1 Indipendendenza dal percorso per forze conservative

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1 Nicola GigliettoA.A /14 INDIPENDENDENZA DAL PERCORSO PER FORZE CONSERVATIVE Parte I Forze conservative Forze conservative In generale il lavoro L = f i F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = B A µ dnds = µ d N B A ds = µ dnl AB con L AB la lunghezza effettiva del percorso compiuto. Quando il lavoro non dipende dal percorso effettuato ovvero B A ( F ds) I = B A ( F ds) II (1) qualunque siano i percorsi I e II allora si dice che la forza F è conservativa. Se questo è verificato allora l integrale B A ( F ds) = f(b) f(a) si può esprimere come differenza dei valori di una funzione f(x) (una primitiva) nelle coordinate dei punti A e B (il lavoro allora dipenderà dalle coordinate dei punti ma non dallo specifico percorso fatto) Conseguenza di ciò è che se il percorso è chiuso, ovvero i punti iniziali e finale coincidono, il lavoro sarà nullo: L = 0 F ds = 0 (2) L=0 per qualunque percorso chiuso equivale a dire che la forza è conservativa. La funzione primitiva f(x) cambiata di segno è detta Energia potenziale: L AB = U A U B = U = E p 1 Indipendendenza dal percorso per forze conservative Indipendendenza dal percorso per forze conservative (1) (2) è ovvia in quanto se B A certamente l integrale è nullo. Verifichiamo anche che (2) (1) per completare l equivalenza: infatti considerando un generico percorso chiuso e individuando i tratti (1) e (2) si deve avere L TOT = L 1 +L 2 = 0 per la (2) Energia potenziale, forze conservative 1

2 1 B A 2 Per cui (L AB ) 1 = (L BA ) 2. Se consideriamo un altro percorso chiuso che ad esempio va da A a B sul solo percorso (2) con una andata e ritorno sempre dalla (2) abbiamo che (L AB ) 2 +(L BA ) 2 = 0 (L AB ) 2 = (L BA ) 2 da cui sostituendo (L AB ) 1 = (L BA ) 2 = (L AB ) 2. In definitiva 0 = ( F ds) (1) ( F ds) = (2) ( F ds) Il lavoro nullo su un percorso chiuso qualunque implica il lavoro non dipende dal percorso ma solo dagli estremi. Parte II energie potenziali di alcune forze energie potenziali di alcune forze Calcolarel energiapotenzialesignificaeffettuareilseguenteintegrale U = x f x i F(x)dx Energia potenziale forza peso Es. 1: Forzacostante(es. Forza peso): F=-mgcheingenereèdirettalungo l asse y per cui integriamo di fatto su dy: U = y f y i ( mg)dy = +mg(y f y i ) U = mg y ovvero U f U i = mgy f mgy i U = mgy+cost. Normalmente si calcolano sempre delle differenze in quanto di fatto calcoliamo dei lavori. Possiamo comunque volere l energia potenziale in un preciso punto (ad es. y f ). Per fare questo dobbiamo considerare un punto di riferimento per l energia potenziale al quale attribuiamo arbitrariamente energia potenziale nulla. Questa nostra scelta non avrà alcuna conseguenza nel calcolo delle variazioni di energia potenziale. Nell esempio considerato ad esempio si attibuisce energia potenziale nulla al livello del suolo y i = 0, U(y i ) = 0. Fatta questa scelta abbiamo che U = mgy è l energia potenziale in un generico punto alla quota y e U = mg(y f y i ). L energia potenziale gravitazionale dipende solo dall altezza rispetto al suolo (che è scelta come posizione di riferimento U(0)=0). Energia potenziale, forze conservative 2

3 Energia potenziale delle Forze elastiche LeforzeelastichehannoF=-kxpercui U = x f x i ( kx)dx = +[ 1 2 kx2 ] x f 1 2 k(x2 f x2 i ) U = 1 2 kx2 +cost. La costante è definita scegliendo un riferimento opportuno: U=0 quando x i = 0, avendo indicato con x i = 0 la posizione a riposo della molla e quindi l energia potenziale elastica della molla ha espressione U = 1 2 kx2 x i = Conservazione dell energia meccanica Conservazione dell energia meccanica Definiamo Energia meccanica E di un sistema la somma della sua energia cinetica con l energia potenziale eventualmente posseduta da tutti i suoi componenti. E = E p + E k oppure E = U + K Vediamo cosa accade ad un punto materiale soggetto solo a forze conservative: dal teorema del laven.cinetica abbiamo che L = E k e dalla definizione di forze conservative abbiamo che L = U per cui U = E k (U + E k ) = 0 ovvero (U f U i ) = E kf E ki U f + E kf = U i + E ki E f = E i L energia meccanica si conserva in presenza di forze conservative Principio di conservazione dell energia meccanica Principio di conservazione dell energia meccanica Se in un sistema isolato agiscono solo forze conservative allora l energia meccanica del sistema non cambia. Potranno cambiare separatamente U e K in modo da dare una somma costante. Il vantaggio (quando possibile) dell applicazione del principio è quello di poter considerare solo gli stati iniziali e finale del punto senza dover considerare gli stati intermedi. Esercizio 8.3 Un oggetto di massa m scivola su un piano privo di attrito da una altezza h=8.5m. Calcolare la velocità alla fine dello scivolo. (confrontate la soluzione con quella trovata con lo svolgimento tramite il secondo principio) mgh = 1 2 mv2 v = 2gh Esercizio 8.4 Energia potenziale, forze conservative 3

