F X (x) = P(X x) = mi{ω (, 1) : log(1 ω) λ x} = mi{ω (, 1) : ω 1 e λ x }, e quindi F X (x) = { per x, 1 e λ x per x >. Per il Lemma di Dynkin (Lemma 1.1) appiamo che la funzione di ditribuzione individua univocamente la ditribuzione di X. È quindi facile convinceri che, tale ditribuzione coincide con la ditribuzione ν λ (dx) = 1 (, ) (x) λ e λ x dx, che è nota come la ditribuzione eponenziale di parametro λ. Sempre nello teo pazio i può definire la variabile aleatoria Y (ω) = log(ω) µ, dove µ è una cotante trettamente poitiva. È facile vedere che Y ha ditribuzione eponenziale, di parametro µ. Eempio Sempre nello teo ambito dell eempio precedente, ci i può chiedere quale ia la ditribuzione congiunta di X e Y, oia la ditribuzione del vettore aleatorio (X, Y ). Chiaramente, i ha X(ω), Y (ω) > e inoltre Y (ω) = log ( 1 e µ λ X(ω)) come i ottiene ubito da ω = 1 e λ X(ω). ( ) Di coneguenza, e G := {(x, y) : x >, y >, ey = log 1 e λ x, µ }, è facile convinceri che P X,Y (I) = ν λ ( πx (G I) )( = ν µ ( πy (G I) )) dove π x e π y ono le proiezione ull ae x e ull ae y, ripettivamente. 16 L evento A h := {X = h} è rappreentato dall inieme, di cardinalità N h, i cui elementi ω = (ω 1, ω 2,..., ω N ) hanno la proprietà che PN i=1 ω i = h. La probabilità di ciacuno di queti ω vale quindi P(ω) = p PN i=1 ω i (1 p) N PN i=1 ω i = p h (1 p) X X N h e la probabilità dell inieme vale P(X = h) = P(A h ) = P(ω) = p h (1 p) N h = A h p h (1 p) N h =N hp h (1 p) N h ω A h ω A h

14 1 MPEDP-dott-5-giugno-29 Eempio 1.14 (traformazione di Box-Müller). Sia Ω = (, 1) (, 1), con la miura di Lebegue ui boreliani. Siano X(ω 1, ω 2 ) := 2 log ω 1 co(2 π ω 2 ); Y (ω 1, ω 2 ) := 2 log ω 1 in(2 π ω 2 ); Si può dimotrare che la ditribuzione congiunta di (X, Y ) ammette denità i probabilità p X,Y (x, y) = 1 x 2 +y 2 2 π e 2 = 1 e x2 2 2 π 1 e x2 2 2 π Tale denità caratterizza le variabili aleatorie gauiane com media nulla e matrice di covarianza l identità (i veda l Appendice 1.6). A volte, invece di definire lo pazio di probabilità e la variabile aleatoria X ed infine trovare la ditribuzione di X, i può dare direttamente la ditribuzione di X. Queto è il cao delle variabili aleatorie che vengono caratterizzate olo attravero la denità dicreta o con denità (di probabilità). Più in generale, le ditribuzioni i poono pecificare olo attravero la funzione di ditribuzione. Quando i pecifica una variabile aleatoria attravero la ua ditribuzione, e ancor di più e invece i pecifica olo una funzione che goda delle proprietà delle funzioni di ditribuzione (i veda pag. 6), rimane il dubbio che una tale variabile aleatoria eita, ovvero che eita uno pazio di probabilità (Ω, F, P) e una variabile aleatoria X. A queto problema riponde il teorema di Skorohod (vedere Appendice 1.7). 1.4 Valori attei In queta ezione ricordiamo come i può definire il valore atteo per variabili aleatorie generali, a partire dalla ua definizione per variabili aleatorie emplici. Per maggiori approfondimenti i rimanda, ad eempio, al libro di Billingley [3] o a quello di William [17]. Definizione 1.5 (Valore atteo per variabili emplici). Sia X una variabile aleatoria in (Ω, F, P), non negativa e emplice, cioè come in Eempio 1.7, X(ω) = m N x m I Hm (ω), con H m F per ogni m N, allora i definice E[X] = m N x m P(H m ). Oervazione 1.1. Ogni variabile aleatoria X in (Ω, F, P), non negativa, ammette una ucceione di variabili aleatorie X n, emplici e non negative, tali