x Interpolazione polinomiale, la matrice di Vandermonde

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1 4.. INTERPOLAZIONE 4. Interpolzione Il problem generle è quello di determinre un espressione nlitic o grfic per un funzione fx) di cui si conoscono un numero finito di punti del grfico x i, y i ). Quindi si cerc un funzione fx) tle che fx 0 ) = y 0 ; fx ) = y ; ; fx n ) = y n Si vuole che l fx) si fcilmente clcolbile e che soddisfi le n + eguglinze o precismente o pprossimtivmente o modellndosi su di esse secondo un concetto che vedremo più vnti. Il problem si pone di solito in uno di questi due csi I dti sono ottenuti sperimentlmente, per cui fx) è d costruire. x 0 y 0 x y x y x n y n L fx) è not ed è possibile clcolrl nche in ltri punti, m non è fcilmente clcolbile per esempio è l soluzione di un equzione differenzile) o l su espressione è comunque ssi compless. Come detto, le tecniche sono sostnzilmente tre: l interpolzione, l pprossimzione e l modellzione. Ognun di esse h precchie vrinti che possono condurre risultti diversi. Cerchimo di dre per or un definizione intuitiv, che poi pprofondiremo, delle tre tecniche. Interpolre signific determinre un funzione che soddisfi precismente i dti. Approssimre signific determinre un funzione che non soddisfi precismente i dti, m se ne discosti il meno possibile. Modellre signific grosso modo determinre un funzione che nel modo più dolce si inserisc nell poligonle dei dti. Nel disegno sotto gli stessi dti interpolti, pprossimti e modellti con qulche tecnic. x 0 x x x x 4 x n x 0 x x x x x 4 x n x 0 x x x 4 x n 4.. Interpolzione polinomile, l mtrice di Vndermonde L prim ide è quell di determinre un polinomio P x) = 0 + x + x + + n x n di grdo minore o ugule n. Il polinomio si dirà polinomio interpoltore dei dti. Introducendo i dti si ottiene: P x 0 ) = y x 0 + x n x n 0 = y 0 P x n ) = y n 0 + x n + x n + + n x n n = y n Questo è un sistem linere n+) n+) nelle incognite 0,..., n l cui mtrice dei coefficienti è dett mtrice di Vndermonde dell successione x 0,..., x n. Quest mtrice h determinnte diverso d zero se gli x i sono distinti; pertnto in tl cso esiste un unico polinomio di grdo minore o ugule n che soddisf i dti non è detto che bbi grdo esttmente n perché non è detto che si bbi n 0). Risolvere il sistem linere non è però conveniente dl punto di vist clcoltivo, si per l mole dei conti, si perché l mtrice di Vndermonde è prticolrmente sensibile gli errori d rrotondmento vendo un numero di condizionmento elevto. mn i n

2 4 Esempio 4.: Determinre l prbol y = +bx+cx pssnte per tre punti x 0, y 0 ), x, y ), x, y ) x i distinti). Si h il sistem linere in, b, c: y 0 = + bx 0 + cx 0 y = + bx + cx y = + bx + cx l cui mtrice dei coefficienti è l mtrice di Vndermonde x 0 x 0 x x x x Risolvendo il sistem si può trovre il polinomio. Questo è il metodo più elementre, m non certmente il migliore. Osservimo che per x 0 =, x =, x = l mtrice di Vndermonde h già numero di condizionmento circ Interpolzione polinomile, il polinomio di Lgrnge Esiste un semplicissim formul dovut Lgrnge per determinre il polinomio in questione: P x) = y 0 x x )x x ) x x n ) x 0 x )x 0 x ) x 0 x n ) + x x 0 )x x ) x x n ) +y x x 0 )x x ) x x n ) + + y x x 0 ) x x n ) n x n x 0 ) x n x n ) È evidente che il polinomio h grdo non superiore n ed è pure evidente il ftto che esso soddisf i dti. L formul di Lgrnge, benché elegnte ed elementre, non è in generle di uso prtico. Il polinomio non è inftti scritto in un form che si presti un semplice lgoritmizzzione tipo schem di Ruffini-Hörner per clcolre il polinomio in un punto diverso dgli x i. 4.. Interpolzione polinomile, il polinomio di Newton Esiste un ltr formul, dovut Newton, per determinre il polinomio in modo lgoritmico ed è l seguente: P x) = b 0 + b x x 0 ) + b x x 0 )x x ) + + b n x x 0 )x x ) x x n ) Prim di spiegre come si clcolno i coefficienti b i, osservimo che, dopo verli determinti, è fcile clcolre P x) in qulunque punto senz sviluppre l formul, in modo simile llo schem di Ruffini-Hörner: ) P x) = b 0 + x x 0 ) b + b x x ) + + b n x x ) x x n ) P x) = b 0 + x x 0 ) b + x x ) b + + b n x x ) x x n )) ) etc. Per qunto rigurd i coefficienti b i, un conto non difficile, m lborioso, mostr che essi si possono determinre ricorsivmente nel modo seguente: b 0 = fx 0 ) b = fx ) fx 0 ) x x 0 b = f[x, x ] f[x, x 0 ] x x 0 b n = f[x n, x n,..., x ] f[x n,..., x 0 ] x n x 0 def = f[x 0 ] def = f[x, x 0 ] def = f[x, x, x 0 ] def = f[x n, x n,..., x 0 ] mn i n

3 4.. INTERPOLAZIONE 5 I b i si clcolno quindi in modo lgoritmico medinte un procedimento detto clcolo lle differenze finite. Ci limitimo l cso in cui gli x i formino un progressione ritmetic di rgione costnte d cioè: x 0 x = x 0 + d x = x + d x n = x n + d In questo cso si possono clcolre i b i usndo lo schem y 0 = y 0) 0 y y 0 = y ) 0 y y ) y y y = y ) y ) 0 = y ) 0 y y = y ) y ) y ) = y ) y n y n y n = y ) n y n e, come si verific subito, si h: y n ) y n ) b 0 = y 0) 0 ; b = y) 0! d ; b = y) 0! d ;... ; b n = yn) 0 n! d n 0 = y n) 0 Esempio 4.: Determinimo il polinomio P x) di grdo minore o ugule tle che: P ) = P.5) = P ) = 4 P.5) = In questo cso d = 0.5. Lo schem delle differenze finite unitrie è: = 4 4 = = 4= 5 5 = = 5 Si h pertnto Il polinomio è quindi: b 0 = ; b =!0.5) = 4 ; b =!0.5) = ; b = 5!0.5) = 0/ P x) = + 4x ) x )x.5) 0 x )x.5)x ) Se l successione non è psso costnte, lo schem delle differenze finite subisce un semplice modific che non riportimo in quest sede Il resto nell interpolzione di Newton È evidente l nlogi tr l formul di interpolzione di Newton e l not formul di Tylor. In effetti, come il polinomio di Tylor pprossim un funzione con un polinomio vente stesso vlore e stesse derivte in un punto x 0, il polinomio di Newton pprossim un funzione con un polinomio che ssume nei punti x i gli stessi vlori dell funzione. In nlogi ll formul del resto di Lgrnge per il polinomio di Tylor, si h: Proposizione Si fx) un funzione continu nell intervllo [, b], ivi dott di derivte continue fino ll ordine n +. Se = x 0 < x < < x n = b è un suddivisione dell intervllo e Px) è il polinomio di Newton che interpol fx) nei punti x i nel senso che P x i ) = fx i ) per ogni i), llor, per ogni x [, b] esiste un punto ξ nell intervllo [, b] tle che: fx) = P x) + f n+) ξ) n + )! x x 0) x x n ) mn i n

