Geometria analitica di base (seconda parte)

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1 SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo grado l interpretazione geometrica di un equazione di secondo grado in una sola incognita l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di quarto grado la definizione di funzione di proporzionalità inversa SAPER FARE Al termine di questo capitolo, sarai in grado di: individuare il grafico di una funzione quadratica risolvere graficamente un particolare sistema di equazioni di secondo grado risolvere graficamente un equazione numerica intera di secondo grado in una sola incognita risolvere graficamente un particolare sistema di equazioni di quarto grado individuare il grafico di una funzione di proporzionalità inversa

2 Equazioni, disequazioni, sistemi di grado superiore al primo nel piano cartesiano Equazione di un luogo geometrico Non è possibile dare la definizione di linea curva. La sua idea nasce facendo scorrere la punta di una matita su un foglio e immaginando che si estenda all infinito da entrambe le parti. Una curva può essere intesa come un luogo geometrico ovvero come l insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una certa proprietà. Poiché un punto qualsiasi del piano cartesiano è esprimibile mediante le coordinate generiche (; ), tale proprietà può essere rappresentata dall equazione di una funzione della forma f(, ) = 0 che esprime in simboli il legame tra l ascissa, rappresentata dalla lettera, e l ordinata, rappresentata dalla lettera, di un punto qualsiasi della curva stessa. Funzione quadratica È noto che, quando a ciascun numero appartenente a un sottoinsieme D dell insieme R viene associato uno e un solo numero reale, si dice che è definita una funzione reale di variabile reale f sull insieme D. La funzione avente per dominio R e così definita: f: a a + b + c, con a, b, c R a 0, che a associa f() = a + b + c, prende il nome di funzione quadratica. DEFINIZIONE La funzione quadratica è la funzione avente dominio D = R e equazione: = a + b + c, con a R 0 e b, c R CASI PARTICOLARI Se a = 0, b 0 e c 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = b + c che rappresenta l equazione della funzione affine. Se a = 0, b 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = b che rappresenta l equazione della funzione lineare. Se a 0, b = 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = a che rappresenta l equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato. esempio f() = + + è una funzione quadratica. La seguente tabella illustra i valori assunti da = f() al variare di nell insieme D = {,, 8, 9}. 8 9 f() + + =

3 = è una funzione di proporzionalità diretta al quadrato. La seguente tabella illustra i valori assunti da = f() al variare di nell insieme D = {,,,,,8,}. 8 f() Dalla tabella si evince facilmente che, se raddoppia, quadruplica, ovvero diventa = volte più grande; se triplica, diventa = 9 volte più grande; se quadruplica, diventa = volte più grande,. PARTE Rappresentazione grafica di una funzione quadratica È noto che le coordinate di un punto appartenente a una retta, sostituite alle variabili dell equazione della retta stessa, trasformano l equazione in un uguaglianza numerica vera e, in tal caso, si dice anche che le coordinate soddisfano l equazione della retta. La stessa proprietà può essere generalizzata alle curve per cui, se le coordinate di un punto, sostituite alle variabili dell equazione di una curva, trasformano l equazione in un uguaglianza numerica vera, allora il punto appartiene alla curva. Viceversa, se un punto appartiene a una curva, allora le sue coordinate, sostituite alle variabili dell equazione della curva, trasformano l equazione in un uguaglianza numerica vera. La rappresentazione grafica di una funzione quadratica in un piano cartesiano è una curva che prende il nome di parabola. Essa è l insieme di tutti i punti del piano aventi coordinate (; a + b + c). Per tracciare una parabola nel piano cartesiano, è necessario conoscere e congiungere un congruo numero di suoi punti. Cercare le coordinate di tali punti significa individuare un certo numero di coppie di numeri e che si ottengono dall equazione della funzione quadratica (associata alla parabola) assegnando a dei valori reali e ricavando, per ciascuno di essi, i corrispondenti valori di. Si esaminino i seguenti casi: caso : a 0, b 0 e c 0; caso : a 0, b = 0 e c = 0. Caso : a 0, b 0 e c 0 È utile tener presenti alcune proprietà che caratterizzano la parabola e che saranno studiate in modo approfondito nei prossimi anni scolastici. Una parabola di equazione = a + b + c è dotata di un asse di simmetria parallelo all asse, di equazione =. a b Preso un punto qualsiasi della parabola, il suo simmetrico rispetto all asse di simmetria è un punto della parabola. Se il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, a > 0, la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse ; se a < 0, la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell asse.

