MODULO 1 GLI INSIEMI NUMERICI

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1 MODULO TITOLO FINALITA GLI INSIEMI NUMERICI Presentazione, a livello elementare, di una panoramica del campo numerico: dai numeri naturali ai numeri complessi. PREREQUISITI Concetto di insieme (A:.,.,.). Concetto di operazione (A:.). Leggi di composizione (A:.6,.7,.). Operazioni con gli insiemi (A: ). Proposizioni logiche (A: ). Relazioni binarie (A: ). OBIETTIVI Suggerimenti utili ) Le quattro operazioni elementari dell aritmetica con relative proprietà: ADDIZIONE, SOTTRAZIONE, MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE. ) Le POTENZE con relative proprietà. ) Le FRAZIONI. ) I NUMERI RELATIVI. ) I NUMERI RAZIONALI. 6) I NUMERI IRRAZIONALI. 7) I NUMERI REALI. ) CENNI SUI NUMERI COMPLESSI.. Ogni alunno deve possedere un quaderno di media grandezza, preferibilmente con i fogli che non si staccano facilmente, nel quale dovranno essere riportate in modo succinto le questioni affrontate in classe. Questo è un modo abbastanza valido per fissare meglio le nozioni acquisite e per avere a disposizione appunti di facile consultazione. L insegnante inizialmente deve aiutare l alunno a realizzare il suo quaderno di appunti. E molto importante che gli alunni siano continuamente interpellati per individuare eventuali carenze e correre subito ai ripari. Curare molto la forma espositiva affinché sia chiara, precisa e corretta. I concetti fondamentali via via presentati siano continuamente richiamati onde fare emergere chiaramente il carattere organico della disciplina. Primi contenuti didattici. (A: ) Concetto di insieme e sua rappresentazione. I quantificatori universale ed esistenziale. Insiemi uguali. Sottoinsiemi. Inclusione. Concetto di operazione. Leggi di composizione. Proprietà delle leggi di composizione. Elementi particolari rispetto a una legge di composizione.

2 Si deve sapere L insieme dei numeri naturali L addizione Successivo e precedente di un numero naturale. Cos è un insieme e come si rappresenta; (A:.). Quali sono i quantificatori; (A:..). La distinzione tra i concetti di appartenenza e di inclusione;. Il concetto di legge di composizione; (A:.,.6). Le proprietà delle leggi di composizione. (A:.7,.) L insieme N dei numeri naturali costituisce la piattaforma sulla quale viene costruito l edificio matematico. Prenderne conoscenza, quindi, è di vitale importanza didattica. In simboli, l insieme dei numeri naturali si indica nel modo seguente: N {0,,,,,, }. () Se si esclude lo 0, si scrive: N 0 {,,,,, }. Chiamato un alunno alla lavagna, si propone di eseguire l operazione: Poiché il risultato è 7, si può scrivere: 7. Si può chiedere a questo punto di specificare quale procedimento egli ha seguito per determinare il risultato dell operazione. Poiché non è da escludere che l alunno non abbia piena consapevolezza di quanto abbia fatto, si coglie l occasione per precisare che 7 è il numero cui si perviene contando cinque numeri a partire dal numero, successivo del numero. Si ha, così: tre, quattro, cinque, sei e sette. L operazione eseguita si chiama ADDIZIONE. I termini e si dicono ADDENDI. Il risultato 7 si dice SOMMA o TOTALE. Il simbolo si chiama SEGNO OPERATIVO dell addizione. Se uno degli addendi di un addizione è il numero, il risultato che si ottiene si chiama SUCCESSIVO dell altro addendo. Poiché: 0. Si dice che è il successivo di 0;. Si dice che è il successivo di ;. Si dice che è il successivo di ;. Si dice che è il successivo di ; E così via. Se un numero b è il successivo del numero a, si dice che a è il PRECEDENTE di b. Negli esempi considerati, si ha: 0 è il precedente di ; è il precedente di ; è il precedente di ; Ogni numero naturale ha il suo successivo. Ogni numero naturale, escluso lo 0 ha il suo precedente. Si dice perciò che l insieme dei numeri naturali è LIMITATO INFERIORMENTE (o a sinistra) e ILLIMITATO SUPERIORMENTE (o a destra).

3 L addizione nell insieme N dei numeri naturali. Poiché, a partire da un dato numero naturale, si possono contare quanti numeri naturali si vogliano, si può dire che: L addizione è una legge binaria di composizione interna ovunque definita nell insieme dei numeri naturali. Ciò vuol dire che, presi due numeri naturali qualsiasi, che indichiamo con le lettere a e b, esiste sempre un altro numero naturale c tale che si abbia: a b c. In simboli, utilizzando i quantificatori universale ed esistenziale, si può scrivere: a, b N, c N a b c. Si legge: qualunque sia la coppia dei numeri naturali a e b, esiste un altro numero naturale c tale si abbia a b c. Si usa dire pure che l insieme dei numeri naturali è CHIUSO rispetto all addizione. Proprietà dell addizione Elemento neutro rispetto all addizione La sottrazione nell insieme N dei numeri naturali. I) a b b a, a, b N. (Proprietà commutativa) II) a (b c) (a b) c, a, b, c N. (Proprietà associativa) Il numero 0 è elemento neutro rispetto all addizione. Infatti, si ha: a 0 0 a a a N. Dati due numeri naturali a e b, si vuole sapere se esiste un numero naturale c che sommato al numero b sia uguale al numero a. Se tale numero c esiste, si scrive: a b c. L operazione che bisogna eseguire per determinare c è denominata SOTTRAZIONE. Il primo termine a si chiama MINUENDO, il secondo b si chiama SOTTRAENDO, il numero c si chiama DIFFERENZA o RESTO. Il simbolo si chiama SEGNO OPERATIVO della sottrazione. Si può scrivere: a b c se c b a. ESEMPI: 7 perché perché 7 0. Relazioni di maggiore e di minore in N 7 perché 7. Un numero naturale a si dice MAGGIORE del numero naturale b se esiste un numero naturale c tale che si abbia: a b c. ESEMPI. Il numero 7 è maggiore del numero perché 7. Il numero 0 è maggiore del numero perché 0.

