ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI

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1 ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela CE al lato BA. Consideriamo ora le due rette parallele CE BA tagliate dalla trasversale AC. L angolo β è uguale a β perché angoli alterni interni e α è uguale ad α perché angoli corrispondenti. Quindi γ + β + α = 180 allora anche γ + β + α = 180 ) In un triangolo un angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti. Consideriamo il triangolo ABC, prolunghiamo il lato BC e tracciamo la parallela CE al lato BA. Consideriamo ora le due parallele CE e BA tagliate dalla trasversale AC. Si formano due angoli alterni interni uguali β = β e due angoli corrispondenti uguali α = α Così l angolo esterno α + β è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti α e β 3) In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. 4) La somma degli angoli esterni di un triangolo è 360 Consideriamo il triangolo ABC e prolunghiamo il lato BC in CD. Prendiamo il punto medio del lato AC e uniamo B con E, sul prolungamento di BE si prenda un segmento EF uguale a BE stesso. Consideriamo i triangoli ECF e BEC, sono congruenti per il primo criterio perché hanno i lati BE=EF e AE=EC per costruzione e gli angoli α e α uguali perché opposti al vertice. Pertanto l angolo in BAE è uguale all angolo in ECF che è minore di tutto l angolo esterno. Consideriamo il triangolo ABC prolunghiamo ora i suoi lati otteniamo così tre angoli piatti β+β' = α+α' = γ+γ' = 180 ma siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 avremo: 3x = x180 = 360 1

2 I POLIGONI 1) La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a: ( n ) x 180 Consideriamo il poligono ABCDE con al centro il punto P. Unendo P a ogni vertice del poligono otterremo 5 triangoli; e siccome la somma degli angoli interni di questi ultimi è sempre 180 possiamo scrivere 5 x 180. (n=5) Va considerato però l angolo giro al centro che misura 360 = x180 Possiamo così enunciare la seguente Ai = (n ) x 180. ) La somma degli angoli esterni di un poligono è 360 Consideriamo il poligono ABCDE e prolunghiamo i suoi lati. Consideriamo ora i cinque angoli piatti A,B,C;D,E formati dagli angoli interni più quelli esterni avremo in totale 5 x 180. Ma la somma degli angoli interni è uguale a (n-)x180 avremo 5x180 -(5-)x180 = (5-3)x180 cioè x180 = ) In ogni parallelogramma : (rettangolo, quadrato, rombo, parallelogrammo) ciascuna diagonale lo divide in due parti uguali le diagonali si tagliano scambievolmente per metà Prendiamo in considerazione i triangoli ABD e BDC. I due triangoli sono uguali per il secondo criterio di congruenza perché: I lati DC e AB sono uguali perché nel parallelogramma i lati sono a due a due congruenti, quindi anche i lati AD e BC sono uguali. Gli angoli CDB e ABD sono uguali perché alterni interni rispetto alle due rette parallele DC e AB tagliate dalla trasversale DB. Prendiamo in considerazione i triangoli DCE e AEB. I lati DC e AB sono uguali perché nel parallelogramma i lati sono a due a due congruenti. Gli angoli al centro sono uguali perché opposti al vertice Gli angoli D e B sono uguali perché alterni interni rispetto alle due rette parallele DC e AB tagliate dalla trasversale DB. Per differenza anche gli angoli A e C sono uguali. Per il secondo criterio i due triangoli sono uguali e quindi le diagonali si dividono a metà

