3. Distribuzione di statistiche campionarie

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1 3. Dtrbuzoe d tattche campoare 3.. Alcu cocett troduttv 3... Parametr d ua popolazoe e tattche campoare Se ua tattca è calcolata ulla bae dell tera popolazoe otto oervazoe, l valore otteuto è detto parametro della popolazoe tea. Ad eempo la meda, la varaza o la devazoe tadard calcolate ulla bae de dat dell tera popolazoe oo parametr dell tera popolazoe. Se ad eempo amo tereat a coocere quat a hao dedcato gl tala d età comprea fra 50 e 60 a alla loro formazoe colatca, dovremmo (l codzoale è d obblgo) terpellare tutt oggett tala quella faca d età, e calcolare po ua meda e ua varaza. Quete due tattche arebbero parametr della popolazoe dagata. L uo del codzoale è dovuto ovvamete alla crcotaza che ua rcerca coffatta ella pratca o è realzzable (almeo co temp e cot ragoevol). I tuazo come quella decrtta ora rcorre all etrazoe d u (pccolo) campoe che rtee uffcetemete rappreetatvo dell tera popolazoe; olo ul campoe calcolao po le tattche d teree (el otro cao meda e varaza); quete cottucoo delle emplc tme de parametr della popolazoe, metre parametr ver e propr rmagoo cogt. Stattche baate olo u u campoe vegoo dette tattche campoare, a dffereza delle tattche baate ull tera popolazoe che, come gà appamo, oo dette parametr della popolazoe tea. Per eemplfcare quato detto fo a qu coderamo ua tattca ull altezza d u aegato gruppo d ragazz. Se queto gruppo cottuce l tera popolazoe otto oervazoe la tattca calcolata è u parametro d quella popolazoe; e vece l gruppo è u campoe etratto da ua popolazoe pù vata u cu occorre dagare, la tattca calcolata è d tpo campoaro e cottuce ua emplce tma del corrpodete parametro della popolazoe Covezo mbolche I parametr d ua popolazoe vegoo dcat co lettere mucole dell alfabeto greco, metre le tattche campoare oo dcate da lettere mucole dell alfabeto lato; partcolare, per le prcpal tattche f qu trattate valgoo le eguet covezo mbolche: Nome della tattca Smbolo per l parametro Smbolo per la tattca campoara Meda Varaza Devazoe tadard I geere le tattche parametrche e le corrpodet tattche campoare oo rappreetate dalla tea lettera, facedo però uo dell alfabeto greco el prmo cao, e d quello lato el ecodo. Come vede, la meda (co poche altre tattche) fa eccezoe a queta covezoe Campoameto co e eza rpetzoe Rchamamo e precamo meglo u cocetto gà trodotto.4.3. della Parte metodologca. Quado da ua popolazoe etrae u campoe, è poble egure due modaltà: campoameto co rpetzoe: og elemeto può eere etratto pù d ua volta; campoameto eza rpetzoe: og elemeto può eere etratto ua ola volta. I pratca, per vualzzare le due tuazo attravero ua mmage, pe d erre l detfcatvo d og elemeto della popolazoe u buolotto all tero d u ura. L etrazoe del campoe avvega attravero l etrazoe de buolott dall ura. Le due modaltà defte prma equvalgoo, co queta mmage, alle eguet due modaltà d etrazoe: campoameto co rpetzoe: dopo aver etratto u golo buolotto dall ura, queto vee letto e ubto rerto ell ura, prma dell etrazoe del uccevo; queto modo o è ecluo che og elemeto poa fgurare pù volte el campoe; campoameto eza rpetzoe: ua volta etratto u buolotto, queto o vee rerto ell ura fo a che tutto l campoe o è tato etratto; queto cao all tero d uo teo campoe u elemeto o può fgurare pù volte, coè o può eere rpetuto Dtrbuzo campoare Itroducamo l cocetto attravero u eempo. Coderamo ua popolazoe tattca d parametr e. All tero d queta popolazoe etraamo u campoe d dmeoe. Calcolamo la meda del campoe etratto, e dchamola co. Succevamete procedamo all etrazoe dalla tea popolazoe d u uovo campoe, empre della dmeoe. Calcolamo u altra volta la

