SCHEDA DIDATTICA N 5

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1 FACOLTA DI INGEGNEIA COSO DI LAUEA IN INGEGNEIA CIVILE COSO DI IDOLOGIA POF. PASQUALE VESACE SCHEDA DIDATTICA N 5 MOMENTI DELLE VAIABILI CASUALI E STIMA DEI PAAMETI A.A. 0-3

2 Momet delle varabl casual La dstrbuzoe d robabltà d ua varable casuale, dscreta (o cotua), è descrtta modo comleto dalla fuzoe d rartzoe assocata, o dalla corrsodete fuzoe (d destà) d robabltà. Noostate cò, sesso s è teressat a cooscere soltato alcu asett arzal della dstrbuzoe d robabltà d, sece quado s voglao cofrotare dverse dstrbuzo. Soo utl questo caso valor d stes che descrvoo asett secfc della dstrbuzoe d robabltà rferta a, ad esemo la oszoe o la dsersoe sulla retta reale. Valore atteso o valore medo S chama valore atteso (valor medo o meda) d ua varable casuale dscreta (o cotua), la meda de suo ossbl valor, esat co le relatve robabltà (o fuzoe d destà d robabltà), ovvero: E [ ] = xp( = x ) er v.c. dscrete E[ ] = xf ( x) dx er v.c. cotue Usualmete s dca E[] =. Esemo Tzo e Cao gocao al seguete goco. S laca ua moeta, se esce testa Tzo aga a Cao euro, se esce croce è Cao a dover dare a Tzo la stessa somma. Se è la varable casuale che descrve l guadago d Tzo, s vede subto che è ua varable dscreta che assume solo due valor: =- el caso esca testa (ha erso euro) e = el caso esca croce. Idcata co la robabltà che esca testa, s vuole determare l guadago atteso d Tzo. Tale quattà vale: E[] = (-) + ()( - ) = - Qud, E[] rsulta ostvo, ullo o egatvo se, rsettvamete, < /, = / o > /. Pertato, el caso cu la moeta sa regolare (=/) l guadago atteso d Tzo è ullo. Esemo S cosder la varable casuale esoezale. Pochè altrove, co λ > 0 ua costate reale, s ottee che: E[ ] = xf ( x) dx = λx λx λx xλe dx = x e dx = [ xe ] avedo alcato l tegrazoe er art. d dx f x ( x) = λe λ, er x 0, e ulla 0 e λx dx = 0 λ λx [ e ] 0 = λ

3 Varaza Molto sesso accade che dstrbuzo d robabltà avet lo stesso valore atteso, dfferscao sesblmete tra loro. Può essere utle allora trodurre dc grado d esrmere, forma stetca, ulteror caratterstche della dstrbuzoe d robabltà d, quale la dsersoe de ossbl valor d toro al valor medo. Esemo 3a Cosderamo acora l caso, gà defto ell esemo, del laco d ua moeta. Questa volta erò la osta goco è costtuta da 000 euro. Ache questo caso, defta Z la v.c. che descrve l guadago, questa uò assumere due valor, -000 e 000, cascuo co robabltà ar a ½ se la moeta è be tarata. I queste codzo E[Z], vale 0. Questo secodo goco erò è molto ù rschoso: fatt, el rmo caso s oteva al massmo erdere euro alla volta, ora è ossble erdere 000 euro! Eure er ua moeta regolare E[Z]=E[] = 0. La dffereza fodametale tra due esem cosderat è che metre assume valor vc alla rora meda, Z assume valor lota da E[Z] Pertato E[] rareseta meglo d quato o facca E[Z] er Z. L'dce ù comuemete utlzzato er raresetare la dsersoe d ua v.c. rsetto alla sua meda è la varaza. Data ua varable casuale dscreta o cotua co valore atteso E[], s chama varaza d, e la s dca co σ, o ache co Var[], la quattà Var[]=E[( - E[]) ] Esemo 3b Sa l guadago che s ha gocado a testa e croce utado euro e Z quello che s ha utado 000 euro. Per ua moeta be tarata s ha P[ = -] = P[ = ] = P[Z = -000] =P[Z = 000] = / e E[] = E[Z] = 0. Per quato rguarda la varaza d s ottee: Var[] =E[( - E[]) ] = E[ ] = metre er quella d Z s ha Var[Z] =E[(Z - E[Z]) ] = E[Z ] = {,} x x P( = x) = ( ) + = 3 3 x = x) = ( 0 ) + ( 0 ) P( { 0 3, 0 3 } z = 0 6 Come gà atcato Var[Z] è (molto) ù grade d Var[] ad dcare che Z s dscosta da E[Z] molto ù d quato o facca da E[]. Il valore atteso e la varaza d ua varable casuale costtuscoo cas artcolar de momet d ua v.c, che sarao d seguto brevemete rchamat.