4 Interpolzione spline L interpolzione polinomile può non essere conveniente per vri motivi. Il primo è che per un lung serie di dti il polinomio risult di grdo troppo lto, il secondo è che l interpolzione non sempre è soddisfcente. Un modo spesso più efficiente e perciò mggiormente diffuso per interpolre un serie di dti consiste nell usre un funzione definit pezzi i cui pezzi sino polinomi di grdo bsso. Quest interpolzione si dice spline dl nome inglese delle bcchette di legno flessibile uste per l interpolzione meccnic di un serie di dti). Si bbi l solit serie di dti d interpolre: Descriveremo tre tipi di interpolzione spline. fx 0 ) = y 0,..., fx n ) = y n con x 0 < < x n Interpolzione spline linere L più semplice interpolzione spline è quell medinte funzioni lineri. Si può scrivere per ogni i i n) l equzione dell rett pssnte per i due punti x i, y i ) x i, y i ). L funzione così definit pezzi sugli intervlli [x i, x i ] è evidentemente continu in [x 0, x n ] e soddisf le condizioni dte. Interpolzione spline qudrtic x 0 x x x x 4 x n Scrivimo per ogni i i n) le prbole e cioè le funzioni del tipo y = i + b i x + c i x pssnti per i due punti x i, y i ) x i, y i ). Ne esistono per ogni i, quindi n dei n coefficienti sono rbitrri. Si può pprofittre di questo ftto per imporre che le derivte prime delle prbole coincidno nei punti x,... x n e quindi l funzione si dott di derivt prim. Queste sono n condizioni su n prmetri. Rest pertnto un scelt rbitrri ed è uso imporre che l prbol dell intervllo [x 0, x ] degeneri in un rett. Si h pertnto un funzione definit pezzi sugli intervlli [x i, x i ] che è evidentemente continu e derivbile in [x 0, x n ] e soddisf i dti. L spline qudrtic non è molto ust perché spesso fornisce un risultto sltellnte e quindi poco soddisfcente. Interpolzione spline cubic x 0 x x x x 4 x n L più ust delle interpolzioni spline è quell con funzioni polinomili di grdo tre in qunto consente un clcolo semplice e un pprossimzione più che soddisfcente. Inoltre si riesce fre in modo che l funzione si di clsse C. Si scrivono per ogni i i n) le prbole cubiche e cioè le funzioni del tipo y = i + b i x + c i x + d i x pssnti per i due punti x i, y i ) x i, y i ). Ne esistono per ogni i i =,..., n), quindi n dei 4n coefficienti sono rbitrri. Imponendo che si le derivte prime che quelle seconde coincidno nei punti x,... x n si hnno ltre n condizioni lineri; rimngono ncor due scelte rbitrrie ed è uso imporre che l prim e l ultim prbol cubic bbino un flesso rispettivmente in x 0 e in x n spline nturle). A volte si dnno due condizioni sulle derivte prime in x 0 e in x n spline vincolt). Si h pertnto un funzione definit pezzi sugli intervlli [x i, x i ] che è evidentemente continu e derivbile due volte in [x 0, x n ] e soddisf i dti. Esiste un procedimento per clcolre in mnier reltivmente veloce l spline cubic cui ccenimo brevemente. mn i n

5 4.. INTERPOLAZIONE 7 L ide bse è quell di fre in modo che le incognite sino solo le derivte seconde delle prbole cubiche nei punti x,..., x n. Ponimo per semplicità di notzione: q = f x ),..., q n = f x n ) Scrivimo l derivt second dell prbol cubic f i x) che congiunge il punto x i, y i ) col punto x i, y i ). È un funzione linere che possimo scrivere così usndo l formul di Lgrnge) in modo d evidenzire i vlori che l derivt second stess ssume nei punti x i : x x i x x i i x) = q i + q i x i x i x i x i f Integrimo due volte rispetto x e scrivimo opportunmente le due costnti di integrzione h i e k i ottenendo così le f i x): f i x) = q i x x i ) 6x i x i ) + q ix x i ) 6x i x i ) + h ix i x) + k i x x i ) Le due costnti così scritte h i e k i si determinno imponendo che f i x i ) = y i e che f i x i ) = y i. Svolti i conti si ottiene: h i = y i q i x i x i ) x i x i 6 k i = y i q ix i x i ) x i x i 6 Rimngono d determinre tutti i q i. Imponendo che le derivte prime coincidno in tutti i punti x i i 0, n) si ottiene: yi+ y i x i x i )q i + x i+ x i )q i + x i+ x i )q i+ = 6 + y ) i y i x i+ x i x i x i Queste sono n relzioni lineri tr i q i. Dto che q 0 = q n = 0, le incognite sono n e l mtrice delle n relzioni lineri è tridigonle, per cui l risoluzione del sistem è prticolrmente gevole. Inoltre l form delle singole f i x) è prticolrmente dtt l clcolo con uno schem tipo Ruffini-Hörner. Nel cso prticolrmente frequente in cui gli x i sino in progressione ritmetic di rgione d, il sistem nelle incognite q,..., q n è ssocito ll mtrice tridigonle simmetric 4d d y 0 y + y )/d d 4d d y y + y )/d 0 d 4d d 0 0 6y y + y 4 )/d d 4d 6y n y n + y n )/d Il sistem è digonlmente dominnte per cui per l su soluzione può essere usto per esempio il metodo di Guss-Seidel. L spline cubic è in un certo senso l miglior funzione di clsse C che interpoli i dti. Più precismente: Proposizione Si fx) funzione regolre nell intervllo [, b] con = x 0, b = x n, tle che fx i ) = y i llor l quntità b g x)) dx è minim qulor gx) si l spline cubic nturle. Esempio 4.: Un esempio di costruzione di interpolzioni polinomili con splines o ltro comporterebbe solo un serie di lunghi clcoli e non srebbe di iuto ll comprensione dei metodi esposti. Ci ccontentimo perciò di fornire un grfico elborto l clcoltore che illustr vrie mn i n