che Infatti 17 bata prendere X n (ω) = n2 n 1 m= X n (ω) X n+1 (ω), e tali che lim n X n(ω) = X(ω). m 2 n I H m (n) 17 La monotonia della ucceione delle variabili aleatorie X n è evidente: e X n(ω) = m/2 n, con m < n2 n, allora i oli cai poibili ono oppure n2 n 1 m (ω) + ni (n) H (ω) = n2 n 2 n 1 [ m 2 n, m+1 )(X(ω)) + n1 [n, )(X(ω)), (1.13) 2 n m= X n+1 (ω) = (2m)/2 n+1 = m/2 n = X n (ω), X n+1 (ω) = (2m + 1)/2 n+1 = m/2 n + 1/2 n+1 > X n (ω); e X n (ω) = n allora X n+1 (ω) può aumere un valore compreo tra n ed n + 1. Per la convergenza bata oervare che, qualunque ia ω, pur di prendere n ufficientemente grande e in modo che X(ω) < n, i ha che X(ω) X n (ω) 1/2 n.

15 MPEDP-dott-5-giugno dove i è poto e, per A F, H (n) m = X 1 ([ m 2 n, m+1 2 n )) F per m n2 n 1, H (n) n2 n = X 1( [n, ) ), I A (ω) = 1 e ω A e I A (ω) = e ω / A, ed infine, per a < b numeri reali, 1 [a,b) (x) = 1 e x [a, b) e 1 [a,b) (x) = e x / [a, b). È infine intereante notare che, poto x la parte intera inferiore 18 di x, i può ricrivere nel eguente modo X n (ω) = 2n X(ω) 2 n n. Definizione 1.6 (Valore atteo per variabili nonnegative). Sia X una variabile aleatoria in (Ω, F, P), non negativa, i definice E[X] = lim n E[X n], dove {X n ; n N} è la ucceione monotona definita come in (1.13) dell Oervazione precedente. Il limite eite ed è monotono, per la proprietà di monotonia del valore atteo, ulle variabili aleatorie emplici. Si noti bene che tale limite può valere anche +, nel qual cao i dice che la variabile X ha valore atteo infinito. Oervazione 1.2. **Ovviamente e { X n ; n N} è un altra ucceione di variabili aleatorie emplici che converge monotonamente ad X, anche la ucceione dei valori attei E[ X n ] è una ucceione che converge monotonamente. Si può dimotrare che il limite non dipende dalla ucceione celta 19 ed in particolare coincide con il limite coniderato nella precedente Definizione 1.6. Arriviamo ora alla definizione generale del valore atteo: Definizione 1.7 (Valore atteo per variabili generali). Sia X una variabile aleatoria in (Ω, F, P), Siano X + := X e X := ( X), le variabili aleatorie non negative, definite alla fine della ezione precedente. Si noti che X = X + X e che invece X = X + + X. Si definice allora, e ha eno 2 E[X] = E[X + ] E[X ]. 18 La parte intera inferiore x di x è quel numero intero k tale che k x < k **Per ottenere l unicità del limite bata dimotrare che e {Y n ; n N} e {Z n ; n N} ono due ucceioni di variabili aleatorie emplici che convergono monotonamente ad X, allora per ogni k i ha E[Y k ] lim E[Z n], n da cui i deduce immediatamente che lim k E[Y k ] lim n E[Z n ]e quindi l uguaglianza, cambiando il ruolo delle due ucceioni. Si fii quindi k e i conideri che, per ipotei Y k è emplice e che quindi i può crivere Y k =Pl i=1 y ii Ai, dove A i = {Y k = y i } (ovviamente l ed y i dipendono da k, ma tralaciamo l indice k per comodità di notazione e perché è ineenziale). Sia ora ε > e B (n) i = A i {Z n > y i ε}. Eendo {Z n ; n N} una ucceione monotona i ottiene che B (n) i B (n+1) i. Inoltre Y k (ω) X(ω) e Z n (ω) X(ω) e quindi e ω A i, oia e Y k (ω) = y i, allora per un n ufficientemente grande deve valere Z n (ω) > y i ε e quindisn B(n) i = A i. Per la continuità della probabilità deve valere allora che P(B (n) lx i ) P(A i lx ). Ovviamente i ha E[Z n ] (y i ε)p(b (n) i ) e quindi lim E[Z n] (y i ε)p(a i ). n i=1 i=1 Per l arbitrarietà di ε i ha allora lim n E[Z n] Pl i=1 y ip(a i ) = E[Y k ]. 2 Si conidera che la omma E[X + ] E[X ] ha eno 1 e E[X + ] <, E[X ] <, nel qual cao E[X] R e inoltre i ha anche E[ X ] = E[X + ] + E[X ] < ; 2 e E[X + ] <, E[X ] =, nel qual cao E[X] = ; 3 e E[X + ] =, E[X ] <, nel qual cao E[X] = + ; Il cao che rimane ecluo è quindi il cao in cui E[X + ] =, E[X ] =, del reto i avrebbe la forma indeterminata.

