Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali

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1 a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 38

2 Definizione assiomatica di R Definizione L insieme dei numeri reali R è un campo ordinato che soddisfa la proprietà dell estremo superiore. Campo ordinato??? Estremo superiore??? Questi concetti sono stati introdotti nel corso di Matematica Discreta. Data l importanza che rivestono in questo corso, li rivediamo brevemente. 2 / 38

3 Operazioni in R Dire che R è un campo significa dire che in R sono definite le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione ( ) con le seguenti proprietà: a + b somma Proprietà commutativa: a, b addendi a + b = b + a, Proprietà associativa: a b = b a (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) Proprietà distributiva: a (b + c) = a b + a c a b prodotto a, b fattori Esistenza degli elementi neutri: esistono in R due numeri distinti 0 e 1 tali che a + 0 = a, a 1 = a (segue) 3 / 38

4 Esistenza degli inversi: per ogni numero reale a esiste un unico numero reale, che si denota con a e si chiama opposto di a, tale che a + ( a) = 0; per ogni numero reale a 0 esiste un unico numero reale, che si denota con a 1 e si chiama reciproco di a, tale che a a 1 = 1. Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse: la sottrazione si definisce per ogni a, b, ponendo a b := a + ( b); perché? la divisione si definisce per ogni a e per ogni b 0, ponendo a b := a b 1. (In particolare, 1 b = b 1.) 4 / 38

5 Ordinamento in R Dire che R è un campo ordinato significa dire che in R è definita una relazione d ordine totale, detta relazione di minore o uguale, con le seguenti proprietà: Compatibilità rispetto all addizione: per ogni a, b, c : a b = a + c b + c Compatibilità rispetto alla moltiplicazione: per ogni a, b, c : a b, 0 c = a c b c Ricordiamo che una relazione binaria R si dice relazione d ordine se soddisfa le proprietà riflessiva: a R a; transitiva: a R b, b R c = a R c ; antisimmetrica: a R b, b R a = a = b. Una relazione d ordine R è totale se per ogni a, b si ha a R b oppure b R a. Esempio di relazione d ordine non totale? 5 / 38

6 A partire da si definisce la relazione d ordine (maggiore o uguale), ponendo a b def b a Si definiscono anche < (minore) e > (maggiore): a < b a > b def a b a b def a b a b Sono relazioni d ordine? Terminologia Se a 0, diciamo che a è positivo; se a > 0, diciamo che a è strettamente positivo; se a 0, diciamo che a è negativo; se a < 0, diciamo che a è strettamente negativo. 6 / 38

7 Conseguenze delle proprietà relative alle operazioni e all ordinamento A partire dalle proprietà richiamate si possono dedurre in modo rigoroso le usuali regole di calcolo. Alcuni esempi: Regole di semplificazione: a + b = a + c = b = c a b = a c a 0 = b = c Regola di annullamento del prodotto: a b = 0 a = 0 oppure b = 0 Attenzione!!! Vale solo se il numero a secondo membro è 0 Regole dei segni: ( a) = a, ( a) b = (a b), ( a) ( b) = a b a b a b Per queste e altre regole vedere Regole di calcolo 7 / 38

8 Alcuni sottoinsiemi speciali di R Insieme dei numeri naturali N := {0, 1, 2, 3, 4,...} N := N \ {0} Insieme dei numeri interi (relativi) Z := {0, ±1, ±2, ±3, ±4,...} Z := Z \ {0} Insieme dei numeri razionali (classi di equivalenza... ) { m } Q := m Z, n Z, n 0 n Q := Q \ {0} Insieme dei numeri irrazionali R \ Q Osservazioni N Z Q N e Z non sono campi ordinati Q è un campo ordinato (come R) Come si distinguono gli elementi di Q da quelli di R \ Q? 8 / 38

9 Parentesi: rappresentazione decimale Un allineamento decimale è un espressione della forma ±c 0. c 1 c 2 c 3... ( ) dove c 0 è un numero naturale e c 1, c 2,... {0, 1, 2,..., 8, 9}. Un allineamento decimale si dice finito se nella sua rappresentazione decimale le cifre c 1, c 2,... diverse da 0 sono in numero finito. In questo caso, ( ) si interpreta come somma finita: ( ± c 0 + c c ) k 10 k, per un k N opportuno. In caso contrario, l allineamento decimale si dice infinito. Per interpretare correttamente ( ) è necessaria la nozione di serie numerica convergente, che si basa sulla nozione di limite. (Ne parleremo in seguito.) 9 / 38