2 meda, che dchamo col mbolo ; ella geeraltà de ca, la uova meda atteuta potrà eere dvera dalla precedete. Qud procedamo all etrazoe d u uovo campoe (empre d dmeoe ), otteedo ua uova meda 3. Proeguamo coì fo ad etrarre dalla popolazoe tutt dver pobl campo d dmeoe. Otteamo coì u eme d valor:,, 3, 4, 5, 6, cacuo de qual rappreeta ua tma campoara della meda dell tera popolazoe. I valor delle mede coì otteute cottucoo a loro volta ua popolazoe tattca, che è caratterzzata da ua propra dtrbuzoe: la dtrbuzoe de valor delle mede campoare, baate u campo d dmeoe, detta emplcemete dtrbuzoe campoara delle mede o dtrbuzoe delle mede campoare. Aalogamete, cacuo de campo precedetemete etratt potremmo calcolare la devazoe tadard, otteedo coì ua ere d valor,, 3, 4, 5, 6, Ache queto eme d valor umerc cottuce ua popolazoe, caratterzzata da ua propra dtrbuzoe, detta dtrbuzoe campoara delle devazo tadard. Il cocetto d dtrbuzoe campoara, llutrato attravero le due tattche campoare meda e devazoe tadard, può eere geeralzzato a qualuque altra tattca campoara (varaza, ammetra, curto, medaa, proporzo ). I geerale poamo dre che data ua popolazoe tattca d elemet, la dtrbuzoe de valor della tattca campoara x calcolat u tutt pobl campo d dmeoe etratt dalla popolazoe d parteza, è detta dtrbuzoe campoara della tattca x. Per compredere correttamete l eo d quato reta da eamare ella Parte tattca del mauale, occorre avere be chara la dtzoe fra la dtrbuzoe de valor d ua popolazoe d elemet e le dtrbuzo campoare x dervabl da ea. Nelle page precedet c amo occupat olo della popolazoe d elemet. Da qu avat c occuperemo prevaletemete delle dtrbuzo campoare. 3.. Mede campoare 3... Meda e devazoe tadard delle mede campoare Toramo al prmo eempo d 3..4., coderado la dtrbuzoe delle mede campoare tratte dalla popolazoe d elemet, la quale, rcordamolo, è caratterzzata da parametr e. Attravero emplc calcol può dmotrare che la meda d tutte le mede campoare vale come la meda della popolazoe. I mbol: dove col mbolo (3.) tedamo apputo la meda d tutte le mede campoare. S può oltre dmotrare che e la popolazoe è fta oppure e è fta ma campoado co rpetzoe, la devazoe tadard delle mede campoare è par alla devazoe tadard della popolazoe, dva per la radce del umero. I mbol: dove co l mbolo (3.) tedamo la devazoe tadard delle mede campoare. No o dmotreremo le relazo (3.) e (3.) geerale, ma c accoteteremo d verfcarle u cao partcolare attravero u eempo. Suppoamo duque che ua popolazoe P a cottuta da cque elemet: P = {4, 7, 5,, 3}. Co emplc calcol ottegoo valor de parametr e della popolazoe P: Per l calcolo della varaza utlzzamo la formula (.3). Qud: da cu (4 4.) (7 4.) (5 4.) 5 ( 4.) (3 4.) Coderamo ora tutt campo co rpetzoe d dmeoe =. Quet ottegoo combado cacu elemeto d P co cacu altro elemeto (é teo compreo). Qud abbamo 5 elemet, cacuo da combare co 5 elemet: tutto fao 5 5 = 5 campo dfferet. I dver campo oo rportat ella prma coloa d Tab.3.. Nella ecoda coloa trovamo le mede campoare corrpodet. La terza coloa rporta le varaze d cacu campoe, calcolate co la (.3). Quete varaze verrao utlzzate pù oltre, La quarta e la quta coloa arao vece utlzzate

3 Campo ŝ ŝ 4 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; La meda delle mede campoare vale: La (3.) rulta pertato verfcata. Aalogamete calcolamo la varaza delle mede campoare: e qud: (4 4.) (5.5 4.) (4.5 4.) (4 4.) (.5 4.) (3 4.) Se ora rcoderamo l valore calcolato per e lo dvdamo per la radce d, che qu vale otteamo: e co cò rulta verfcata ache la (3.). Toramo a ottoleare l fatto che la (3.) vale e la popolazoe è fta ovvero e l campoameto è fatto co rpetzoe. Acceamo olo d fuggta al fatto che e l campoameto è fatto eza rpetzoe la (3.) deve eere modfcata al modo eguete: N (3.3) N dove co N dca la umerotà dell tera popolazoe, metre co dca la umerotà del campoe. S dmotra faclmete co u lmte che la (3.) è u cao partcolare della (3.3) quado La dtrbuzoe delle mede campoare e l teorema del lmte cetrale Suppoamo che la popolazoe da cu etraamo campo d dmeoe a dtrbuta ormalmete, co parametr e. I tal cao può dmotrare che ache le mede campoare oo dtrbute ormalmete e, per quato vto el precedete 3..., parametr d tale dtrbuzoe campoara oo e tutvo. p.queto rultato è abbataza