6 8 interpolzioni polinomili dell serie di dti sotto. Nel grfico sono disegnti con vri tipo di trtto: Lo spline linere che interpol i dti. Lo spline qudrtico che interpol i dti il primo trtto coincide con quello linere) Lo spline cubico che interpol i dti. Il polinomio di Newton quindi di grdo 4) che interpol i dti. Il polinomio di grdo che pprossim i dti i minimi qudrti vedi prgrfo successivo). 4 x y Approssimzione i minimi qudrti Invece di trovre un polinomio di grdo n che interpoli n + dti, se ne può trovre uno di grdo inferiore che non pssi esttmente per i punti dti, m se ne discosti per poco nel senso dei minimi qudrti. Più precismente non si pretende che il polinomio P x) di grdo d n soddisfi precismente le eguglinze P x 0 ) = y 0 ; P x ) = y ; ; P x n ) = y n, m ci si ccontent che l quntità ) ) ) P x 0 ) y 0 + P x ) y + + P x n ) y n si l minim possibile. Si dimostr che esiste unico un polinomio di grdo d < n con quest proprietà ed è detto polinomio che pprossim i dti i minimi qudrti. Questo modo di pprossimre i dti è usto soprttutto qundo i dti sono frutto di osservzioni sperimentli e quindi soggetti probbile errore. Prticolrmente noto è il cso in cui il polinomio h grdo, quindi si h l pprossimzione linere i minimi qudrti. Ci srebbe molto d dire, m ci ccontentimo di riportre l tecnic più semplice per trovrlo nche se non è l più numericmente stbile). Come nel cso di Vndermonde si cerc un polinomio P x) = 0 + x + x + + d x d di grdo minore o ugule d. Introducendo i dti si ottiene: P x 0 ) = y x 0 + x d x d 0 = y 0 P x n ) = y n 0 + x n + x n + + d x d n = y n Osservimo che quest volt l mtrice dei coefficienti A, dto che d n, è un mtrice rettngolre con più righe che colonne e che quindi il sistem Ax = b è un sistem con più equzioni che incognite mn i n

7 4.. CURVE DI BÉZIER E B-SPLINE 9 e quindi qusi sicurmente senz soluzioni. L soluzione i minimi qudrti è però l unic soluzione del sistem qudrto con mtrice invertibile A T Ax = A T b dove l mtrice A T A è un mtrice d d simmetric. Se il polinomio cercto è di grdo, l mtrice è e in questo cso l rett è l fmos regressione linere spesso ust in sttistic. 4. Curve di Bézier e B-spline 4.. Polinomi di Bézier Se invece di interpolre o pprossimre i dti, voglimo modellre un curv sui dti, costruimo un curv di Bézier. Grosso modo modellre signific determinre un curv dolce che si inserisc nell poligonle, dett poligono di controllo che interpol i punti dti. Polinomio qudrtico di Bézier Sino x 0, x, x tre numeri equidistnti. Esiste un e un sol prbol fx) = x + bx + c, tle che fx 0 ) = x 0 fx ) = x e tngente ll rett x 0, y 0 ) x, y ) in x 0, y 0 ) e ll rett x, y ) x, y ) in x, y ). In reltà sembr strno che esist un prbol che soddisfi 4 condizioni, perché i coefficienti sono solo tre, m ciò è dovuto l ftto che x è il punto medio tr x 0 e x. In csi prticolri l prbol può degenerre in un rett. x 0 x x Polinomio cubico di Bézier Sino x 0, x, x, x quttro numeri equidistnti. Esiste un e un sol funzione cubic fx) = x + bx + cx + d, tle che fx 0 ) = x 0 fx ) = x e si tngente ll rett x 0, y 0 ) x, y ) in x 0, y 0 ) e ll rett x, y ) x, y ) in x, y ). L cubic è unic perché i coefficienti sono quttro di fronte quttro condizioni indipendenti e potrebbe nche vere un flesso o degenerre in un prbol qudrtic o in un rett. x 0 x x x Allo stesso modo si potrebbero costruire i polinomi di Bézier di grdo n che pssno per n + punti equidistnti nche se non è fcile dre un interpretzione geometric delle proprietà di queste curve. x 0 x x x L costruzione dei polinomi di Bézier viene di solito effettut medinte un delle due tecniche seguenti: quell nlitic i polinomi di Bernstein) o quell grfic l lgoritmo di de Cstelju). 4.. Polinomi di Bézier costruiti medinte polinomi di Bernstein Si [, b] un intervllo dell rett rele e si n. Definimo i polinomi di Bernstein di grdo n nell intervllo [, b]: Definizione: Gli n + polinomi di Bernstein di grdo n nell intervllo [, b] sono ) n b x) n i x ) i B i x) = i b ) n i = 0,,..., n I polinomi di Bernstein di grdo n dipendono dll intervllo [, b] dto che: B ) = e B i ) = 0 per i > 0 B i b) = 0 per i < n e B n b) = mn i n

8 0 Essi costituiscono un bse per lo spzio polinomi di grdo n, nel senso che ogni ltro polinomio di grdo minore o ugule n si può scrivere in modo unico come loro combinzione linere. Prticolrmente interessnti sono i polinomi di Bernstein dell intervllo [0, ], nche perché gli ltri si ottengono diltndo questi ll intervllo [, b]. I polinomi di Bernstein di grdo e di grdo in [0, ] sono Grdo : B 0 x) = x) B x) = x)x B x) = x B 0 B B Grdo : B 0 x) = x) B x) = x) x B x) = x)x B x) = x B 0 B B B Osservimo che B 0 x) + B x) + B x) vle per ogni x) nel cso qudrtico. Anlogmente B 0 x) + B x) + B x) + B x) nel cso cubico. Il polinomio di Bézier di grdo n generto di punti x 0, y 0 ), x, y ),..., x n, y n ) sempre x i equidistnti) si può ottenere come combinzione linere dei polinomi di Bernstein nell intervllo [, b] = [x 0, x n ] coefficienti y 0, y,..., y n Bezx) = y 0 B 0 x) + + y n B n x) 4.. Polinomi di Bézier costruiti medinte lgoritmo di de Cstelju L lgoritmo di de Cstelju permette di costruire qunti punti si vuole del polinomio di Bézier con un semplice procedimento grfico. Comincimo col cso qudrtico Si dividono i lti del poligono di controllo in prti uguli o comunque omologhe) e si uniscono i punti omologhi con dei segmenti. Su ciscuno di questi segmenti viene operto lo stesso tipo di divisione e si considerno i punti reltivi reltivi ll divisione ftt il primo punto sul primo segmento, il secondo sul secondo segmento etc.). Questi punti sono tutti situti sul polinomio qudrtico di Bézier che quindi può essere costruito per punti. Esempio 4.4: I due segmenti sono stti divisi in 4 prti uguli. I punti sono stti chimti,,. I segmenti,, sono stti divisi in 4 prti, m sul segmento è stto considerto solo il primo punto, sul segmento è stto considerto solo il secondo punto, sul segmento è stto considerto solo il terzo punto. I 5 punti così trovti si ggiungono i due estremi) pprtengono l polinomio di Bézier. Proseguimo col cso cubico x 0 x x Si dividono i lti del poligono di controllo in prti uguli o comunque omologhe) e si uniscono i punti omologhi con dei segmenti. Su ciscuno di questi segmenti viene operto lo stesso tipo di divisione e si considerno i punti reltivi reltivi ll divisione ftt il primo punto sul primo segmento, il secondo sul secondo segmento etc.). Si uniscono ncor i punti omologhi con dei segmenti. Su ciscuno di questi nuovi segmenti viene operto lo stesso tipo di divisione e si considerno i punti reltivi reltivi ll divisione ftt il primo punto sul primo segmento, il secondo sul secondo sgmento etc.). Questi punti sono tutti situti sul polinomio cubico di Bézier che quindi può essere costruito per punti. Quindi c è un pssggio in più rispetto l cso qudrtico. mn i n

