Scuola delle Biotecnologie - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - a. a. 2006/2007 Prof. Margherita Fochi. Appunti precorso. k k

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1 Scuol delle Biotecologie - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE /007 Prof. Mrgherit Fochi Apputi precorso.- Poliomi.. - Geerlità Def..- Moomio ell vribile di grdo k è l espressioe : Def..- Poliomio ell vribile di grdo : k k. i P ( = =. U poliomio formto d due moomi si dice biomio, se è formto d tre moomi si dice triomio, ecc.. Def. 3.- Grdo del poliomio è l mssim potez di, co coefficiete o ullo. Le costti soo poliomi di grdo 0. Def. 4.- Poliomio ordito secodo le poteze cresceti (decresceti) se i moomi compioo co i grdi i ordie crescete (decrescete). Pricipio di idetità dei poliomi. Due poliomi orditi rispetto u letter soo uguli se ho orditmete uguli tutti i coefficieti e il termie oto. Def. 5.- Somm lgebric di poliomi : è il poliomio otteuto sommdo lgebricmete i coefficieti dei moomi di ugul grdo. Def. 6.- Prodotto di poliomi è il poliomio otteuto moltiplicdo orditmete i moomi del primo poliomio co i moomi del secodo poliomio. Ricordimo che il prodotto di due moomi è il moomio vete il coefficiete ugule l prodotto dei coefficieti e prte letterle otteut sommdo gli espoeti. i= 0 i.. - Prodotti otevoli e scomposizioe i fttori Def..- Scomposizioe i fttori: è l trsformzioe di u poliomio el prodotto di due o più poliomi. Def..- Poliomi irriducibili: soo poliomi che o si possoo scomporre i fttori. I questo problem si deve tuttvi idicre i qule cmpo si richiedoo i coefficieti dei poliomi. Teorem. Per poliomi coefficieti reli vi soo solo due tipi di fttori irriducibili: i biomi di primo grdo, cioè P ( = + b e i triomi di secodo grdo co discrimite egtivo, cioè P ( = + b + c co discrimite = b 4c < 0. ) Def. 3.- Prodotti otevoli: richimimo di seguito i pricipli prodotti otevoli: somme lgebriche di poteze b = ( b)( + b) + b = irriducibile 3 3 b = ( b)( + b b ) b = ( + b)( b + b 4 4 b = ( b)( + b)( + b b = ( + b + b )( b + b b = ( b)( + b + b + b + b b = ( + b)( b + b b + b ) ) 4 4 ) ) )

2 poteze dei biomi b) = b + ( b ( + b) = + b + b ( b) = 3 b + 3b b ( + b) = + 3 b + 3b + b ( b) = 4 b + 6 b 4b + b ( + b) = + 4 b + 6 b + 4b + b Guid ll scomposizioe di poliomi. Dto u poliomio d scomporre:. Qudo è possibile rccoglimo fttor comue.. Cotimo il umero dei termii e provimo percorrere le strde rissute ello schem seguete: Se il poliomio h: può essere ricoducibile : - termii differez di qudrti differez di cubi somm di cubi - 3 termii qudrto di u biomio.3. - Divisioe tr poliomi Def..- Divisioe di poliomi triomio del tipo ( ) P( R( = P ( +.Quest equivle ovvimete (per gli tli che Q ( 0 ) Q( Q( P ( = P ( Q( + R(. Deve essere grdo R ( < grdo Q (. I prticolre se Q( = ( ) R ( è u umero. ) llor ) Teorem del resto Il resto dell divisioe di u poliomio A( per il biomio è dto d () + + A. Def..- Divisibilità di poliomi: u poliomio è divisibile per u ltro se il resto ell divisioe è il poliomio ullo. Def. 3.- Regol di Ruffii : è u lgoritmo che serve per dividere u poliomio per u biomio del tipo Frzioi lgebriche P ( Def..- Frzioe lgebric propri : è l frzioe dove P ( m < m. P ( Def..- Frzioe lgebric impropri : è l frzioe dove m. Ogi frzioe impropri si può ridurre Pm ( propri secodo l formul l puto.3. Def. 3.- Domiio di u frzioe lgebric è l isieme dei vlori di che verifico P m ( Zeri dei poliomi Def..- Zeri di u poliomio: soo tutti quei vlori che ullo il poliomio. Def..- Zero semplice: 0 è uo zero semplice se P ( è divisibile per ( 0 ) e o è divisibile per ( 0 ). r Def. 3.- Zero multiplo: 0 è uo zero multiplo, co molteplicità r, se il poliomio è divisibile per ( 0 ), m o r+ è divisibile per ( 0 ). Regol : per otteere gli zeri dei poliomi è utile l scomposizioe i fttori: d ess iftti si deducoo tutte le iformzioi volute.

