Dalla Meccanica Quantistica alla teoria delle particelle elementari

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2 Fisica Teorica per Filosofia AA 2014/5 Dalla Meccanica Quantistica alla teoria delle particelle elementari Pieralberto Marchetti Universita di Padova Dipartimento G. Galilei di Fisica e Astronomia Galilei a Padova, "Li diciotto anni migliori di tutta la mia età".

3 Meccanica Quantistica La Meccanica Quantistica (MQ) e la teoria fisica che descrive le leggi che governano i fenomeni fisici a livello microscopico (atomico o subatomico), ma ha anche conseguenze a livello macroscopico, quali l impenetrabilita dei corpi, la stabilita della materia e dei colori, l esistenza di laser, superconduttivita La MQ sta alla base delle teorie attuali sull origine delle strutture cosmiche e del funzionamento dei cellulari.

4 Particelle quantistiche Referenza: G. Ghirardi Un occhiata alle carte di Dio Saggiatore La Meccanica Quantistica mette in crisi il nostro concetto di particella e onda, e più in profondità di «realtà fisica», almeno su scale atomiche o subatomiche Le particelle quantistiche sono «particelle» -> si possono osservare le loro traiettorie in una camera a bolle (vapore soprassaturo+particella carica-> condensazione di goccioline d acqua->traiettoria)

5 Onde e Interferenza Ma fasci di particelle quantistiche mostrano il fenomeno di interferenza tipico delle «onde» Vediamo l origine dell interferenza nel caso classico delle onde di luce che passano tra due fenditure producendo su uno schermo frange chiare e scure Spiegazione: Intensita (luminosita ) I(x)=(altezza o ampiezza a(x)) 2 e si sommano le ampiezze delle onde prodotte dalle fenditure, quindi l ampiezza totale a 12 (x) =a 1 (x)+a 2 (x), ma (a 12 (x)) 2 = (a 1 (x) 2 +(a 2 (x)) a 1 (x) a 2 (x) I 12 (x) = I 1 (x) + I 2 (x) + 2 a 1 (x) a 2 (x) termine di interferenza

6 Particelle classiche Nessuna interferenza invece compare nel caso di particelle classiche (se interpretiamo come analogo di I(x) il numero di particelle N(x) che arrivano nella posizione x e con il pedice 1,2, 12 i casi con aperta solo le fenditure 1,2,1+2) N 12 (x)=n 1 (x)+n 2 (x) Dividendo per il numero totale N di particelle otteniamo le probabilità p(x)=n(x)/n e p 12 (x)=p 1 (x)+p 2 (x) la probabilità di trovare una particella in x con 1+2 aperte = probabilità con 1+probabilità con 2 aperta, quindi la particella è passata o da 1 o da 2

7 Onde o particelle? Ma allora le particelle quantistiche sono particelle, visti che (sembra) possiamo osservare le loro traiettorie o onde, visto che mostrano il fenomeno di interferenza? Per capire la situazione rifacciamo l esperimento delle due fenditure con un fascio di particelle quantistiche (es. elettroni ) che vengono emessi uno alla volta Per fortuna tutte le particelle quantistiche (elettroni, fotoni, ) si comportano nello stesso modo anche se fortemente controintuitivo.

8 1. Gli elettroni compaiono nei rivelatori in numeri interi come con particelle 2. Contandoli (N 12 (x)) otteniamo la figura di interferenza come con onde. Dividendo per il numero totale (N) di elettroni del fascio otteniamo la probab- ilita p 12 (x)= N 12 (x)/n che presenta quindi il fenomeno dell interferenza

9 Onde di probabilita Nel caso delle onde classiche la interferenza era dovuta al fatto che l intensita era il quadrato dell ampiezza, ma erano le ampiezze delle onde delle fenditure che si sommavano. Per le particelle quantistiche allora poniamo la probabilita p(x)= ψ(x) 2 ψ(x)=ampiezza dell onda di probabilità detta funzione d onda (introdotta da Schroedendiger interpretata probabilisticamente da Born) ψ 12 (x)= ψ 1 (x)+ ψ 2 (x) e quindi p 12 (x)=p 1 (x)+p 2 (x)+interferenza Quindi cosa sono le particelle quantistiche? Sono onde o particelle?