4 Momet della v.c. Sa ua varable casuale e sa N +. S chama mometo d orde d la quattà = E [ ], ossa l valore atteso della varable casuale trasformata g() =. er v.c. dscrete ( = P = x )) = E [ ] = x E[ ] = x f ( x) = dx er v.c. cotue La meda corrsode, qud, al mometo rmo d = Momet della v.c. Scarto Tramte l mometo rmo è ossble defre Y, v.c. scarto rsetto alla meda: Y=( -). Il mometo d orde d Y, varable casuale trasformata scarto, rsulta. ( ( x ) ' = E[ Y ] = E[( ) ] = er v.c. dscrete ' E[ Y ] = E[( ) ] = ( x ) f ( x) = dx er v.c. cotue Le quattà defte soo ache dcate come momet cetral d orde d rsetto a. Tal momet raresetao ua msura della varabltà della dstrbuzoe rsetto alla meda. Il ù mortate, come vsto, è l mometo che s ottee er =, coè la varaza: ' = σ = E [( ) ] = Var[ ] Osservazo - Il mometo del rmo orde della varable casuale scarto vale semre 0. Ifatt, E [( )] = E[ ] E[ ] = = 0 - Se è ua varable casuale degeere, ovvero se assume u uco valore co robabltà, la varaza è ulla, metre è tato ù elevata quato maggore è la dsersoe de valor d attoro a. - E mmedato verfcare che Var[] 0. - S dmostra che è ossble esrmere la varaza rsetto a momet d : Var [ ] = E[( ) ] = E[ + ] = E[ ] E[ ] + = E [ ] + = E[ ] ovvero la varaza è uguale al mometo secodo (E[ ]= ) meo l mometo rmo al quadrato ( = ) della varable. =

5 Esemo 4 S cosder la varable casuale dscreta che rorta l umero degl est testa tre lac d ua moeta regolare. I valor che uò assumere soo {0,,, 3} e s ha: P( = 0) = P( = 3) = /8, P( = ) = P( = ) = 3/8. E facle verfcare che: 3 3 = E[ ] = = = E[ 3 3 ] = = 3 3 Qud, utlzzado la regola er l calcolo della varaza da momet d sora rortata, s ottee che Var [ ] = = 3/4. Al medesmo rsultato s guge alcado drettamete la defzoe d varaza come mometo del secodo orde della varable scarto Var [ ] = = 3/ La radce quadrata o egatva della varaza, dcata co σ, è detta devazoe stadard o scarto quadratco medo. Ach'essa costtusce ua msura della dsersoe d attoro a, sesso referta alla varaza quato è esressa ella stessa utà d msura della varable casuale. S uò, oltre, defre la quattà σ/, chamata coeffcete d varazoe. Pochè l coeffcete d varazoe o dede dall utà d msura co cu vee studato l feomeo, uò rsultare utle er cofrotare la dsersoe d due o ù varabl casual. Momet della v.c. Stadardzzata Data ua varable casuale, co = E[] e σ =Var[] è ossble defre la varable casuale trasformata Z tale che: Z =. σ Z è detta varable casuale stadardzzata, ed è caratterzzata dall essere svcolata dal valor medo e dedete dalla varabltà msurata dalla varaza. S uò effett dmostrare che E[Z] = 0 e Var[Z]=. D seguto soo rortate l esresso de momet d orde della v.c. stadardzzata Z: x = E[ Z ] = E = er v.c. dscrete σ σ