4 Per esprimere che il numero a è maggiore del numero b si scrive: a > b. Considerando gli esempi precedenti, si può scrivere: 7 >, 0 >. Se il numero a è maggiore del numero b si dice che b è MINORE del numero a e si scrive: b < a. Quindi, se a > b allora b < a. Da a b c, si deduce: c > a, c > b, a < c, b < c. Poiché a b c equivale a c b a, l operazione di sottrazione può essere eseguita nell insieme dei numeri naturali soltanto se il numero a è maggiore o uguale al numero b. Per esprimere che il numero a è maggiore o uguale al numero b, si scrive: a b. Poiché l operazione di sottrazione in N può essere eseguita soltanto se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo, si può dire che: La sottrazione è una legge binaria di composizione interna definita in N. In simboli, si scrive: a, b N, a b, c N a b c. Si dice che l insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla sottrazione. ESEMPI: 6 perché 6. non esiste in N perché <. PROBLEMA Quale numero bisogna addizionare al numero affinché la somma sia uguale al numero? Il problema consiste nel fatto di determinare un addendo conoscendo la somma e l altro addendo. Indicando col simbolo k l addendo incognito, il problema può essere formalizzato nel modo seguente: k. Tenendo presente quanto detto prima, si può scrivere: k k. Infatti, si ha:. a c b Generalizzando, si può scrivere: a b c b c a Come si vede, per trovare sia il primo addendo sia il secondo, bisogna eseguire l operazione di sottrazione. Ciò è dovuto al fatto che l addizione gode della proprietà commutativa. Si dice che la sottrazione è l unica operazione inversa dell addizione.

5 ESERCIZI. ) h 0 Si ha: h 0 h. ) 0 s Si ha: s 0 s. ) 0 m 70 Si ha: m 70 0 m 0. ) k. Tenendo conto della definizione di sottrazione, si può scrivere: k k k. ) 7 m. Si ha: m 7 m 7 m. E molto importante che gli alunni si alternino alla lavagna per risolvere anche dei semplici quesiti. In questo modo l insegnante avrà la possibilità di conoscere meglio e con tempestività la classe in cui deve operare e conseguentemente potrà stabilire quale sia il ritmo ottimale da imporre per lo svolgimento del programma. Per non correre il rischio di essere dispersivi, inoltre, non bisogna attendere di svolgere tutta una parte del programma prima di verificare lo stato di preparazione degli studenti. Poiché l alunno non è un sacco da riempire bensì un soggetto da formare, è necessario coinvolgerlo continuamente nell attività didattica spronandolo a migliorarsi sempre più e soprattutto a prendere gusto nel lavoro che è chiamato a eseguire. Se un alunno dichiara di non essere riuscito a risolvere un esercizio, lo si chiama alla lavagna cercando di capire il tipo di difficoltà che egli ha incontrato. Così si possono evidenziare eventuali carenze di comprensione o di preparazione e correre subito ai ripari. La moltiplicazione nell insieme N dei numeri naturali Si invita uno studente a scrivere alla lavagna le seguenti espressioni: 7 6 () () Si chiede di specificare cosa esse rappresentano. Se risponde che esse rappresentano due somme ciascuna delle quali formata da cinque addendi, ciò sta a significare che lo studente è in grado di seguire con profitto la lezione. Se la risposta non è quella che ci si aspetta, allora si cerca di chiarire le cose per non vanificare l attività didattica. Poiché gli addendi della seconda somma sono tutti uguali, più sinteticamente si può scrivere:. Il simbolo scritto dopo il segno di uguaglianza, si legge: tre per cinque. Il secondo numero,, indica quante volte deve essere sommato il primo numero. Si ha, perciò: ; ; 60. Considerando gli esempi precedenti, si dice che: Il numero è il prodotto dei numeri e ; Il numero è il prodotto dei numeri 7 e ; Il numero 60 è il prodotto dei numeri e.

6 In simboli un prodotto si indica nel modo seguente: a b c. L operazione che bisogna eseguire per determinare c è denominata MOLTIPLICAZIONE. I termini a e b si chiamano FATTORI, il numero c si chiama PRODOTTO. Il simbolo si chiama SEGNO OPERATIVO della moltiplicazione. Poiché la moltiplicazione è una particolare addizione, si può dire che: La moltiplicazione è una legge binaria di composizione interna ovunque definita nell insieme dei numeri naturali. Ciò vuol dire che, presi due numeri naturali qualsiasi, che indichiamo con le lettere a e b, esiste sempre un altro numero naturalec tale che si abbia: a b c. In simboli, si può scrivere: a, b N, c N a b c. Si legge: qualunque sia la coppia dei numeri naturali a e b, esiste un altro numero naturale c tale si abbia a b c. Proprietà della moltiplicazione Elemento neutro rispetto alla moltiplicazione Il numero 0 è elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione La divisione nell insieme dei numeri naturali. (A: 7.9) Si può dire che l insieme dei numeri naturali è CHIUSO rispetto alla moltiplicazione. I) a b b a, a, b N. (Proprietà commutativa) II) a (b c)(a b) c, a, b, c N. (Proprietà associativa III) a (b c) (a b) (a c) a, b, c N. (Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione) Il numero è elemento neutro rispetto alla moltiplicazione. Infatti, si ha: a a a, a N. ESEMPIO:. Qualunque numero moltiplicato per 0 è uguale a 0. Infatti, si ha: ; In simboli, si scrive: a 0 0 a 0, a N. Dati due numeri naturali a e b, si vuole sapere se esiste un numero naturale c che moltiplicato per il numero b sia uguale al numero a. Se tale numero c esiste, si scrive: a b c. Si legge: a diviso b uguale c. Il numero c si chiama QUOTO o QUOZIENTE ESATTO dei numeri a e b. 6

7 L operazione che bisogna eseguire per determinare c è denominata DIVISIONE. Il primo termine a si chiama DIVIDENDO, il secondo, b, DIVISORE. Il simbolo si chiama SEGNO OPERATIVO della divisione. Si può scrivere: a b c se c b a. ESEMPIO: 0 perché 0. Si dice che il numero 0 è DIVISIBILE per oppure che 0 è MULTIPLO di oppure che è un DIVISORE di 0. Le due locuzioni: è divisibile per e multiplo di si equivalgono. 0? non esiste nell insieme N dei numeri naturali perché 0 non è multiplo di. Multipli di un dato numero naturale. Si può dire allora che la divisione è una legge binaria di composizione interna definita nell insieme dei numeri naturali. In simboli, si scrive: a, b N, a multiplo di b, c N a b c. Siano a ed n due numeri naturali diversi da zero. Il loro prodotto a n si chiama MULTIPLO di a secondo il numero n. Ogni numero naturale diverso da zero ha infiniti multipli non nulli, i quali si ottengono moltiplicando tale numero per tutti i numeri naturali. Ad esempio, i multipli del numero sono:, 6, 9,,, I multipli di formano l insieme: {, 6, 9,,,, }. Poiché gli elementi dell insieme dei multipli di sono stati determinati moltiplicando il numero per gli elementi dell insieme N 0, esso può essere indicato col simbolo N 0. Si ha, cioè: N 0 {, 6, 9,,,, }. ESERCIZI ) Determinare l insieme dei multipli di. Si ha: N 0 {,, 6,, 0,, }. ) Determinare l insieme dei multipli di. Si ha: N 0 {, 0,, 0,, 0, }. ) Determinare l insieme dei multipli di. Si ha: N 0 {,, 6,, 60, 7, }. ) Trovare per quale numero bisogna moltiplicare il numero 7 affinché si ottenga come prodotto il numero. Il problema consiste nel determinare un fattore conoscendo il prodotto e l altro fattore. Indicando con la lettera k il numero da determinare, in 7