10 Particelle quantistiche Sono particelle la cui probabilita di essere trovate in una certa posizione x [o con un certo impulso p o...] e determinata dall intensita di un onda ψ (x) [φ(p) o ]. La situazione e dunque completamente diversa dal caso classico: la Meccanica Quantistica non assegna alle particelle di un sistema fisico una definita posizione e impulso che esse posseggono, ma solo una probabilita (indeterminismo) di essere trovate in una posizione con una misura, neanche di avere una posizione

11 Se osserviamo disturbiamo Infatti gli elettroni nell esperimento con le fenditure sono rivelati come unita, quindi diremmo: L elettrone e passato o dalla fenditura 1 o dalla fenditura 2, ma la somma delle probabilita con una sola fenditura aperta (senza interferenza) non e uguale a quella che si ottiene quando sono aperte tutte due (con interferenza) Per capire da quale fenditura passa un elettrone potremmo mettere una luce dopo le fenditure in modo che un lampo segnali la posizione dell elettrone. Rifacendo l esperimento con la luce : Ogni elettrone lo vediamo passare da una sola fenditura (o 1 o 2), ma la figura di interferenza delle intensità scompare

12 Quale traiettoria? Nessuna di queste affermazioni per gli elettroni descritti da ψ 12 = ψ 1 + ψ 2 e quindi corretta: L elettrone passa da una fenditura o dall altra (esclusa perche se sommiamo il contributo dei due casi con una sola fenditura aperta non riproduciamo quello con due fenditure aperte) L elettrone passa da entrambe le fenditure (esclusa perche se cerchiamo di verificare sperimentalmente troviamo l elettrone sempre in una sola delle fenditure) L elettrone arriva allo schermo finale senza passare da nessuna delle due fenditure (esclusa perche se chiudiamo tutte due le fenditure nessun elettrone viene rivelato sullo schermo finale)

13 Nessuna traiettoria se non osserviamo Dalle considerazioni precedenti vediamo che non e affatto ovvio poter assumere che le particelle quantistiche abbiano una posizione se non le osserviamo, ma solo che le troviamo in una posizione, se ne eseguiamo una misura, con una probabilita determinata dalla funzione d onda. Con tale interpretazione (ortodossa Bohr,Heisenberg,Born,Jordan,Dirac,Pauli 1927) la probabilita non e dovuta alla nostra ignoranza su una posizione esistente, perche una posizione (come valore) non preesiste alla misura. La probabilita quantistica cioe e intrinseca, non epistemica. ( Nettuno (corpo classico) avrebbe la stessa posizione anche se non fosse osservato ma l elettrone (particella quantistica) no )

14 La relazione particella-onda La relazione tra le proprieta di onda e di particella delle particelle quantistiche fa comparire (dopo la velocità della luce c) una nuova costante universale della realta fisica : la costante di Planck h, distantissima come scale da quelle dell esperienza umana h kg m 2 /s= kg m 2 / s E(energia della particella)=h ν (frequenza dell onda) (Planck 1900-Einstein 1905) p=mv (impulso della particella)= h/λ (lunghezza d onda) (de Broglie 1924) La piccolezza di h spiega perché la natura su scala atomica si comporti in modo così differente dall esperienza quotidiana.

15 Localizzazione onda/particella E evidente però che la localizzazione spaziale di una particella (quasi un punto) è completamente diversa da quella di un onda, che se ha lunghezza d onda ben definita è infinitamente estesa! Consideriamo allora una «traiettoria» di una particella quantistica in una camera a bolle, la funzione d onda che la descrive deve essere ben localizzata, ma questo si può ottenere solo sommando onde di diversa lunghezza d onda λ, quindi corrispondenti a impulsi diversi della particella quantistica (pacchetto d onde) perché p=h/ λ.

16 Indeterminazione spazio-impulso Più vogliamo localizzare l onda ( x piccolo) più λ dobbiamo sommare ( λ grande) e più precisamente x (1/ λ) 1. Ma per una particella quantistica p=h/ λ, perciò se ne conosciamo a un tempo fissato la posizione con una indeterminazione x e l impulso con una indeterminazione p allora vale il principio di indeterminazione di Heisenberg: x p h Ecco il significato profondo di h: è un limite alla nostra conoscenza simultanea di x e p per una particella quantistica! dovuto alla natura ondulatoria di ψ Questo implica che posizione, impulso e in effetti tutte le quantità fisiche non possono essere descritte da funzioni, che per definizione assumono valori conoscibili con precisione a priori arbitraria

17 Energie discrete & stabilità di atomi e colori La natura ondulatoria delle particelle quantistiche permette la comparsa di un insieme di valori discreti per alcune quantità osservabili come l energia di un atomo. Essendo discreta l energia non può modificarsi in modo continuo con gli urti, questo garantisce la stabilità degli atomi (ad esempio dei gas) e dei colori della luce che emettono, nonostante i loro urti. Infatti la lunghezza di una corda che oscilla in modo stazionario deve essere un multiplo (semi)intero della lunghezza d onda λ.