3 .- Equzioi e disequzioi lgebriche.. - Equzioi lgebriche Def..- Equzioe lgebric è u'equzioe otteut uguglido zero u poliomio co u vribile. Def..- Risolvere u'equzioe sigific determire tutti i vlori di che l soddisfo. Def. 3.- Soluzioi o rdici soo quei umeri che sostituiti ll'icogit redoo ver l'ugugliz. Soo gli zeri del poliomio primo membro. Def. 4.- Soluzioi o rdici multiple soo gli zeri multipli del poliomio. Teorem fodmetle dell lgebr : se P ( è u poliomio di grdo coefficieti reli, l equzioe ( = 0 h esttmete soluzioi reli o o reli, cotte co l propri molteplicità. P I tipi di equzioi che esmiimo soo Equzioi lgebriche di primo grdo: soo dell form + b = 0 co 0. L soluzioe è + b + c = co 0 Equzioi lgebriche di secodo grdo: soo dell form 0, b =.. Le soluzioi soo b ± b 4c =. Nel cso i cui l equzioe si + b + c = 0 si ricord l formul b ± b c risolutiv ridott, =. Equzioi lgebriche di grdo : o ci soo formule risolutive geerli per le equzioi di grdo >. Ci soo equzioi prticolri risolvibili seguedo metodi be precisi. Come esempio risolvimo le equzioi 4 biqudrtiche che soo equzioi di grdo 4 del tipo + b + c = 0, poedo = z. Per ltri csi è utile ricorrere ll scomposizioe i fttori... - Disequzioi rzioli itere Def..- Disugugliz è ogi relzioe del tipo < b, > b, b, b. Le pricipli proprietà delle disugugliz fr umeri reli soo le segueti. Se < b + c < b + c per ogi umero rele c c < b c per ogi umero rele c c < bc se c > 0 c > bc se c < 0 b c c se c > 0 b c c se c < 0 < b se dispri < b se pri e, b positivi > b se pri e, b egtivi < se, b cocordi b. Se < b, c < d llor + c < b + d per ogi umero rele, b, c, d llor c < bd per ogi umero rele positivo, b, c, d. 3

4 Def..- Disequzioe è ogi disugugliz fr espressioi coteeti u o più icogite. Risolvere u disequzioe sigific trovre tutti i vlori reli che verifico l dt disugugliz: i geerle, le disequzioi ho come soluzioi degli itervlli, cioè tutti i vlori reli compresi fr due umeri dti. Def 3.- Disequzioi rzioli itere : sio P ( = Q ( = b0 + b b due poliomi ell vribile, si dice disequzioe rziole iter ciscu delle segueti disequzioi P ( < Q(, oppure P ( > Q(, oppure P( Q(, oppure P( Q(. I tipi di disequzioi rzioli itere che esmiimo soo 0 e Disequzioi rzioli itere di primo grdo: soo dell form + b < 0 co 0 (oppure si trtt di disequzioi co gli ltri simboli di disugugliz che soo stti itrodotti). Per il cso + b < 0 si h come soluzioe b b < se > 0, > se < 0 (per gli ltri csi si ottegoo risultti loghi). + b + c < co 0 Disequzioi rzioli itere di secodo grdo: soo dell form 0 (oppure si trtt di disequzioi co gli ltri simboli di disugugliz che soo stti itrodotti). Schemtizzimo il cso i cui si h > 0. Cosiderimo l reltiv equzioe + b + c = 0 e idichimo co = b 4c il discrimite e co < le due evetuli soluzioi. Allor + b + c < 0 h come soluzioi: < < se = b 4c > 0, o ci soo soluzioi se = b 4c = 0 o ci soo soluzioi se = b 4c < 0. Poi + b + c > 0 h come soluzioi : <, > se = b 4 c > 0, b tutti i vlori reli co se = b 4c = 0 tutti i vlori reli se = b 4c < 0. Acor + b + c 0 h come soluzioi : se = b 4c > 0, b l uic soluzioe è = se = b 4c = 0 o ci soo soluzioi se = b 4c < 0. Poi + b + c 0 h come soluzioi :, se = b 4 c > 0, tutti i vlori reli se = b 4c = 0 tutti i vlori reli se = b 4c < 0. Disequzioi rzioli itere di grdo superiore l secodo: soo del tipo, d esempio, P ( < 0 dove P ( = Si cerc di scomporre il poliomio i fttori di primo e secodo grdo, poi si risolve l disequzioe impoedo che tutti i fttori sio positivi. L soluzioe si ottiee secod dei csi, ricorddo che il prodotto di due umeri etrmbi positivi o etrmbi egtivi è positivo, il prodotto di u umero positivo per u umero egtivo è egtivo. 4