8 simboli, si può scrivere: 7 k. Tenendo conto di quanto detto prima, si può scrivere: k 7 k. Infatti, si ha: 7. ) 0 NON ESISTE perché nessun numero moltiplicato per 0 può dare come risultato. Ogniqualvolta che è stato proposto questo esercizio a studenti di qualsiasi età, le risposte fornite sono state quasi sempre errate. Le gravi conseguenze di questa grossa lacuna si manifesteranno negativamente nel determinare il campo di esistenza delle funzioni fratte. Data l importanza dell argomento, allora l insegnante dovrà insistere fino a quando non si renderà conto che gli studenti abbiano veramente capito. c a b 0 b Generalizzando, si può scrivere: a b c c b a 0 a Come si vede, per trovare sia il primo fattore sia il secondo, bisogna eseguire l operazione di divisione. Ciò è dovuto al fatto che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa. Si dice che la divisione è l unica operazione inversa della moltiplicazione. 6) m 0. Si ha: m 0 k 0. 7) 6 s. Si ha: s 6 s 7. ) k. Tenendo conto della definizione di divisione, si può scrivere: k k k 6. 6) m m m m. 7) k 7 7 k k k. Di questo tipo di esercizi bisogna farne a volontà e riproponendoli in diverse occasioni. Data l importanza dell argomento, gli si deve dedicare tutto il tempo che esso richiede nella classe in cui viene affrontato. Esercizi che dovranno essere proposti a ciascuno alunno della classe. L attività continuerà fino a quando l insegnante non avrà tratto la convinzione che gli studenti affrontino gli esercizi con una certa padronanza sia concettuale sia operativa.. z. Si ha: z z 6.. e. Si ha: e e e 7.. z. Si ha: z z f. Si ha: f 0 f 0 f.. n 0. Si ha: n 0 n.

9 6. h. Si ha: h h. 7. k 7. Convenendo di omettere il segno operativo della moltiplicazione nel caso in cui uno dei fattori è rappresentato da una lettera dell alfabeto, l esercizio proposto può essere espresso nel modo seguente: k 7. Si ha: k 7 k 9.. 0x 60. Si ha: x 60 0 x. 9. y 60. Si ha: y 60 y. 0. x 60. Si ha: x 60 x.. x x x x.. x 7 7 x 6 x x 6. Divisione col dividendo non multiplo del divisore ) Eseguire la divisione: 7. Si considerino i multipli di 7 confrontandoli con numero. Si ha: 7 7 < ; 7 < ; 7. Si può scrivere, allora: 7. Si dice che è il QUOTO o il QUOZIENTE ESATTO del numero col numero 7. Eseguire la seguente divisione: 7. Si considerino i multipli di confrontandoli con numero 7. Si ha: < 7; < 7; < 7; 6 < 7; 0 < 7; 6 < 7; 7 > 7. Poiché il dividendo 7 non è un multiplo del divisore, si ha un quoziente non esatto. Si può scrivere: 6 < 7 < 7 < 7 <. Come si vede, il numero 7 è compreso fra due multipli successivi di : il e il. Poiché la differenza fra il numero 7 e il multiplo di immediatamente precedente è 7, si può scrivere: 7 6, ossia: 7 6 con resto. Quindi, il quoziente fra i numeri 7 e è 6 con resto. Si dice quoziente fra due numeri interi a e b, con b 0 il maggiore numero intero q che moltiplicato per b dia come prodotto un numero intero minore o uguale al numero a. Indicando con r il resto, in simboli, si può scrivere: a q b r. Numeri primi Un numero, diverso da, si dice NUMERO PRIMO se ammette come divisori soltanto se stesso e il numero. Un numero che non sia primo si dice NUMERO NON PRIMO o NUMERO COMPOSTO. ) Un numero composto ammette qualche divisore primo. 9

10 Le potenze (A: 7.) ) Esistono infiniti numeri primi. ) Un numero primo che sia divisore di un prodotto di due o più fattori è divisore di almeno uno dei suoi fattori. ) Un numero primo che sia divisore di un prodotto di fattori primi è uguale almeno a uno di questi fattori. ) Un numero composto può decomporsi in un prodotto di fattori primi. 6) La decomposizione di un numero in fattori primi è unica. Sia dato il prodotto: , il quale è formato da quattro fattori tutti uguali al numero 7. In forma più abbreviata, si può scrivere: Proprietà delle potenze Il simbolo 7 viene denominato POTENZA. I numeri 7 e si chiamano rispettivamente BASE ed ESPONENTE della potenza. L esponente di una potenza indica quante volte la base dev essere moltiplicata per se stessa. ESEMPI. ; ; a a a a; x x x. Per convenzione, si pone: a 0, con a 0; a a. Il simbolo 0 0 è privo di significato. Si può dire allora che la potenza di un dato numero è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero. m n m n m n m n ) a a a ; ) a a a ; m m m m m ) a b ( ab) ; ) a b ( a b). ESERCIZI 7 ; ; (6 ) 6 0 ; a a a ; x 6 x x. m mn ) ( a ) a ; Per coinvolgere attivamente la classe nell attività didattica, non sarebbe male procedere, talvolta, nel modo seguente: Si chiama un alunno alla lavagna e lo si invita a scrivere, ad esempio, il simbolo e gli si chiede: ) Cosa rappresenta? Risposta: una potenza. ) Cos è una potenza? Risposta: un prodotto di più fattori tutti uguali fra loro. ) Di quanti termini è formata una potenza? Risposta: due. ) Come si chiamano? Risposta: base ed esponente. ) Cosa rappresenta la base di una potenza? Risposta: ciascuno dei fattori uguali del prodotto. 6) Cosa rappresenta l esponente di una potenza? Risposta: di quanti fattori è formato il prodotto. 7) Qual è il valore della potenza considerata? Risposta:. ) Perché? Risposta: per la definizione di potenza. Infatti:. 9) Quanto vale 7 0? Risposta:. 0) Perché? Risposta: per convenzione. ) Quanto vale? Risposta:. ) Perché? Risposta: per convenzione. m n 0

