NOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2009/2010 Calcolo 1, Esame scritto del

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1 NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 009/00 Calcolo, Esame scritto del Data la funzione fx = e /x x x +, a determinare il dominio massimale di f ; b trovare tutti gli asintoti di f ; c trovare tutti i massimi e minimi locali di f ; d tracciare un grafico qualitativo per f. Calcolare una primitiva della funzione fx = ln x x.

2 3 Studiare convergenza assoluta e semplice della serie k= x 4 k 4 k k e si giustifichi la risposta. 4 Calcolare i massimi e minimi locali della funzione sul piano tramite la formula fx, y = x 3 + xy + y. 5 Data la forma differenziale y ω = + xy + x calcolare l integrale ω dove γ dx + x + xy dy, + cost [ γt =, t π + sint, π ]. 4

3 Soluzioni: : a fx è definito per ogni x R per quale hanno senso x e x +, cioè per x 0 e x. Perciò il dominio di f è R \ {, 0 } =,, 0 0, +. b Per trovare gli asimtoti verticali calcoliamo i seguenti limiti : lim x 0 lim x +0 fx = e lim fx = e lim x 0 x +0 x + =, x + = +, lim fx x 0 0 x 0 0 e/x x t=/x t t = 0, lim fx x 0+0 x 0+0 e/x x t=/x e t t + t = +. Cosicché la retta x = è un asintoto verticale di f sia da sinistra che da destra, mentre in x = 0 è un asintoto verticale solo da destra. Rimarchiamo che f ha in x = 0 limite sinistro 0 e la sua estensione per continuità a, 0 ] ha anche derivata sinistro = 0 in x = 0 : fx 0 lim x 0 0 x 0 x 0 0 e/x x x + e t t=/x t et + t = 0. La prima condizione per l esistenza di un asintoto obliquo per x ± è l esistenza del limite finito fx m ± x ± x x x ± e/x x + =. La seconda condizione perché esisti un asintoto obliquo per x ±, necessariamente di forma y = m ± x + n ± = x + n ±, è l esistenza del limite finito n ± fx m+ x fx x. x ± x ± 3

4 Verifichiamo che anche questo limite esiste : n ± x + x e /x x x ± e/x x x ± = = 0. x ± t=/x e /x x x + x x + e t t t 0±0 Cosicché y = x è un asintoto obliquo di f per x +, y = x è un asintoto obliquo di f per x. c Per trovare gli intervalli di monotonia e gli extremi locali di f, dobbiamo prima calcolare la sua derivata : f x = e /x x x x + = e /x x + + e/x x + x x + = e /x x + x x +. + e/x xx + x x + Risulta che i zeri di f sono le radici dell equazione x + x = 0 : x = 5, x = + 5 Inoltre, f è > 0 in, x x, + ed è < 0 in x, x \ {, 0 }, perciò f risulta ad essere strettamente crescente in, x, strettamente decrescente in x,, strettamente decrescente in, 0, strettamente decrescente in 0, x, strettamente crescente in x, +. In particolare, x è un punto di massimo locale e x è un punto di minimo locale. Rimarchiamo che 4.

5 x = 5, 68, + 5 fx =, 8, 5 exp x = + 5 0, 68, fx = exp, 9. Possiamo trovare anche gli intervalli di convessità e di concavità di f, e quindi anche i suoi punti di flesso, calcolando la seconda derivata : f x = e /x x x + x x + + e /x x + x + x + x + x x + 4 = e/x x + x + x + x + x + x x + x x + = e /x x + x x +. 3 Cosicché f non ha zeri e Di conseguenza f e non ha punti di flesso. f x < 0 per x,, f x > 0 per x, 0 0, +. è concava in,, è convessa in, 0, è convessa in 0, + 5

6 Riportiamo il comportamento di f e di f nella seguente tabella : x x - 0 x + f f + + f ր max ց + ց 0 + ց min ր + d Usando le informazioni di cui sopra, è facile tracciare il grafico di f : y = x è asintoto obliquo di f per x. Il grafico di f sale da fino a x, fx, dove ha tangente orizzontale, poi scende a lungo l asintoto verticale x =, restando sempre sotto l asintoto : Infatti, per x < la disuguaglianza fx < x è equivalente a e /x > + che si verifica facilmente usando il sviluppo della x funzione esponenziale in serie di potenze. Poi il grafico di f scende da + lungo l asintoto verticale x = fino al punto 0, 0, dove ha semiretta tangente orizzontale a sinistra. Finalmente, il grafico scende da + lungo l asintoto verticale a destra x = 0 fino a x, fx, nel quale ha tangente orizzontale, poi sale a + avvicinando sempre di più l asintoto obliquo y = x, restando però sempre sopra l asintoto: Infatti, per x > 0 la disuguaglianza fx > x è equivalente a e /x > + che si verifica facilmente usando il sviluppo della x funzione esponenziale in serie di potenze. : Tramite integrazione per parti si ottiene ln x x dx = ln x d x = ln x x Ora, usando il sviluppo in fratti semplici x x = x + x, risulta x x dx. 6