6 x = E[ Z ] = E = f ( x) dx er v.c. cotue σ σ Tra momet della v.c. stadardzzata alcu assumoo artcolare teresse el forre dcazo sulla forma della dstrbuzoe. I artcolare, l coeffcete d asmmetra 3, sesso dcato co l smbolo γ, ed l coeffcete d curtos 4 3, sesso dcato co l smbolo γ. Osservazo - Il coeffcete d asmmetra forsce dcazo rsetto alla smmetra della dstrbuzoe rsetto alla meda. 3 γ = 3 = E σ L dce è dedete dall utà d msura della v.c. e uò assumere valor egatv, ull o ostv. E ullo se la dstrbuzoe è smmetrca rsetto a, è egatvo se la dstrbuzoe è asmmetrca egatva (coda a sstra), è ostvo se la dstrbuzoe è asmmetrca ostva (coda a destra). - Il coeffcete d curtos msura l grado d aattmeto della dstrbuzoe rsetto alla dstrbuzoe ormale. 4 γ = 4 3 = E 3 σ Ache questo dce è dedete dall utà d msura e uò essere egatvo, ullo o ostvo. Se γ è ullo, s dce che s dstrbusce modo abbastaza smle ad ua ormale co stessa meda e varaza d ; se è maggore d zero, s dce che la dstrbuzoe è letocurtca, coè ù autta della dstrbuzoe ormale; se è more d zero, s dce che la dstrbuzoe è latcurtca, coè ù atta della corrsodete dstrbuzoe ormale.

7 Momet v.c. orgara v.c. scarto Y=- v.c. stadardzzata Z = σ Defzoe Geerale = E[ ] Valore medo: = = E[ ] ' r r = E[( ) Varaza: = σ = E[( ' = E σ Asmmetra: 3 = γ Curtos: 4 3 = γ ] ) ] Formule er v.c. dscrete Formule er v.c. cotue = x x f ( x) ( x ) ' = = x σ = dx ' ( x ) f ( x) = dx x = f ( x) dx σ Altr dc stetc d oszoe Moda Data ua varable casuale, s chama moda della dstrbuzoe d robabltà d, o ù semlcemete moda d, l valore reale er cu è massma la fuzoe (d destà) d robabltà, coè tale che: f (x mo ) f (x), er og x. E oortuo osservare che la moda o è ecessaramete uca e uò ache o esstere. Se esste dvdua valor ù robabl, se è dscreta, o valor el cu toro rcadoo gl evet ù robabl, se è cotua. Nel caso cu s ha u uco massmo, la dstrbuzoe (d destà) d robabltà d è detta umodale; se c soo due o ù ut d massmo, s arla d dstrbuzo bmodal o multmodal. a Data ua varable casuale cotua, s chama medaa della dstrbuzoe d robabltà d, o ù semlcemete medaa d, e s dca co x 0.5, l valore er l quale la fuzoe d rartzoe vale 0.5. La defzoe d medaa uò essere terretata come u caso artcolare della defzoe ù geerale d quatle.

8 Quatl Sa α (0;) e ua varable casuale cotua. S chama quatle (o frattle) α-esmo della dstrbuzoe d robabltà d, o ù semlcemete quatle α-esmo d, e s dca co x α, l valore x α tale che la fuzoe d rartzoe rsulta F (x α )=α. I questo cotesto, x α è terretable come quel valore reale che rartsce la massa utara d robabltà rferta alla varable casuale, lascado ua orzoe ar ad α alla rora sstra e ar a -α alla rora destra. Soltamete α è esresso term decmal o ercetual e s arla allora d decl o d ercetl. La medaa, qud, costtusce l 50-esmo ercetle o, aalogamete, l'α-esmo quatle, co α =0.5. I quatl x α, co α = /4; /; 3/4, soo ache chamat quartl. La dstaza tra l rmo ed l terzo quartle, msurata co la dffereza x 3/4 - x /4, sesso è utlzzata come msura stetca della dsersoe.