9 4.. CURVE DI BÉZIER E B-SPLINE Esempio 4.5: I tre segmenti sono stti divisi in 4 prti uguli. I punti sono stti chimti,,. I 6 segmenti,,,,, sono stti divisi in 4 prti, m su ciscuno dei due segmenti è stto considerto solo il primo punto e bbimo i due punti di nome. Su ciscuno dei due segmenti è stto considerto solo il secondo punto e bbimo i due punti di nome '. Su ciscuno dei due segmenti è stto considerto solo il terzo punto e bbimo i due punti di nome. A questo punto considerimo il secondo disegno identico l primo, m dove, per chirezz, sono stti eliminti i segmenti etc. I segmenti,, sono stti divisi in 4 prti, m sul segmento è stto considerto solo il primo punto, sul segmento è stto considerto solo il secondo punto, sul ' segmento è stto considerto solo il terzo punto. I 5 punti così trovti si ggiungono i due estremi) pprtengono l polinomio di Bézier. x 0 x x ' ' x 0 x x x ' ' ' ' ' ' ' ' x 4..4 Le curve di Bézier Svincolimoci or dll ipotesi che x 0, x,... x n sino equidistnti. Esiste egulmente un curv di Bézier che modell i punti, m non si può pretendere ch si un semplice funzione polinomile y = 0 + x + + n x n. Occorre llor lvorre bidimensionlmente ed esprimere l curv in form prmetric. Si può supporre che le funzioni xt) e yt) sino definite nell intervllo [0, ] e si vuole che ssumno in 0 e in i vlori x 0, x n e y 0, y n rispettivmente. A questo punto non è più nenche necessrio che gli x i sino ordinti né distinti, bst che sino distinti i punti x i, y i ). Quindi l curv di Bézier, per esempio cubic, vente come poligono di controllo x 0, y 0 ), x, y ), x, y ), x, y ) h come rppresentzione prmetric esplicit { xt) = x0 B 0 t) + x B t) + x B t) + x B t) yt) = y 0 B 0 t) + y B t) + y B t) + y B t) dove i B i t) sono i polinomi di Bernstein cubici nell intervllo [0, ]. Anche l lgoritmo di de Cstelju funzion perfettmente nel cso generle senz sostnzili vrizioni. y y y y 0 x 0 x x { x = xt) y = yt) Alcuni esempi di curve di Bézier cubiche con il loro poligono di controllo; l qurt è ddiritur nodt, cos che può cpitre se il poligono è intreccito, del resto nche l terz è nodt, nche se il nodo cde esternmente ll porzione utile. x mn i n

10 Quest generlizzzione permette nche di costruire curve di Bézier nello spzio. Si dovrà ggiungere un terz funzione zt), m tutto funzion esttmente come nel cso plnre. Si teng presente che, mentre un curv di Bézier qudrtic è sempre un rco di prbol e perciò un curv pin gicente nel pino dei tre punti del poligono di controllo, un curv di Bézier cubic può essere un curv sghemb e quindi dott di ver torsione tridimensionle se i quttro punti del poligono di controllo non sono complnri. P 0 P P P 4..5 Le curve B-spline Se i punti d modellre sono tnti non conviene costruire un curv di Bézier di grdo elevto, m è meglio costruire diverse curve di Bézier di ordine bsso è il più usto) e rccordrle insieme nel modo migliore possibile. Queste sono le curve B-spline. L teori è ssi vst; ci limitimo i due csi più semplici, le B-spline qudrtiche uniformi e non uniformi e le B-spline cubiche uniformi e non, vvertendo che nche sulle curve non uniformi si possono fre vrizioni di rilievo rispetto ll semplice trttzione che segue. Le B-spline qudrtiche L cos più complict è cpire qule uso fre dei dti inizili, perché l B-spline modell un serie di punti, senz necessrimente pssre per essi, m rddolcendo il loro ndmento. Nel cso più elementre è ssegnto un numero pri di punti distinti o meglio tli che tre consecutivi sino distinti) che costituiscono il cosiddetto poligono di de Boor P 0, P, P,..., P n, P n Mncno tutti i punti P i con i pri, trnne i due estremi. Costruiremo un B-spline in cui ogni pezzo è un curv qudrtic di Bézier con poligono di controllo P i, P i+, P i+ il centrle h indice dispri). Occorrerà indicre un criterio per costruire i punti di indice pri. Cso uniforme Nel cso più semplice porremo: P = P + P P 4 = P + P 5 P n = P n + P n e costruiremo semplicemente le curve di Bézier con poligono di controllo P i, P i+, P i+ medinte i polinomi di Bernstein o l lgoritmo di de Cstelju, vvertendo che si possono costruire delle funzioni che sono pezzi polinomi di Bèzier e che quindi prmetrizzno tutt l B-spline. L B-spline così costruit è dett B-spline qudrtic uniforme. L ggettivo uniforme si riferisce l ftto che i punti mncnti sono presi come punti medi dei segmenti. L B-spline è continu e di clsse C per costruzione. Osservimo che l B-spline qudrtic h un controllo semi-locle dei punti diversmente dlle spline qudrtiche introdotte nel prgrfo sull interpolzione, nel senso che cmbindo uno dei P i cmbino solo due pezzi di Bèzier dell curv e non l inter curv. P P 5 P P 4 P 6 P 0 P P 7 P n P n P n P n mn i n