11 Successivamente si chiama un altro alunno e gli si propongono esercizi analoghi. Si possono fare anche domande agli alunni al posto. Ad esempio, l insegnante scrive alla lavagna:. Viene interpellato un alunno, chiedendo: ) Cosa rappresenta? Risposta: il prodotto di due potenze della stessa base. ) Qual è la base comune? Risposta:. ) A che equivale l espressione? Risposta: 6. ) Perché? Risposta: per la prima proprietà delle potenze. ) Cosa afferma tale proprietà? Risposta: il prodotto di due potenze della stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Un attività di questo genere dev essere condotta con determinazione per evitare brutte sorprese in seguito. L insegnante si deve convincere che così facendo non si perde tempo bensì lo si guadagna perché in futuro non ci saranno intralci nel lavoro che bisogna eseguire. ESERCIZI. ( ). Primo procedimento: ( ) 7. Secondo procedimento: ( ) 6. Nel secondo procedimento è stata applicata la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione. x (y z). Omettendo il segno di moltiplicazione, si può scrivere: x(y z). In questo esercizio, le lettere x, y, z rappresentano dei numeri generici. Si può scrivere: x (y z) x y x z oppure, più semplicemente: x(y z) xy xz.. a(b c d) ab ac ad.. x(y z t) xy xz xt.. xy(z t) xyz xyt. 6. (a b)(c d) a(c d) b(c d) ac ad bc bd. 7. (x y)(z t) xy tx yz ty. 6. x ( x x ) x x x x x x ( a a ) a a a a a a a. 0. Data l espressione: ad bd, esprimerla sotto forma di prodotto. L espressione rappresenta una somma di due prodotti i quali hanno un fattore comune d. Si può scrivere allora: ad bd d(a b). Il prodotto ottenuto è formato dai due fattori: d e a b. Sottolineando i fattori, si può scrivere meglio: ad bd d(a b ). Inizialmente, conviene fare sottolineare i fattori di un prodotto per verificare se gli studenti sono consapevoli di ciò che si sta facendo. Ciò sarà di grande utilità in seguito per il calcolo del m.c.m. e per semplificare le frazioni algebriche.

12 . bc bd be b (c d e ). fattore: b; fattore: c d e.. 6a b c (a b 6c). fattore: ; fattore: a b 6c.. a b (a b ). fattore: ; fattore: a b.. ab ac a (b c). fattore: ; fattore: a; fattore: b c.. a a 6 a 7 a ( a a ). fattore: a ; fattore: a a. 6. a b 6ab 9a b ab(a b b a ). fattore: ; fattore: a; fattore: b; fattore: a b b a. 7. Calcolare il valore dell espressione A xy xz per x, y, z 6. Si ha: A xy xz 6 6. Le frazioni (A: ) ) Cos è una frazione? Dicesi frazione un insieme di unità frazionarie. ) Cos è una unità frazionaria? Dicesi unità frazionaria ciascuna delle parti uguali in cui può essere decomposta una unità intera. Se un oggetto viene suddiviso in quattro parti uguali, si dice che esso è frazionato in quattro parti uguali e ciò si esprime scrivendo il simbolo. Quindi, i simboli:,,, indicano rispettivamente che una unità 7 intera è stata decomposta rispettivamente in sette parti uguali fra loro, in tre parti uguali fra loro, in dodici parti uguali fra loro. Se un oggetto viene decomposto in cinque unità frazionarie e di queste vengono prese in considerazione tre, si scrive:.. Il simbolo Si ha, cioè: rappresenta una frazione. Il numero si chiama NUMERATORE e il numero si chiama DENOMINATORE della frazione. Il denominatore di una frazione indica in quante parti uguali (o unità frazionarie) è decomposta una unità intera; il numeratore di una frazione indica quante unità frazionarie sono prese in considerazione. Ad esempio, la frazione 7 è formata di unità frazionarie ciascuna delle quali è rappresentata da. Si ha, cioè: Quindi, si può scrivere: ;

13 ; ; ; 6 ; ; ; ;... Qualunque frazione col numeratore uguale al denominatore rappresenta una unità intera. Si ha, cioè: ; 7 7 ; ; ;... ; ; 9 Una frazione col numeratore multiplo del denominatore rappresenta un numero intero. Ad esempio, si ha:. 6 Difatti: 6 ;. 0 Difatti: 0 ; ; 0 ; 0 ; 0 00 ; Proprietà invariantiva delle frazioni Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente alla data. Data la frazione, b a con b 0, moltiplicando o dividendo entrambi i termini della frazione per il numero k 0, si ha: ; k b k a b a. k b k a b a ; 6 ; ;

14 I simboli:, stessa cosa., 6,, 6 6, si equivalgono, ossia esprimono la Ciò significa allora che, applicando la suddetta proprietà, una frazione può essere espressa in quanti modi si vogliano. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono primi fra loro, ossia se i suoi termini hanno come divisore comune soltanto il numero. Per ridurre una frazione ai minimi termini, basta dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore, applicando la proprietà invariantiva delle frazioni. Ridurre ai minimi termini le frazioni: ; ; Numeri razionali Una frazione ridotta ai minimi termini si dice anche IRRIDUCIBILE. L insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione rappresenta un concetto nuovo che viene denominato NUMERO RAZIONALE. DEFINIZIONE: Dicesi numero razionale la classe (o insieme) delle frazioni equivalenti a una data frazione. Somma di due frazioni Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per tutti i numeri naturali, si ottengono tutte le frazioni equivalenti alla data, il cui insieme costituisce una classe di equivalenza, la quale può essere rappresentata da una qualunque delle frazioni equivalenti considerate. Generalmente si sceglie come frazione rappresentativa di una classe di frazioni equivalenti quella irriducibile. Per indicare la classe delle frazioni equivalenti alla frazione, si scrive:,,,,, Il simbolo rappresenta una frazione; il simbolo rappresenta l insieme di tutte le frazioni equivalenti alla frazione. Si dice che è un numero razionale. La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che ha per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore lo stesso denominatore. 0 ESEMPI. ; ; ;

15 Confronto di frazioni Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni, è sempre possibile trasformare due o più frazioni allo stesso denominatore. Quindi, ad esempio, si ha: ; Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, la maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. Ad esempio, si ha: 6 > ; > ; La proprietà invariantiva delle frazioni permette di confrontare due frazioni qualunque. Confrontare le seguenti coppie di frazioni: ) e. Il denominatore comune potrebbe essere il minimo 0 comune multiplo dei denominatori, il quale è 60. Si ha, così:,. Quindi, > a > Prodotto di due frazioni Frazioni a termini frazionari. Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Ad esempio, si ha: 6 0 ; ; Data la frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per, minimo comune multiplo dei denominatori delle quattro frazioni che costituiscono i termini della frazione data, si ha: ; ; 6 ;