9 MOMENTI DELLE PINCIPALI DISTIBUZIONI DI POBABILITÀ Dstrbuzo dscrete La dstrbuzoe d Beroull Parametr: 0 Momet Varaza Coeffcete d varazoe Coeffcete d asmmetra Kurtos (-) ( ) 6 3 La dstrbuzoe Bomale Parametr:, 0 ; 0 Momet Varaza Coeffcete d varazoe Coeffcete d asmmetra Kurtos 6 6 3

10 La dstrbuzoe Geometrca Parametr: 0 Momet ( ) Varaza Coeffcete d varazoe La dstrbuzoe Bomale Negatva Parametr:, k 0 ; k Momet k( ) Varaza Coeffcete d varazoe k k La dstrbuzoe d Posso Parametr: Momet Varaza Coeffcete d varazoe Coeffcete d asmmetra Kurtos 3

11 La dstrbuzoe Uforme dscreta Parametr: Momet N N N Varaza Dstrbuzo cotue La dstrbuzoe Uforme Cotua o ettagolare Parametr: Momet a, b a b Varaza b a La dstrbuzoe Normale Parametr:, Momet Varaza Coeffcete d varazoe Coeffcete d asmmetra 0 Kurtos 3

12 La dstrbuzoe LogNormale Parametr: y, y Momet Varaza e e y y y y y y e La dstrbuzoe Esoezale Parametr: >0 Momet Varaza Coeffcete d asmmetra Kurtos 9 La dstrbuzoe Gamma Parametr:, >0; >0 Momet Varaza Coeffcete d asmmetra Kurtos 3+6/

13 La dstrbuzoe d Gumbel Parametr:, >0; >0 Momet Varaza 6 Coeffcete d varazoe Coeffcete d asmmetra.4

14 Stma de arametr Metodo de momet Da u uto d vsta cocettuale l metodo de momet è la tecca ù semlce d stma de arametr d ua dstrbuzoe. No rchede la coosceza della dstrbuzoe della oolazoe d cu s vogloo stmare arametr, ma solo delle relazo tra quest ed momet della oolazoe. La logca del metodo cosste ell otzzare che momet della oolazoe cocdao co corrsodet momet camoar, otteut dalle osservazo x, x,, x. Suoamo che ua v.c. abba ua certa fuzoe (d destà) d robabltà f (x;θ, θ,, θ ) cu θ, θ,, θ soo arametr cogt da stmare. Se s cosderao rm momet della oolazoe, coè: x f ( x; θ, θ,..., θ ) = dx el caso d v.c. cotua o, el caso d v.c. dscreta, = x co =,,,, quest soo geerale fuzoe de arametr cogt: = θ, θ,..., θ ). ( x Idcado momet stmat dal camoe come M = co =,,,, è ossble = utlzzare l seguete sstema d equazo cogte er stmare arametr θ, θ,, θ : M... M = ( θ, θ,..., θ ) = ( θ, θ,..., θ ) Esemo 5 Sa x, x,, x u camoe casuale estratto da u oolazoe ormale co meda e varaza σ ; quest ultm cocdoo co arametr θ e θ da stmare co l metodo de momet. cordado che σ = e =. Le equazo del metodo de momet dvetao: M M da cu: = = = = σ +