3 4) Le diagonali di un rettangolo sono uguali Prendiamo in considerazione i triangoli DAB e ABC. Sono uguali per il quarto criterio di congruenza poiché hanno i lati AD e BC uguali perché i lati opposti del rettangolo sono a due a due congruenti; hanno la base AB in comune e i due angoli DAB e CBA sono retti. Quindi anche i lati DB e CA sono uguali. 5) Le diagonali del rombo sono perpendicolari e bisettrici degli angoli Dimostriamo che le diagonali sono perpendicolari. Consideriamo i triangoli ADP e DPC sono uguali perché hanno AD=DC, AP=PC perché le diagonali si dividono a metà e i due angoli alla base α e α 1 congruenti Quindi l angolo DPA è uguale a DPC perciò 180: = 90 Dimostriamo ora che le diagonali sono bisettrici degli angoli. Consideriamo il triangolo isoscele ADC, l altezza DP è mediana e bisettrice. 6) In un quadrato le diagonali si tagliano scambievolmente per metà, sono uguali e perpendicolari e sono bisettrici degli angoli Consideriamo il quadrato ABCD e chiamiamo P il punto di intersezione delle diagonali. Dimostriamo che le diagonali si dividono scambievolmente per metà. Prendiamo in considerazione i triangoli ADP e CBP sono congruenti perché hanno i lati AD e BC uguali perché lati di un quadrato; consideriamo poi due parallele DC, AB tagliati dalla trasversale DB formano angoli D e B alterni interni uguali per lo stesso motivo anche gli angoli C e A sono congruenti. Per il secondo teorema di similitudine i due triangoli ADP e BCP sono congruenti. Dimostriamo che le diagonale sono uguali. Consideriamo i due triangoli rettangoli ADB e DCB. Sono uguali perché hanno tuitti i lati uguali. L angolo A e C di 90. Per il secondo teorema di congruenza questi due triangoli sono uguali. Dimostriamo che le diagonali sono bisettrici degli angoli. Consideriamo il triangolo isoscele ADC. Il lato DP è la mediana, ma anche altezza e bisettrice. Dimostriamo che le diagonali sono perpendicolari. Consideriamo il triangolo DCP e siccome le diagonali CA e BD sono bisettrici degli angoli; gli angoli C e D sono di 45 quindi da 180 togliamo (45 x) rimane un angolo di 90 7) In un trapezio isoscele le diagonali si dividono in parti uguali 3

4 Prendiamo in considerazione i triangoli AOB e CDO e dimostriamo che sono congruenti. Intanto hanno l angolo al centro uguale perché opposto al vertice; inoltre, sono congruenti anche i lati obliqui e gli angoli alla base, per differenza di angoli uguali. Quindi, anche il terzo angolo è uguale, pertanto i due triangoli sono uguali per il secondo criterio di congruenza. 8) In un triangolo isoscele l altezza relativa alla base è mediana e bisettrice Prendiamo in considerazione i due triangoli rettangoli in cui viene diviso il triangolo isoscele e dimostriamo che sono uguali. Hanno l angolo retto e gli angoli alla base uguali, quindi per differenza anche il terzo angolo è uguale pertanto AD è bisettrice. Inoltre i due triangoli hanno i lati obliqui uguali perciò per il secondo criterio di congruenza sono congruenti. Quindi AD è anche mediana. 4

5 FIGURE EQUIVALENTI 1) Un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la somma delle basi. Prolunghiamo la base AB di un segmento BF uguale a DC. Dimostriamo che i due triangoli sono congruenti. Intanto perdiamo in considerazione le rette DC e BF tagliate dalla trasversale CE formano angoli alterni interni uguali; la stessa cosa anche per l altra trasversale DF. Quindi, per il secondo criterio di congruenza, i due triangoli sono uguali pertanto il trapezio ABCD e il triangolo ADF hanno la stessa area. ) Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza Prendiamo in considerazione i triangoli ADH e BCK e dimostriamo che sono congruenti. Le rette AD e CB sono parallele e tagliate dalla trasversale AB formano angoli corrispondenti uguali, ovvero l angolo α e l angolo α'; inoltre i lati HD e KC sono uguali perché altezze del parallelogramma. Infine, i due triangoli sono rettangoli, quindi, per il quarto criterio di congruenza, sono uguali. 3) Un triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza 4) In un poligono regolare l area si trova: A = P x a : Scomponiamo l esagono in 6 triangoli e chiamiamo a l altezza di ogni triangolo e l la base. Siccome l area di un triangolo si trova b x h :, avremo: A = 6x(l x a : ) Prendiamo in considerazione il triangolo AHC e il triangolo AMC rettangoli, e dimostriamo che sono uguali. Hanno il lato AC in comune, β = β1 perché alterni interni rispetto alle rette AM e HC tagliate dalla trasversale AC. Quindi, per il quarto criterio di congruenza, sono uguali. La stessa cosa anche per ABH e il triangolo ABN. Quindi il triangolo ABC è la metà del rettangolo BNMC Ma applicando la proprietà associativa della moltiplicazione 6xl = P Quindi l area del poligono regolare si trova P x a : 5