11 4.. CURVE DI BÉZIER E B-SPLINE Cso non uniforme e successioni nodli Invece di prendere i punti medi si possono prendere ltri punti sui segmenti P P etc. più o meno distnti dgli estremi ed vere un curv più dtt certe esigenze. Si teng presente che quest libertà cmbi solo due curve di Bézier dell B-spline, mntiene quindi un controllo semi-locle su tutt l curv. Potremmo semplicemente dire qule punto prendimo su ogni segmento, m conviene introdurre le successioni nodli, perché più utili per il seguito e indispensbili per esempio nel cso delle B-spline cubiche. Dto che prtimo con n+ punti, l successione nodle è semplicemente un successione crescente di n numeri positivi t 0 < t < < t n. Definiremo quindi i punti P, P 4,... usndo l successione nodle. P = t t 0 )P + t t )P t t 0 P 4 = t t )P + t t )P 5 t t Notimo che se l successione nodle è psso costnte, per esempio 0 < < < <, si riottiene il cso uniforme. Ponendo i = t i t i per ogni i l definizione dei punti P i divent: etc. P = P + P + P 4 = P + P 5 + etc. Quindi l successione dei i fornisce l posizione dei P i di indice pri che si ottengono con un medi pest tr i punti del poligono originle che dipende dlle differenze dell successione nodle. Per vrire l B-spline bst quindi cmbire l successione nodle. L vrizione di un elemento dell sucessione nodle h effetto solo su tre curve di Bézier dell curv un o due se simo gli estremi). Come esempio riportimo l poligonle dell esempio precedente, m con l successione nodle < <.5 < 4 < Cmbindo il terzo elemento dell successione si vrino tre pezzi dell B-spline e l curv è più derente l punto P. P 0 P P P 5 P P 4 P 6 L successione dei è, /, /,..., quindi P è due terzi del segmento P P, dto che + = /, mentre P 4 è un qurto del segmento P P 5, dto che + =. Invece P 6 è tre quinti del segmento P 5 P 7, dto che + 4 = 5/, Quindi, l ver diminuito il terzo elemento dell successione nodle h vuto come effetto di vrire soprttutto il punto P 4 che segue P e un po come contrccolpo i punti P e P 6. Le B-spline cubiche Le B-spline qudrtiche dnno risultti bbstnz soddisfcenti e, grzie ll flessibilità dt dlle successioni nodli si dttno fcilmente molte esigenze. Ciononostnte, vengono uste molto più spesso le B-spline cubiche, si per un ulteriore flessibilità, si per il motivo che le prbole sono curve pine. Se si pretende che l curv si un curv nello spzio non necessrimente gicente su un pino, il rccordo tr curve pine nei punti di giunzione può risultre ssi brusco. Le cubiche invece sono curve che possono essere dotte di torsione e quindi svilupprsi con continuità nello spzio. Nell trttzione che segue, i punti sono indicti con P i, m non sono necessrimente nel pino e possono quindi vere un terz coordint z. Come dti inizili sono ssegnti i seguenti punti distinti o meglio tli che tre consecutivi sino distinti) che costituiscono il poligono di de Boor. P 7 mn i n

12 4 P 0, P, d, d..., d n, d n, P n, P n Ovvero mncno tutti i punti P i trnne i quttro estremi. Costruiremo un B-spline in cui ogni pezzo è un curv cubic di Bézier con poligono di controllo P i, P i+, P i+, P i+ il primo e il qurto sono multipli di ). I punti P i mncnti ndrnno scelti con cutel se si vuole fre in modo che l B-spline risultnte si di clsse C. Questo rende l costruzione più compless che nel cso qudrtico. Cso uniforme Nel cso più semplice porremo: P = d + P cso eccezionle ll estremo) P 4 = d + d si divide d d in tre prti e si prende il primo punto) P 5 = d + d si divide d d in tre prti e si prende il secondo punto) P = P 4 + P 5 i punti con i multiplo di sono punti medi dei punti precedente e seguente) In generle P i+ = d i + d i+ P i = d i + d i P i = P i + P i+. Costruiremo poi le curve di Bézier con poligono di controllo P i, P i+, P i+, P i+ medinte i polinomi di Bernstein o l lgoritmo di DeCstelju. L B-spline così costruit è dett B-spline cubic uniforme. L ggettivo uniforme si riferisce l ftto che i punti mncnti sono presi con suddivisioni uniformi dei segmenti considerti. L B-spline è continu e di clsse C per costruzione. Se i punti P i sono costruiti come sopr, si può verificre che è nche di clsse C. P 4 P 5 d d P P P 6 P 7 P 8 d P P 9 P 0 P 0 P P Cso non uniforme Invece di dividere i segmenti d i d i+ in tre prti e i sgmenti P i P i+ in due, si possono fre ltre scelte e ottenere un modellzione divers con un controllo semi-locle. Si teng però presente che scelte csuli possono fr sì che l B-spline risultnte non si più di clsse C e le curve non di clsse C, pur non vendo spigoli risultno spesso sgrdevoli per il ftto che il rggio di curvtur dell curv vri bruscmente nei punti di giunzione e, nel cso di curve spzili, cmbi di colpo il pino oscultore. In questo cso un successione nodle consente di effetture modifiche mntenendo l clsse C. L successione nodle è sempre un successione crescente di n numeri positivi t 0 < t < < t n. Definiremo quindi i punti P i+, P i, P i usndo l successione nodle. Nel dettglio: mn i n

13 4.. CURVE DI BÉZIER E B-SPLINE 5 P i+ = t i+ t i )d i + t i t i )d i+ t i+ t i Quindi P i+ è un medi pest tr d i e d i+ i cui pesi sono ssegnti d quest prte dell successione nodle. P i = t i+ t i )d i + t i t i )d i t i+ t i Quindi P i è un medi pest tr d i e d i+ i cui pesi sono ssegnti d quest prte dell successione nodle. t i!! t i t i!+! t i!+! t i!! t i!! t i t i!+! P i = t i+ t i )P i + t i t i )P i+ t i+ t i i Quindi P i è un medi pest tr P i e P i+ i cui pesi sono ssegnti d quest prte dell successione nodle. t i!! t i t i!+! Cmbindo l successione nodle si ottiene un B-spline modifict loclmente. L vrizione di un elemento dell sucessione nodle h effetto su quttro curve di Bézier dell curv meno se simo gli estremi). Come esempio riutilizzimo l poligonle dell esempio precedente, m con l successione nodle < <.5 < 4 < Vrire il terzo elemento dell successione h vrito quttro pezzi dell B-spline e i punti P, P,..., P 0 P 5 P P d d 4 P P P 6 P 7 P 8 d P 0 P 9 P 0 P P 4..6 Cenno sulle curve di Bézier rzionli Le B-spline cubiche così definite degenerno correttmente in rette o in prbole se i punti del poligono sono disposti in mnier prticolre, per esempio se sono llineti, m non possono mi rppresentre correttmente un rco di circonferenz o di ellisse per il semplice motivo che né circonferenze, né ellissi mmettono un prmetrizzzione medinte funzioni polinomili, mentre le prmetrizzzioni delle curve di Bézier sono polinomili essendo combinzione linere di polinomi di Bernstein. Quest è l rgione per cui spesso vengono utilizzte le curve B-spline rzionli che sono pezzi curve di Bézier rzionli. Accennimo brevemente queste ultime. Per definire un curv di Bézier rzionle di ordine n occorrono un poligono P 0, P,..., P n e un successione di numeri positivi w,... w n detti pesi. L curv h rppresentzione prmetric P t) = w 0P 0 B 0 t) + + w n P n B n x) w 0 B 0 t) + + w n B n x) dove i B i sono i polinomi di Bernstein di ordine n. Osservimo che, per le proprietà dei polinomi di Bernstein, il denomintore vle se tutti i pesi sono, per cui in questo cso si ottiene l solit curv di Bézier. Assegnndo opportunmente i pesi si riesce fre derire più o meno l curv i vertici del poligono ottenendo spesso risultti più flessibili di quelli delle curve di Bézier semplici e riuscendo per esempio descrivere rchi di coniche diversi dlle prbole nel cso di curve di Bézier qudrtiche. Senz entrre nei dettgli mostrimo due esempi. mn i n

