Legno. Corso di Costruzioni Edili. Sforzo normale, Flessione e taglio. Progetto e verifica di strutture in. Metodo agli stati limite.

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1 Corso di Costruzioni Edili Prof. Giacomo Sacco Progetto e verifica di strutture in Legno etodo agli stati limite. Sforzo normale, Flessione e taglio Aggiornato al 24/02/2011 1

2 IL LEGNO COE ATERIALE DA COSTRUZIONE Caratteristiche e struttura del legno Nel comparto edilizio le opere in legno possono impiegare non solo componenti, prodotti o semilavorati in legno massiccio (o massello), cioè come viene naturalmente prodotto nella sua massa dall albero, ma anche in legno ricostruito (detto pure legno ricomposto o migliorato). Il legno è un materiale solido, naturale, organico e cellulare. Si tratta di un composto costituito da un complesso chimico di cellulosa, emicellulose, lignina ed estrattivi. Il legno è molto anisotropo: le fibre sono orientate in una direzione preferenziale e perciò il materiale reagisce alle sollecitazioni in maniera diversa in ogni direzione. Il legno si ricava da due grandi categorie di piante note sotto il nome di latifoglie (angiosperme) e conifere (gimnosperme, aghifoglie, resinose). L osservazione del legno ad occhio nudo mostra non soltanto differenze tra conifere e latifoglie e tra le diverse specie, ma anche differenze in uno stesso provino, per esempio alburno e durame, legno primaverile e tardivo, la distribuzione dei pori, e l aspetto del legno di reazione. Tutti questi fenomeni sono il risultato dello sviluppo e della crescita del tessuto legnoso. Conifere e latifoglie differiscono tra loro per il tipo di cellule. Caratteristiche meccaniche del legno Le caratteristiche meccaniche del legno variano entro limiti amplissimi, che dipendono dall essenza, dal peso specifico secco, dal grado d umidità, dalla direzione delle fibre rispetto alla sollecitazione e dai difetti del legno stesso ( nodi, cipollature, ecc.). Le prove si effettuano su campioni ricavati da legno sano e senza difetti. In generale la resistenza a trazione risulta più grande di quella a compressione, sempre riferita parallelamente alle fibre; se si fa il rapporto tra il carico di rottura ed il peso specifico, si rileva che il legno lavora quasi meglio dell acciaio. Tuttavia la resistenza a trazione è notevolmente ridotta dalla presenza dei nodi e dalle irregolarità della fibratura. Il legno sottoposto a flessione è soggetto al fenomeno del fluage (termine francese per indicare un lentissimo scorrimento delle fibre del materiale nel tempo, nelle strutture sotto carico, e caratteristico anche di altri materiali, quali il ferro ed il calcestruzzo). Gli effetti del fluage nel legno si verificano con un aumento notevole della freccia di inflessione, che dopo vari mesi risulta più che raddoppiata. Il coefficiente di proporzionalità E (modulo di elasticità) è ricavabile, per il legno dalle prove di trazione o compressione ( si ottengono due valori quasi simili) oppure dalle prove di flessione, misurando con precisione le deformazioni dovute ai carichi. Il valore di E è influenzato dall umidità; in genere varia da legno a legno da un minimo di 7500 ad un massimo di N/mm 2. 2

3 Diagramma tensione deformazione Il diagramma tensione-deformazione, nel legno sottoposto a compressione, ha un andamento rettilineo fino alla rottura. anca completamente il tratto plastico che è invece presente nell acciaio. Non c è nemmeno tensione di snervamento: la tensione cresce in modo direttamente proporzionale con le deformazioni fino al valore di rottura. Poiché nella flessione sono presenti sia trazione che compressione, il comportamento a flessione è condizionato dalla compressione. RESISTENZA DI CALCOLO I valori di calcolo per le proprietà del materiale a partire dai valori caratteristici si assegnano quindi in funzione della classe di servizio, ossia delle condizioni ambientali in cui si viene a trovare la struttura, e alla durata del carico. Il valore massimo della tensione di calcolo σ D del legno viene calcolato mediante la relazione: dove: D mod σk è il valore caratteristico (resistenza a rottura) a flessione; è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, i cui valori sono riportati nella Tab.1 mod è un coefficiente correttivo che tiene conto dell effetto, sui parametri di resistenza, sia della durata del carico sia dell umidità della struttura. I valori di kmod sono forniti nella Tab. 2 3