4 La parabola e il suo asse di simmetria hanno un punto V in comune, detto vertice della parabola. Le sue coordinate, b b ac V ; a a si individuano risolvendo il sistema tra l equazione della parabola e l equazione dell asse di simmetria: = a + b+ c b = a Se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse, l ordinata del suo vertice corrisponde al valore minimo che la funzione quadratica può assumere; se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell asse, l ordinata del suo vertice corrisponde al valore massimo che la funzione quadratica può assumere. Le coordinate dell eventuale punto di intersezione tra una parabola e l asse sono (0; c) e si determinano risolvendo il sistema tra l equazione della parabola e l equazione dell asse : = a + b+ c = 0 Asse di simmetria V Vertice Vertice c c V a > 0 Vertice a < 0 Concavità verso la direzione positiva dell asse Concavità verso la direzione negativa dell asse Caso : a 0, b = 0 e c = 0 Se a 0, b = 0 e c = 0, l equazione f() = a + b + c assume la forma f() = a, che rappresenta l equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato. Il suo grafico è una parabola avente vertice nell origine del piano cartesiano e l asse per asse di simmetria. Si demanda allo studente di esaminare i casi: a = 0, b 0 e c 0; a = 0, b 0 e c = 0.

5 esempio Individuare le coordinate del vertice, l equazione dell asse di simmetria e la concavità delle parabole che corrispondono alle seguenti equazioni: = +. All equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse, che ha vertice nel punto: V ; e asse di simmetria di equazione: = = + +. All equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell asse, che ha vertice nel punto: V 9 ; e asse di simmetria di equazione: = =. All equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse, che ha vertice nell origine e per asse di simmetria l asse. PARTE =. All equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell asse, che ha vertice nell origine e per asse di simmetria l asse. 7

6 Tracciare il grafico della funzione di equazione: f() = 9. Tenendo conto di quanto già studiato riguardo alla funzione modulo, la funzione di equazione: f() = 9 è così definita: 9 se se f( ) = f( ) = + 9 se 9 < se < < Il grafico della funzione di equazione f() = 9 è quindi dato: dal tratto del grafico della parabola di equazione = 9 (che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse ) appartenente al semipiano positivo dell asse e corrispondente alle appartenenti all insieme (, ] [, + ); dal tratto della parabola di equazione = 9 (che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell asse ) corrispondente alle appartenenti all insieme (, ) riportato al di sopra dell asse delle Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazioni di secondo grado Risolvere graficamente in un piano cartesiano un sistema di secondo grado costituito da un equazione numerica intera di secondo grado in due incognite, della forma = a + b + c (equazione di una funzione quadratica), e da un equazione numerica intera di primo grado nelle stesse due incognite (equazione di una funzione affine), della forma = m + q, significa individuare le posizioni reciproche della parabola corrispondente all equazione di secondo grado e della retta corrispondente all equazione di primo grado. Tre sono i casi possibili e, ovviamente, per ciascuno di essi, vale anche il viceversa. Se retta e parabola sono secanti e si intersecano in due punti diversi, allora il sistema è determinato in R (il discriminante dell equazione risolvente del sistema è maggiore di zero: Δ > 0) e le coordinate dei due punti di intersezione rappresentano le due coppie di numeri reali soluzioni del sistema (le eventuali soluzioni reali dell equazione risolvente 8