15 x = M = = σ = M M = x = = x La meda e la varaza della oolazoe rsultao qud cocdet co la meda e la varaza camoara. Metodo della Massma verosmglaza Sa x, x,, x l camoe d ua v.c. che assumamo rovere da ua dstrbuzoe co fuzoe d destà f (x; θ) el caso d v.c. cotua (er brevtà s è dcato co θ l vettore de arametr θ, θ,, θ che la caratterzzao), o dstrbuzoe d robabltà (x; θ) el caso d v.c. dscreta. Nell otes che le osservazo sao dedet, ua msura della robabltà d avere otteuto roro quel camoe da ua oolazoe co la dstrbuzoe cosderata, è forta dalla seguete fuzoe: L(θ; x,x,, x ) = f ( x ; θ) f ( x ; θ) f (x ; θ) = ( ) L(θ; x,x,, x ) = ( x ; θ) ( x ; θ) (x ; θ)= ( ) = = x f x ;θ se è cotua ;θ se è dscreta che è detta fuzoe d verosmglaza Il metodo della massma verosmglaza cosste ello sceglere come valor θˆ de arametr quell che massmzzao L(θ; x,x,, x ). L(θˆ ; x,x,, x ) L(θ; x,x,, x ) S osserv che, el caso d dstrbuzo dscrete, L(θ; x,x,, x ) è roro la robabltà d avere otteuto l camoe x,x,, x. Nel caso d dstrbuzo cotue, er le qual la robabltà d u artcolare seme fto d valor è comuque ulla, L è arossmatvamete roorzoale alla robabltà dell estrazoe d u camoe d elemet, y,y,, y, co y [x - ε, x + ε], =,,..., e co ε oortuamete ccolo. Se s ha u solo arametro, θ = θ, lo stmatore d massma verosmglaza è soluzoe dell equazoe: dl( θ ) dθ = 0. Se la fuzoe ha arametr, θ =θ, θ,, θ, allora l uto che rede massma la fuzoe d verosmglaza è ua soluzoe delle equazo:

16 L( θ,..., θ ) = 0 θ L( θ,..., θ ) = 0 θ L( θ,..., θ ) = 0 θ Osservazo A dffereza del metodo de momet, quello della massma verosmglaza mlca la coosceza della dstrbuzoe della v.c. d cu s vogloo stmare arametr. L(θ) e log L(θ) hao loro massm er lo stesso set d arametr θ, ed a volte è ù facle trovare l massmo del logartmo della fuzoe d verosmglaza. Esemo 6 Suoamo d voler stmare co l metodo della massma verosmglaza l valore del arametro λ d ua dstrbuzoe esoezale. La fuzoe d verosmglaza rsulta: L λx λx λx ( λ; x, x,..., x ) ( λe )( λe )...( λe ) = La dervata d L ( ; x, x, ) dl( λ) λ x = λ e λ xe dλ uguaglado a zero s ottee: λ =. x λ x = λ e = λ x = λ e λ..., x rsetto a λ è: λ x

17 STIMA DEI PAAMETI DELLE PINCIPALI DISTIBUZIONI La dstrbuzoe Normale Le stme de arametr e della dstrbuzoe ormale, sa oerado co l metodo de momet sa oerado co l metodo della massma verosmglaza, s ottegoo medate le relazo: ˆ x ˆ s dove x e s soo rsettvamete la meda camoara e lo scarto quadratco medo camoaro. La dstrbuzoe LogNormale Le stme de arametr y e y della dstrbuzoe logormale, sa oerado co l metodo de momet sa oerado co l metodo della massma verosmglaza, s ottegoo medate le relazo: ˆ y x y ˆ y s y dove x y e s y soo rsettvamete la meda camoara e lo scarto quadratco medo camoaro della varable Y=log. La dstrbuzoe Esoezale La stma del arametro della dstrbuzoe esoezale, sa oerado co l metodo de momet sa oerado co l metodo della massma verosmglaza, s ottee medate la relazoe: ˆ x La dstrbuzoe Gamma ) Metodo de Momet s ˆ x ; ˆ x s ) Metodo della Massma Verosmglaza Il sstema d equazo che ermette d determare arametr della dstrbuzoe Gamma è: ˆ x / ˆ log( x) j log( x j ) log d dove ˆ = fuzoe dgamma, log e è la umerostà del camoe. d ˆ ˆ

18 La dstrbuzoe d Gumbel ) Metodo de Momet 6s ˆ ; ˆ ˆ x ) Metodo della Massma Verosmglaza Il sstema d equazo che ermette d determare arametr della dstrbuzoe d Gumbel è: x x x e e e x e x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

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