4 Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160n/m. Se tale oggetto è lanciato da un ponte alto h =45 m sopra un fiume, a quale altezza h dal fiume arriverà? Le forze agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte conservative inoltre sia all inizio che alla fine l oggetto è fermo All inizio: U g = mgh (riferita al suolo) e U el = 0 Alla fine si avra U g = mgh e U el = 1 2 k(h h 25) 2 Per cui si avrà mgh = mgh+ 1 2 k(h h) 2 mg(h h) = 1 2 k(h h) 2 mg = 1 2 k(h h) h = h 2mg k = 36,5 25 m (verificare!) 4.6-Estensione del principio di conservazione dell energia 4.6-Estensione del principio di conservazione dell energia Lavoro svolto da una forza esterna: avendo definito il lavoro come l energia trasferibile ad un corpo (teor.lavoro-en.cinetica) allora possiamo vedere il lavoro esterno come un trasferimento di energia al sistema (W> 0) o dal sistema (W< 0) Quindi in generale per un sistema qualunque possiamo W 0 W<0 dire che il lavoro complessivo è L tot = (lavori di tutte le forze agenti)= L cons + L noncons Inoltre L tot = L cons + L nc = E k quindi ricavando il lavoro delle forze non conservative si ha: L nc = E k L cons = E k ( U) = (E k +U) = E. Il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica Tra le forze non conservative vi sono gli attriti per i quali E mecc < 0 e per qusto motivo sono dette dissipative in questo caso l energia meccanica viene parzialmente convertita in calore dovuto ad esempio allo strofinamento con la superficie di contatto Conservazione dell energia Energia potenziale, forze conservative 4

5 2 RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA Conservazione dell energia Se consideriamo tutte le forme di energia possibili e consideriamo l energia totale E di un sistema, essa può variare solo se viene trasferita da o verso l esterno. In sostanza dato un sistema il lavoro compiuto da una forza esterna è L = E mecc + E int + E cal e se il sistema è isolato l energia totale del sistema si conserva: E mecc + E int + E cal = 0 avendo chiamato con E int L energia dovuta alle forze interne al sistema E cal l energia termica prodotta dagli attriti 2 Ricerca analitica di una forza Ricerca analitica di una forza Dal momento che per le forze conservative si ha U(x) = L = F x x allora F x (x) = U x e portando agli infinitesimi F x(x) = du dx ovvero la forza lungo la direzione x è data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a x e cambiata di segno. Graficamente rappresenta la pendenza della curva. La relazione indicata scritta nello spazio diventereb- U U(x) α x tgα=- du dx be: F = U U U dxûx dy ûy dz ûz che si definisce come operazione gradiente della funzione scalare U(x,y,z) 4.7 Momento angolare -Appendice C 4.7 Momento angolare -Appendice C Appendice C- Momento di un vettore rispetto ad un punto Se v è un vettore applicato in un punto P si definisce momento del vettore rispetto ad un punto O (detto polo) il vettore M o = OP v Energia potenziale, forze conservative 5

6 2 RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA ed è ortogonale al piano definito dai vettori OP e v e ha modulo M o = OP vsinθ = OH v con la distanza OH = h che viene detta braccio di v M O v O H P θ rispetto ad O Comunque si muovi il vettore v lungo la retta d azione HP il vettore M o non cambia ma se si cambia polo in genere cambia anche il momento Infatti se introduciamo un nuovo punto O si avrà M o = O P v = ( O O + OP) v = O O v + M o 4.7 Momento angolare e momento della Forza 4.7 Momento angolare e momento della Forza Momento angolare Definiamo come momento angolare il vettore L = r p = r m v che è calcolato rispetto al polo O, se si cambia polo per quanto detto prima si avrà L O = O O m v + L O Momento della Forza Analogamente il il momento della Forza è definito come M O = r F ovviamente la somma dei momenti risulta pari al momento della risultante: M = i r F i = r i F i Teorema del momento angolare Deriviamorispettoaltempoilmomentoangolare: d L dt = d r dt m v+ r md v dt Se il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui il moto avviene allora d r dt = v per cui il primo prodotto vettoriale si annulla e risulta d L dt = r m d v dt = r m a = r F = M o ovvero il teorema del Momento angolare: M o = d L o dt La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento della forza se entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un sistema di riferimento inerziale Se il momento delle forze è nullo allora M = 0 L = costante Inoltre t quando la forza è applicata per tempi brevi si può scrivere: 0 Mdt = Energia potenziale, forze conservative 6

7 2 RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA t 0 ( r F)dt = r t 0 F = r J = L che è detto teorema del momento dell impulso Lavoro in un moto circolare Infine possiamo esprimere il lavoro in termini di uno spostamento angolare: L = B A F Tds = θ B θ A F T rdθ = θ B θ A Mdθ Unità di misura dei momenti: Momento della forza:nm Momento angolare: kg ms 1 = Nms Energia potenziale, forze conservative 7