16 Frazioni decimali. (A: ) 0 ; 0 0 Esercizi di questo genere devono essere proposti moltissimi, in modo che l alunno sia preparato a gestire adeguatamente calcoli più complessi che si presenteranno, ad esempio, nelle derivate di funzioni irrazionali. In tali circostanze, quasi sempre gli alunni arrancano malamente. In genere, gli esercizi proposti prima vengono risolti eseguendo le operazioni al numeratore e al denominatore e successivamente si moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore. Invece è meglio insistere sull applicazione della proprietà invariantiva delle frazioni. Negli anni successivi, dovranno essere risolti esercizi del tipo: ) I termini della frazione sono stati moltiplicati per. y 0 7 ) 6 y y a a. x x 6 x I termini della prima frazione sono stati moltiplicati per e quelli della seconda per. x x x x x ). x ( x ) x ( x ) x ( x ) ( x ) x x x x )... ( x ) x( x ) Così operando, l alunno acquisterà maggiore consapevolezza dell importanza della proprietà invariantiva delle frazioni. Una frazione irriducibile si dice decimale se il denominatore è una potenza di 0. Sono decimali, ad esempio, le frazioni: 7,,, Una frazione irriducibile può essere trasformata in una frazione decimale se il denominatore ha come fattori potenze di o di. ESEMPI. 7 ) )

17 ) ) 7 7 La frazione data non è decimale perché il denominatore contiene il fattore che non è presente nelle potenze di 0. Numeri espressi come potenze di 0. (A:.) Moltiplicazione e divisione di un numero per una potenza di 0. Ogni numero può essere espresso con una espressione contenente potenze di 0. Si ha, ad esempio: Sia data l espressione: Come si vede, nell espressione sono presenti potenze di 0 e del suo reciproco. 0 Per semplicità, si possono omettere le suddette potenze considerando soltanto le cifre che le precedono e scrivendo: 7,. Le cifre prima della virgola sono i numeri che precedono le potenze di 0, quelle che seguono la virgola, invece, sono i numeri che precedono le potenze di. 0 Si dice che 7, rappresenta un NUMERO DECIMALE. Le cifre a destra della virgola si dicono CIFRE DECIMALI. Consideriamo le seguenti frazioni: , , ,7; 6, ; ,067. 7

18 ,76 6,7 0 6,7; ,007. Numeri decimali finiti e numeri decimali periodici (A: 7.) Come si vede, dividere per una potenza di 0 significa spostare la virgola verso sinistra di un certo numero di posti espresso dall esponente del 0. Ovviamente, per moltiplicare un numero per una potenza di 0 si sposta la virgola verso destra e in mancanza di cifre si mettono degli zeri.,76 00, ,., , Difatti: 0, Una frazione decimale o ad essa riconducibile è rappresentativa di un numero decimale formato da un numero finito di cifre decimali. In altri termini, se il denominatore di una frazione irriducibile contiene come fattori primi soltanto i numeri e, eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore, l operazione a un certo punto ha fine, pervenendo così a un numero decimale finito. Ad esempio, si ha: ,7;,; ,;,6; DEFINIZIONE Un numero decimale si dice finito se è formato da un numero finito di cifre decimali. Frazioni generatrici (A: 7.) Se il denominatore di una frazione irriducibile contiene come fattori primi anche numeri diversi da e da, l operazione di divisione tra numeratore e denominatore non ha mai fine e si perviene così a un numero formato da infinite cifre decimali. Poiché un insieme di queste cifre decimali finirà col riprodursi indefinitamente, si dirà che la frazione considerata è rappresentativa di un numero decimale ILLIMITATO PERIODICO. Ad esempio, si ha: 7 7 7, ,6;,...,; ,7 ; ,

19 Dagli esempi considerati si deduce la REGOLA La frazione generatrice di un numero decimale finito ha per numeratore il numero senza la virgola e per denominatore l unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali ,97 ;,9 ;,7 ; Sia dato ora il numero decimale illimitato periodico:,. Procedendo come prima, si ha:,, In questo caso, però, il procedimento seguito prima risulta inefficace perché si tratta di calcolare una somma di infiniti addendi. Il problema allora dev essere affrontato in modo diverso. Innanzitutto si fa vedere come un numero decimale possa essere espresso in modo diverso, separandone la parte intera da quella decimale. Si può scrivere, cioè:,7 0,7;,7 0,7;, 0,; In secondo luogo, vengono enunciate alcune proprietà delle uguaglianze. (0.) Un espressione del tipo a b viene denominata UGUAGLIANZA. Il termine che precede il segno di uguaglianza e quello che segue si chiamano rispettivamente PRIMO e SECONDO MEMBRO dell uguaglianza. ) Se i termini di una uguaglianza vengono moltiplicati per uno stesso numero, l uguaglianza si conserva. Ad esempio, data l uguaglianza: a b, moltiplicando entrambi i termini per un numero k, si ha: ka kb. ) Se ai termini di una uguaglianza viene sommato o sottratto uno stesso numero, l uguaglianza si conserva. Ad esempio, data l uguaglianza: a b, sommando o sottraendo a entrambi i membri lo stesso numero k, si ha: a k b k, a k b k. Nell esercizio proposto prima, si può scrivere:,. 0,. () Posto 0, a () e moltiplicando entrambi i membri dell uguaglianza per 0, si ha: 0, 0 0a, 0a 0, 0a Per la (), si può scrivere: a 0a. Sottraendo a da entrambi i membri, si ha: a a 0a a 9a. Poiché a è un fattore di un prodotto, si può scrivere: a. 9 9

20 Quindi 0, a. 7 Sostituendo nella (), si ha:,. 0,.. Trovare la frazione generatrice del numero,7. Si ha:,7 0,07. () 0 Posto 0,07 a, moltiplicando entrambi per 0, si ha: 0,7 0a. () Moltiplicando entrambi i membri per 0, si ha: 7,7 00a. Separando la parte intera da quella decimale, si può scrivere: 7 0,7 00a. Tenuto conto della (), si può scrivere: 7 0a 00a. 7 Sottraendo 0a da entrambi i membri, si ha: 7 90a a Si ha, così: 0,07 a. 90 Sostituendo nella (), si ha: 7 9,7 0, Operazioni inverse della potenza (A: 7. 7.) Tenuto conto degli esempi svolti, si ha:, ;, ; , Comunque, per trovare la frazione generatrice si applica la regola riportata in A: ESEMPI, ; , Come si è visto, l addizione e la moltiplicazione, essendo commutative, ammettono un unica operazione inversa: la sottrazione e la divisione, rispettivamente. Si ha, infatti: a c a a b c b c a c a b ab c c b a b 0 a 0 0