18 Energie discrete & stabilità di atomi e colori Per una ψ oscillante in un atomo (es. di H) attorno a una circonferenza di raggio r varrà allora 2πr=nλ= nh/mv (ricordiamo p= mv=h/ λ ). Se chiediamo con Bohr che valga anche l equazione di Newton come legame tra v e r (mv 2 /r=e 2 /r 2 ) ricaviamo che le velocità possibili sono date dall insieme discreto v n = 2πe 2 /nh e quindi discrete sono pure le energie possibili E n =-2me 4 π 2 /n 2 h 2 I colori sono dati dalle ν dei fotoni emessi nei salti tra le energie permesse ν mn =(E m -E n )/h (ricordando E=h ν) e la discretezza ne garantisce la stabilità

19 FERMIONI & BOSONI Referenza: B.S. Chandrasekhar Perché il vetro è trasparente Saggiatore-Net Le particelle quantistiche sono caratterizzate dalla massa (in quiete) e da una quantità solo quantistica correlata alle rotazioni lo spin s che rappresenta (in unità di ħ=h/2π) il loro momento angolare intrinseco (idea intuitiva di spin:particella ruotante attorno a un asse, ma falsa: puntiforme non può ruotare su se stessa) Particelle suddivise in 2 categorie: Fermioni ->spin semintero (elettroni, quarks ) particelle di materia Bosoni -> spin intero (fotoni, Higgs ) trasmettono le interazioni =radiazione (elettromagnetica )

20 Rotazioni e spin Per rotazioni di 2π le coordinate o piu in generale sia vettori che scalari sono invarianti. Ma ci sono enti che non sono invarianti per una rotazione di 2π ma lo sono per una di 4π (spinori)

21 Rotazioni e scambi Particelle di spin intero (bosoni) hanno funzioni d onda ψ che non cambiano per rotazioni di 2π Particelle di spin semi-intero (fermioni) hanno funzioni d onda ψ che cambiano di segno per rotazioni di 2π, quindi non cambiano per rotazioni di 4π (spinori) Ma rotazione di 2π di una = scambio di due particella particelle identiche

22 FERMIONI & incompenetrabilita Per gli elettroni, s=1/2. Consideriamo la Ψ per 2 di essi. Ψ(x 1, x 2 )=- Ψ(x 2, x 1 ) ma se sono entrambi nello stesso punto x,ψ(x,x)=-ψ(x,x),quindi Ψ=0. Principio di esclusione di Pauli: non ci possono essere due elettroni nello stesso punto le orbite elettroniche di due atomi non possono sovrapporsi troppo L elettrone e puntiforme ma le orbite hanno dimensioni di circa m quindi gran parte dello spazio in un atomo è vuoto, ma per il principio di Pauli per la compenetrabilità contano le orbite e le distanze tra di loro nella materia sono comparabili alle loro dimensioni incompenetrabilita

23 FERMIONI &Metalli, isolanti cellulari In un solido con N a (~ ) atomi a distanza a abbiamo impulsi permessi che sono multipli di h/n a a. Per il principio di Pauli non ci può essere più di un elettrone (per spin) per ogni impulso disponibile. Quindi se ci sono N e elettroni in un materiale, ci deve essere un impulso massimo N e h/n a a, e quindi una energia massima (livello o energia di Fermi)

24 FERMIONI &Metalli Abbiamo visto che per un solo atomo le energie permesse formano un insie me discreto. E se avviciniamo N atomi come in un solido? Allora si creano delle bande di energia permesse, intorno ai valori per gli atomi singoli, che possono contenere N elettroni. Se il livello di Fermi sta in una banda, ci sono immediatamente sopra in energia stati permessi e quindi ogni campo elettrico che aumen ta l energia degli elettroni crea corrente, perché gli elettroni trovano stati permessi. Questi sono i metalli.

25 FERMIONI & isolanti e cellulari Se il livello di Fermi sta invece in mezzo a due bande di energia permessa, allora immediatamente sopra in energia gli elettroni non hanno stati permessi e un campo elettrico non riesce a muoverli. Questi sono gli isolanti. Se la distanza tra la banda riempita e quella vuota è piccola allora un piccolo campo elettrico induce una corrente. Questi sono i semiconduttori che stanno alla base dei circuiti elettronici in computer e cellulari

26 BOSONI & laser, superconduttivita Per due bosoni, come i fotoni, s=1, Ψ(p 1,p 2 )= Ψ(p 2,p 1 ), non vale il principio di Pauli e ci possono essere due fotoni con lo stesso impulso (e con la stessa direzione dello spin) laser (molti fotoni esattamente con lo stesso impulso-> ) In un metallo vicino a T=0 K coppie di elettroni di spin opposto si attraggono, formano bosoni (s=1/2-1/2=0) Questi hanno tutti impulso nullo (condensazione) una corrente elettrica non incontra resistenza=superconduttivita, perche la resistenza e dovuta agli elettroni singoli e per ottenerli occorre rompere una coppia, il che richiede energia.