4 Meo tutva è ua mportatma geeralzzazoe d queto rultato, ota col ome d teorema del lmte cetrale, che rguarda la dtrbuzoe delle mede campoare. Ua eucazoe del teorema corretta otto l proflo formale rchederebbe cooceze puttoto approfodte d tattca. Qu c accoteteremo d evdezare l eo attravero u lguaggo puttoto formale. I pratca tratta d queto: uppoamo d avere ua popolazoe dtrbuta u modo quala (qud o ecearamete ormale). Se da tale popolazoe etraamo tutt campo pobl d dmeoe, la dtrbuzoe campoara delle mede calcolate u tal campo tede ad eere ormale al crecere d. I altre parole, la dtrbuzoe delle mede campoare è appromatvamete ormale, e al crecere d l appromazoe è empre pù tretta; d fatto quado 30 la dtrbuzoe delle mede campoare è pratcamete ormale, ache e la dtrbuzoe della popolazoe d parteza o lo è Ua geeralzzazoe della tattca z Ne paragraf del precedete.4. abbamo trodotto l cocetto d tadardzzazoe ua popolazoe cottuta da gole varate, attravero la formula (.3). Ache ella popolazoe tattca cottuta dalle mede campoare è poble procedere alla tadardzzazoe, attravero ua formula del tutto aaloga. Aalzzamo la (.3): abbamo ua frazoe cu: a umeratore abbamo la dffereza fra gl elemet della popolazoe e la loro meda parametrca ; a deomatore abbamo la devazoe tadard parametrca della popolazoe. Procededo allo teo modo ella popolazoe delle mede campoare, poamo tadardzzare attravero ua frazoe cu: a umeratore abbamo la dffereza fra gol elemet e la loro meda parametrca che forza della (3.) vale a deomatore abbamo la devazoe tadard parametrca della popolazoe che forza della (3.) vale. L epreoe matematca che eprme la tadardzzazoe delle mede campoare decrtta ora è la eguete: z (3.4) Sappamo che e la popolazoe delle varate è ormalmete dtrbuta co parametr e, allorala popolazoe delle mede campoare è dtrbuta ormalmete co parametr e ; d coegueza la tattca z defta dalla (3.4) arà dtrbuta come ua ormale tadardzzata (co meda 0 e devazoe tadard ), e per ea valgoo tutte le propretà d tale dtrbuzoe vte.4.. I partcolare ache per la dtrbuzoe della tattca z defta dalla (3.4) è poble utlzzare Tavola e Tavola trodotte Come applcazoe d quato vto fo a qu, el Box 3. la (3.4) è utlzzata per u calcolo probabltco. S tratta d queto: d ua popolazoe coocoo parametr e. Da tale popolazoe ormalmete dtrbuta deve etrarre u campoe d elemet e calcolare la meda. S dedera apere:. che probabltà v è che la meda a comprea fra due valor u e v aegat (Box 3., Parte a);. che probabltà v è che la meda a maggore d u valore a aegato (Box 3., Parte b) Varaze e devazo tadard campoare Stme corrette e tme dtorte Fo da quado.4.. abbamo trodotto la dtzoe fra parametr e tattche campoare amo abtuat a dre che le ecode oo delle emplc tme de prm. S dce che ua tma campoara è corretta e l valore medo della ua dtrbuzoe è uguale al corrpodete parametro. S parla vece d ua tma dtorta quado l valore medo della ua dtrbuzoe è dvero dal corrpodete parametro. La (3.) forma ad eempo che la meda delle mede campoare è uguale alla meda parametrca; duque la meda campoara è ua tma corretta della meda parametrca. Ivece ua varaza campoara calcolata attravero la (.3) o la formula computazoalmete equvalete (.9) è ua tma dtorta del parametro. S dmotra fatt che la meda delle varaze o è uguale al parametro, ma vale la relazoe (3.4)