10 Se esiste un blocco di cifre che si ripete, l allineamento decimale si dice periodico. Un allineamento decimale infinito con periodo 9 si identifica con un allineamento decimale finito. Per esempio: 4. 9 = 5, = Osservazioni Possiamo ottenere la rappresentazione decimale di un numero razionale eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. L allineamento decimale corrispondente a un numero razionale è necessariamente finito oppure infinito periodico. Perché? Vale anche il viceversa: a ogni allineamento decimale finito oppure infinito periodico corrisponde un numero razionale. (Decimale finito: immediato; infinito periodico: lo vedremo in seguito) I numeri irrazionali sono in corrispondenza biunivoca con gli allineamenti decimali infiniti non periodici. 10 / 38

11 Esempi di numeri irrazionali: si intuisce dall allineamento π = = si dimostra Osservazione È impossibile scrivere l allineamento decimale completo di un numero irrazionale; nella pratica si ricorre perciò all approssimazione con allineamenti decimali finiti, cioè con numeri razionali. Ciò va tenuto ben presente; per esempio, non è corretto scrivere π = 3.14; la scrittura corretta è π (fine della parentesi) Abbiamo già detto che Q è un campo ordinato, come R; a differenza di R, Q non soddisfa la proprietà dell estremo superiore. Che cos è? 11 / 38

12 La proprietà dell estremo superiore Sia X un qualunque insieme totalmente ordinato. Sia E un sottoinsieme non vuoto di X. Diciamo che E è limitato superiormente in X se esiste un maggiorante di E in X, cioè un β X tale che x β per ogni x E. Sia E limitato superiormente in X. Supponiamo che esista λ X, maggiorante di E, soddisfacente la seguente proprietà: se γ X e γ < λ, allora γ non è un maggiorante di E. Allora λ si chiama l estremo superiore di E in X e si denota con il simbolo sup E. Articolo determinativo? Diciamo che X soddisfa la proprietà dell estremo superiore se ogni sottoinsieme di X non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore in X. Esplicitare / 38

13 Abbiamo così dato significato a tutti i termini che compaiono nella definizione di R data all inizio, e che ricordiamo: R è un campo ordinato che soddisfa la proprietà dell estremo superiore. Nota: questa definizione è ben posta in quanto due campi ordinati soddisfacenti la proprietà dell estremo superiore sono identificabili. Osservazione Abbiamo già affermato che Q non soddisfa la proprietà dell estremo superiore. Ciò equivale a dire che esistono sottoinsiemi di Q, non vuoti e limitati superiormente, che non hanno estremo superiore in Q. Esempio: E = { q Q q > 0, q 2 < 2 } q 2 := q q Verifica: vedi Complementi 13 / 38

14 Alcune conseguenze della proprietà dell estremo superiore 1 Proprietà archimedea di R Per ogni x, y R, con x, y > 0, esiste n N tale che n x > y. Dimostrazione... 2 Proprietà di densità di Q in R Per ogni x, y R, con x < y, esiste q Q tale che x < q < y. Dimostrazione... Osservazione Dalla proprietà archimedea, con x = 1, segue che l insieme N non è limitato superiormente. 14 / 38

15 Estremo superiore e massimo Sia E R un insieme non vuoto limitato superiormente. La proprietà dell estremo superiore garantisce l esistenza del numero reale sup E che, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti di E. Se sup E appartiene a E, diciamo che sup E è il massimo di E e lo denotiamo con max E. Osservazioni sup E esiste sempre, mentre non è detto che max E esista; se esiste, max E coincide con sup E ; se esiste, max E è l unico maggiorante di E che appartiene a E. Esempi: determinare l estremo superiore degli insiemi { 1 } { n 1 } E := n N 2 n, F := n N, n + 1 stabilendo se è anche massimo. 15 / 38