21 Poiché la potenza non è commutativa, essa ammette due operazioni inverse: ESTRAZIONE DI RADICE e LOGARITMO. n n a b a b n ogab Si legge: a uguale alla radice n-esima (o di indice n) del numero b. n uguale al logaritmo di b in base a. L operazione di estrazione di radice permette di determinare la base della potenza, noti l esponente e il valore della potenza. L operazione di logaritmo permette di determinare l esponente di una potenza, noti la base e il valore della potenza. La potenza ammette due operazioni inverse non essendo commutativa. Difatti, si ha: n a n a. Applicazioni RETTANGOLO (C:.7) b h TRIANGOLO (C:.,.9) h b QUADRATO (C:.6) Aree delle figure geometriche piane L area del rettangolo è uguale al prodotto delle misure della base e dell altezza. In simboli, si scrive: S b h o più semplicemente S bh, dove: b misura della base; h misura dell altezza; S area della superficie. Se per il calcolo dell area, dati base e altezza, bisogna eseguire una moltiplicazione, viceversa, per determinare la base, note l area l altezza, si deve eseguire la divisione. Si ha, cioè: S S S b h a b, h. h b Indicando con p la lunghezza del perimetro, si ha: p h p b p ( b h) a b, h. L area di un triangolo è uguale al semiprodotto delle misure della base e dell altezza ad essa relativa. bh In simboli, si ha: S. Moltiplicando entrambi i membri dell uguaglianza per, si ha: S bh. Le formule inverse sono:, S S b h. h b L area di un quadrato è uguale al quadrato della misura del lato oppure è uguale alla metà del quadrato della misura della diagonale.

22 d l ROMBO (C:.0) A B D Indicando con l la misura del lato del quadrato e con d la misura della diagonale, in simboli, si ha: S l a l S. d S S d a d S. p l l p L area del rombo è uguale al semiprodotto delle diagonali oppure è uguale al prodotto della misura di un lato per la misura dell altezza ad esso relativa. AC BD S H In simboli, si ha: S a AC, BD S BD AC C S S S BC AH a BC, AH AH BC p AB a AB p. PARALLELOGRAMMA (C:.) TRAPEZIO (C:.) TRIANGOLO EQUILATERO (C:.) AREA DI UN POLIGONO CIRCOSCRITTO A UNA CIRCONFERENZA (C:.) AREA DI UN POLIGONO REGOLARE (C:.) LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA (C:..) LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA (C:..) AREA DEL CERCHIO (C:..) AREA DEL SETTORE CIRCOLARE (C:..) TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE (C:.6) LATO DI UN TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO E CIRCOSCRITTO A UNA CIRCONFERENZA LATO DI UN QUADRATO INSCRITTO E CIRCOSCRITTO A UNA CIRCONFERENZA LATO DI UN ESAGONO REGOLARE INSCRITTO E CIRCOSCRITTO A UNA CIRCONFERENZA RAPPORTI E PROPORZIONI. (C:.7) (C:.7) (C:.7) (A: 7.) (A:7.).

23 APPLICAZIONI DI ARITMETICA E GEOMETRIA (A: ) TEOREMA DI PITAGORA (C:.) In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. B Ciò vuol dire che l area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree costruiti sui cateti. In simboli, si può scrivere: AB AC BC. () A C SUGGERIMENTO UTILE. E di notevole efficacia didattica mettere in risalto il fatto che il teorema di Pitagora esprime una relazione (un legame) tra i lati di un triangolo rettangolo. Ciò significa che, essendo noti due dei tre elementi della relazione scritta prima, è possibile determinarne il terzo. Questa osservazione sarà di grande utilità nel momento in cui saranno affrontati i problemi con le equazioni. Tenendo presente l operazione di addizione, si può scrivere: BC AB AC, AC BC AB, AB BC AC. Poiché una delle operazioni inverse della potenza al quadrato è la radice quadrato, le relazioni precedenti possono essere messe sotto la forma:, BC AB AC AC BC AB, AB BC AC. E molto importante che l applicazione del teorema di Pitagora sia sempre preceduta dalla dichiarazione: Essendo ABC un triangolo rettangolo, per il teorema di Pitagora, si ha: M Ad esempio, sia da risolvere il problema: In un triangolo rettangolo l ipotenusa e uno dei cateti misurano rispettivamentecm e cm. Determinare la lunghezza del perimetro e l area della superficie del triangolo. MN DATI : PM cm cm P N (Bisogna fare osservare che per determinare la lunghezza del perimetro è necessario conoscere le misure dei tre lati del triangolo. Poiché del triangolo rettangolo dato sono note le misure di due dei suoi lati, la misura del terzo lato può essere determinata applicando il teorema di Pitagora). Si dovrebbe procedere come appresso indicato: Essendo MNP un triangolo rettangolo, per il teorema di Pitagora (o per la relazione pitagorica), si ha: PN MN MP 9 cm. p PM MN PN 9 6cm. S PN PM 9 cm.

24 ELEMENTI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO (A:.7,..) B AB e AC CATETI (I cateti di un triangolo rettangolo sono i lati dell angolo retto). BC IPOTENUSA (L ipotenusa di un triangolo rettangolo è il lato che si oppone all angolo retto). A H C AH HB HC ALTEZZA RELATIVA ALL IPOTENUSA BC. PROIEZIONE ORTOGONALE DEL CATETO AB SULL IPOTENUSA BC. PROIEZIONE ORTOGONALE DEL CATETO AC SULL IPOTENUSA BC. PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE (C:., 6.) B H In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. In simboli, si scrive: BC AB AB HB BC AC AC HC. Come si vede, il primo teorema di Euclide esprime una relazione fra l IPOTENUSA, uno dei CATETI e la PROIEZIONE di tale cateto sull ipotenusa di un triangolo rettangolo. Noti due di tali elementi, è possibile determinare il terzo. Dalla prima proporzione, si ha: A C AB AB BC, HB, AB BC HB. HB BC SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE (C:., 6.) In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Riferendosi alla figura precedente, si può scrivere: HB AH AH HC. Il secondo teorema di Euclide esprime una relazione fra l altezza relativa all ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Noti due di tali elementi, è possibile determinare il terzo. Per le applicazioni vedere gli esempi VI e VII di C: 6.7 e i problemi del capitolo A: a partire dal numero. Per un ripasso sistematico e completo del programma di geometria piana della Scuola Media vedere A:.