27 Di cosa è fatta la materia a livello dei costituenti elementari?

28 Modello Standard: DOMANDE FONDAMENTALI SULLA MATERIA Scomponendo la materia parti sempre piu piccole, e possibile arrivare a costituenti fondamentali della materia, particelle di materia che non sono divisibili e che non hanno struttura? Quali sono le forze ( interazioni ) che agiscono sulla materia? Esiste una UNIFICAZIONE delle forze per cui la varieta delle interazioni discende da un unica interazione fondamentale? Referenze: R.P. Feynman QED, la strana teoria della luce e della materia Adelphi; G.F. Giudice Odissea nello zeptospazio Springer

29 UNIFICAZIONE DELLE INTERAZIONI FONDAMENTALI

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31 Murray Gell-Mann James Joyce

32 MATERIA & RADIAZIONE Particelle elementari di due tipi Particelle di materia Fermioni Mediatori delle interazioni (radiazione) Bosoni

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34 COLLA NUCLEARE: QUARKS+GLUONI ADRONI

35 Large Hadron Collider (LHC) [=Grande acceleratore di adroni (protoni) ] al CERN

36 The Large Hadron Collider (LHC) The LHC tunnel with bending magnets as far as the eye can see

37 ATLAS The Toroids ATLAS the 8 huge Toroidal magnets in place

38 PERCHE LHC? Perche acceleratori a energie sempre maggiori? Cos è il bosone di Higgs? La fisica delle particelle elementari e governata dalle leggi della Relativita e della Meccanica Quantistica.

39 Massa = Energia Un effetto della Relativita e che un corpo fermo ha energia per il solo fatto di avere massa: la celebre E= m c 2 Consideriamo due corpi (1 e 2) di ugual massa m (non-relativistica ) in una scatola con massa totale M. Il corpo 2 ha energia che 1 2 trasferisce a 1 tramite radiazione di energia E a cui è associato un impulso p=e/c (teoria elett-magn.) Sotto effetto di p la scatola si muove, ma quando l energia della radiazione è stata assorbita da 2, avendo (non-relativ.) 2 la stessa massa il baricentro del sistema sembra si sia mosso senza l azione di forze esterne. Il problema si risolve se l assorbimento di E ha variato la massa di δm, corrispondente, poiché la radiazione si muove con velocità c, a un impulso δm c= p =E/c, -> E= δm c 2

40 Energia e velocità della luce La formula E=mc 2 e valida pero solo se la particella di massa m e in quiete; se si muove con velocita v la formula diventa E= mc 2 /(1-v 2 /c 2 ) 1/2 che per v/c piccolo diventa E mc 2 +(1/2)m v 2 (energia di massa+cinetica) Da qui si vede che puo essere ammessa, per E>0, massa m=0 solo se v=c (lo 0 del numeratore e compensato dallo 0 del denominatore), e in effetti particelle che hanno massa nulla (come le particelle di luce, i fotoni) si muovono sempre a velocita c Inoltre poiche nei sistemi (isolati) l energia si conserva ma non la massa, compaiono fenomeni impossibili nella meccanica Newtoniana

41 Creazione e decadimenti di particelle Nuove particelle possono crearsi in un urto di altre particelle, ad esempio due protoni all accele - ratore LHC del CERN di Ginevra. Decadimenti: una particella di massa M puo decadere ( trasformarsi ) in altre particelle di massa m 1, m 2, purche M>m 1 +m 2 + (ad esempio un neutrone isolato decade in media in 15 minuti in un protone un elettrone e un antineutrino) Ma per capire come sia possibile occorre anche la Meccanica Quantistica, particelle relativistiche classiche non possono sparire e trasformarsi

42 E ancora Poiché in un urto l energia totale si conserva, se vogliamo produrre particelle di massa più grande dobbiamo avere energie maggiori e accelerandole le particelle incidenti acquistano energia I tempi di decadimento possono essere per alcune particelle così brevi nel sistema di riferimento in cui sono ferme (anche s) che non sarebbero osservabili, ma poiché si muovono a LHC a velocità vicine a c, la dilatazione dei tempi relativistica consente di osservarle

43 Come sono state scoperte le particelle elementari: salendo in Energia con gli acceleratori

44 Energie positive e negative Abbiamo visto la formula per l energia di una particella relativistica : E= mc 2 /(1-v 2 /c 2 ) 1/2, quella analoga per l impulso è p= mv /(1-v 2 /c 2 ) 1/2 Quindi mentre in fisica classica per una particella libera di massa m, E=(1/2)mv 2 =p 2 /2m, in fisica relativistica E 2 -p 2 c 2 =(m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 )/(1-v 2 /c 2 )=m 2 c 4 e pertanto E=±(m 2 c 4 + p 2 c 2 ) ½ sono possibili E<0!!