14 6 Sul poligono P 0 P P sono stte costruite le curve di Bézier qudrtiche rzionli con pesi [ ] [ ] [ 4 ] rispettivmente. L prim è l più intern ed è l curv di Bézier normle quindi un prbol), l second è l medin ed è precismente un qurto di ellisse inserito nel poligono di controllo, l terz derisce l punto centrle del poligono di controllo ed è un porzione di iperbole. L curv con pesi [ ] coincide con quell di pesi [ ] nche se con divers prmetrizzzione. Sul poligono P 0 P P P sono stte costruite P le curve di Bézier cubiche rzionli con pesi [ ] [ ] [ 5 ] rispettivmente. L prim è l medin ed è l cubic di Bézier normle. L second è l più bss ed è un rco di ellisse, l terz derisce l secondo punto del poligono di controllo. P 0 5. Integrzione ed equzioni differenzili P 0 P È un cpitolo ssi vsto dell nlisi numeric, nche perché le equzioni differenzili sono uno strumento essenzile in moltissime questioni. Ci limitimo i csi più semplici illustrndo tecniche che comunque sono bbstnz ntiche, nche se il loro studio h ricevuto enorme impulso con l vvento del clcolo utomtico. Il problem è che di rro è possibile risolvere le equzioni differenzili in modo estto e quindi i metodi numerici sono qusi sempre indispensbili. 5.. Richimi sugli integrli Il più semplice problem differenzile è il seguente: Dt un funzione ft) definit in un punto t 0 e in un suo intorno destro, sinistro o comprendente t 0 ), e un numero y 0, determinre un funzione yt) definit in un intervllo comprendente il numero t 0 tle che y = ft) yt 0 ) = y 0 L funzione yt) è dett primitiv di ft). Come è ben noto, il teorem fondmentle del clcolo integrle fornisce l soluzione del problem: Proposizione Se ft) è integrbile in un intorno di t 0, llor t yt) = y 0 + ft)dt t 0 Il problem è quindi quello di clcolre l integrle. Se l primitiv yt) è ricvbile medinte le note tecniche di integrzione indefinit, llor l proposizione fornisce semplicemente l not formul t t 0 ft)dt = yt) yt 0 ) È noto che in molti csi yt) non è clcolbile elementrmente. In ltri csi lo è, m l su espressione è comunque compless, per cui ci proponimo di ricvre degli lgoritmi numerici per il clcolo dell integrle definito. 5.. Integrzione numeric: formule di Newton-Cotes Voglimo clcolre numericmente l integrle definito b ft)dt dove ft) è un funzione continu nell intervllo [, b] m bsterebbe continu trtti e limitt). P P P mn i n

15 5.. INTEGRAZIONE ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI 7 L ide bse è sempre quell di sostituire ft) con un polinomio di grdo n pssnte per n + punti dell intervllo [, b] e quindi di usre l primitiv del polinomio che è clcolbile elementrmente, vvertendo che, in genere, non è necessrio esplicitre il polinomio per clcolre l re sottes. A second del grdo usto e del criterio di scelt dei punti si possono vere numerosissimi metodi di integrzione numeric. Se tr gli n + punti ci sono gli estremi si prl di metodo chiuso. Se gli n + punti sono scelti dividendo l intervllo in prti uguli, le formule ricvte sono dette formule di qudrtur di Newton-Cotes. Ci limiteremo quest ultimo cso ed esmineremo in dettglio i csi n = 0,,. Metodo del rettngolo o di Cuchy) n = 0) Il polinomio h grdo 0 è cioè un costnte, quindi v scelto un solo punto dell intervllo, per esempio il punto. Quindi ft) è sostituit dll funzione costnte y = f) e notorimente b f)dt = f)b ) re del rettngolo). Benché il metodo si grossolno e bnle, vedremo poi l su controprte nel cso di un equzione differenzile qulunque. Osservimo solo che, se invece di scegliere il punto si sceglie il punto medio dell intervllo + b)/, si ottiene un formul ssi simile ll successiv e in molti csi più precis. Metodo del trpezio o di Bézout) n = ) Il polinomio h grdo e h come grfico un rett, quindi vnno scelti due punti dell intervllo che, nel cso chiuso di Newton-Cotes sono i due punti, b. Quindi ft) è sostituit dll funzione che rppresent l rett pssnte per i punti, f)) e b, fb)). L integrle di quest funzione f) + fb) è l re del trpezio in figur che vle b ) Metodo di Cvlieri-Simpson n = ) Il polinomio h grdo e h come grfico un prbol, quindi vnno scelti tre punti dell intervllo, che, nel cso chiuso di Newton-Cotes sono, +b, b. Quindi ft) è sostituit dll funzione che rppresent l prbol pt) pssnte per tre punti. Un conto non difficile nche se lborioso b mostr che pt)dt = b ) ) + b f) + 4f + fb) 6 che è l clssic formul di Cvlieri-Simpson. Accennimo un semplice costruzione dell formul di Cvlieri-Simpson: l re sottes dll prbol è l differenz o l somm se l prbol h concvità verso il bsso) dell re f) + fb) del trpezio b ) e dell re del settore prbolico che come è noto è )) f) + fb) + b b ) f. D qui con un semplice clcolo l formul. f f)!+!fb) È possibile ricvre formule nloghe per n > e per ltre scelte dei punti per i quli pss il polinomio, m normlmente non ci si spinge oltre il grdo due. Rilevimo solo che in diversi csi metodi perti e con scelt non uniforme dei punti possono essere più convenienti dei metodi chiusi tipo Newton-Cotes. +b +b +b +b b b b b mn i n

