MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegnera Gestonale MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI Ing. Federca Gross Tel e-mal:

2 Prncp d modellstca Problema: determnare l modello matematco che approssm l comportamento d un sstema dnamco Indagne dretta: Il sstema vene suddvso n sottosstem elementar l cu modello matematco è faclmente dentfcable e l modello complessvo vene dedotto componendo modell de sottosstem elementar e applcando legg base della fsca. Applcable a cas semplc n cu, sotto certe potes, l ntrospezone fsca del sstema permette la modellazone. Black box: l sstema s consdera come una scatola nera d cu occorre dentfcarne l comportamento medante l anals de segnal d ngresso (opportunamente varat) e delle rspettve uscte (anals armonca). Utle n que cas dove la fsca del sstema è così complessa da non permettere una ntrospezone Gray box: Approcco msto: Sstema complessvo scomposto n dvers sottosstem nteragent, d cu alcun modellat medante ntrospezone fsca e altr medante l anals ngresso/uscta Introduzone -- 2

3 Dervazone del modello medante ndagne dretta L anals energetca del sstema rsulta un utle strumento per la dervazone del modello matematco Dalla defnzone d stato (grandezza che sntetzza la stora passata del sstema utle al fne d calcolare l uscta corrente) sembra ragonevole sceglere, come varabl d stato, grandezze che determnano quanttà d energa accumulate nel sstema (Varabl Energetche). In ogn domno energetco (tranne quello termco) c sono due varabl energetche e due meccansm d accumulo dell energa che dpendono, cascuno, da una sola delle due varabl energetche. Il prodotto delle due varabl energetche rappresenta la potenza n quel partcolare domno energetco. In ogn domno energetco esste un parametro che lega le due varabl energetche e che caratterzza l meccansmo d dsspazone dell energa n quel domno. Introduzone -- 3

4 Consderazon energetche due meccansm elementar d accumulo della energa domno accumulo capactvo accumulo nduttvo elettrco meccanco traslante meccanco rotante E E E Cv 2 2 K f 2 K c draulco/pneumatco E C f p 2 termco E C T t l'energa accumulata dpende dalle 2 varabl a morsett E E E E L 2 Mv J 2 L q f manca varabl passant Le varabl a morsett sono n realtà dfferenze 2 2 Introduzone -- 4

5 Dervazone d modell matematc d sstem fsc Scomposzone sstema complessvo n sottosstem elementar l cu modello matematco sa faclmente dervable (sotto opportune potes) Composzone de modell matematc elementar medante prncp base della fsca (conservazone dell energa) per dervare l modello complessvo: Sstem elettrc: legg d Krchoff per le tensone e per le corrent Sstem meccanc: Legge d Newton Sstem draulc: Equazon d Bernoull Introduzone -- 5

6 Modell d sstem dnamc S prenderanno n esame alcun esemp d modell matematc dnamc per: llustrare procedment general che usualmente s mpegano nella loro deduzone; charre le analoge esstent fra modell d sstem fsc d dversa natura. In partcolare, verranno descrtt sstem: elettrc meccanc elettro-meccanc draulc termc S dedurranno modell n forma d equazon dfferenzal ordnare del tpo: Il problema della soluzone d tal equazon dfferenzal, coè rcavare l'andamento d y( n funzone d u(, verrà preso n esame successvamente: Trasformate d Laplace Introduzone -- 6

7 Modell d sstem dnamc Operatore D Opeatore D : Per semplfcare la scrttura delle equazon dfferenzal s userà l smbolo (o operatore) D per ndcare l'operazone d dervazone rspetto al tempo: L'operatore D s può trattare come se fosse una costante: gode nfatt della propretà dstrbutva rspetto alla somma e della propretà commutatva con le costant (non con le funzon del tempo). Ad esempo, se x (, x 2 ( sono funzon dervabl, e a, a 2 costant, allora S può dare un sgnfcato anche al smbolo /D (o D - ) ponendo n cu K è un'opportuna costante. Introduzone -- 7

8 Modell d sstem dnamc Operatore D Questa relazone costtusce una notazone convenzonale, n quanto n realtà l'operatore D non è nvertble, rappresentando una corrspondenza che non è uno a uno, ma molt a uno: tutte le funzon che dfferscono per una costante presentano la stessa dervata: Per tale ragone /D non s può applcare a due membr d una relazone esprmente l'uguaglanza d due funzon: D y( = D x( se è y( = x(, non è detto che sa D - y( = D - x( (solo per cond. nzal nulle). Introduzone -- 8

9 Crcut elettrc Q 0 è la carca nzale del condensatore N e N 2 sono numer d spre del crcuto prmaro e secondaro Introduzone -- 9