5 .3. - Sistemi di disequzioi Def.- Sistemi di disequzioi soo del tipo verifico tutte le disequzioi. P( < 0 Q( 0. Si dice soluzioe del sistem l uioe dei vlori che R( < 0... etc Disequzioi rzioli frtte P( Soo del tipo < 0. Si cerc di scomporre il poliomio i fttori di primo e secodo grdo, poi si Q( risolve l disequzioe impoedo che tutti i fttori sio positivi. L soluzioe si ottiee secod dei csi, ricorddo che il prodotto di due umeri etrmbi positivi o etrmbi egtivi è positivo, il prodotto di u umero positivo per u umero egtivo è egtivo Disequzioi irrzioli Soo di due tipi A ( > B( se dispri le soluzioi soo A( > B( se pri le soluzioi soo dte dl sistem B( 0 A( > 0 A( > B( A ( < B( se dispri le soluzioi soo A( < B( se pri le soluzioi soo dte dll uioe dei due sistemi B( 0 A( 0, A( < 0 A( < B(.6. - Disequzioi co vlori ssoluti Ricordimo l defiizioe di vlore ssoluto: = seglimo soo del seguete tipo: > 0. Le disequzioi co vlore ssoluto che < 0 A ( <, quest disequzioe equivle < A( < e si risolve co il sistem A ( >, quest disequzioe equivle A( < e A ( >. A( < A( >. 5

6 3.-Equzioi e disequzioi espoezili e logritmiche Espoezili e proprietà Def..- Espoezile di bse è u fuzioe che si ottiee fissdo il umero rele e fcedo vrire l espoete. L potez è defiit ei csi segueti: =, =,,3,4... per qulsisi R =, =,,3,4... per qulsisi R co 0 =, =,4,6,8,... (pri) per qulsisi R co 0 =, = 3,5,7,9,... (dispri) per qulsisi R =, =,4,6,8,... (pri) per qulsisi R co > 0 =, = 3,5,7,9,... (dispri) per qulsisi R co 0 m =,, m Z (frzioe ridott i miimi termii) vedere csi precedeti R per qulsisi R co > 0 I csi prticolri soo = 0 = per qulsisi R co > 0 Le proprietà pricipli soo + y y = = y = y y y = ( ) Logritmi e proprietà Def..- Logritmo i bse di b, cioè log b, è l'espoete d ssegre ll bse per otteere il umero b. Precismete, si > 0, e b > 0 chim logritmo i bse di b l soluzioe dell'equzioe espoezile elemetre, cioè = b se e solo se = log b. Def..- Logritmo decimle è il logritmo i bse 0, cioè log. Def.3.- Logritmo turle o eperio è il logritmo i bse 78 0 = e,, cioè log, detto che l. e 6