7 sono le ascisse dei punti di intersezione; le ordinate si individuano sostituendo le soluzioni in una delle due equazioni del sistema). PARTE Se retta e parabola sono tangenti (si intersecano in un solo punto), allora il sistema è determinato in R (il discriminante dell equazione risolvente del sistema è uguale a zero: Δ = 0) e le coordinate del punto di intersezione rappresentano la coppia di numeri reali soluzione del sistema. Se retta e parabola sono l una esterna all altra (non si intersecano in alcun punto), allora il sistema è impossibile in R (il discriminante dell equazione risolvente del sistema è minore di zero: Δ < 0). CASI PARTICOLARI Ai tre casi precedenti si deve aggiungere il caso particolare relativo all intersezione della parabola con una retta parallela al suo asse di simmetria o coincidente con uno degli assi cartesiani. Se retta e parabola sono secanti e si intersecano in un solo punto, allora il sistema è determinato in R e le coordinate del punto di intersezione rappresentano la coppia di numeri reali soluzione del sistema. 9

8 Risolvere graficamente il seguente sistema: esempio = + = La parabola di equazione = + e la retta di equazione = devono essere rappresentate graficamente in un piano cartesiano, al fine di individuare le loro eventuali intersezioni. P Q La rappresentazione grafica informa che parabola e retta si intersecano in due punti. La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico: L equazione risolvente è: = + = + = = + = 0, con Δ > 0 Se si risolve il sistema, si ottengono le coordinate dei punti di intersezione. La parabola e la retta sono secanti e si intersecano nei due punti P(;0) e Q ; 70

9 Individuare le intersezioni della parabola di equazione = + con le rette aventi le seguenti equazioni: =. Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazione = + e la retta di equazione = sono tangenti nel punto (; 0): PARTE La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico: = + = + = = L equazione risolvente è: + = 0, con Δ = 0. Se si risolve il sistema, si ottengono le coordinate del punto di intersezione: (; 0). = Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazione = + e la retta di equazione = sono l una esterna all altra (la parabola e la retta non si intersecano in alcun punto). 7

10 La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico: = + = + = = L equazione risolvente è: + = 0, con Δ < 0. Individuare le intersezioni della parabola di equazione = + con la retta di equazione: =. Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola e la retta hanno un solo punto in comune, P(;), ma non sono tangenti (infatti la retta di equazione: = è parallela all asse di simmetria della parabola, che ha equazione = ). 7 La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico: = + = 8 + = = = = La parabola e la retta si intersecano nel punto di coordinate (; ). Risoluzione grafica di un equazione numerica intera di secondo grado in una sola incognita In virtù di quanto già appreso, un equazione numerica intera di secondo grado in una sola incognita, della forma a + b + c = 0, con a, b, c R e a 0, può essere considerata l equazione risolvente del seguente sistema di secondo grado: = a + b+ c equazione di una parabola = 0 equazione dell'asse Risolvere graficamente l equazione significa quindi cercare le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l asse. 7

11 Tre sono i casi possibili: Se la parabola e l asse si intersecano in due punti distinti P e Q, allora il discriminante Δ= b ac dell equazione risolvente è positivo e le coordinate dei punti di interse- zione sono le seguenti: b Δ e Q b + Δ P ; 0 ; 0 a a Se la parabola e l asse sono l una tangente all altra in un punto P (ovvero la parabola interseca l asse in un solo punto), allora il discriminante Δ= b ac dell equazione risolvente è nullo e le coordinate del punto di intersezione sono: b P ; 0 a PARTE corrispondenti al vertice della parabola. Se la parabola e l asse sono l una esterna all altro, allora il discriminante Δ= b dell equazione risolvente è negativo. Ovviamente, per ciascuno dei casi esaminati, vale anche il viceversa. Risolvere graficamente l equazione + = 0. Si devono individuare le intersezioni della parabola di equazione = + con l asse. ac esempio 7 Q P Il grafico informa che la parabola e l asse si intersecano in due punti distinti. La risoluzione algebrica lo conferma: = + = 0 + = 0 = 0 L equazione risolvente è: + = 0 La parabola e l asse sono secanti: si intersecano nei due punti P(; 0) e Q ; 0. 7