10 Crcut elettrc Altr component d crcut elettrc: Amplfcatore operazonale Transstor Trattando con segnal logc, s possono consderare anche operator logc qual: AND OR NOT NOR che costtuscono gl element d base delle Ret Logche. Introduzone -- 0

11 Crcut elettrc Le untà d msura delle grandezze elettrche nel sstema SI sono: Varabl: [v] = V, [] = A, [Q] = C, Volt; Ampere; Coulomb; Parametr: [R] =, Ohm; [L] = H, Henry; [C] = F, Farad; In genere, modell matematc d crcut elettrc (composzone d sstem elementar) s rcavano applcando le legg d Krchhoff che esprmono l blanco delle cadute d potenzale lungo le magle o delle corrent a nod: Introduzone --

12 Crcut elettrc Le legg d Krchhoff esprmono l blanco delle cadute d potenzale lungo le magle o delle corrent a nod: La somma algebrca delle tenson n una magla è nulla; La somma algebrca delle corrent n un nodo è nulla. v 2 v v 3 v v = v 2 + v 3 + v = 0 Introduzone -- 2

13 Crcut elettrc - Esempo Volendo rcavare, anzché la corrente, la tensone d'uscta v u, s può operare la sosttuzone ( = C D v u (, medante la quale s ottene (v C ( = v u () l'equazone dfferenzale che mette n evdenza la relazone tra causa v ed effetto v u. Introduzone -- 3

14 Crcut elettrc - Esempo ( ngresso R equazone dfferenzale A C equazone algebrca nell'operatore D ( v( uscta v( R R v condzon nzal nulle CDv Krchoff al nodo A = R + C dv( C dt R C v( R dv( C dt Sstema del ordne accumulatore d energa Introduzone -- 4

15 Crcut elettrc - Esempo v ( ( equazone dfferenzale v R equazone algebrca nell'operatore D v ( v v c ( Dv R R t RD Krchoff alla magla v = v R + v C C D C C t 0 d Se nteressa v c come uscta v v R c R C t 0 d condzon nzal nulle Sstema del ordne rcordando che CDv c v RCD v c Introduzone -- 5

16 Crcut elettrc - Esempo ( L ngresso R A equazone ntegro-dfferenzale C ( L v( dt v( R equazone dfferenzale del 2 ordne v C 2 equazone algebrca nell'operatore D v( uscta d dt condzon nzal nulle L Krchoff al nodo A = L + R + C dervando ambo membr R dv dt d 2 dt v v( dt L v( R dv( C dt dv( C dt L R C Sstema del 2 ordne 2 accumulator d energa Introduzone -- 6

17 ( Crcut elettrc - Esempo L ngresso R A C v( uscta condzon nzal nulle Krchoff al nodo A = L + R + C Se come uscta nteressa la corrente nell'nduttanza, rcordando che v LD L R C Consente d rcavare l'uscta v( a partre dall'ngresso ( v( dt L v( R dv( C dt Introduzone -- 7

18 ( Crcut elettrc - Esempo L ngresso R A C v( uscta condzon nzal nulle Krchoff al nodo A = L + R + C L R C Consente d rcavare l'uscta v( a partre dall'ngresso ( Se come uscta nteressa la corrente nella resstenza, rcordando che v R R v( dt L v( R dv( C dt Introduzone -- 8

19 Crcut elettrc - Esempo L R A C condzon nzal nulle ( Krchoff al R v( R nodo A dv( = L + R + C C C ngresso uscta dt Consente d rcavare l'uscta v( a partre dall'ngresso ( L L v( dt v( Se come uscta nteressa la corrente ne dvers component, rcordando che: v C C D Introduzone -- 9

20 Sstem meccanc In generale s cerca d adottare modell a costant concentrate, perchè d pù facle mpego, anche se spesso alquanto approssmatv e meno aderent alla realtà d quanto non lo sano nel caso de crcut elettrc: ad esempo, n un modello a costant concentrate la massa d una molla, (dstrbuta) è supposta trascurable o concentrata agl estrem della molla. S cerca d adottare modell lnear, anche se cò mplca la lmtazone dello studo a varazon relatvamente pccole delle grandezze n goco. Introduzone -- 20

21 Sstem meccanc I sstem meccanc n moto traslatoro s possono consderare costtut da component elementar: la massa, n cu s concentrano le forze d nerza, f m x f 2 la molla, n cu s concentrano le forze d rchamo elastco, f K (se per x = 0 e x 2 = 0 la molla non è carcata) x x 2 f l'ammortzzatore, n cu s concentrano le forze d attrto vscoso. f f S suppone che gl estrem d tal component meccanc sano sottopost a moto traslatoro orzzontale. x x 2 B Introduzone -- 2

