SOLUZIONI. Esercizio 1

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1 A UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio Nicola il fornaio prepara e vende panettoni, pizza bianca e ciambellone per i clienti del suo forno. Un panettone da Kg si vende a 7 e richiede, tra gli altri ingredienti, 700 gr di pasta lievitata uova e 00 gr di zucchero. Kg di pizza bianca si vende a 6, per prepararla occorrono 000 gr di pasta lievitata. Un ciambellone da Kg si vende a 0 e richiede, tra gli altri ingredienti, 00 gr di farina, uova e 00 gr di zucchero. Per preparare Kg di pasta lievitata occorre mescolare 600 gr di farina, 0 gr di zucchero e 0 gr di lievito di birra, oltre a 0 gr di acqua e 0 gr di sale. Nicola ha dimenticato di fare provvista e in magazzino ha solo 0 kg di farina, 00 gr di lievito di birra, uova e kg di zucchero. Potete aiutarlo a decidere cosa produrre per massimizzare l'incasso di domani, formulando un opportuno problema di Programmazione Lineare (senza risolverlo)? Il problema è una variante del classico problema di allocazione di risorse (farina, lievito di birra, uova, zucchero e pasta lievitata) a prodotti (panettone, pizza bianca, ciambellone e pasta lievitata). Le variabili saranno quindi legate ai livelli di produzione dei prodotti, i vincoli alla disponibilità delle risorse scarse. In questo modello la pasta lievitata figura sia come un prodotto (perché va preparata) che come una risorsa (perché serve a preparare altri prodotti) e quindi figurerà sia come variabile che come vincolo. Alternativamente si potrebbe vedere la pasta lievitata solo come un aggregato di risorse elementari (farina e lievito) e quindi arrivando ad una formulazione con variabili e vincoli. La formulazione che segue si basa sulla prima impostazione. Le variabili sono: x = kg di panettoni x = kg di pizza bianca x = kg di ciambellone x = kg di pasta lievitata I vincoli del problema di allocazione delle risorse sono legati alla disponibilità delle risorse farina consumata in kg: 0, x + 0,6 x disponibile in kg: 0 lievito di birra consumato in gr: 0 x disponibile in gr: 00 uova consumate: x + x disponibile: zucchero consumato in kg: 0, x + 0, x + 0,0 x disponibile in kg: pasta lievitata consumata in kg: 0,7 x disponibile in kg: x I vincoli del problema impongono che il consumo sia non superiore alla disponibilità per ciascuna risorsa: max 7x + 6x + 0x 0,x + 0,6x 0 0x 00 x + x 0,x + 0,x + 0,0x 0,7x x

2 È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. Esercizio max x x x x x x x x = = 0 = 6 Per portare il problema in forma standard è sufficiente cambiare segno ai coefficienti della funzione obiettivo (e non agli elementi della matrice A come ha pensato qualcuno). Per ottenere una SBA è necessario introdurre il problema artificiale. Allo scopo è sufficiente aggiungere una sola variabile artificiale al terzo vincolo, aggiungendo alla variabile artificiale x e x come variabili in base. min y x x = x x x = 0 x + y = 6, y Al primo passo entra x ed esce y. Fine della fase. Inizia la fase, si ha: u T = (0 - -0/), z =-0 Al primo passo entra x ed esce x. Fine della fase, la soluzione x T =( ) è ottima. Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 6 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso iniziale. Si verifichi che il flusso dato sia ammissibile. Se il flusso dato risulta ammissibile terminare l algoritmo partendo dal flusso, se il flusso non è ammissibile partire dal grafo completamente scarico. Trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 6 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Individuare il taglio di capacità minima nel grafo. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,6) (,6) Capacità Flussi Il flusso iniziale circolante nella rete è ammissibile e pari a. I cammini aumentanti individuati dall algoritmo di Ford-Fulkerson sono:,,,6 con flusso 6,,,,6 con flusso Il taglio di costo minimo comprende i nodi, e con capacità pari a. Domanda Definire il problema di Cammino minimo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