16 12 MPEDP-dott-5-giugno-29 Se invece di uare la probabilità P i ua la probabilità condizionata ad un evento A, ovvero P( A), allora i parla di valore atteo di X condizionato all evento A e i ua la notazione E[X A]. Ciò ignifica che, nel cao di una variabile aleatoria emplice X(ω) = m N x m I Hm (ω), con H m F per ogni m N, i ha E[X A] = m N x m P(H m A). **Terminiamo queta ezione ricordando che la definizione di valore atteo di una variabile aleatoria X corriponde alla definizione dell integrale della funzione miurabile X ripetto alla miura P e che per il valore atteo valgono i due famoi riultati di paaggio al limite otto il egno di integrale: Teorema della convergenza monotona: e X n ono variabili aletaorie limitate dal bao e che convergono monotonamente ad X (P q.c.) allora la ucceione dei valori attei E[X n ] converge monotonamente a E[X]. Teorema della convergenza dominata: e X n ono variabili aletaorie che convergono ad X P q.c. e e Y è una variabile aleatoria tale che X n Y, con E[Y ] <, allora la ucceione dei valori attei E[X n ] converge a E[X] Variabili aleatorie in pazi miurabili ** Oltre a definire le variabili aleatorie reali o vettoriali i poono definire in modo naturale anche variabili aleatorie a valori in pazi miurabili. Definizione 1.8 (variabile aleatoria (o ente alealorio) a valori in (S, S)). Siano (Ω, F) e (S, S) due pazi miurabili. Una variabile aleatoria a valori in S è una funzione miurabile X : (Ω, F) (S, S); ω X(ω). In altre parole una funzione da Ω in S e tale che per ogni B S, la ua controimmagine tramite X appartiene a F, oia l inieme X 1 (B) F. Se S è uno pazio metrico (o più in generale uno pazio topologico, allora la igma-algebra S coincide con la igma-algebra dei boreliani, oia la igma-algebra generata dagli aperti. Eempi tipici nacono quando i vogliono trattare i procei aleatori come funzioni aleatorie, ed in particolare a funzioni aleatorie continue. In tale cao i può prendere, ad eempio, lo pazio delle funzioni continue u [, T ] a valori reali. Prendendo poi come igma-algebra la igma-algebra dei boreliani, allora i può affermare che funzioni come il maimo o il minimo, ono variabili aleatorie. Come i vede, nella definizione di variabile aleatoria non abbiamo neanche nominato la miura di probabilità u (Ω, F). Tuttavia rimane poi il problema di definire le miure di probabilità u tali pazi. Queto argomento è trattato in maggiore dettaglio nel Capitolo 4 ui procei tocatici. 1.5 Miura indotta e Cambio di variabile ** Da crivere Negli Eempi 1.12, 1.13, 1.14 abbiamo trovato le ditribuzioni di alcune variabili aleatorie a valori reali o vettoriali. In termini atratti quello che abbiamo fatto è caratterizzare la miura indotta. Definizione 1.9 (Miura indotta). Siano (A 1, A 1 ) e (A 2, A 2 ) due pazi con le ripettive igma-algebre, e ia ψ : A 1 A 2, a 1 ψ(a 1 ) una funzione miurabile (cioè per ogni B 2 A 2 i ha che la controimmagine ψ 1 (B 2 ) A 1 ). Supponiamo che u (A 1, A 1 ) ia definita una miura µ 1. Allora i definice miura indotta (da ψ) la miura µ 2 (B 2 ) := µ 1 ( ψ 1 (B 2 ) ), B 2 A 2.