16 8 5.. Metodi generli di Cuchy, Bézout, Cvlieri-Simpson Non essendo convenienti le formule di Newton-Cotes per n >, l prssi usule consiste nel suddividere l intervllo [, b] in tnti sottointervlli in ciscuno dei quli viene pplicto uno dei tre metodi esposti, tenendo presente che, se = x 0, x,..., x n = b è un suddivisione dell intervllo, si h b ft)dt = x x 0 ft)dt + x x ft)dt + + xn x n ft)dt Supponimo che l divisione dell intervllo si uniforme e ponimo h = x i+ x i. Nei tre metodi citti Cuchy, Bézout, Cvlieri-Simpson) le formule diventno: n = 0 Medinte il primo metodo, come integrle di ft) si ottiene proprio l integrle definito medinte l definizione originle di Cuchy, cioè, come somm delle ree di plurirettngoli. b ft)dt n n fx i ) x i+ x i ) = h fx i ) i=0 i=0 Nell definizione di integrle più spesso ust, quell di Riemnn, il punto in cui si clcol f non è il primo punto di ogni intervllo, m un qulunque punto ξ i interno ll intervllo [x i, x i+ ]. n = Medinte il metodo dei trpezi, l integrle pprossimto di ft) si ottiene come somm delle ree di trpezi. In prtic si integr lo spline linere di ft). b n fx i ) + fx i+ ) ft)dt x i+ x i ) = = h i=0 ) fx 0 ) + fx ) + + fx n ) + fx n ) n = Medinte il metodo di Cvlieri-Simpson l integrle pprossimto di ft) si ottiene come somm delle ree sottese d prbole. L funzione formt d prbole è continu, m non è lo spline qudrtico dell funzione nei punti x i, si perché vengono utilizzti nche i punti medi, si perché non è detto si dott di derivt prim. b ft)dt h = h 6 n i=0 6 fx 0 ) + 4f fx i ) + 4f x0 + x xi + x i+ ) + fx ) + 4f ) ) + fx i+ ) = x + x 5..4 L errore nelle formule di integrzione numeric ) ) + + fx n ) + fx n ) Nturlmente è importnte spere qunto il vlore clcolto con le formule nimeriche si discosti dl vero vlore dell integrle. È possibile dre un vlutzione dell errore commesso solo nel cso in cui l funzione ft) presenti un cert regolrità. Senz ddentrrci nei prticolri, ci limitimo fornire le vlutzioni per le formule di Bèzout e Cvlieri-Simpson. mn i n

17 5.. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 9 L errore nelle formule di Bèzout Nel cso semplice, cioè di un solo trpezio nell intervllo [, b], si dimostr che: Se ft) è dott di derivt second continu, esiste un punto ξ dell intervllo, b) tle che l errore è in modulo ugule b ) f ξ) Nel cso generle di suddivisione dell intervllo in sottointervlli di mpiezz h, esiste un punto ξ dell intervllo, b) tle che l errore è in modulo ugule b ) h f ξ) Quindi è possibile mggiorre l errore se è possibile mggiorre l derivt second di ft) nell intervllo, b) e si può render piccolo qunto si vuole l errore diminuendo l mpiezz h dei sottointervlli. L errore tende zero l tendere zero di h con ordine di infinitesimo pri. L errore nelle formule di Cvlieri-Simpson Nel cso semplice, cioè di un sol prbol nell intervllo [, b], si dimostr che: Se ft) è dott di derivt qurt continu, esiste un punto ξ dell intervllo, b) tle che l errore è in modulo ugule b ) f IV ) ξ) Nel cso generle di suddivisione dell intervllo in sottointervlli di mpiezz h, esiste un punto ξ dell intervllo, b) tle che l errore è in modulo ugule b ) h 4 f IV ) ξ) 80 È quindi possibile mggiorre l errore se è possibile mggiorre l derivt qurt di ft) nell intervllo, b) e si può render piccolo qunto si vuole l errore diminuendo l mpiezz h dei sottointervlli. L errore tende zero l tendere zero di h con ordine di infinitesimo pri 4. Un osservzione: lcuni testi dnno formule di Cvlieri-Simpson e mggiorzioni differenti, m solo perché considerno come mpiezz h, non quell degli intervlli [x i x i+ ], m l loro metà, visto che l funzione v clcolt nche nei punti medi. 5. Equzioni differenzili 5.. Richimi sul problem di Cuchy Il clssico problem differenzile di Cuchy si può enuncire così: Determinre un funzione yt) definit in un intervllo comprendente il numero t 0 tle che y = ft, y) yt 0 ) = y 0 L differenz col problem dell integrzione st nel ftto che f è un funzione di due vribili e dipende nche dll funzione y, nziché solo d t. Esistono vrie condizioni sufficienti sull funzione ft, y) che ssicurno l esistenz e unicità di un soluzione del problem. Un delle più semplici è l seguente nche se in reltà spesso bstno condizioni ssi meno restrittive). Proposizione 4 Se ft, y) è continu in un dominio rettngolre D = {[t, t b ] [y, y b ]} con t 0 t, t b ) e y 0 y, y b ) e inoltre nche l funzione f/ y esiste ed è continu e quindi limitt in D, llor yt) esiste ed è unic in un intorno di t 0. Se f è un funzione elementre, in lcuni csi specili esistono vrie tecniche vribili seprbili etc.) per determinre esplicitmente yt). Ci occuperemo invece del cso in cui y non si determinbile esplicitmente o comunque l su espressione si compless. In questi csi l soluzione v clcolt in modo pprossimto medinte tecniche numeriche. mn i n