3 B UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio Grunt il cavernicolo deve progettare una rete di allarme per la sua tribù. La rete consiste in una serie di postazioni di avvistamento, ognuna presidiata da un cavernicolo. Le postazioni sono in comunicazione tra di loro per mezzo di alcuni cavi fatti da capelli intrecciati da Snort e dalle altre donne della tribù. In caso di avvistamento di una tigre dai denti a sciabola il cavernicolo di guardia dovrà dare degli strattoni ai cavi in maniera da avvisare le postazioni limitrofe collegate. In Figura è rappresentata la mappa della regione occupata dalla tribù di Grunt Monte verde Altura isolata 0 Villaggio di Grunt Radura del morto 0 Isola sul fiume 00 Caverne nuove Sapendo che ogni postazione quando riceve un allarme lo propaga immediatamente verso tutte le postazioni limitrofe, e che ogni postazione può essere collegata alle altre da più cavi di comunicazione, si formuli (come problemi su grafi, senza risolvere) il problema di collegare tra di loro le postazioni di avvistamento in maniera da minimizzare il lavoro di Snort. Il problema è formulabile come un problema di albero ricoprente, in cui i nodi rappresentato le postazioni di avvistamento e gli archi (non orientati) sono i possibili collegamenti tra le diverse postazioni. Il peso associato all arco rappresenterà la lunghezza del cavo stesso. Il grafo è composto da 6 nodi (uno per ogni postazione V, I, C, M, R, A) e archi pesati con la distanza tra le due postazioni. Esercizio In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con nodi ed i valori di domanda di ogni nodo (assumendo un valore negativo per un nodo sorgente e un valore positivo per un nodo pozzo). Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si determini un flusso ammissibile utilizzando la fase del simplesso su reti, o dimostrare che il problema non ammette soluzione ammissibile. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Nodi Domanda -9

4 Dopo l inserimento del nodo artificiale 6, l algoritmo del simplesso su reti procede come segue. Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (6,), il flusso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (6,) il flusso circolante nel ciclo è. Nella terza iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (6,) il flusso circolante nel ciclo è. La soluzione così trovata non rappresenta un flusso ammissibile per la rete di flusso poiché del flusso circola ancora attraverso il nodo fittizio. Esercizio Dato il problema di PL (primale) in figura,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema duale;. se il primale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del primale ricavare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette una soluzione ottima, risolvere il problema duale con il metodo del simplesso. max x x x 0 x + x La soluzione ottima del primale è x T =( ), la soluzione ottima del duale è u T = (9/9 /9). Domanda Illustrare le definizioni di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un problema di PL in forma standard è un vertice del poliedro delle soluzioni ammissibili se e solo se è una soluzione base ammissibile.

5 C UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio La beauty farm Urania è celebre per i suoi cosmetici all'olio d'oliva. kg di sapone alla lavanda (prezzo di vendita: 6 una saponetta da 0 gr) si prepara con 90 gr di sapone base, acqua e gr di essenza di lavanda. kg di bagno schiuma agli agrumi (prezzo di vendita: 7 una bottiglia da 00 gr) si prepara con 800 gr di sapone base, acqua e gr di essenza di agrumi. kg di crema per le mani alla lavanda (prezzo di vendita: 0 un vasetto da 00 gr) si prepara con 800 gr di crema base, acqua e 0 gr di essenza di lavanda. kg di crema per il viso agli agrumi (prezzo di vendita: un vasetto da 0 gr) si prepara con 700 gr di crema base, acqua e 00 gr di essenza di agrumi. Il sapone base contiene il 0% di olio d'oliva, la crema base contiene l'80% di olio d'oliva. Sapendo che sono disponibili solo 0 kg di olio d'oliva, kg di essenza di lavanda e kg di essenza di agrumi, formulare il problema di Programmazione Lineare di determinare la produzione che consenta il massimo incasso (senza risolverlo). Il problema è una variante del classico problema di allocazione di risorse ( essenze, olio di oliva) a prodotti ( alla lavanda, agli agrumi). Le variabili saranno quindi legate ai livelli di produzione dei prodotti, i vincoli alla disponibilità delle risorse scarse. In questo modello il sapone base e la crema base compaiono solo come quantità di olio d'oliva equivalente (cioè valutando ogni kg di sapone base come 0, kg di olio d'oliva equivalenti e kg di crema base come 0,8 kg di olio equivalente). Alternativamente si potrebbero esplicitare sia come un prodotti che come risorse aggiungendo due variabili e due vincoli al problema. La formulazione che segue si basa sulla prima impostazione. Le variabili sono: x = kg di sapone alla lavanda x = kg di bagno schiuma agli agrumi x = kg di crema per le mani x = kg crema per il viso I vincoli del problema di allocazione delle risorse sono legati alla disponibilità delle risorse olio consumato in gr: 8 x + 0 x + 60 x + 60 x disponibile in gr: 0000 essenza di lavanda consumata in gr: x + 0 x disponibile in gr: 000 essenza di agrumi consumata in gr: x + 00 x disponibile in gr: 000 I vincoli del problema impongono che il consumo sia non superiore alla disponibilità per ciascuna risorsa, il costo va espresso in euro al kg di prodotto (avendo scelto di utilizzare i kg come unità di misura delle variabili): 70 max x + 0x + 8x 8x + 0x + 60x + 60x 0000 x + 0x 000 x + 00x 000