17 MPEDP-dott-5-giugno Ovviamente perché la precedente definizione ia ben pota biogna verificare che effettivamente definica una miura (queto è un emplice eercizio ed è laciato al lettore). ( Tornando ) agli Eempi precedentemente citati ed in particolare agli Eempi 1.12, 1.13, in entrambi (A 1, A ) = (, 1), B(, 1) e µ1 = P, la miura di Lebegue ritretta a (, 1), mentre A 2 = R nel primo eempio e invece A 2 = R 2, nel econdo eempio. Inoltre nel primo eempio ono tate coniderate due funzioni ψ 1 (ω) = X(ω) = log(1 ω) λ e ψ 2 (ω) = Y (ω) = log(ω) λ, mentre nel econdo eempio è tata coniderata la funzione ψ := (ψ 1, ψ 2 ). Nell Eempio 1.14, invece (A 1, A ) = ( (, 1) (, 1), B((, 1) (, 1) ) e A 2 = R 2 e µ 1 è la miura di Lebegue ritretta a (, 1) (, 1). Infine la funzione ψ è definita da ψ(ω 1, ω 2 ) = ( 2 log ω 1 co(2 π ω 2 ), 2 log ω 1 in(2 π ω 2 ) ). Più in generale, nel cao di variabili aleatorie X a valori in (S; S), e nello pazio miurabile (Ω, F) è definita una miura di probabilità P, i definice legge di X o ditribuzione di X, la probabilità P X : S [, 1] definita come la miura indotta da (Ω, F, P) tramite X: P X (B) := P(X B), B S. Quello che più ci interea qui è la formula del cambio di variabile negli integrali, che, nell ambito del calcolo delle probabilità, corriponde alla poibilità di calcolare i valori attei di funzioni di variabili aleatorie X a valori 21 in (S, S) ia come integrali ullo pazio (Ω, F, P) che come integrali ullo pazio (S, S, P X ). In tale cao i ottiene che i valori attei di f(x), per f funzioni miurabili e limitate, i poono calcolare ia come integrali ulo pazio degli eventi Ω E[f(X)] = f(x(ω)) P(dω), ia come integrale ullo pazio degli tati S Ω E[f(X)] = S f(x) P X (dx). Riportiamo qui la dimotrazione nell ambito atratto della Definizione 1.9 di miura indotta. Lemma 1.2 (Cambio di variabile). Sia f M b (A 2 ), oia una funzione miurabile da ( ) ) A 2, A 2 in (R, B(R) e limitata. Allora f(a 2 )µ 2 (da 2 ) = A 2 f(ψ(a 1 ))µ 1 (da 1 ) A 1 (1.14) Dimotrazione. Iniziamo con il motrare che, per definizione di µ 2, (1.14) è valida per f = I B2, per ogni B 2 A 2 : da una parte A 2 I B2 (a 2 )µ 2 (da 2 ) = µ 2 (B 2 ) := µ 1 ( ψ 1 (B 2 ) ), dall altra, tenuto conto che I B2 (ψ(a 1 )) = I ψ 1(B 2)(a 1 ), in quanto ψ(a 1 ) B 2 e e olo e a 1 ψ 1 (B 2 ), ( I B2 (ψ(a 1 ))µ 1 (da 1 ) = I ψ 1 (B 2 )(a 1 )µ 1 (da 1 ) = µ 1 ψ 1 (B 2 ) ). A 1 A 1 La dimotrazione egue poi con una tecnica che è tandard nell ambito della teoria della miura. Sia H l inieme delle funzioni f per cui è valida l uguaglianza (1.14). L inieme H verifica le eguenti proprietà: (i) linearità, ovvero e f, g H, allora, per ogni a,b R la funzione a f + b g H 21 