7 Osservzioi sui logritmi: log b Il logritmo risult essere l'operzioe ivers dell'espoezile, quidi: = b e log =. Le limitzioi cui è soggetto l'espoezile si riflettoo sul logritmo: fisst l bse > 0,, deve essere b > 0. I csi prticolri soo log = 0 log = Le proprietà pricipli soo, suppoedo sempre > 0, y log = y log se > 0, y R log ( y) = log + log y se > 0, y > 0 log = log log y se > 0 y > 0 y log c b log b = se > 0,, b > 0, c > 0, c (formul del cmbimeto bse) log c Risoluzioe di lcue equzioi espoezili e logritmiche Def..- Equzioe espoezile è u equzioe i cui l'icogit compre soltto ell'espoete di u o più poteze. L'equzioe espoezile più semplice (elemetre) è del tipo : = b, co > 0 b > 0 ed R è l icogit U'equzioe espoezile del tipo = b può essere: impossibile se b 0, oppure se b e = idetermit se = e b = determit se > 0, e b > 0 Per risolvere u'equzioe espoezile : = b se e b si scrivoo come poteze (rzioli) dell stess bse, si eguglio gli espoeti b form di logritmi. m f ( g ( = b si pss i logritmi di etrmbi i membri (coviee usre il log co l stess bse di uo delle bsi dell espoezile) e si clcol opprtumete f = c = se e b o si scrivoo come poteze (rzioli) dell stess bse, le soluzioi si scrivoo sotto ( ) si poe = t e si procede opportumete Def..- Equzioe logritmic è u equzioe i cui l'icogit compre soltto ell'rgometo di uo o più logritmi. Per risolvere u'equzioe logritmic coviee: se è possibile, trsformre l'equzioe dt i u equivlete del tipo log f ( = log g(,pplicdo le proprietà dei logritmi determire le soluzioi dell'equzioe f ( = g( eseguire il cotrollo medite verific dirett dei vlori di clcolti l puto. Oppure, i ltertiv, ssocire ll'equzioe di cui l puto tutte le codizioi di esistez sui logritmi (ricordimo che u logritmo è defiito soltto per vlori positivi del suo rgometo), per seleziore le soluzioi ccettbili. 7

8 Disequzioi espoezili e logritmiche Si devoo osservre le segueti importti relzioi fr espoezili se > y > se e solo se > y se 0 < < y > se e solo se < y e d esse seguoo le corrispodeti relzioi fr logritmi se > log > log y se e solo se > y se 0 < < log > log y se e solo se < y. Prtedo d queste relzioi e ricorddo l risoluzioe delle equzioi espoezili e logritmiche, esmiimo qulche esempio f g > f g > b f > c ( ( ( ( ( ) log f ( log g( log k > f c ( ) k > (log f k > c ) k 8

9 4.- Elemeti di geometri litic 4. - Il pio crtesio: richimi Def. - Cosiderimo u puto O detto origie, due rette r, s pssti pero oriette come i figur e due puti U r, V s che e idividuo le uità di misur. Si è così defiito u riferimeto crtesio; esso è detto ortogole se r ed s soo ortogoli, moometrico seou = OV. Le rette r ed s si chimo ssi crtesii, r è l sse delle scisse ed s è l'sse delle ordite Def. - Ad ogi puto P del pio si può ssocire u coppi (, y) R e vicevers. e l corrispodez è biuivoc, è dett sciss di P, y è dett ordit di P e (, y) soo le coordite crtesie di P. I puti sull rett r, ho coordite (,0), metre quelli sull rett s, ho coordite ( 0, y ). Def. 3- L lughezz del segmeto di estremi A, y ) B y ) si ottiee L = ( ) + ( y y ( ( + y + y Def. 4- Il puto medio del segmeto AB è M (, ) ) 4. - L rett rele Def. - Fissto u riferimeto crtesio, l'equzioe dell geeric rett r è y = m + q il umero m è detto coefficiete golre o pedez dell rett, metre q è detto ordit ll origie. Le itersezioi di r co gli ssi q crtesii soo P = ( 0, q) e Q = (,0), meo che r si prllel d uo degli ssi. Le rette prllele d O ho m u'equzioe del tipo y = c, metre quelle prllele d Oy soo del tipo = c, dove c R è u costte. Rett per due puti = y y y y Rett per u puto co coefficiete golre dto y y = m ) ( Rette prllele ho m = m, rette perpedicolri ho m = m Distz puto rett + by + c d =. + b 9

10 4.3 - Circoferez Def..- L circoferez è il luogo geometrico dei puti P del pio che ho distz costte r d u puto fisso O (, b) detto cetro. L distz r si chim rggio dell circoferez. Equzioe: ( ) + ( y b) = r. Si può che scrivere α + y + α + βy + γ = 0 dove =, β b =, r = + b γ e vicevers α = β = b γ = + b r. 4.4 Ellisse Def.. - Nel pio crtesio, l isieme dei puti per cui l somm delle distze d due puti detti fuochi è costte si chim ellisse. Equzioe è =. + b y I fuochi soo F ( ± c,0) dove c = b se i fuochi soo sull sse, ltrimeti se soo sull sse y F ( 0, ± c) dove c rppresetti d e b. = b, i semissi soo Prbol Def.. È il luogo geometrico dei puti P del pio che ho ugule distz d d u puto F detto fuoco e d u rett r dett direttrice. Equzioe è dove,, soo costti. y = + b + c b c R Il puto V di ordit miim (o mssim) dell prbol è detto b 4c b vertice e h coordite,. 4 b b + 4c, 4 + b 4c y = 4 Il fuoco F( ) e l direttrice C = ( c come uico puto d'itersezioe co l'sse delle ordite, metre U prbol h sempre il puto 0, ) co l'sse delle scisse, cioè y = 0, l'esistez ed il umero di puti d'itersezioe dipede dlle soluzioi 0