6 Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 6 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso iniziale. Si verifichi che il flusso dato sia ammissibile. Se il flusso dato risulta ammissibile terminare l algoritmo partendo dal flusso, se il flusso non è ammissibile partire dal grafo completamente scarico. Trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 6 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Individuare il taglio di capacità minima nel grafo. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,6) (,6) Capacità Flussi Il flusso iniziale non è ammissibile in quanto non rispetta i vincoli sul nodo (6 entrante, uscente). Partendo dalla rete vuota i cammini aumentanti individuati dall algoritmo di Ford- Fulkerson sono:,,6 con flusso 9,,,6 con flusso 0,,,,6 con flusso Il taglio di costo minimo comprende i nodi,, e con capacità pari a 9. Esercizio È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. max x x x x x x x = = = 6 Per portare il problema in forma standard è sufficiente cambiare segno ai coefficienti della funzione obiettivo (e non agli elementi della matrice A come ha pensato qualcuno). Per ottenere una SBA è necessario introdurre il problema artificiale. Allo scopo è sufficiente aggiungere una sola variabile artificiale al secondo vincolo, aggiungendo alla variabile artificiale x e x come variabili in base. min y x x x x x x Al primo passo entra x ed esce x. Fine della fase, poiché resta in base la variabile artificiale con valore diverso da zero si conclude che il problema iniziale dato è impossibile. Domanda Illustrare il problema di flusso di costo minimo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un albero ricoprente della rete di flusso. = + y = 6 =

7 D UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio La Commissione Edilizia del Dipartimento deve decidere come assegnare degli uffici vuoti (tre stanze singole, due doppie e una tripla) ai dottorandi afferenti a diversi gruppi di ricerca attivi nel Dipartimento. Per evitare di scontentare i vari gruppi di ricerca (Reti, Automatica, Basi di Dati e Ricerca Operativa) ad ogni gruppo di ricerca è chiesto di dare una valutazione da a 0 ad ogni stanza. Sapendo che i quattro gruppi di ricerca hanno espresso le seguenti valutazioni (vedi Tabella) e che il numero di dottorandi da assegnare è per Reti, due per Automatica, per Basi di Dati e uno per Ricerca Operativa. Singola Singola Singola Doppia Doppia Tripla Reti () Automatica () 7 6 Basi di Dati () 6 Ricerca Operativa () 8 7 Formulare come un problema su grafi (senza risolverlo) il problema di assegnare gli uffici ai vari gruppi di ricerca in maniera da massimizzare la soddisfazione complessiva. Il problema è formulabile come un problema di flusso a costo minimo su rete non capacitata. In particolare il grafo sarà un grafo bipartito. Il primo insieme di nodi è composto da nodi rappresentanti i gruppi di ricerca. Ognuno di questi nodi sarà un nodo sorgente pari al numero di dottorandi da assegnare. Il secondo gruppo di nodi sarà dato dalle stanze. Ogni stanza sarà un nodo pozzo con richiesta pari al numero di posti disponibili nella stanza. Gli archi tra questi due insiemi saranno pesati con le valutazioni delle stanze da parte dei gruppi di ricerca. Si osservi come il numero di dottorandi (9) sia inferiore al numero di posti disponibili (0) quindi sarà necessario introdurre un gruppo fittizio con un dottorando in maniera tale da bilanciare la domanda con l offerta. Tali archi avranno per esempio peso 0 (in realtà è sufficiente assumere che il peso sia costante per tutti gli archi uscenti dal nodo fittizio). Esercizio In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed i valori di domanda di ogni nodo (assumendo un valore negativo per un nodo sorgente e un valore positivo per un nodo pozzo). Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si determini un flusso ammissibile utilizzando la fase del simplesso su reti, o dimostrare che il problema non ammette soluzione ammissibile. Nel generare la base iniziale se possibile si colleghino i nodi di transito con i nodi sorgente. Archi (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,6) (,) (,) Nodi 6 Domanda