25 Quozienti approssimati (A: 7.) ) Eseguire la seguente divisione: 7. Ricordando la definizione dell operazione di divisione: a b c c b a, il problema consiste allora nel determinare quel numero che moltiplicato per dia come risultato il numero 7. PRIMA FASE. Si considerano i prodotti dei numeri naturali per il numero, confrontandoli col numero 7. Si ha: 0 0 < 7, < 7, < 7, < 7, 6 < 7, 0 > 7. Si può scrivere: < 7 <. Poiché la differenza, si dice che: è il quoziente approssimato per difetto a meno di ; è il quoziente approssimato per eccesso a meno di. Assumendo i numeri o come quoziente della divisione proposta, si commette un errore che è minore del numero. SECONDA FASE. Se si vuole rimpicciolire l errore, allora si considerano i prodotti dei seguenti numeri decimali.,0;,;,;,;,;,;,6;,7;,;,9 per il numero confrontandoli col numero 7.,0 6 < 7;, 6, < 7;, 6, < 7;, 7, > 7. Si può scrivere:, < 7 <,. Poiché la differenza,, 0,, si dice che: 0, è il quoziente approssimato per difetto a meno di ; 0, è il quoziente approssimato per eccesso a meno di. 0 Assumendo i numeri, o, come quoziente della divisione proposta, si commette un errore che è minore del numero. 0

26 TERZA FASE. Si considerano ora i prodotti dei seguenti numeri decimali,0;,;,;,;,;,;,6;,7;,;,9 per il numero confrontandoli col numero 7.,0 6, < 7,, 6, < 7,, 6, < 7,, 6,9 < 7,, 6,96 < 7,, 7. Si ha: 7,. Si dice che il numero decimale finito, è il quoziente esatto della divisione proposta. Si può scrivere anche: 7, ) Eseguire la divisione: Procedendo come nel caso precedente, si ha: < 0, < 0, 99 9 < 0, > 0. Si ha: < 0 99 <. quoziente approssimato per difetto a meno di ; quoziente approssimato per eccesso a meno di., < 0,, 99 07,9 < 0,, 99 7, < 0,, 99 7,7 < 0,, 99 7,6 > 0. Si ha:, < 0 99 <,., quoziente approssimato per difetto a meno di ; 0, quoziente approssimato per eccesso a meno di. 0,0 99 7,7 < 0,, 99,69 < 0,, 99 9,6 < 0,, 99 0,67 > 0. Si ha:, < 0 99 <,., quoziente approssimato per difetto a meno di ; 00, quoziente approssimato per eccesso a meno di. 00 6

27 ,0 99 9,6 < 0,, 99 9,7 < 0,, 99 9, < 0,, 99 9,9 < 0,, 99 0,076 > 0. Si ha:, < 0 99 <,., quoziente approssimato per difetto a meno di ; 000, quoziente approssimato per eccesso a meno di. 000, 99 9,9 < 0,, 99 9,9 < 0,, 99 9,9 < 0,, 99 0,006 > 0. Si ha:, < 0 99 <,., quoziente approssimato per difetto a meno di ; 0000, quoziente approssimato per eccesso a meno di Così continuando, si perviene a un numero decimale illimitato periodico. Si ha, cioè: 0 99,,. Si può dire: Il quoziente di due numeri interi può essere un numero decimale finito oppure un numero decimale illimitato periodico. Poiché è lecito scrivere:,00000,0;,,0000,0, si può dire che il quoziente di due numeri interi è uguale a un numero decimale illimitato periodico. Quindi, tutte le frazioni numeriche, escluse quelle con denominatore zero, sono rappresentative di numeri decimali illimitati periodici. Viceversa, ogni numero decimale illimitato periodico è rappresentativo di una frazione numerica. Convenendo di chiamare RAZIONALI tutti i numeri frazionari, ossia esprimibili mediante frazioni, si può dire: Sono RAZIONALI tutti i numeri frazionari; Suggerimento utile Sono FRAZIONARI tutti i numeri interi, i numeri decimali finiti e i numeri decimali illimitati periodici. Questo argomento dev essere affrontato con calma e con molta determinazione al fine di chiarire fino in fondo il concetto di numero razionale. Per i calcoli abituare gli studenti a servirsi in modo corretto di 7

28 una calcolatrice tascabile. Dopo l esecuzione guidata di alcuni esercizi, proporre di svolgere individualmente o in piccoli gruppi proporre, ad esempio: ) determinare il quoziente approssimato a meno di un tra i numeri 7 e ; ) determinare il quoziente approssimato a meno di un 0 tra i numeri 7 e 0; ) determinare il quoziente approssimato a meno di un tra i numeri 00 Numeri decimali illimitati non periodici. (A: 7.) e 9. Eseguire i seguenti esercizi: 9 ; ;. Nel primo esercizio si richiede la radice quadrata del quadrato di un numero, nel Secondo la radice cubica del cubo di un numero e nel terzo la radice quinta di un numero potenza di. Si vuole calcolare ora la radice quadrata del numero, ossia di un numero non appartenente all insieme dei quadrati dei numeri naturali. Si considerino i quadrati dei numeri naturali confrontali col numero. Si ha: 0 0 <, <, <, 9 <, 6 >. Poiché il numero è compreso fra i quadrati di e di, si può scrivere: < <. Avendosi, si dice che: è la radice quadrata di approssimata per difetto a meno di ; è la radice quadrata di approssimata per eccesso a meno di. Si considerino ora i quadrati dei seguenti numeri decimali: Si ha:,0;,;,,,;,;,;,6;,7;,;,9.,0 9 < ;, 9,6 < ;, 0, < ;, 0,9 < ;,,6 < ;,, < ;,6,96 < ;,7,69 >. Poiché il numero è compreso fra i quadrati di,6 e di,7, si può scrivere:,6 < <,7.

29 Avendosi,7,6 0,, si dice che: 0,6 è la radice quadrata di approssimata per difetto a meno di ; 0,7 è la radice quadrata di approssimata per eccesso a meno. 0 Si considerino ora i quadrati dei seguenti numeri decimali:,60,,6,,6,,6,,6,,6,,66,,67,,6,,69. Si ha:,60,96 < ;,6,0 >. Poiché il numero è compreso fra i quadrati di,60 e di,6, si può scrivere:,60 < <,6. Avendosi,6,60 0,0, si dice che: 00,60 è la radice quadrata di approssimata per difetto a meno di ; 00,6 è la radice quadrata di approssimata per eccesso a meno di. 00 Si considerino ora i quadrati dei seguenti numeri decimali:,600;,60;,60;,60;,60;,60;,606;,607;,60;,609. Si ha:,600,96 < ;,60,9... < ;,60,606,60,9... < ;,60,9... < ;,9... < ;,60,9... < ;,00... >. Poiché il numero è compreso fra i quadrati di,60 e di,606, si può scrivere:,60 < <,606. Avendosi,606,60 0,00, si dice che: 000,60 è la radice quadrata di approssimata per difetto a meno di ; 000,606 è la radice quadrata di approssimata per eccesso a meno di. 000 Così continuando, si perverrà a un numero decimale illimitato e non periodico. Ciò significa che tale risultato non potrà essere espresso sotto forma di frazione. Si dice allora che il simbolo rappresenta un 9