Nel cao di variabili aleatorie vettoriali lo pazio (S, S) coincide con R d, B(R d ). Ma la formula vale anche per variabil aleatorie a valori in pazi più generali, come ad eempio gli pazi metrici, prendendo come igma-algebra la igma-algebra dei boreliani, oia la igma-algebra generata dagli aperti (in altre parole la più piccola igma algebra contente gli aperti). Come già detto eempi di tale genere i incontrano quando ci i interea di procei aleatori, penati come variabili aletorie a valori in uno pazio di funzioni, ad eempio lo pazio delle funzioni continue u un intervallo [, T ], con la metrica della norma uniforme.

18 14 MPEDP-dott-5-giugno-29 (come egue dalla proprietà di linearità per gli integrali ripetto a µ 1 ) (ii) la funzione 1, cioè la funzione cotante uguale ad 1, appartiene a H (come egue dall oervazione iniziale e notando che 1 = I A2, ) (iii) monotonia, ovvero e f n H e f n f, f M 2 (A 2 ) allora f H (come egue dalla proprietà della convergenza monotona degli integrali ripetto a µ 1 ) (iv) per ogni B 2 A 2, la funzione I B2 H (come egue immediatamente dalla oervazione iniziale; i noti inoltre che in realtà la (ii) egue da queta proprietà) Le precedenti proprietà aicurano che H è una clae monotona. Bata allora applicare il teorema delle clai monotone, che per comodità del lettore riportiamo di eguito. Teorema 1.3 (Teorema delle clai monotone). Sia (Ω, F) uno pazio miurabile e ia H un inieme di funzioni reali miurabili e limitate, con le eguenti proprietà: (i) H è uno pazio vettoriale, (ii) H contiene la funzione cotante 1, (iii) f n H, f n f, f limitata implicano f H cioè H è una clae monotona. Se inoltre H oddifa anche la eguente proprietà (iv) H contiene le funzioni del tipo I A per ogni A A, dove A F è un π-itema, cioè è chiuo per interezione finita, allora H contiene tutte le funzioni limitate e σ(a)-miurabili. Il precedente Teorema 1.2 i applica anche quando vogliamo calcolare la ditribuzione di una traformazione di una variabile ( aleatoria: ad eempio, e Z è una variabile aleatoria con ditribuzione P Y ed Z = ϕ(y ), allora P Z (B) = P Y ϕ 1 (B) ), come è immediato verificare. Nel cao di variabili aleatorie multivariate, e per funzioni ϕ ufficientemente regolari, i poono ottenere formule eplicite, utilizzando noti riultati di analii: ad eempio, e Y ammette denità f Y e ϕ è invertibile 22 e con derivate continue, allora anche Z ammette denità e i ha ( ) f Z (z) = f Y (ϕ 1 (z)) ϕ 1 det (z) = f Y (ϕ 1 1 (z)) ( ) z ϕ(y) det y y=ϕ 1(z). Particolarmente emplice è il cao di traformazioni lineari (o affini) in cui lo Jacobiano è il determinante della matrice. Ad eempio e Z = AY, con A invertibile, allora ϕ 1 (z) = A 1 z