8 Dopo l inserimento del nodo artificiale 7, l algoritmo del simplesso su reti procede come segue. I nodi e essendo nodi di transito vanno collegati con l albero ricoprente, ad esempio utilizzando gli archi (,) e (,). Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (7,), il flusso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entrerà in base l arco (,6), e provocherà l uscita dell arco (,7) il flusso circolante nel ciclo è. Nella terza iterazione entrerà in base l arco (,6), e provocherà l uscita dell arco (7,) il flusso circolante nel ciclo è. La soluzione così trovata rappresenta un flusso ammissibile per la rete di flusso. Esercizio Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso. min x x + x x x 0 max u + 0u u + u Impostando il problema duale e risolvendo con il metodo grafico si trova che il u u 0 u 0 u duale è impossibile. Risolvendo il primale con l'algoritmo del simplesso si riduce il primale in min x forma standard: x + x =, si introduce una variabile artificiale e si imposta il x x x = 0 min x x + x = problema artificiale. Come base iniziale si può scegliere x x x = 0 B = [ A A ]. Risolvendo con il simplesso entra x esce x, fine della fase. Si inizia la fase : entra x, esce x, entra x, il primale risulta illimitato inferiormente. Domanda Illustrare l'interpretazione economica del duale e la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo, in un problema di PL, alle variazioni dei termini noti e alle variazioni dei costi delle variabili fuori base, dimostrando le proprietà descritte nel caso particolare dei problemi in forma standard.