45 Relativita +Meccanica Quantistica Se combiniamo Relativita (velocità della luce c assoluta)+meccanica Quantisica A ogni particella quantistica ( E>0 ) corrisponde la sua antiparticella ( E<0 antimateria) con uguale massa, carica opposta [ad esempio antielettrone=positrone, antiprotone ] e opposto spin Quando una particella collide con la sua antiparticella entrambe si distruggono producendo solo radiazione Compatibilmente con E=mc 2

46 Relativita +Meccanica Quantistica= Teorie di Campo Quantistiche Relativistiche Una radiazione o campo intenso, elettromagnetico o gravitazionale, viceversa, puo produrre coppie particella-antiparticella. Quindi il numero delle particelle quantistiche ora non e piu costante Come i fotoni (che si possono emettere e assorbire) erano descritti dal campo elettromagnetico cosi ora a ogni particella quantistica e associato un campo che la crea/distrugge assieme alla sua funzione d onda

47 Quello che indichiamo come "campo" è un'entità che esiste in ogni punto dello spazio-tempo, "che regola la creazione e l'annichilazione delle particelle" nei vari punti dello spazio-tempo. E eliminata così la grande distinzione tra materia e radiazione che ancora esisteva in MQ in cui i fotoni potevano essere creati e distrutti mentre le particelle quantistiche di materia (elettroni, protoni, ) erano indistruttibili Sono queste particelle elementari descritte dai campi quantistici che possono decadere, essere create,annichilate

48 Incredibili proprietà delle particelle elementari Se pensiamo classicamente, il comportamento delle particelle elementari è folle Due palle nere (p) si scontrano ad alta v producono 3(!) palle nere uguali ad esse + una palla verde (anti-p) e una rossa (E=mc 2 ) Ma nelle stesse condizioni possono anche non produrre alcuna palla nera, ma invece due rosa una verde e una gialla e non sappiamo mai prima quale è il risultato, solo la probabilità (quantistica) Una palla nera (n) ferma, ma non sappiamo quando, sparisce e lascia al suo posto una gialla,rosa,rossa (p,e,ν) e

49 Interazione materia-radiazione Incredibile semplicità: solo 3 processi base: Propagazione di particelle di materia (fermioni) Propagazione di radiazione (bosoni) tempo Interazione materia-radiazione

50 DECADIMENTO RADIOATTIVO DI UN NUCLEO A LIVELLO DELL INTERAZIONE DEBOLE TRA I SUOI QUARK COSTITUENTI

51 A LHC: CAPIREMO L ORIGINE DELLA MASSA? L ORIGINE DELLA MASSA DELLE PARTICELLE Sappiamo che una particella con m=0 deve muoversi alla velocita della luce. Per tali particelle sarebbe impossibile formare la materia che conosciamo eppure in teorie quantistiche relativistiche la velocita istantanea delle particelle di materia e c (!) come se fossero senza massa. Solo che se m 0 la particella oscilla rapidissimamente attorno a una traiettoria con velocita media v<c. Forse la massa e generata? In effetti si ritiene che ne sia responsabile una nuova particella: il bosone di Higgs

52 IL BOSONE DI HIGGS Come si genera la massa? La particella trovata a LHC, il bosone di Higgs, essendo un bosone puo condensare nel vuoto cioe nel vuoto c e una densita finita di bosoni di Higgs con impulso 0. Tutte le particelle di materia sono in origine assunte con m=0, ma alcune interagiscono col condensato Ogni volta che una di queste particelle interagisce con un Higgs del condensato la direzione della velocita istantanea (c) si inverte, Cosi si generano le oscillazioni che descrivono la massa, e come se queste oscillazioni frenassero la particella originando la sua massa inerziale

53 Verifica sperimentale Come possiamo provare questo? Provocando con urti onde nel condensato di Higgs con energia non nulla: per la meccanica quantistica relativistica sappiamo che un onda (quantistica) è descritta da un campo che crea e distrugge particelle. La particella corrispondente all onda nel condensato di Higgs è il famoso bosone di Higgs Peter Higgs a LHC

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