5 Come per le (3.) e (3.) c accoteteremo d ua verfca emprca d quet ultma relazoe: toramo duque alla Tab. 3. e coderamo la coloa delle varaze campoare calcolate attravero la (.3). Calcolamoe la meda: S rcord che la varaza parametrca della popolazoe calcolata 3... vale.96; duque dtorta d. Per d pù ha che: e co queto rulta verfca ache la (3.4) è ua tma Correzoe della formula per la varaza campoara La varaza calcolata co la (.3) è duque ua tma dtorta del parametro. S ot che la dtoroe è tato pù grade quato pù è pccolo. Nel cao cu a molto grade la (3.4) forma che l fattore d dtoroe (epreo dalla frazoe) è empre pù tracurable. Per ovvare alla dtoroe d tma, occorre moltplcare la varaza calcolata co la (.3) per l fattore recproco a quello che dà la dtoroe ella (3.4), al modo eguete: ( ) ( ) Ua tma o dtorta della varaza, calcolata co la formula appea rcavata, è geere dcata col mbolo ŝ, cu l uo della lettera dell alfabeto lato ta ad dcare che tratta d ua tattca campoara, l mbolo dca che tratta d ua varaza, ed l mbolo ^ (detto cappello) dca che applca la correzoe d calcolo ora trodotta. Duque abbamo ua uova formula per l calcolo della varaza campoara: ˆ ( ) Per verfcare l effcaca della correzoe trodotta, coè per verfcare che ŝ è ua tma o dtorta d, Tab.3. rporta, per cacuo d 5 campo, l corrpodete valore d ŝ ; ora, calcoladoe la meda ottego: (3.5) ˆ 5 e co cò abbamo verfcato che ŝ è ua tma o dtorta d. Dalla (3.5) etraedo la radce otteamo ua formula corretta per l calcolo della devazoe tadard campoara: ˆ ( ) (3.6) I Tab. 3. oo calcolat valor d ŝ per 5 campo. Se e calcolamo la meda otteamo: ˆ ). Queto evdeza che ŝ è acora ua tma dtorta d, ( rcord che 3... abbamo calcolato 70 ootate a calcolato a partre da ŝ che è ua tma corretta d Covezo ul mbolmo e covezo d calcolo Come è potuto cotatare da quet prm aagg, l mbolmo tattca è poco dgerble da o matematc, qual uppoe ao detatar d queto teto. L epereza ddattca ed ua egeza d omogeetà rpetto ua buoa parte della letteratura tattca per o matematc uggercoo l opportutà d tpulare ua covezoe. Da ora avat, e per le rago pegate opra, varaza e devazoe tadard campoare verrao empre calcolate attravero le formule corrette, e per alleggerre l mbolmo ometteremo l cappello ^ e mbol corrpodet. Duque da ora avat utlzzeremo le due formule

6 ) ( (3.7) e ) ( (3.8) co le relatve equvalet computazoal (3.9) e (3.0) Sebbee l teraro per arrvare f qu a tato puttoto laboroo, le cocluo oo molto emplc, quato bata rcordare d dvdere per azché per ella frazoe prcpale delle corrpodet formule. Come vedrà, la quattà ha grade mportaza tattca e merta pertato u ome ed u mbolo pecfc; da ora avat verrà dcata col terme d grad d lbertà della varaza, e verrà dcata col mbolo dell alfabeto greco (o a cao corrpodete alla lettera dell alfabeto lato). Duque: (3.) I letteratura capta talvolta d cotrare mbol alteratv a, come gl ( pubblcazo talae) o df ( pubblcazo lgua glee, da degree of freedom). Il Box 3.. eemplfca l emplce calcolo d varaza e devazoe tadard campoare utlzzado le (3.9) e (3.0).

7 Box 3.. Probabltà d otteere determat valor d da ua popolazoe ormalmete dtrbuta co parametr e, attravero u campoe cauale d elemet Parte a Probabltà d otteere ua meda comprea fra valor u 0 e v 45. Aalogamete a quato llutrato el Box. occorre per prma coa tadardzzare valor u e v. Trattado d valor che lmtao ua meda utlzza la formula (3.4): 0 40 z u z v Nella Tavola trovo valor delle aree tra.94 e 0 (per mmetra cerco l valore corrpodete a.94) e tra 0 e 0.97, otteedo: A A da cu ommado ottego l area totale fra.94 e 0.97: A tot par a ua probabltà dell 80,78%. Parte b Probabltà d otteere ua meda maggore d 55 Stadardzzamo l valore u 55 : z u Nella Tavola trovo l area fra 0 e.90: A u. L area otto la coda della dtrbuzoe a partre da.90 ottee per dffereza da , ed è: A par ad ua probabltà dello 0.9%. Rf.:

8 Box. 3.. Calcolo d varaza e devazoe tadard campoare Putegg grezz d ua prova oggettva d verfca: Utlzzado le (3.9) e (3.0) otteamo: SS SS Rf.: