Sistemi Dinamici a Tempo Continuo

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1 Parte 2 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 2, 1 Sistemi Dinamici a Tempo Continuo Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel lmarconi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi

2 Parte 2, 2 Sistema dinamico Modello Matematico di un oggetto fisico che interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo t Variabili di ingresso Sistema Dinamico Variabili di uscita Variabili di ingresso: azioni compiute sul sistema da agenti esterni che ne influenzano il comportamento Variabili di uscita: grandezze del sistema in esame che, per qualche ragione, sono di interesse Rapporto causa-effetto tra le variabili

3 Normalmente il valore dell ingresso (causa) ad un certo istante temporale non e sufficiente per determinare il valore assunto dall uscita (effetto) allo stesso istante Parte 2, 3 Variabili di stato: variabili che descrivono la situazione interna del sistema (determinata dalla storia passata) necessarie per determinare l uscita Ingressi stato uscita Descritti dal modello matematico

4 Esempi Parte 2, 4 Circuito RC Sistema meccanico Ingresso: tensione del generatore Uscita: Tensione della resistenza Stato: Tensione del condensatore ai morsetti ai capi ai capi Ingresso: forza motrice Uscita: posizione del carrello Stato: posizione e velocita del carrello

5 Parte 2, 5 Modello Matematico: rappresentazione di stato Dipendenza dell uscita dall ingresso e dallo stato: Vettore uscita Vettore stato Vettore ingresso Evoluzione dello stato in funzione dell ingresso e dello stato: Equazione di stato Derivata dello stato all instante t Dato (valore dello stato all istante iniziale) e dato, sotto certe proprietà di regolarità di, allora l equazione di stato definisce l andamento di

6 Modello Matematico: rappresentazione di stato Parte 2, 6 n = ordine del modello m = numero di ingressi r = numero di uscite

7 Esempio Circuito RC Parte 2, 7 Dalla legge delle tensioni e sapendo che si ottiene Avendo posto

8 Esempio sistema meccanico Parte 2, 8 Dalla legge di Newton si ha che Quindi definendo Si ottiene il modello matematico dove

9 Classificazione sistemi dinamici Parte 2, 9 Un sistema dinamico si dice SISO (Single Input-Single Output) se r=m=1 MIMO (Multi Input-Multi Output) altrimenti Un sistema dinamico si dice strettamente proprio o puramente dinamico nel caso proprio in caso contrario N.B. L uscita dipende dall ingresso solo attraverso lo stato Un sistema dinamico si dice Stazionario se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente dal tempo, ovvero Tempo variante in caso contrario

10 .. Classificazione sistemi dinamici Parte 2, 10 Un sistema dinamico si dice lineare se le funzioni f e h dipendono linearmente dalle variabili di stato e di ingresso, ovvero dove non lineare in caso contrario Nota: Se il sistema e lineare e stazionario allora Se il sistema e strettamente proprio,

11 Principi di modellistica Parte 2, 11 Problema: Determinare un modello matematico che approssimi il comportamento di un sistema dinamico Diversi approcci al problema (da seguire a seconda della complessità del problema, del livello di dettaglio richiesto al modello, ecc.): Indagine diretta: Il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari il cui modello matematico e facilmente identificabile e il modello complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi semplici in cui, sotto certe ipotesi, l introspezione fisica del sistema permette la modellazione. Black box: il sistema si considera come una scatola nera di cui occorre identificarne il comportamento mediante l analisi dei segnali di ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema e cosi complessa da non permettere una introspezione Gray box: Approccio misto: Sistema complessivo scomposto in diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante introspezione fisica e altri mediante l analisi ingresso/uscita

12 Derivazione del modello mediante indagine diretta Parte 2, 12 L analisi energetica del sistema risulta uno strumento utile per la derivazione del modello matematico Incremento/decremento infinitesimale di energia interna Potenza istantanea La potenza (istantanea) fornita al sistema può: essere dissipata nel sistema variare il livello di energia accumulata nel sistema essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico

13 .. Derivazione del modello mediante indagine diretta Parte 2, 13 Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche) In ogni dominio energetico (tranne quello termico) ci sono due variabili energetiche e due meccanismi di accumulo dell energia che dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel particolare dominio energetico In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione dell energia in quel dominio

14 Considerazioni energetiche Parte 2, 14 Definizione delle variabili energetiche nei diversi domini fisici Dominio Potenza Variabili Energetiche Elettrico Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Fluidico tensione ai capi di un conduttore velocità traslazionale di un corpo velocità rotazionale di un corpo pressione ai capi di una condotta corrente attraverso un conduttore forza applicata ad un corpo coppia applicata ad un corpo portata di una condotta Termico flusso di calore

15 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 15 Dominio Elettrico Tensione ai capi di conduttore (il quadrato e proporzionale alla energia elettrica accumulata) (accumulo capacitivo) capacità Corrente attraverso un conduttore (il quadrato e proporzionale alla energia magnetica accumulata) (accumulo induttivo) induttanza Parametro di dissipazione: Resistenza elettrica

16 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 16 Dominio Meccanico Velocità (translazionale-rotazionale) di un corpo (il quadrato e proporzionale alla energia cinetica accumulata) massa (accumulo capacitivo) momento di inerzia Forza-Coppia applicata ad un corpo (il quadrato e proporzionale alla energia potenziale accumulata) (accumulo induttivo) Rigidità longitudinale Rigidità torsionale Parametro di dissipazione: Coeff. attrito viscoso

17 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 17 Dominio fluidico (Idraulico-Pneumatico) Differenza di pressione ai capi di una condotta (il quadrato e proporzionale alla energia cinetica accumulata) Capacità fluidica (accumulo capacitivo) Portata di una condotta (il quadrato e proporzionale alla energia potenziale accumulata) Parametro di dissipazione: Induttanza fluidica (accumulo induttivo) Resistenza fluidica

18 ..Considerazioni energetiche Parte 2, 18 Dominio Termico Differenza di temperatura ai capi di un mezzo Capacità termica (accumulo capacitivo) Parametro di dissipazione: Resistenza termica

19 Parte 2, 19 Tabella riassuntiva Dominio Accumulo capacitivo Accumulo induttivo Dissipazione Elettrico Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Fluidico Termico assente L energia accumulata dipende da: variabili ai morsetti Variabili passanti

20 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche scelta variabili di stato Parte 2, 20 La potenza (istantanea) fornita al sistema può: essere dissipata nel sistema variare il livello di energia accumulata nel sistema secondo le due modalità viste essere trasferita all'esterno, magari in un altro sistema fisico Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (Variabili Energetiche)

21 Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche calcolo equazioni differenziali Parte 2, 21 1) Scomposizione sistema complessivo in sottosistemi elementari il cui modello matematico sia facilmente derivabile (sotto opportune ipotesi) Sistema elementare Elementi di accumulo dell energia Problema: ricavare il modello di un sistema elementare (vedi dopo)

22 .calcolo equazioni differenziali Parte 2, 22 2) Composizione dei modelli matematici elementari mediante principi base della fisica (conservazione dell energia) per derivare il modello complessivo: Sistemi elettrici: leggi di Kirchoff per le tensioni e per le correnti Sistemi meccanici: Bilanciamento di Forze/Coppie Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli La complessità dinamica di un sistema (numero di variabili di stato) è legata al numero di elementi di accumulo presenti

23 Parte 2, 23 Calcolo equazioni differenziali: Derivazione modelli elementari Definendo un generico parametro di accumulo (capacitivo o induttivo) e con due generiche variabili energetiche del medesimo dominio energetico si ha che Energia accumulata all istante Potenza fornita all istante Dalla relazione si ottiene ovvero da cui

24 .. Derivazione modelli matematici di sistemi fisici con considerazioni energetiche calcolo equazioni differenziali Parte 2, 24 La relazione rappresenta il modello generalizzato del meccanismo di accumulo di energia per un accumulatore elementare non dissipativo Considerazioni: equazione differenziale che lega le variabili energetiche relazione generale indipendente dal dominio energetico

25 Parte 2, 25 Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Condensatore Ipotesi: assenza di resistenza e induttanza Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Accumulo di energia:

26 .. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parte 2, 26 Massa/inerzia Ipotesi: assenza di attrito ed elasticità Variabili energetiche: forza/coppia Velocità tras./rot. Modello matematico: Accumulo di energia:

27 .. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parte 2, 27 Condotta Idraulica Ipotesi: assenza di attrito ed inerzia nulla del fluido Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Accumulo di energia:

28 .. Modelli componenti elementari: accumulatori capacitivi Parte 2, 28 Parete Ipotesi: assenza di dissipazione variabile energetica: = temperatura Modello matematico: Accumulo di energia:

29 Parte 2, 29 Accumulatori capacitivi: tabella riassuntiva

30 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Parte 2, 30 Induttore Ipotesi: assenza di resistenza e capacità Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Accumulo di energia:

31 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Parte 2, 31 Molla lineare/torsionale Ipotesi: assenza di massa e attrito Variabili energetiche: forza/coppia velocità tras./rot. Modello matematico: Accumulo di energia:

32 Modelli componenti elementari: accumulatori induttivi Parte 2, 32 Condotta idraulica Ipotesi: assenza di attrito e capacità Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Accumulo di energia:

33 Parte 2, 33 Accumulatori induttivi: tabella riassuntiva

34 Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 34 Ammortizzatore Ipotesi: massa nulla, corpi rigidi Variabili energetiche: forza velocità Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

35 .Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 35 Resistore Ipotesi: capacità e induttanze nulle Variabili energetiche: corrente tensione Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

36 .Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 36 Condotta idraulica Ipotesi: condotta piena e inerzia del fluido nulla Variabili energetiche: portata pressione Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

37 .Modelli componenti elementari: dissipazione potenza Parte 2, 37 Parete Ipotesi: assenza di accumulo di calore interno variabile energetica: = temperatura Modello matematico: Potenza istantanea dissipata:

38 Parte 2, 38 Dissipatori di potenza: tabella riassuntiva

39 Alcune considerazioni Parte 2, 39 analogie tra modelli di sistemi fisici diversi e modelli di sistemi elettrici utilizzate per trasferire esperienze tra settori disciplinari per studiare e simulare sistemi qualunque mediante circuiti elettrici molto usato nel passato oggi sostituito da simulazione numerica allo stesso sistema fisico sono associabili diversi modelli matematici importanza delle specifiche e degli obiettivi di modellazione equazioni algebriche modelli statici equazioni differenziali modelli dinamici

40 Costruzione di modelli per sistemi complessi Parte 2, 40 sistemi elettrici leggi di Kirchoff in corrente (ai nodi) leggi di Kirchoff in tensione (alle maglie) sistemi meccanici diagramma di corpo libero si tengono solo le masse gli elementi di collegamento sono sostituiti dalle relative azioni un modo per risolvere problemi complessi è quello che sfrutta le analogie tra domini fisici si riporta per analogia il sistema in esame ad uno equivalente nel dominio nel quale l'analisi risulta più semplice o più vicina alla cultura del progettista es. dominio elettrico per gli ingegneri della informazione

41 .. Costruzione di modelli per sistemi complessi Parte 2, 41 la complessità dinamica di un sistema è legata al numero di elementi di accumulo presenti la complessità dinamica si traduce nell'ordine di derivazione massimo della variabile di uscita Attenzione due elementi di accumulo dello stesso tipo (capacitivo o induttivo) non separati da elemento dissipativi o di accumulo di tipo diverso vanno considerati come un unico elemento di accumulo due condensatori in parallelo fanno un unico condensatore di capacità somma delle due due masse collegate direttamente in modo rigido sono da considerarsi equivalenti ad una sola massa di valore pari alla somma delle due