11 + b + c = dell'equzioe di secodo grdo 0. L prbol è simmetric rispetto ll rett s di equzioe b =, prllel ll'sse delle ordite. Se > 0 l prbol si dice covess o che che è di tipo U. Se < 0 l prbol si dice cocv o che che è del tipo I. Si oti che se = 0 l prbol degeer ell rett di equzioe y = b + c Iperbole. Def. -Nel pio crtesio, l isieme dei puti per cui l differez delle distze d due puti detti fuochi è costte si chim iperbole. Equzioe i form ormle è =. b y I fuochi F ( ± c,0) soo i fuochi sull sse e c + = b. Le rette di equzioe gli sitoti dell iperbole. b b y = e y = soo Nel cso i cui = b, gli sitoti soo ortogoli e l iperbole è dett equilter, divet : = y. Nel cso i cui si ssumoo gli sitoti come uovi ssi coorditi, l iperbole si dice riferit gli sitoti e divet y = k

12 5.-Trigoometri 5. - Richimi Def..- Circoferez trigoometric h per cetro l origie delle coordite e rggio uitrio. Il verso di percorrez positivo è quello tiorrio. Def..- Rdite golo l cetro di u circoferez che sottede u rco di lughezz rettifict ugule l rggio. 0 rd = 57 7'44". Si pss di grdi i rditi co l seguete proporzioe: 0 rd α π Def.3.- Seo: se α = BH =ordit del puto B secodo estremo dell rco α (il primo estremo è i A). Def.4.- Coseo: cos α = OH = sciss del puto B secodo estremo dell rco α (il primo estremo è i A). Def.5.- Tgete: t α = rpporto, qudo esiste, tr il seo e il coseo dell'golo α e cioè qudo cosα 0. Def.6.- Cotgete: cot α = rpporto, qudo esiste, tr il coseo e il seo dell'golo α e cioè qudo se α 0. α :80 = : 5. Relzioi e vrizioe delle fuzioi circolri α seα cosα tα 5 = π/ = π/ = π/6 / 3 / 3 /3 45 = π/4 / / 60 = π/3 3 / / 3 90 = π/ 0 o esiste 80 = π = 3/π - 0 o esiste 0 = 360 = π 0 0

13 NOTO seα cosα tα seα seα ± se α cosα tα cotα ± cos α cosα tα ± ± tα se α se α cos α cos α ± + t α ± + t α cot α ± + cot α ± + cot α cot α Formule di ddizioe e sottrzioe: ( α + β ) = seα cos β + cosα seβ ( ) = cos cos se se α β seα β α seβ cos( α + β ) = cosα cosβ seα seβ cos( α β ) = cosα cos β + seα seβ tα + t β t( α + β ) = tα t β tα t β t( α β ) = + tα t β Formule di dupliczioe: si ottegoo dlle precedeti poedo α=β se α = seα cosα cos α = cos α se α = se α = cos α tα t α = t α Formule di bisezioe: si ottegoo dlle precedeti dimezzdo l golo α α si = ± cosα α + cosα cos = ± α t = ± cosα cosα siα = = + cosα siα + cosα Formule prmetriche: si ottegoo poedo t siα = + t t cosα = + t t tα = t t = t 3

