( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

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1 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo. Tr di esse determinre l prbol p che, con l su simmetric q rispetto llorigine O, delimit un regione di re. Consttto che, per l prbol p risult, clcolre lre del qudriltero convesso individuto dgli ssi di riferimento e dlle tngenti lle due prbole p, q nel loro punto comune di sciss positiv. Considerto infine il qudriltero convesso vente per vertici i punti medi dei lti del qudriltero precedente, dimostrre che si trtt di un prllelogrmm e clcolrne lre. ) L simmetric dell prbol rispetto ll origine è tle che: p : S ( ) ( ) ( ) ( ) 7 L prbol di equzione h vertice V, mentre l 6 7 prbol S ( ) h vertice V S, 6 L prbol di equzione intersec l sse delle scisse nelle scisse ± 7, mentre l prbol S ( ) intersec l sse delle scisse ± 7 nelle scisse S,,. Le due prbole si intersecno nei punti forniti dl seguente sistem: S ± er cui i punti di intersezione sono,,, Rppresentimo le prbole su un unico grfico:

2 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol L re dell regione di pino di interesse non è ltro che: 6 ricv si Or imponendo che 6 6 d d Clcolimo le due tngenti nel punto ( ),. L tngente ll prbol di equzione h equzione ( ) m con ( ) I m per cui l tngente h equzione : t L tngente ll prbol di equzione S h equzione ( ) m con ( ) I S m per cui l tngente h equzione : t Considerimo l figur sottostnte:

3 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Clcolo dei punti, Q ed R. unto : (,.) unto Q: 6 Q,. unto R: 6 Q,. Or si h:

4 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol OQ OR QR OR O * OR 6 * 6 QR T * QR 6 6 * Quindi OQ OR QR 6 96 Considerimo or l figur seguente: I punti O, Q,, per come definiti punti medi dei segmenti hnno coordinte:

5 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ( ) ( ),,,,,,,, Q O Q O Q Q O O Q O Clcolo rett O : : O : Q : Q O ( ) : Il qudriltero O Q h i lti due due prlleli come evidenzino i medesimi coefficienti ngolri delle coppie di rette O, Q e O Q,. Mostrimo or come i lti sono due due congruenti. Inftti ( ) 9 O Q Q O er dimostrre completmente che il qudriltero è un prllelogrmm bst notre che le coppie di rette (O Q,Q ), (Q, ), (, O ) e ( O,O Q ) non sono tr loro perpendicolri, per cui il qudriltero non è certmente un rettngolo, ed inoltre sfruttre un teorem che dice che in un prllelogrmm le digonli hnno lo stesso punto medio. Inftti in tl cso

6 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Q Q 9 O O,,, Il clcolo dell re può essere effettuto con l formul cnonic per un prllelogrmm: b * h Nel nostro cso considereremo come bse O Q 9 e come ltezz l distnz del punto dll rett O Q di equzione : h 9 er cui l re cerct è b * h 9 * 9 6

7 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), è ssegnt l curv k di equzione:. Dopo ver studito l funzione f( ) (dominio, eventuli zeri ed estremi, sintoti di k), disegnre lndmento di k. Indict con t l tngente k prllel llsse delle scisse distint dllsse stesso, clcolre lre dell regione pin delimitt d k e d t. completmento del problem, prendere in esme le due seguenti proposizioni: Un funzione rele di vribile rele non derivbile in un punto non è continu in quel punto. Un funzione rele di vribile rele non continu in un punto non è derivbile in quel punto. Dire di ciscun se è ver o fls e fornire un esuriente giustificzione dell rispost. ) Studio dell funzione Dominio: (, ) (, ) Intersezione sse : Intersezione sse : ositività: >, in tl cso ricordndo che nel dominio > R {} llor > > < per cui > (,) (, ) sintoti verticli: 6 6, lim, lim sintoti orizzontli:, lim ± sintoti obliqui: non ce ne sono Crescenz e decrescenz: I ( ) ( ) che nel dominio > ( ) 6 Inoltre ( ) ( 6) II ( ) ( )( ) ( ) >., per cui II ( ) > (,) è un minimo II ( ) <, è un mssimo 6 ( ) > < > visto 7

8 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Inoltre II 6 ( ) ( 6) ( ) per cui lequzione divent sono le scisse dei due flessi t 6 t 6 t 6 risolvibile con l posizione t ( 7 ± ) ( 7 ± ) Il grfico è sotto rppresentto: L tngente prllel ll sse delle scisse distint dll sse stesso è l rett che pss per il punto di mssimo cioè è l rett di equzione t : er il clcolo dell re considerimo l figur seguente:

9 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol 9 Clcolimo i punti di intersezione tr l tngente t e l curv k: ( )( ), er cui l re richiest è ln ln ln ln d d d conclusione del problem prendimo in considerzione ognun delle due ffermzioni seguenti: ) Un funzione rele di vribile rele non derivbile in un punto non è continu in quel punto. Quest ffermzione è certmente fls dl momento che per funzioni reli di vribile rele l derivbilità l continuità per cui invertendo l ffermzione possimo dire che l non continuità l non derivbilità. ossimo portre un esempio lmpnte: l funzione è continu in dl momento che ( ) lim lim, mentre in l funzione non è derivbile dl momento che l derivt vle se > e (-) se < per cui lim lim

10 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol b) Un funzione rele di vribile rele non continu in un punto non è derivbile in quel punto. Quest ffermzione è ver e ne è stt dimostrt l sussistenz nel punto ), in cui bbimo evidenzito come per funzioni reli di vribile rele l derivbilità l continuità per cui l non continuità l non derivbilità.

11 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) Considerto il rettngolo CD, il cui lto D è lungo, dove è un lunghezz not, si M il punto medio del lto. Sull perpendicolre l pino del rettngolo condott per M, prendere un punto V in modo che il pino del tringolo VCD formi col pino del rettngolo un ngolo α tle che tg α /. Mostrre che l superficie lterle dell pirmide di vertice V e bse CD è costituit d due tringoli rettngoli e d due tringoli isosceli. Spendo che lre di tle superficie lterle è 9, clcolre l lunghezz di. Consttto che tle lunghezz è, condurre un pino σ prllelo ll bse dell pirmide e proiettre ortogonlmente su tle bse il poligono sezione di σ con l pirmide stess, ottenendo in questo modo un prism retto. Determinre l posizione di σ per l qule il volume di tle prism risult mssimo. completmento del problem, dimostrre che se i numeri reli positivi, vrino in modo che l loro somm si mnteng costnte llor il prodotto è mssimo qundo risult. Si consideri l figur sottostnte che present l geometri del problem: Innnzitutto, essendo M il punto medio del lto, ed essendo VM perpendicolre l lto stesso, llor ne consegue l congruenz dei tringoli rettngoli VM e VM d cui segue VV cioè il tringolo V è isoscele. Or : VM MHtg( α ) 6 VH VM MH 6 6 Fccimo or l seguente posizione :, > Si h: V VM M 6

12 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Il tringolo VMD è nch esso rettngolo per cui: ( M D ) VM ( 6 ) 6 VD MD VM Or notimo che: ( 6 ) 6 VD V D cioè il tringolo VD è rettngolo. nlogmente vle per l fcci oppost cioè VC è nch esso rettngolo. nche in tl cso dll congruenz dei tringoli rettngoli VD e VC discende VDVC cioè il tringolo VDC è isoscele. L re lterle è compost dll re dei tringoli VD, VC, V e VDC. L re dei tringoli VD e VC è l stess per le considerzioni ftte sopr e srà: V* D VD VC 6 L re di V è: L re di VDC è: er cui si h: * VM V 6 DC * VH VDC ( 6 ) Or l soluzione dell equzione seguente: 6 si riconduce risolvere il sistem L equzione divent: ( 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) > <

13 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol 6 9 ± 77 > 6 < 9 ( 9) ( ) 9 ± 6 er cui l soluzione ccettbile è d cui Si consideri or l figur seguente: onimo QM ET NS L limitzione goeometric impone VM 6. I tringoli VQL e VMH sono simili per cui: VQ : QL VM : MH ( 6 ) : QL ( 6 ) QL 6 :

14 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol nlogmente i tringoli ET e VM sono simili per cui: Il volume del prism retto srà: VM : M ET : T 6 : : T T ST MT ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) V b * h ( ST * T) * QM * * con 6 Il volume così ricvto ssume vlore nullo gli estremi dell intervllo 6. Clcolimo or le derivte: 6 ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) ( 6)( ) > < > V I 6 9 I e con l limitzione 6 si h : V > < II V ( ) II V ( ) < er cui il volume mssimo è rggiunto qundo dell pirmide di cioè qundo il pino σ dist dll bse V e tle volume mssimo vle ( ) L prte finle del problem consiste nell risoluzione del seguente sistem: > > z E vedere qundo viene mssimizzt l funzione z. Tle funzione può essere riscritt come: z ( )

15 Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol nche in tl cso ricvimo l derivt prim: z I > < > E poiché i due numeri sono positivi llor l funzione z è crescente per Clcolimo or l derivt second: z z II II 6 > D cui si evince che l funzione z ssume il vlore minimo per quindi il minimo lo si h se. >. d cui si ricv e

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