e la formula precedente diviene f Z (z) = f Y (A 1 1 (z)) det(a). Eempio Un eempio di traformazione che incontreremo peo nel eguito è il cao in cui Y = (Y 1, Y 2,, Y m ) e Z 1 = Y 1, Z 2 = Y 1 + Y 2, Z m = Y 1 + Y Y m, Allora la matrice A è la matrice triangolare A = oia z = ϕ(y) = A y, con z 1 = y 1, z 2 = y 1 + y 2, z m = y 1 + y y m. con determinante uguale ad In realtà bata che eita un aperto O, tale che la denità f Y (y) = per y / A e tale che ϕ ia invertibile da O a ϕ(o,

19 MPEDP-dott-5-giugno La traformazione invera è y 1 = z 1, y 2 = z 2 z 1, y m = z m z m 1, per cui, e Y ammette denità di probabilità, oia y = ϕ 1 (z) = A 1 y dove A 1 = f Z (z 1, z 2,, z m ) = f Y (z 1, z 2 z 1,, z m z m 1 ). Il cao m = 2 è particolarmente intereante in quanto permette di ricavare la denità della omma di due variabili aleatorie, emplicemente calcolando la denità marginale di Z 2 = Y 1 + Y 2 : per z R ( ) f Y1 +Y 2 (x) = f Z2 (x) = f Z1,Z 2 (x, x ) dx = f Y1,Y 2 (x, x x) dx. R R

20 16 MPEDP-dott-5-giugno Appendice: variabili Gauiane Cominciamo con il definire una variabile aleatoria gauiana tandard unidimenionale: Definizione 1.1. Si dice che una variabile aleatoria reale Z è gauiana di valore atteo µ e varianza σ 2, e ammette denità { f Z (z) = 1 exp 1 2π 2 ( ) } 2 x µ. σ In queto cao i ua la notazione Z N(µ, σ 2 ). Se µ = e σ 2 = 1 allora i dice che Z egue una legge normale o gauiana tandard. Cao n dimenionale: iniziamo con il cao di un vettore (colonna) aleatorio Y 1 Y 2 Y = Y k Y n a componenti indipendenti e tutte gauiane tandard, ovvero il cao in cui f Y (y) = = n f Yi (y i ) = i=1 n i=1 { 1 ( 2π) exp 1 n 2 { 1 exp 1 } 2π 2 y2 i n i=1 y 2 i } = { 1 exp 1 } (2π) n/2 2 y y. dove l apice indica l operazione di trapoizione, ovvero y è il vettore riga (y 1, y 2,, y n ). È immediato verificare che E(Y i ) =, V ar(y i ) = 1 e che Cov(Y i, Y j ) =, per i j. Sia ora A una matrice non ingolare e ia m un vettore (colonna). Definiamo ora Z = AY + m e cerchiamo la ua denità. Sappiamo dai riultati generali che e Y ammette denità e Z = ϕ(y ) con ϕ invertibile e con derivate continue, allora anche Z ammette denità: ( ) f Z (z) = f Y (ϕ 1 (z)) ϕ 1 det (z) = f Y (ϕ 1 (z)) z det 1 ( ϕ(y) y di coneguenza, poiché nel notro cao ϕ(y) = Ay + m e ϕ 1 (z) = A 1 (z m) Eendo i ottiene ) y=ϕ 1(z) f Z (z) = 1 { n exp 1 ( A 1 (z m) ) } A 1 1 (z m) 2π 2 det(a). (A 1 (z m)) A 1 (z m) = (z m) (A 1 ) A 1 (z m) = (z m) (A ) 1 A 1 (z m) = (z m) (AA ) 1 (z m) f Z (z) = La precedente epreione i baa ulle eguenti proprietà: { 1 1 (2π) n/2 det(a) exp 1 } 2 (z m) (AA ) 1 (z m).

CHAPTER 1 CINEMATICA. 1.1. Moto Rettilineo

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