16 Estremo inferiore e minimo Sia ora E R un insieme non vuoto limitato inferiormente, cioè tale che esista un minorante di E, cioè un α R tale che x α per ogni x E. Esiste allora il più grande dei minoranti di E, che si chiama estremo inferiore di E e si denota con inf E. Giustificare... Se inf E appartiene a E, diciamo che inf E è il minimo di E e lo denotiamo con min E. Osservazioni inf E esiste sempre, mentre non è detto che min E esista; se esiste, min E coincide con inf E ; se esiste, min E è l unico minorante di E che appartiene a E. 16 / 38

17 Insiemi limitati e insiemi illimitati Sia E R un insieme non vuoto. Se è limitato sia superiormente che inferiormente diciamo che E è limitato. Se E non è limitato superiormente, diciamo che è illimitato superiormente e scriviamo sup E = +. Si legge: più infinito Se E non è limitato inferiormente, diciamo che è illimitato inferiormente e scriviamo inf E =. Si legge: meno infinito Esplicitare... Osservazioni + e sono due simboli e non due numeri reali. Poniamo R := R {, + }. Ogni insieme non vuoto ha in R estremo superiore [inferiore], finito o infinito a seconda che l insieme sia limitato o illimitato superiormente [inferiormente]. 17 / 38

18 Rappresentazione geometrica di R Sia data una retta r. Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unità); essi individuano: un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta da O a U ; una unità di misura, cioè il segmento OU. La retta r prende il nome di retta orientata. A ogni numero reale associamo un unico punto sulla retta orientata. Procedimento... Osservazione La relazione d ordine in R si interpreta graficamente. Per esempio, se la retta orientata è disposta orizzontalmente e il verso di percorrenza positivo è quello che va da sinistra verso destra, si ha: x < y se e solo se il punto corrispondente a x è a sinistra del punto corrispondente a y. Come si interpreta la proprietà di densità? 18 / 38

19 La corrispondenza ottenuta secondo il procedimento descritto è biunivoca. (Questa affermazione, che prende il nome di assioma di completezza, è equivalente all assioma dell estremo superiore.) Possiamo pertanto identificare ogni numero reale x con il punto P x che corrisponde a x sulla retta orientata r. Sottointendendo questa identificazione, l insieme R sarà chiamato retta reale e l insieme R sarà chiamato retta reale ampliata. Come possiamo visualizzare e +? Alcune corrispondenze tra concetti numerici e concetti geometrici : concetto geometrico concetto numerico segmento intervallo limitato semiretta intervallo illimitato distanza valore assoluto 19 / 38

20 Intervalli limitati Siano a, b R, con a b: [a, b] := {x R a x b} (a, b) := {x R a < x < b} [a, b) := {x R a x < b} (a, b] := {x R a < x b} intervallo chiuso intervallo aperto int. chiuso a sinistra, aperto a destra int. aperto a sinistra, chiuso a destra Alcuni scrivono ]a, b[ invece di (a, b), e analogamente negli altri casi. Intervalli illimitati Sia a R: [a, + ) := {x R x a} (a, + ) := {x R x > a} (, a] := {x R x a} (, a) := {x R x < a} interv. chiuso illimitato superiormente interv. aperto illimitato superiormente interv. chiuso illimitato inferiormente interv. aperto illimitato inferiormente 20 / 38

21 Casi particolari: [a, a] = {a}; (a, a) = [a, a) = (a, a] = R + := [0, + ), R := (, 0] R + := (0, + ), R := (, 0) Altre scritture utili R =: (, + ), R := R \ {0} = (, 0) (0, + ) Notazione in [BPS]... Esempi Rappresentare gli intervalli [ 1, 2) e (1, + ) e determinare [ 1, 2) (1, + ), [ 1, 2) (1, + ), [ 1, 2) \ (1, + ) Determinare l estremo superiore e inferiore di ciascuno dei seguenti intervalli, specificando se si tratta di massimo e minimo: [1, 3) [0, 2] (0, π] (, 2) [3, + ) 21 / 38

22 Osservazione Ciascuno degli insiemi che abbiamo chiamato intervallo ha la proprietà che comunque si scelgano x e y in esso, tutti i numeri compresi tra x e y vi appartengono. Questa è una proprietà caratteristica degli intervalli. Non tutti i sottoinsiemi di R sono intervalli. Per esempio: l insieme dei numeri naturali N non è un intervallo; l insieme R non è un intervallo. Esempio Stabilire se ciascuno dei seguenti insiemi è un intervallo: A = {x R 3 x 7}, B = {x R x 5} A B, A B, B \ A, R \ A 22 / 38