14 5.3 - Equzioi e disequzioi trigoometriche Equzioi di primo grdo, elemetri : soo dell form cosα = ) se α = m co m : queste equzioi si risolvoo poedo e itersecdo l seα = y circoferez di equzioe + y = co l equzioe y = m. Se è il più piccolo rco positivo che k soddisf l equzioe, l soluzioe è = ( ) + co k Z. α kπ ) cos α = m co m : queste equzioi si risolvoo itersecdo l circoferez di equzioe + y = co l equzioe = m. se è il più piccolo rco positivo che soddisf l equzioe, l soluzioe è α = ± + kπ. Equzioi di primo grdo, lieri : soo dell form ) se + b cos = c : si risolvoo itersecdo l circoferez di equzioe + y = co l equzioe +, che rppreset u rett. y b = c Equzioi di secodo grdo : soo dell form ) se + bse + c = 0, cioè cotiee u sol fuzioe trigoometric, si risolve poedo se = t e risolvedo l equzioe lgebric otteut e poi l equzioe liere. ) Se cotiee più di u fuzioe si cerc, medite le formule viste precedetemete, di trsformrl i u che coteg u sol fuzioe trigoometric. Disequzioi di primo grdo, elemetri : soo dell form ) se > m co m : queste equzioi si possoo risolvere col seguete metodo grfico m : impossibile m < : sempre ver m = : 3 ver π + kπ < m < : α + kπ < < α kπ, co k Z + ) cos > m co m : queste equzioi si possoo risolvere col seguete metodo grfico m : impossibile m < : sempre ver m = : ver π + kπ < m < : α + kπ < < α + kπ,co k Z 4

15 Disequzioi di primo grdo, lieri : el cso di u disequzioe liere del tipo se + b cos > c si procede come per l equzioe corrispodete, cioè si risolve itersecdo l circoferez di equzioe + y = co l disequzioe y b > c + che rppreset u semipio. ) se + cos < è risolt dl seguete grfico, quidi si ottiee così l soluzioe: π + kπ < < π + kπ, co k Z. Disequzioi di secodo grdo : Si risolvoo come le disequzioi di secodo grdo, scegliedo gli itervlli iteri o esteri lle soluzioi trovte, si ottegoo così delle disequzioi di primo grdo che si risolvoo come precedetemete visto. 5

16 6.-Fuzioi Geerlità Def..- Fuzioe rele di vribile rele è u relzioe che ssoci d ogi umero rele, uo ed u solo umero rele y e si idic co f : R R ; l vribile è l vribile idipedete, metre l vribile y è l vribile dipedete. Si scrive pure y = f (. Def..- Domiio X dell fuzioe è l isieme dei umeri reli i cui è defiit l fuzioe. Def. 3.- Codomiio o immgie Y l isieme dei vlori ssuti dll fuzioe. Def. 4.- Equzioe del grfico dell fuzioe è l equzioe y = f ( e per grfico si itede l rppresetzioe sul pio crtesio dei puti (, f ( ). Questo pio è crtterizzto di due ssi ortogoli: l sse orizzotle si dice sse delle scisse o sse e quello verticle sse delle ordite o sse y. Def.5.- Fuzioe limitt: è u fuzioe il cui grfico è coteuto i u strisci orizzotle, cioè f ( M per ogi X. Def.6.- Fuzioe pri: è u fuzioe il cui grfico è simmetrico rispetto ll sse delle ordite, cioè f ( = f ( Def.7.- Fuzioe dispri: è u fuzioe il cui grfico è simmetrico rispetto ll origie, cioè f ( = f (. Def.8.- Fuzioe mooto: è u fuzioe co il grfico sempre crescete el domiio, cioè se < llor f ( ) f ( ), oppure sempre decrescete el domiio cioè se < llor f ( ) f ( ). Def.9.- Fuzioe periodic se il grfico si ripete esttmete d ogi itervllo di mpiezz T, cioè f ( + T ) = f (. Def.0.- Mssimo ssoluto dell fuzioe è il più grde vlore rggiuto dl grfico dell fuzioe, cioè M è il mssimo per f se f ( M per ogi X. Def..- Miimo ssoluto dell fuzioe è il più piccolo vlore rggiuto dl grfico dell fuzioe, cioè m è il miimo per f se f ( m per ogi X. Def..- Mssimo reltivo dell fuzioe è quel vlore M tle che f ( M per pprteete d u opportuo itervllo. Def.3.- Miimo reltivo dell fuzioe è quel vlore m tle che f ( m per pprteete d u opportuo itervllo. Def.4.- Fuzioe iiettiv se le rette orizzotli iterseco il grfico dell fuzioe l più i u solo puto, cioè se per ogi si h f ( ) f ( ), Def.5.- Fuzioe suriettiv se ogi elemeto del codomiio proviee d lmeo u elemeto del domiio. Def.6.- Fuzioe biiettiv se è si iiettiv si suriettiv. 6

17 Grfici di lcue fuzioi elemetri y =, dispri y =, pri y =, dispri y =, pri 7

18 y =, dispri y =, pri α y =, R α, α > 0 y = 8

19 y =, co > y =, co 0<< y = log, co > y = log, co 0<< 9

20 y = se y = cos y = t y = cot 0

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