42 Parte 2, 42 Esempi di modellistica di sistemi complessi

43 Esempio VTOL Parte 2, 43 Momento d inerzia rispetto al centro di gravita Massa dell aereo Lunghezza ali Dalla legge di Newton per le forze: Dalla legge di Newton per i momenti: con

44 Esempio pendolo Parte 2, 44 Massa del pendolo Momento d inerzia rispetto al centro di rotazione Coefficiente attrito viscoso Dalla legge di Newton per i momenti: ovvero avendo posto

45 Modelli di sistemi elettromeccanici Parte 2, 45 Derivabili mediante le leggi base dell elettromagnetismo. Queste sono riconducibili a tre leggi fondamentali: 1. Una carica elettrica che fluisce entro un conduttore, ovvero una corrente, genera un campo magnetico proporzionale alla corrente stessa. raggio numero di spire permeabilità magnetica del materiale

46 .modelli di sistemi elettromeccanici Parte 2, Un campo magnetico esercita una forza su qualunque carica elettrica che si muove relativamente al campo magnetico stesso Forza entrante Forza entrante 3. Ogni volta che un conduttore e in moto relativo rispetto ad un campo magnetico si stabilisce una differenza di potenziale agli estremi del conduttore stesso

47 Parte 2, 47 Esempio motore elettrico in cc (sistema elettro-meccanico) Inerzia albero motore Coeff. attrito viscoso Dinamica elettrica Coppia generata Forza contro elettromotrice Velocità angolare albero Coppia di carico Dinamica meccanica Armatura Accoppiamento elettromeccanico motore Accoppiamentom eccanoelettrico

48 . Esempio motore elettrico in cc Parte 2, 48 Definendo ovvero con

49 Esempio altoparlante magnetico Parte 2, 49 N S Bobina Accoppiamento elettromeccanico cono N Accoppiamentom eccanoelettrico Accoppiamento EM: Cono: Accoppiamento ME: Bobina:

50 Altoparlante magnetico Parte 2, 50 con Definendo quindi si ottiene

51 Movimento ed equilibrio Parte 2, 51 Dato e e possibile determinare l andamento dello stato (integrazione dell equazione differenziale) e di conseguenza l andamento dell uscita e detta evoluzione (traiettoria) dello stato Per sistemi stazionari pilotati da ingressi costanti e di interesse calcolare le eventuali traiettorie dello stato e dell uscita che risultano costanti tale che e e detto stato di equilibrio del sistema

52 Linearizzazione di un sistema non lineare Parte 2, 52 Il comportamento dinamico di un sistema non lineare nell intorno di un punto di equilibrio e ben descritto dal comportamento dinamico del sistema ottenuto calcolando l approssimazione lineare nell intorno del punto stesso Trascurabili se sono piccoli

53 Esempio: linearizzazione VTOL Parte 2, 53 Punto di equilibrio Sistema linearizzato

54 Esempio: linearizzazione pendolo inverso Parte 2, 54 Punto di equilibrio: con Sistema linearizzato:

55 Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti Parte 2, 55 Consideriamo un primo moto dato da E un secondo moto dato da

56 .. Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti Parte 2, 56 E allora immediato verificare che il moto corrispondente a e dato da (principio di sovrapposizione degli effetti) Come conseguenza di questo risultato si ha che il moto complessivo di un sistema dinamico può essere ottenuto sommando il movimento libero ( ) e quello forzato ( )

57 .. Sistemi lineari: principio di sovrapposizione degli effetti Parte 2, 57 Alcune considerazioni: Il principio di sovrapposizione degli effetti e un fenomeno tipicamente lineare che viene a decadere nel momento in cui le dinamiche presentano non linearità Essendo numeri arbitrari il principio di sovrapposizioni degli effetti evidenzia come per i sistemi lineari il comportamento ottenuto per piccole perturbazioni differisca da quello ottenuto per grandi perturbazioni solo per un fattore di scala. Il contributo dello stato iniziale e dell ingresso per sistemi lineari può essere studiato separatamente.

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