23 Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x il numero reale, denotato con x, definito ponendo { x se x 0 x := x se x < 0. Osservazioni x coincide con la distanza dall origine del punto che corrisponde al numero x sulla retta orientata. Giustificare... x y coincide con la distanza tra i punti corrispondenti ai numeri x e y sulla retta orientata. Giustificare... Proprietà immediate del valore assoluto x 0 per ogni x R x = 0 x = 0; x > 0 x 0 x = x per ogni x R 23 / 38

24 Ulteriori proprietà del valore assoluto r > 0, x = r x = r oppure x = r x < r r < x < r x > r x < r oppure x > r r < 0, x = r mai x < r mai x > r per ogni x x y = x y per ogni x, y R x/y = x / y per ogni x, y R, y 0 x x x per ogni x R x + y x + y per ogni x, y R (disuguaglianza triangolare) x y x y 24 / 38

25 Rappresentazione geometrica di R R: il piano cartesiano A partire dalla corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata, possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra il prodotto cartesiano R R e il piano cartesiano. Concetti di base: sistema ortogonale / ortonormale assi coordinati come associare alla coppia (x, y) un punto nel piano come associare al punto P nel piano una coppia di numeri ascissa (proiezione del punto sull asse orizzontale) ordinata (proiezione del punto sull asse verticale) 25 / 38

26 Osservazione (Dalla geometria all analisi e viceversa) Grazie alla corrispondenza tra R 2 e il piano cartesiano, possiamo descrivere cartesianamente un oggetto geometrico, ossia tradurlo in una o più relazioni (equazioni e/o disequazioni) tra le ascisse e le ordinate dei punti che compongono l oggetto in esame, e viceversa. Procedimento: 1 chiedersi qual è la proprietà geometrica che caratterizza l oggetto 2 esprimere tale proprietà mediante alcune condizioni tra le coordinate dei punti che appartengono all oggetto (equazioni e/o disequazioni) Esempi: assi coordinati semipiani quadranti bisettrici di primo e terzo quadrante (prima bisettrice) e di secondo e quarto quadrante (seconda bisettrice) 26 / 38

27 L equazione della retta Casi particolari, già visti: l asse delle ascisse, di equazione y = 0 l asse delle ordinate, di equazione x = 0 la prima bisettrice, di equazione y = x (in un sistema monometrico) la seconda bisettrice, di equazione y = x (come sopra) Retta parallela all asse delle ordinate Caratterizzazione geometrica? Tutti i punti della retta hanno la medesima ascissa. Equazione: x = x 0. Strisce verticali... Retta parallela all asse delle ascisse Caratterizzazione geometrica? Tutti i punti della retta hanno la medesima ordinata. Equazione: y = y 0. Strisce orizzontali / 38

28 Retta non parallela agli assi Caratterizzazione geometrica? Equazione (in forma esplicita): y = mx + q Coefficiente angolare e ordinata all origine Osservazione Per m = 0 si ottiene l equazione di una retta parallela all asse delle ascisse; per nessun valore di m si ottiene l equazione di una retta parallela all asse delle ordinate. Come disegnare una retta la cui equazione è data in forma esplicita? individuando le intersezioni con gli assi coordinati, oppure disegnando la retta di equazione y = mx e poi effettuando una traslazione verticale Osservazione Due rette, di equazioni y = mx + q e y = m x + q, sono parallele se e solo se m = m perpendicolari se e solo se mm = 1 (secondo teorema di Euclide) 28 / 38

29 Equazione generale della retta: a x + b y + c = 0 con a, b, c R, a e b non simultaneamente nulli. b = 0 = a 0 = x = c a b 0 = y = a b x c b retta parallela all asse delle ordinate retta non parallela all asse delle ordinate, equazione in forma esplicita Osservazione Due rette, di equazioni a x + b y + c = 0 e a x + b y + c = 0, sono parallele se e solo se ab = a b perpendicolari se e solo se aa + bb = 0 29 / 38

30 Equazione della circonferenza Per determinarla, dobbiamo: esprimere la distanza tra due punti in termini delle loro coordinate, esprimere la circonferenza come luogo geometrico, tradurre la condizione precedente in termini delle coordinate. Esempi / 38