30 Panoramica del campo numerico (A: 7.) numero non razionale, ossia esso è un numero IRRAZIONALE. Quanto affermato, al momento opportuno potrà essere dimostrato in modo rigoroso. Per il momento è importante che l alunno sappia che esistono i numeri naturali (o interi), i numeri decimali finiti, i numeri decimali illimitati periodici e i numeri decimali illimitati non periodici. I numeri interi, i numeri decimali finiti e i numeri decimali illimitati periodici costituiscono l insieme dei NUMERI RAZIONALI, che sono indicati dal simbolo Q. L unione dell insieme dei numeri razionali e dell insieme dei numeri irrazionali costituisce l insieme dei NUMERI REALI. Nel paragrafo indicato è presentato un modo abbastanza semplice e coinvolgente l argomento riguardante l ampliamento del campo numerico. Si fa vedere l importanza dell insieme dei numeri: relativi per rendere sempre possibile l operazione di sottrazione; razionali per rendere sempre possibile l operazione di divisione. E importante mettere in risalto quanto segue: a, b N, c N a b c. a, b N, c N a b c. In linguaggio ordinario, si può dire: la somma di due numeri naturali esiste sempre ed è un numero naturale; il prodotto di due numeri naturali esiste sempre ed è un numero naturale. Ciò significa che l insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione. Indicando con Z l insieme dei numeri interi relativi, si ha: a, b Z, c Z a b c. a, b Z, c Z a b c. a, b Z, c Z a b c. In linguaggio ordinario, si può dire: la somma di due numeri interi relativi esiste sempre ed è un numero intero relativo; la differenza di due numeri interi relativi esiste sempre ed è un numero intero relativo; il prodotto di due numeri interi relativi esiste sempre ed è un numero intero relativo. Si dice che l insieme Z dei numeri interi relativi è chiuso rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione. Indicando con Q l insieme dei numeri razionali, si ha: 0

31 a, b Q, c Q a b c. a, b Q, c Q a b c. a, b Q, c Q a b c. a, b Q, b 0, c Q a b c. In linguaggio ordinario, si può dire: la somma di due numeri razionali esiste sempre ed è un numero razionale; la differenza di due numeri razionali esiste sempre ed è un numero razionale; il prodotto di due numeri razionali esiste sempre ed è un numero razionale; il quoto di due numeri razionali, il secondo dei quali diverso da zero, esiste sempre ed è un numero razionale. Nell insieme dei numeri razionali si possono eseguire sempre le quattro operazioni elementari dell aritmetica ad eccezione della divisione nel caso in cui il divisore sia il numero zero. Indicando con R l insieme dei numeri reali, si ha: a, b R, c R a b c. a, b R, c R a - b c. a, b R, c R a b c. a, b R, b 0, c R a b c. a R, a 0, c R a c. In linguaggio ordinario, si può dire: Un cenno sui numeri complessi. la somma di due numeri reali esiste sempre ed è un numero reale; la differenza di due numeri reali esiste sempre ed è un numero reale; il prodotto di due numeri reali esiste sempre ed è un numero reale; il quoto di due numeri reali, il secondo dei quali diverso da zero, esiste sempre ed è un numero reale; la radice quadrata di un numero reale non negativo esiste sempre ed è un numero reale. Per completezza, conviene accennare all insieme dei numeri complessi, i quali sono introdotti per rendere sempre possibile l estrazione di radice quadrata di qualsiasi numero reale positivo e negativo. non esiste nell insieme dei numeri reali. Si può scrivere: R. Posto i, per la definizione di estrazione di radice quadrata di un

32 numero, si ha: i. Numeri relativi A:0, Il simbolo i è denominato UNITA IMMAGINARIA. Il simbolo è denominato UNITA REALE. Si ha, così: i. Un numero complesso è formato da una parte reale e da una parte immaginaria. Ad esempio, il simbolo 7 i rappresenta un ente chiamato NUMERO COMPLESSO. Il numero è formata da 7 unità reali e da unità immaginarie. Eseguire i seguenti esercizi: 7 -; - -; 7 -;. Un numero relativo a si dice maggiore di un altro numero relativo b se esiste un numero positivo c che sommato con dia come risultato a. In simboli, si scrive: a > b se a b c, dove a e b sono numeri relativi e c è un numero relativo positivo. Ad esempio, il numero è maggiore del numero perché si ha: 7.

33 DOMANDE. Ogni numero naturale ha il suo successivo. VERO o FALSO?. Ogni numero naturale ha il suo precedente. VERO o FALSO?. Ogni numero naturale è il successivo di un altro. VERO o FALSO?. Quando si dice che un numero naturale a è maggiore di un altro numero naturale b?. Esprimere in forma simbolica la proposizione: il numero naturale a è maggiore del numero naturale b. 6. Esprimere in forma simbolica la proposizione: il numero naturale a è minore del numero naturale b. 7. Esprimere in forma simbolica la proposizione: il numero naturale a è uguale al numero naturale b.. Esprimere in forma simbolica la proposizione: il numero naturale a non è maggiore del numero naturale b. 9. Esprimere in forma simbolica la proposizione: il numero naturale a non è minore del numero naturale b. 0. La somma di due numeri naturali qualsiasi è un numero naturale. VERO o FALSO?. La differenza di due numeri naturali qualsiasi è un numero naturale. VERO o FALSO?. Il prodotto di due numeri naturali qualsiasi è un numero naturale. VERO o FALSO?. Il quoto di due numeri naturali qualsiasi è un numero naturale. VERO o FALSO?. L addizione è l operazione mediante la quale si determina la somma di due numeri. VERO o FALSO?. L elemento neutro dell addizione è il numero 0. VERO o FALSO? 6. L elemento neutro della moltiplicazione è il numero. VERO o FALSO? 7. Cos è la moltiplicazione?. Quali sono le proprietà dell addizione? E quali quelli della moltiplicazione? 9. La sottrazione ha elemento neutro? SI o NO? 0. La divisione ha elemento neutro? SI o NO?. Il numero 0 è elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione. Cosa significa ciò?. Enunciare le legge di annullamento di un prodotto.. Cos è una potenza?. Di quanti termini è formata una potenza?. Cosa indica l esponente di una potenza?