6 1) Primo teorema di Euclide TEOREMI DI PITAGORA E DI EUCLIDE Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo ABC e il triangolo A C H parte del triangolo dato e dimostriamo che sono simili. Hanno entrambi un angolo retto, α = α' essendo lo stesso angolo quindi, anche il terzo angolo sarà uguale per differenza. Quindi essendo simili possiamo scrivere : AH:AC=AC:AB Cioè: In un triangolo rettangolo, un cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso su l ipotenusa. Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni possiamo anche dire che: AC = AH x AB L area del quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso su di essa. ) Secondo teorema di Euclide Dimostriamo che i triangoli A CH e C B H in cui viene diviso il triangolo rettangolo ABC sono simili. Hanno un angolo retto in comune, l angolo retto è stato diviso in due parti α e β che per somma danno 90 Quindi, se da 180 (la somma degli angoli interni del triangolo) togliamo 90 rimangono altri 90 pertanto in A CH da 90 -β otteniamo α e in C B H da 90 - α otteniamo β. I due triangoli sono simili perciò: AH : CH = CH : HB Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni come nel precedente teorema, avremo che: CH = AH x HB L area del quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. 6

7 3) Teorema di Pitagora Dal 1 teorema di Euclide si può scrivere che il quadrato Q 1 è equivalente a R 1 e, in questo modo, anche Q è equivalente a R. Ma R 1 + R non è altro che Q, ovvero il quadrato costruito sull ipotenusa. Quindi: Q 1 +Q = R 1 +R = Q L area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. TANGENTI AD UNA CIRCONFERENZA 1) Due tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza sono uguali Indichiamo con D e B i punti in cui le tangenti uniamo questi due punti con il centro C del cerchio e dimostriamo adesso che i due triangoli formati sono uguali. Intanto CB = CD perchè raggi della stessa circonferenza, il lato CA è in comune e i due triangoli sono rettangoli perché il raggio è sempre perpendicolare alla tangente. Per il IV criterio di congruenza sono uguali e quindi sono uguali anche le BA e DA. 7

8 POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA 1) In un poligono circoscritto ad una circonferenza la somma dei lati opposti è uguale Consideriamo il poligono ABCD circoscritto ad una circonferenza e indichiamo con G, E, F; H. i punti di tangenza Consideriamo il punto C esterno ad una circonferenza siccome i segmenti tangenti condotti da un punto esterno ad un cerchio sono uguali abbiamo CG = CF = c la stessa cosa vale anche per gli altri punti pertanto DG = DH = d, AH =AE =a, BE = BF = b per cui la somma di AD+CB = b+c+d+a è uguale alla somma di AB+CD = a+d+c+b Pertanto la somma dei lati opposti è congruente alla somma degli altri due. ) L area di un poligono circoscritto ad una circonferenza è: A = P x r. Il raggio della circonferenza inscritta nel poligono è congruente all apotema. Dividiamo il poligono in 5 triangoli e calcoliamo l area della figura scomposta considerando r l altezza del triangolo. a = AB x r: + BC x r: + CD x r: + DE x r: + EA x r: ma possiamo anche scrivere a = (BC+CD+DE+EA+AB) x r: che per la proprietà associativa è uguale a Px r:. DIAGONALE DEL CUBO Indichiamo con d la diagonale di base e D la diagonale del cubo. D = d + l ma d = l + l quindi D = l + + l l = 3l = l 3 = l x 1,73 8

9 VOLUME E SUPERFICIE DEL CONO E DEL CILINDRO EQUILATERO 1) Cilindro equilatero Volume del cilindro equilatero. Nel cilindro equilatero l altezza è uguale al raggio: h = r V = Sb x h Sb = π r h = π r r = πr 3 Superficie totale St = Sl + Sb = πr h + πr = πr r + πr = 4πr + πr = 6πr ) Cono equilatero Volume del cono equilatero: Nel cono equilatero l apotema è uguale al diametro: a = r; h = 4r r = r 3 V = Sb x h/3 = πr h /3 = πr r 3/ 3 = πr 3 3/ 3 Superficie totale del cono equilatero: St = Sl + Sb= πr r / + πr =πr + πr = 3πr ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO E DIAGONALE DEL QUADRATO 1) Diagonale del quadrato Troviamo la diagonale del quadrato: D = l + l = l = l = l x 1,414 ) Altezza del triangolo equilatero Troviamo l altezza del triangolo equilatero: H = l l = 4l l 4 = 3l 4 l = 3 = l x 0,866 9