18 40 Osservimo innnzitutto che il problem di Cuchy y = ft, y) senz l condizione inizile su yt 0 ), se h soluzione, ne h in generle infinite che costituiscono un fmigli di funzioni pssnti per ognun delle coppie t i, y i ) di punti interni l dominio. L osservzione è fondmentle perché l soluzione r 0 che troveremo srà in qulche modo un medizione tr molte di queste soluzioni. y 0 Esiste un funzione yt) pssnte per t 0, y 0 ) e tle r y che ft 0, y 0 ) si il coefficiente ngolre dell rett r 0 r e nlogmente esiste un funzione yt) pssnte per t y, y ) e tle che ft, y ) si il coefficiente ngolre dell rett r e così pure per t 0, y ) 5.. Il metodo di Eulero Il metodo più semplice è quello di Eulero che è nche ll bse di metodi più rffinti. Si fiss un psso h che può nche essere negtivo) e quindi si considerno diversi punti prtire d t 0 : t 0 t = t 0 + h t = t + h... L equzione differenzile ci fornisce il coefficiente ngolre dell soluzione in t 0 che è y t 0 ) = ft 0, y 0 ). L ide è quindi di sostituire l soluzione yt) con l rett pssnte per t 0, y 0 ) di coefficiente ngolre ft 0, y 0 ) che chimimo m 0 e che h quindi equzione y = y 0 + m 0 t t 0 ) Questo nell intervllo t 0, t. Per spere come è ftt l funzione negli intervlli successivi clcolimo l funzione linere in t : y = yt ) = y 0 +m 0 t t 0 ), quindi nell intervllo [t, t ] considereremo un ltr rett, quell pssnte per t, y ) con coefficiente ngolre m = ft, y ). y y y 0 t 0 t t 0 coeff.!ngolre!m t t coeff.!ngolre!m 0 soluzione!con y!t )!=!y soluzione Si bdi che comunque il punto t, y ) in generle non pprtiene ll soluzione del problem originle, m l grfico di un ltr funzione dell fmigli dell equzione differenzile. Mn mno che l lgoritmo prosegue è possibile che ci si llontni sempre di più dll soluzione del problem originle. Osservimo che se il problem di Cuchy è semplicemente {y = ft) ; yt 0 ) = y 0 } l soluzione fornit dl metodo di Eulero è il metodo di Cuchy per gli integrli definiti con l suddivisione t 0, t, Il metodo di Eulero qudrtico Il metodo di Eulero consiste in prtic nel sostituire yt) l su linerizzzione, ovvero il suo sviluppo di Tylor rrestto l primo ordine in t 0 che è fornito direttmente dll funzione ft, y). D qui nsce l ide di sostituire yt) il suo sviluppo di Tylor rrestto un ordine superiore, per esempio due. Esplicitmente, se y t) = fy, t), llor, usndo note formule di derivzione delle funzioni composte, l su derivt second è esprimibile in funzione delle derivte przili di f ovvero si h y t) = df dt t, y 0) = f t + f y y = f t + f y f. Quindi l funzione qudrtic che rppresent il primo psso del metodo di Eulero qudrtico è y = y 0 + ft 0, y 0 )t t 0 ) + ) f t t 0, y 0 ) + f y t 0, y 0 ) ft 0, y 0 ) t t 0 ) mn i n

19 5.. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 4 Di qui è possibile ricvre per t = t il prossimo punto t, y ) d cui ricomincire l lgoritmo. In prtic comunque il metodo è scrsmente usto perché il clcolo delle derivte przili può portre formule ssi complesse e vengono preferiti metodi che fnno uso di rette come quelli esposti di seguito I metodi di Eulero generlizzti L ide bse dei metodi esposti qui di seguito è quell di sostituire l linerizzzione semplice di yt) con un funzione ugulmente linere che teng però già conto del comportmento dell funzione nei punti successivi t 0, cioè t ed eventuli ltri precedenti o successivi. In generle prtendo dll formul elementre di Eulero m y = y 0 + ft 0, y 0 )t t 0 ) si scelgono due numeri positivi c, c tli che c +c = e l formul viene così modifict ) y = y 0 + t t 0 ) c ft 0, y 0 ) + c ft, y ) y m y pendenz medit soluzione Quindi l funzione linere h un pendenz medit tr quell not in t 0 e quell clcolt in t dopo il primo psso del metodo di Eulero. Vri ccorgimenti suggeriscono i pesi c e c d usre. y 0 t 0 t m 5..5 Il metodo di Heun Si trtt del metodo di Eulero generlizzto in cui c = c = /. Quindi, come sopr ) ft0, y 0 ) + ft, y ) y = y 0 + ft 0, y 0 )t t 0 ) y = y 0 + t t 0 ) Quindi l lgoritmo procede con l coppi t, y ). Si noti che l pendenz dell rett è l medi delle due pendenze clcolte in t 0 e in t, m l nuov rett non è l bisettrice delle due. Osservimo ncor che se il problem di Cuchy è semplicemente {y = ft) ; yt 0 ) = y 0 } l soluzione fornit dl metodo di Heun è il metodo di Bézout per gli integrli definiti con l suddivisione t 0, t, Il metodo di Eulero modificto L formul di Eulero può essere ulteriormente generlizzt in questo modo y = y 0 + t t 0 ) c ft 0, y 0 ) + c f ) ) t 0 + h, y 0 + b h ft 0, y 0 ) con c + c = e c = / ; bc = /. Quindi si h un medi pest tr l pendenz clcolt in t 0 e quell clcolt in qulche punto compreso tr t 0 e t. I prmetri c, c,, b sono tutti d scegliere con vri criteri suggeriti dll esperienz. Il cosidetto metodo di Eulero modificto us l formul precedente semplicemente con c = 0 ; c = e = b = / y = y 0 + t t 0 )f t 0 + h, y 0 + h ) ft 0, y 0 ) Quindi per determinre l nuov coppi t, y ) si f uso del vlore di ft, y) clcolto nel punto medio tr t 0 e t. mn i n

20 Il metodo di Runge-Kutt Esistono diversi metodi detti di Runge-Kutt che fnno uso di vrie medie delle pendenze in t 0, t e in punti intermedi. Quello illustrto di seguito è il metodo clssico di Runge-Kutt di ordine 4. Si f uso del punto medio tr i primi due punti dell suddivisione t m = t 0 + t. Si inizi come nel metodo di Eulero con l rett pssnte per t 0, y 0 ) di coefficiente ngolre m 0 = ft 0, y 0 ). L rett è y = y 0 + m 0 t t 0 ). Si trov il punto y in cui l rett h sciss t m, ovvero m 0 y = y 0 + m 0 t m t 0 ). Si clcol il vlore di ft, y) nel punto t m, y), quindi si pone m = ft m, y). Si prosegue con l rett pssnte per t 0, y 0 ) quest volt di coefficiente ngolre m. L rett è y = y 0 + m t t 0 ). Si trov il punto y in cui l rett h sciss t m ovvero y = y 0 + m t m t 0 ). Si clcol il vlore di ft, y) nel punto t m, y) quindi si pone m = ft m, y). y y y m soluzione m Ancor un volt si consider l rett pssnte per t 0, y 0 ), m con coefficiente ngolre m, cioè l rett y = y 0 + m t t 0 ) Quest ultim volt si trov il punto y in cui l rett y 0 t 0 tm t h sciss t non t m ), ovvero y = y 0 + m t t 0 ). Si clcol il vlore di ft, y) nel punto t, y) quindi si pone m = ft, y). Si osservi che sono stti clcolti i numeri m i in quttro diverse funzioni dell fmigli di soluzioni dell equzione differenzile y = ft, y). Si definisce come primo psso del metodo di Runge-Kutt l rett di equzione y = y 0 + m 0 + m + m + m t t 0 ) 6 e il primo vlore dell soluzione pprossimt dell equzione differenzile srà y = y 0 + m 0 + m + m + m t t 0 ) 6 Dopodiché si clcolerà y in t llo stesso modo, usndo il punto intermedio tr t e t. Per terminre osservimo ncor che se il problem di Cuchy è semplicemente il problem integrle {y = ft) ; yt 0 ) = y 0 }, l soluzione fornit dl metodo di Runge-Kutt è il metodo di Cvlieri-Simpson per gli integrli definiti con l suddivisione t 0, t,..., di cui Runge-Kutt clssico può essere quindi considerto un generlizzzione. m m m mn i n