12 Individuare l intersezione della parabola di equazione = + con l asse. Si rappresenti la parabola di equazione = + in un piano cartesiano. La risoluzione algebrica del sistema: = + = 0 conferma che la parabola e l asse sono secanti e si intersecano nel punto di coordinate: P(0; ). Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazioni di quarto grado Risolvere un sistema di equazioni di quarto grado della forma: = a + b+ c = d + e+ f con a, d R 0 b, c, e, f R, significa cercare le coordinate dei punti di intersezione delle due parabole rappresentate dalle due equazioni del sistema. Pertanto, se le due parabole sono: secanti, allora il sistema è determinato in R e le sue soluzioni sono due coppie di numeri, coordinate dei punti di intersezione; tangenti, allora il sistema è determinato in R e la sua soluzione è data da una coppia di numeri, coordinate del punto di tangenza; l una esterna all altra, allora il sistema è impossibile in R. Ovviamente, per ciascuno dei casi esaminati, vale anche il viceversa. = Risolvere graficamente il sistema:. = + + La rappresentazione grafica delle due parabole è la seguente. Le due parabole sono secanti. Esse si intersecano nei punti di coordinate: ( ; 0) e (; ). La risoluzione algebrica del sistema conferma l asserzione. 8 7 esempio 7

13 Funzione di proporzionalità inversa Si prenda in considerazione la funzione di equazione: n =, n R 0 Dall esame dell equazione, si evince che al crescere (o al decrescere) di, decresce (o cresce) n allo stesso modo anche =. n Per tale motivo, la funzione di equazione =, n R 0, è anche detta funzione di proporzionalità inversa di coefficiente di proporzionalità n. Essa è una funzione avente per dominio l insieme dei numeri reali privato dello zero: D = R {0}. La funzione di proporzionalità inversa corrisponde nel piano cartesiano a una curva particolare che prende il nome di iperbole equilatera riferita al centro e ai propri asintoti. Se n > 0, la curva è situata nel primo e terzo quadrante; se n < 0, nel secondo e nel quarto quadrante. Le due parti di cui è costituita l iperbole prendono il nome di rami. L iperbole è inoltre simmetrica rispetto all origine O del piano cartesiano. I punti E e D (nelle due rappresentazioni) sono i vertici dell iperbole equilatera. Essi si determinano intersecando l iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadrante, se n > 0; con la bisettrice del secondo e quarto quadrante, se n < 0. La bisettrice a cui appartengono i vertici prende il nome di asse trasverso dell iperbole equilatera. Gli assi rappresentano gli asintoti dell iperbole equilatera. PARTE D 0 E 0 E 0 0 D 7

14 esempio Completare la seguente tabella, che si riferisce all equazione di una funzione di proporzionalità inversa, e rappresentare nel piano la corrispondente iperbole: = Per completare la tabella è necessario sostituire a, contenuto nell equazione =, i valori contenuti nella prima riga: = = = Per rappresentare in un piano cartesiano l iperbole di equazione =, è necessario individuare i vertici dell iperbole: essi sono i punti di intersezione dell iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = è un numero positivo), di equazione =. Le loro coordinate, ( ; ) e ( ; ), si determinano risolvendo il sistema costituito dall equazione dell iperbole e dall equazione della bisettrice: Il grafico dell iperbole di equazione = = = è il seguente: E D 7

15 Esercizi SAPER FARE Completare le seguenti tabelle che si riferiscono a equazioni di funzioni quadratiche unpo diaiuto 0 = = + 0 = = + 0 = + 77