7 ln x x dx = = ln x x ln x + ln x + C x ln x x + ln x + C. 3 : Il raggio di convergenza della serie di potenze 4 k k zk è perciò la serie lim k k= 4 k k 4 k+ k + k 4k + k = 4, x 4 k converge assolutamente per 4 k k k= x 4 < 4 x 0, 8 e non converge nemmeno in modo semplice per x 4 > 4 x, 0 8, +. Resta ad esaminare il caso Per x = 8 x 4 = 4 x = 8 oppure x = 0 : k= x 4 k 4 k k è la serie armonica, quindi diverge, mentre per x = 0 la serie x 4 k = k 4 k k k k= è la serie armonica a termini di segno alterno e converge semplicemente secondo il criterio di Leibniz. = k= k= k 7

8 4 : I massimi e minimi locali di f sono punti stazionari, cioè annullano le derivate parziali di fx, y = x 3 + xy + y. Per trovarli, calcoliamo le derivate parziali di f : f x = 3x + y, f y = x + y. Risulta che i punti stazionari di f sono le soluzioni del sistema di equazioni { 3x + y = 0 x + y = 0. Sottraendo la seconda equazione dal doppio della prima, si ottiene 6x x = 0 x = 0 oppure x = 6. Poiché y = x, risulta che i punti stazionari di f sono 0, 0 e 6,. Per poter dire se il punto stazionario 0, 0 è massimo o minimo locale, calcoliamo anche le derivate parziali di secondo ordine : Perciò f x = 6x, f x0, 0 = 0, f y x =, f 0, 0 =, y x e la matrice hessiana di f in 0, 0 è 0. f y =. Poiché il determinante della matrice hessiana è 0 = 0 = < 0, 8 f y0, 0 =

9 il punto 0, 0 è un punto di sella. Ora le derivate parziali di secondo ordine in 6, sono f x 6, =, f y x 6, =, f y 6, = e risulta la matrice hessiana Poiché il determinante della matrice hessiana è = = > 0, mentre l elemento nell angolo sinistro superiore è > 0 la hessiana è definita positiva e quindi il punto di minimo locale.. 6, è un punto Rimarchiamo che il valore di f in questo punto è e, siccome f 43 prende per esempio anche il valore = f, 0, 6, non è un punto di minimo assoluto che quindi non esiste. 5 : Ricordiamo che una forma differenziale Px,ydx + Qx,ydy si chiama chiusa se P y = Q x 9

10 e si chiama esatta se ammette una primitiva, cioè una funzione Fx,y definita sullo stesso dominio che soddisfa Se una forma differenziale F x = P, Px,ydx + Qx,ydy F y = Q. * e esatta e le funzioni P e Q sono continuamente differenziabili, allora la forma è necessariamente chiusa. L implicazione reciproca non è in generale vera, ma una forma differenziale chiusa, definita su un dominio stellato un dominio convesso è stellato!, è automaticamente esatta. La nostra forma ω è esatta sul semipiano destro aperto che contiene la curva γ. Infatti, y y + xy + x è uguale a = + xy x yy + xy = xy + xy x x + xy = + xy y xx + xy = xy + xy, perciò ω è chiusa. Poiché ogni semipiano è convesso, la forma risulta esatta sul semipiano destro aperto. Per trovare una primitiva, dobbiamo risolvere il sistema *. A questa fine integriamo Q rispetto ad y ottenendo x Fx,y = dy = arctgxy + Cx, + xy ove Cx è un valore costante rispetto ad y, ossia una funzione solo di x. Ora scegliamo Cx tale che anche la prima equazione del sistema * sia soddisfatta : poiché sia uguale a F x x,y = arctgxy + Cx x Px, y = = y + xy + x, 0 y + xy + C x

11 deve valere C x = x primitive di ω sono Cx = ln x + C. Di conseguenza le Fx,y = arctgxy + ln x + C. Usando le primitive di ω è facile calcolare l integrale di ω lungo la curva γ con estremità γ π π =, γ = : 0 / γ ω = F, / F, 0 = arctg + ln arctg0 + ln = π 4.

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