9 E UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio Il ristorante Vecchia Genova è famoso per i suoi piatti rigorosamente fatti in casa: linguine al pesto (prezzo al cliente: 7 /porzione), lasagne al pesto (8 /porzione) e torta di pinoli ( per una porzione da 00 gr). kg di pesto si prepara con 00 gr di olio, 00 gr di basilico, 00 gr di pinoli, e aglio quanto basta. kg di pasta fatta in casa richiede 800 gr di farina e uova. kg di torta di pinoli si prepara con 00 gr di farina, 0 gr di zucchero, uova, 00 gr d'olio e 00 gr di pinoli. Una porzione di linguine al pesto richiede 80 gr di pasta fatta in casa e 00 gr di pesto. Una porzione di lasagne al pesto richiede 60 gr di pasta fatta in casa, 00 gr di pesto e 0 gr d'olio. Sapendo che in dispensa ci sono solo 6 kg di farina, kg d'olio, 8 uova e kg di basilico, oltre a tutti i pinoli, aglio e zucchero necessari, formulare il problema di Programmazione Lineare di decidere cosa preparare per massimizzare l'incasso della giornata (senza risolverlo). Il problema è una variante del classico problema di allocazione di 6 risorse (farina, olio, uova, basilico, pesto, pasta fatta in casa) a prodotti (linguine, lasagne, torta di pinoli, pesto, pasta fatta in casa). Le variabili saranno quindi legate ai livelli di produzione dei prodotti, i vincoli alla disponibilità delle 6 risorse scarse. In questo modello il pesto e la pasta fatta in casa figurano sia come prodotti (perché vanno preparati) che come risorse (perché serve a preparare altri prodotti) e quindi figureranno sia come variabili che come vincoli. Alternativamente si potrebbero vedere solo come aggregati di risorse elementari (olio e basilico per il pesto, farina e uova per la pasta fatta in casa) arrivando ad una formulazione con variabili e vincoli. La formulazione che segue si basa sulla prima impostazione. Le variabili sono: x = porzioni di linguine x = porzioni di lasagne x = kg di pasta fatta in casa x = porzioni di torta di pinoli x = kg di pesto I vincoli del problema di allocazione delle risorse sono legati alla disponibilità delle 6 risorse farina consumata in kg: 80 x x disponibile in kg: 6 olio consumato in gr: 0 x + 0 x + 00 x disponibile in kg: uova consumate: 0,8 x + x disponibile in gr: 8 basilico consumato in gr: 00 x disponibile in gr: 000 pesto consumato in gr: 0, x + 0, x disponibile in kg: x pasta fatta in casa consumata in gr: 80 x + 60 x disponibile in gr: 000 x I vincoli del problema impongono che il consumo sia non superiore alla disponibilità per ciascuna risorsa:

10 max 7x + 8x + x 80x + 800x 6 0x + 0x + 00x 000 0,8x + x 8 00x 000 0,x + 0,x x 80x + 60x 000x Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 9 nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del minimo albero ricoprente applicando l algoritmo di Kruskal. Si specifichi l ordine in cui vengono aggiunti gli archi dell albero ricoprente ed il costo finale dell albero. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,7) (,8) (,) (,6) (,6) (6,7) (6,9) (7,8) (7,9) Costi Gli archi vengono aggiunti nel seguente ordine (,6), (6,), (,), (,), (,7), (,), (6,9), (7,8). Il costo totale dell albero è 0. Esercizio È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. max x x x x + x x + x x x x x = = 0 = Per portare il problema in forma standard è sufficiente cambiare segno ai coefficienti della funzione obiettivo (e non agli elementi della matrice A come ha pensato qualcuno). Per ottenere una SBA è necessario introdurre il problema artificiale aggiungendo una variabile artificiale a ciascun vincolo. min y + y + y x + x x x + y = x + x x + y = 0 x x + y =, y Al primo passo entra x ed esce y, al secondo passo entra x ed esce x. Fine della fase, poiché restano in base due variabili artificiali y ed y con valore diverso da zero, si conclude che il problema iniziale dato è impossibile. Domanda Illustrare il problema di Massimo Flusso e dimostrare il teorema di Ford-Fulkerson.

11 F UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio La ConGelo produce surgelati e deve pianificare la produzione giornaliera per la prossima settimana (composta da sette giorni lavorativi) nel suo stabilimento. Ogni giorno lo stabilimento può produrre fino a 000 chili di verdure surgelate. La verdura fresca viene consegnata giornalmente allo stabilimento e deve essere lavorata in giornata per evitare deperimenti, mentre una volta surgelata la verdura può essere conservata nel magazzino frigorifero. Sapendo che: il magazzino frigorifero ha capacità di 0 quintali nel primo giorno il magazzino frigorifero non contiene verdura surgelata a fine settimana è possibile lasciare la verdura congelata all interno del magazzino le spedizioni sono programmate nei seguenti giorni (lunedì, mercoledì, sabato) e sono effettuate con un camion frigorifero con capacità massima di. tonnellate. gli approvvigionamenti giornalieri saranno di 000, 000, 00, 000, 000, 000, 000 chili. Si pianifichi la produzione di surgelati in maniera da utilizzare al meglio l impianto della ConGelo. Formulare (senza risolvere) il problema su un grafo opportuno. Il problema si può formulare come un problema di massimo flusso su una rete composta da sette nodi (uno per ogni giorno) rappresentanti il quantitativo di verdura surgelata presente nel magazzino (M M7) più un nodo sorgente (S) ed un nodo pozzo (P). Gli archi (S,M) (S,M7) collegheranno il nodo sorgente ai vari nodi giornalieri e rappresentano il quantitativo di verdura fresca in ingresso allo stabilimento. Questi archi avranno capacità massima pari al massimo quantitativo di verdura fresca consegnata allo stabilimento. Gli archi (M,M) (M6,M7) rappresentano il quantitativo di verdura congelata che rimane nel magazzino da un giorno al successivo. Questi archi hanno capacità massima pari a tonnellate. Gli archi (M,P),(M,P),(M6,P) sono le spedizioni di verdura congelata con capacità massima pari a. tonnellate. Infine un arco (M7,P) rappresenterà la verdura congelata giacente nel magazzino a fine settimana. Esercizio Dato il problema di PL (primale) in figura,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema duale;. Se il primale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del primale ricavare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette una soluzione ottima, risolvere il problema duale con il metodo del simplesso. min x x x 0 x + x La soluzione ottima del primale è x T =( ), la soluzione ottima del duale è u T = (/9 /9).