16 ESERCIZI 0 = + 0 = 7 0 = 8 0 = 9 0 = 0 0 = 78

17 Rappresentare graficamente le seguenti funzioni unpo diaiuto = + +. L equazione della funzione rappresenta una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell asse, dato che il coefficiente del termine di secondo grado possiede segno positivo ( > 0). L asse di simmetria ha equazione: b = a PARTE ESERCIZI Poiché a = e b =, si avrà: = Il vertice ha coordinate: b ; a b ac a Poiché Δ =, si avrà: V ; = + = + = = + = 8 + = = + = + = + + = + 7 = + = + = + = + 79

18 ESERCIZI Risolvere graficamente i seguenti sistemi numerici interi di secondo grado = + 7+ = + unpo diaiuto La prima equazione del sistema è l equazione di una parabola che rivolge la concavità verso la direzione positiva dell asse e interseca l asse in due punti distinti (Δ > 0). La seconda equazione del sistema è l equazione di una retta. La rappresentazione grafica delle due curve è la seguente. La parabola e la retta sono quindi secanti e i punti di intersezione hanno coordinate: ( ; ) e ( ; 0). La risoluzione algebrica del sistema conferma l asserzione. = + = 0 = + 0+ = 0 7 = = 0 8 = + 0 = 0 9 = + + = 0 0 = = 0 = + + = 0 = + = 0 80

19 = + = + = = + ESERCIZI = + + = 9+ = + + = 0 Risolvere graficamente le seguenti equazioni numeriche intere di secondo grado unpo diaiuto 7 + = 0. Risolvere graficamente l equazione assegnata significa cercare le ascisse dei punti di intersezione della parabola di equazione = 7 + con l asse. La rappresentazione grafica della parabola nel piano cartesiano è la seguente. 8 7 Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola interseca l asse in due punti distinti P e Q di coordinate: P(; 0) e Q(; 0). La risoluzione algebrica dell equazione assegnata conferma l asserzione = = 0 + = = 0 = 0 + = 0 + = = 0 = 0 + = 0 7 = = 0 + = = 0 + = 0 = 0 8

20 ESERCIZI Risolvere graficamente le seguenti disequazioni numeriche intere in un incognita unpo diaiuto + > 0. La rappresentazione della parabola di equazione = + nel piano cartesiano è la seguente. Dal grafico si deduce che i punti della parabola aventi ordinate positive hanno ascisse minori di o maggiori di < > < > < > <

21 Risolvere graficamente i seguenti sistemi numerici interi di quarto grado = + = + unpo diaiuto PARTE ESERCIZI Dall esame della rappresentazione grafica si deduce che le due parabole si intersecano nel punto (; 0). La risoluzione algebrica avalla l asserzione. 9 = + = + 70 = + = + 7 = + + = + 7 = + = + 7 = + = + 7 = + + = 7 = + + = 7 = = + 77 = + = + 78 = + =

22 ESERCIZI = + + = = + = + 8 = + = + 8 = + = = + = Completare le seguenti tabelle che si riferiscono a equazioni di funzioni di proporzionalità inversa e rappresentare nel piano le corrispondenti iperboli unpo diaiuto = Per completare la tabella è necessario sostituire a, contenuto nell equazione = i valori contenuti nella prima riga: = = = Per rappresentare in un piano cartesiano l iperbole di equazione =, è necessario individuare i vertici dell iperbole: essi sono i punti di intersezione dell iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = è un numero positivo), di equazione =. Le loro coordinate, ( ; ) e ( ; ), si determinano risolvendo il sistema costituito dall equazione dell iperbole e dall equazione della bisettrice ovvero il seguente sistema: = = 8

23 Il grafico dell iperbole di equazione = è il seguente: ESERCIZI = 8 0 = 8 0 = 8

24 ESERCIZI = 0 = 89 0 = 90 0 = 9 0 = 8

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