22 Sstem meccanc Analogamente per sstem n moto rotatoro: Forze coppe Masse nerze c(, ( J c(, ( K c(, 2( c(, ( B c(, 2( Introduzone -- 22

23 Sstem meccanc Rduttore c (, ( c 2 (, 2( In un rduttore deale (senza perdte per attrto e con accoppamento perfetto tra gl ngranagg), la veloctà vene rdotta del fattore k r Poché n questo meccansmo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente la coppa rsulta amplfcata. Introduzone -- 23

24 Sstem meccanc Altr element: Cngha/pulegga Vte a rcrcolazone d sfere Camma Bella/manovella Introduzone -- 24

25 Sstem meccanc Le untà d msura delle grandezze meccanche nel sstema SI sono: Varabl: [f] = N, Newton; [x] = m, metr; = m/sec, veloctà; = m/sec 2, accelerazone. Parametr: [M] = kg, chlogramm; [K] = N/m, coeffcente d rgdezza; [B] = N sec/m, coeffcente d attrto vscoso. Oppure (caso rotatoro) Varabl: [c] = N m; [ ] = rad; = rad/sec; = rad/sec^2. Parametr: [J] = kg\,m^2; [K] = N\,m/rad, coeffcente d rgdezza torsonale; [B] = N\,m\,sec/rad, coeffcente d attrto torsonale. Introduzone -- 25

26 Sstem meccanc - Esempo Carrell con attrto m 2 m u( x 2 ( x ( Applcando la legge d Newton a cascuna massa s ottene Introduzone -- 26

27 Sstem meccanc - Esempo Carrell con attrto m 2 m u( x 2 ( x ( La varable osservata del sstema è la velocta d m 2 e qund Dalle due eq.n dfferenzal, utlzzando l'operatore D, s ottene: Introduzone -- 27

28 Sstem meccanc - Esempo Da S rcava Se s consderano per esempo per parametr valor numerc: s ottene l'equazone dfferenzale la cu soluzone y( descrve l'andamento dell'uscta n funzone dell'ngresso u( e delle condzon nzal y(t 0 ) = Introduzone -- 28

29 Sstem meccanc - Esempo Le coppe applcate n questo caso sono: coppa esterna c( coppa dovuta alla molla torsonale c k ( = k ( coppa dovuta all'attrto torsonale c b ( = B Applcando la legge d Newton s ha Introduzone -- 29

30 Sstem meccanc Effett non lnear Ne sstem meccanc esstono fenomen nonlnear che, per la dscontnutà delle caratterstche, non sono suscettbl neppure d una lnearzzazone locale: l pù mportante d quest è l'attrto. Per rmanere nel campo de modell lnear s dovrebbe consderare l solo attrto vscoso. In realtà è presente anche l'attrto secco o attrto al dstacco, consstente n una forza che equlbra la forza applcata, mpedendo l'nzo del moto, fnché questa non supera una sogla F_d, oltre la quale nza l movmento e la forza s annulla. Inoltre può essere presente l'attrto coulombano, caratterzzato da una forza nulla quando l corpo è mmoble, costante quando esso è n movmento e tale da oppors al moto. L'attrto al dstacco e l'attrto coulombano sono fenomen tpcamente nonlnear, per cu, fnché l'approssmazone rsulta accettable, ne modell matematc s consdera l solo attrto vscoso. Introduzone -- 30

31 Sstem meccanc Effett non lnear Altr effett non lnear eventualmente present n un sstema meccanco. Saturazone La saturazone è un fenomeno comune a tutt process fsc: l'uscta y del sstema è proporzonale all'ngresso x solo n un certo range d valor, mentre rmane pratcamente costante al d fuor d esso. Introduzone -- 3

32 Sstem meccanc Effett non lnear Isteres Il sstema d attuazone (rduttore) ntroduce soltamente un qualche effetto d steres. Nel caso d rduttor, è dovuto al goco d esstente tra gl ngranagg. x: spostamento n ngresso y: spostamento n uscta Il movmento dell'ngranaggo plota non s trasmette all'altro fno a quando dent delle due ruote non sono n contatto. Se la veloctà d x camba segno, allora y rmane costante per un certo tratto. Non lneartà a due valor : per ogn x v sono 2 possbl valor d y, a seconda della stora dell'ngresso. S possono avere nstabltà o oscllazon permanent (ccl lmte) Introduzone -- 32

33 Sstem meccanc Effett non lnear Zona morta L'uscta non rsente d varazon dell'ngresso contenute n una data banda. Introduzone -- 33

34 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegnera Gestonale MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI FINE Ing. Federca Gross Tel e-mal:

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