12 Esercizio In tabella sono riportati i costi unitari degli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed un flusso ammissibile iniziale. A partire dal flusso iniziale dato, e utilizzando la fase del simplesso su reti, determinare il flusso di costo minimo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si indichi il costo della soluzione ottima. Archi (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,6) (,) (,) Costi Flusso L algoritmo del simplesso su reti procede come segue. Nella prima iterazione entra in base l arco (,), e esce l arco (,) o (,6) il flusso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entra in base l arco (,), e esce (,), il flusso nel ciclo è. Nella seconda iterazione entra in base l arco (,), che provoca un ciclo formato da soli archi concordi con (,) e (,). Il problema risulta essere illimitato inferiormente. Domanda Illustrare la teoria della dualità. Dimostrare i teoremi di dualità debole e forte, il teorema fondamentale della PL e ricavare da questo le condizioni di ortogonalità.

13 G UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio La macelleria Porcellini prepara e vende salsicce di maiale a 8 /kg (contenuto di carne suina 80%) e polpette di maiale a 6 /kg (contenuto di carne suina 0%). Il macinato base di carne suina (00% suino) per le salsicce deve contenere almeno il 60% di carne magra e il 0% di grasso di maiale, il macinato base (00% suino) per le polpette deve contenere almeno il 0% di carne magra e il 0% di grasso di maiale. I due macinati base si ricavano da diversi tagli di carne. La spalla costa alla macelleria /kg e contiene 70% di carne magra e 0% di grasso, il quarto inferiore costa 6 /kg e contiene 60% di carne magra e 0% di grasso, il collo costa /kg e contiene 0% di carne magra e 0% di grasso. Formulare (senza risolvere) il problema di produrre 0 kg di salsicce e 0 kg di polpette al costo di produzione totale minimo. Il problema è una variante del classico problema di miscelazione in cui si vogliono preparare miscele (macinato per le salsicce e per le polpette) miscelando sostanze (spalla, quarto inferiore e collo). Si vogliono preparare 0 kg di macinato per salsicce e 0 kg di macinato per polpette. Le variabili saranno quindi legate alle quantità di sostanze presenti in ciascuna miscela: x = kg di spalla per le salsicce x = kg di quarto inferiore per le salsicce x = kg di collo per le salsicce x = kg di spalla per le polpette x = kg di quarto inferiore per le polpette x 6 = kg di collo per le polpette I vincoli del problema di miscelazione sono legati alle caratteristiche delle miscele, cioè al contenuto di carne magra e di grasso in ciascuna miscela e alla quantità di macinato da preparare (6 vincoli). kg di carne magra nel macinato base per le salsicce: 0,7 x + 0,6 x + 0, x kg di grasso nel macinato base per le salsicce: 0, x + 0, x + 0, x kg di carne magra nel macinato base per le polpette: 0,7 x + 0,6 x + 0, x 6 kg di grasso nel macinato base per le polpette: 0, x + 0, x + 0, x 6 Esprimendo la funzione obiettivo in centesimi spesi, complessivamente si ha: min x + 6x 0,7x + 0,6x + 0,x 0,x + 0,x + 0,x x = 0 0,7x + 0,6x + 0,x 0,x + 0,x + 0,x x 6 = 0 + x x + x6

