i = unità immaginaria,

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1 I NUMERI IMMAGINARI X + = 0 X = - I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata iniialmente per consentire di trovare tutte le soluioni delle equaioni polinomiali. Ad esempio, l'equaione X + = 0 non ha soluioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

2 L unità immaginaria in matematica i - Si definisce: i = unità immaginaria, i = - è un nuovo numero!! è il numero che non esisteva tra i numeri REALI e che permette di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi!!.

3 L unità immaginaria in elettrotecnica = - Si definisce: = unità immaginaria - 3

4 I NUMERI COMPLESSI a = parte reale b = coefficiente parte immaginaria = parte reale = coefficiente parte immaginaria a, b,, sono tutti numeri reali!! I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione: a + b + oppure 4

5 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA NUMERI COMPLESSI diagramma di Argand Gauss I due numeri, Sono chiamati complessi coniugati. Cambia solo il segno della parte immaginaria!! 5

6 DIAGRAMMA DI GAUSS SIGNIFICATO DEI SIMBOLI = numero complesso = parte reale ascissa di = parte immaginaria ordinata di r = = modulo di è la lunghea del vettore che parte dall origine e arriva a angolo formato tra il vettore r e il verso positivo delle ascisse è chiamato fase o argomento 6

7 RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO = r cos = r sen r = + r r r sen cos sen cos tg arctg 7

8 ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase = + = Modulo: r = + = =5 r = 5 Fase: = arctg / = arctg 4/3 = arctg,5 = 5,34 8

9 ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase complesso coniugato Modulo: = - = 3-4 r = + = =5; r = 5 Fase: = arctg / = arctg - 4/3 = arctg-,5 = - 5,34 Nota: cambia solo la fase 9

10 ESEMPI DI CALCOLO: quadrante Im = Modulo: r + 0 r = + = r = = 09 r = 0,44 Fase: = arctg / Re = arctg [0/- 3] = arctg- 3,33 = - 73,8 = 80 - = 80-73,8 = 06,7 0

11 - 0 Im r 3 ESEMPI DI CALCOLO : 4 quadrante Re = 3-0 Modulo: r = + = r = = 09 r = 0,44 Fase: = arctg / = arctg [-0/ 3] = arctg- 3,33 = - 73,8 Nota: negli ultimi due esempi cambia solo la fase si calcola sempre con il verso positivo dell asse reale

12 ESEMPI DI CALCOLO : 3 quadrante - 3 Im Re = Modulo: r = + = r = = 09 r = 0,44 r - 0 Fase: = arctg / = arctg [-0/- 3] = arctg 3,33 = 73,8 = = ,8 = - 06,7

13 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI SOMMA = + = + + = = Per effettuare la somma di due numeri complessi, come e, si sommano tra loro le parti reali + e le parti immaginarie + 3

14 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della somma

15 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIFFERENZA = + = + - = = Per effettuare la differena di due numeri complessi, come e, si sottraggono tra loro le parti reali - e le parti immaginarie - 5

16 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della differena

17 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI Esercii SOMMA DIFFERENZA = + = + 5 = + = = = = 0+7 = + = + 5 = + = = = =

18 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercii precedenti SOMMA

19 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercii precedenti DIFFERENZA Im 5-3 Re

20 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO = + ; = + * = + * + * = * + * + * + * * = * + * + * + * * = * + * + * + -* * Continua /. 0

21 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO * = * + * + * - * * = * - * + * + * Parte reale Parte immaginaria Esempio: = + = -3+4; = + = 5 7 * = -3+4*5 7 = =-3*5+-3*- 7+4*5+4*-7= = = =3+4

22 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE Il risultato della divisione tra due numeri complessi è un altro numero complesso, quindi con una parte reale ed una immaginaria. Per ottenere questo risultato occorre effettuare una operaione chiamata raionaliaione.

23 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE = + ; = + L operaione di raionaliaione consiste nel moltiplicare e dividere per una stessa quantità la fraione da calcolare. Tale quantità è uguale al denominatore della fraione con il segno della parte immaginaria cambiata 3

24 4 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE ] [ ]

25 5 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ] DIVISIONE O FRAZIONE Parte reale Parte immaginaria

26 6 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZI DIVISIONE O FRAZIONE ; ;

27 7 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZIO IMPORTANTE!!!!! da ricordare!!!