14 Esercizio In tabella sono riportate le attività di un progetto. Individuare la durata minima del progetto, il cammino critico e tutte le attività critiche. Attività A B C D E F G H I L Predecessori - A - - C,D B L F,E G D Durata Dopo aver ordinato le attività secondo l ordinamento topologico, gli EST e LST sono: Attività EST LST Critica? Attività EST LST Critica? Si E 7 7 Si A 0 No H 7 7 Si B 6 8 No L 0 0 No F No G No C 0 0 Si I 0 69 No D 0 0 No * Si Esercizio È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. max x x x + x x x x = = = Per portare il problema in forma standard è sufficiente cambiare segno ai coefficienti della funzione obiettivo (e non agli elementi della matrice A come ha pensato qualcuno). Per ottenere una SBA è necessario introdurre il problema artificiale. E possibile aggiungere una sola variabile artificiale al secondo vincolo, utilizzando prima e quinta variabile per ottenere una base iniziale. min y x x + x = x x + y = x = Al primo passo entra x ed esce x. Fine della fase. Poiché resta in base la variabile artificiale y con valore / diverso da zero, si conclude che il problema iniziale dato è impossibile. Domanda Illustrare il problema di Albero ricoprente di costo minimo e descrivere gli algoritmi di Kruskal, Prim e Prim-Dijkstra, dimostrando la proprietà su cui si basano.

15 H UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 SOLUZIONI Esercizio Si formuli senza risolvere, come problema di flusso di costo minimo, il problema di individuare l albero dei cammini massimi dal nodo a tutti gli altri nodi nel grafo in tabella, con il seguente vincolo aggiuntivo: non più di due cammini possono passare sullo stesso arco. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Lunghezza Il problema di cammino minimo si può formulare come problema di flusso a costo minimo su rete capacitata assumendo che il nodo sorgente (in questo caso ) generi esattamente n- unità di flusso, mentre tutti gli altri nodi sono destinazione di una sola unità di flusso. Il costo degli archi sarà pari al negativo della lunghezza dell arco, ovvero l arco (,) di lunghezza 6 avrà costo pari a -6, mentre l arco (,) avrà costo pari a. In questo modo le unità di flusso generate dal nodo sorgente troveranno la strada meno costosa (ovvero la più lunga) verso tutti gli altri nodi. Inoltre gli archi avranno un vincolo di capacità pari a due imponendo quindi che al più due cammini passeranno per lo stesso arco. Esercizio In tabella sono riportati i costi unitari degli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed un flusso ammissibile iniziale. A partire dal flusso iniziale dato, e utilizzando la fase del simplesso su reti, determinare il flusso di costo minimo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si indichi il costo della soluzione ottima. Archi (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,6) (,) (,) Costi Flusso L algoritmo del simplesso su reti procede come segue. Nella prima iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (,6) il flusso circolante nel ciclo è. Nella seconda iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (,) il flusso circolante nel ciclo è. Nella terza iterazione entrerà in base l arco (,), e provocherà l uscita dell arco (,) il flusso circolante nel ciclo è 0.

16 La soluzione così trovata è ottima e ha costo 9. Esercizio Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso (fase e fase ). min x x x x + x 0 Il problema duale ammette soluzione ottima u T =(/ 0). Dalle condizioni di ortogonalità si ricava la soluzione ottima primale x T =( 0). Domanda Fornire la definizione di combinazione convessa e insieme convesso. Dimostrare che un poliedro è un insieme convesso. Facendo uso del teorema di Minkowski-Weyl, dimostrare che nei problemi di PL si può limitare la ricerca delle soluzioni ottime ai soli vertici del poliedro delle soluzioni ammissibili