4 Classe di servizio 1 Classe di servizio 2 È caratterizzata da un umidità del materiale in equilibrio con l ambiente a una temperatura di 20 C e un umidità relativa dell aria circostante che non superi il 65%, se non per poche settimane all anno. È caratterizzata da un umidità del materiale in equilibrio con l ambiente a una temperatura di 20 C e un umidità relativa dell aria circostante che superi l 85% solo per poche settimane all anno. Classe di servizio 3 È caratterizzata da umidità più elevata di quella della classe di servizio 2. Se una combinazione di carico comprende azioni appartenenti a differenti classi di durata del carico si dovrà scegliere un valore di mod che corrisponde all azione di minor durata. Tabella 1 Coefficienti parziali per le proprietà dei materiali Stati limite ultimi γ - combinazioni fondamentali legno massiccio 1,50 legno lamellare incollato 1,45 Tabella 2 Valori di mod per legno e prodotti strutturali a base di legno ateriale Classe di servizio Classe di durata del carico Permanente Lunga edia Breve Istantanea Legno massiccio Legno lamellare incollato 1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90 Classe di durata del carico Durata del carico Permanente più di 10 anni Lunga durata 6 mesi -10 anni edia durata 1 settimana 6 mesi Breve durata meno di 1 settimana Istantaneo -- 4

5 VERIFICA A FLESSIONE deve essere max σ D Vediamo come fare per calcolare la tensione massima. Il diagramma delle tensioni sulla sezione ha un andamento come in figura. La risultante degli sforzi di compressione C e la risultante degli sforzi di trazione T sono uguali per l equilibrio alla traslazione orizzontale. Il loro valore è dato dal volume del solido formato dalle tensioni, ossia dall area del triangolo per la base b della sezione. Per calcolare il punto di applicazione delle risultanti C e T, ricordiamo che il baricentro di un triangolo rettangolo è posizionato come in figura: Poiché nel nostro caso, l altezza del triangolo delle tensione è uguale a metà dell altezza della sezione, cioè: la distanza del baricentro dall asse neutro sarà: Per l equilibrio alla rotazione, il momento deve essere uguale al momento della coppia interna. Calcoliamo il momento della coppia interna rispetto al baricentro della risultante degli sforzi di trazione: Indicando con si ha: e quindi: W x viene chiamato modulo di resistenza della sezione, rispetto all asse x. 5

6 Il momento, può essere anche posto in relazione col momento di inerzia della sezione, nel seguente modo: moltiplicando primo e secondo termine per si ha: Quindi: PROGETTO A FLESSIONE Per il progetto a flessione si usa la formula precedente, calcolando dapprima il modulo di resistenza della sezione, ponendo σ max =σ D e = max : ; Per ricavare le dimensioni b ed h dal modulo di resistenza W x, si pone b=0,7h che è il rapporto migliore tra base ed altezza per le sezioni in legno, si ha quindi: quindi: Trazione parallela alla fibratura Deve essere soddisfatta la seguente condizione: max σ T D dove:,max è la tensione di calcolo a trazione parallela alla fibratura; mod T σt,d è la corrispondente resistenza di calcolo: T, D Taglio Deve essere soddisfatta la condizione:, max D D mod dove: max è la tensione massima tangenziale di calcolo, valutata secondo la teoria di Jourawski; D è la corrispondente resistenza di calcolo a taglio, k è la resistenza caratteristica a taglio (indicata con f v,k nella tabella ) 6

7 Per le sezioni rettangolari il diagramma delle tensioni tangenziali è il seguente, col valore massimo in corrispondenza del baricentro della sezione. Compressione parallela alla fibratura Deve essere soddisfatta la seguente condizione: dove: c,max è la tensione di calcolo a compressione parallela alla fibratura; σc,d è la corrispondente resistenza di calcolo. Essa va calcolata tenendo conto della instabilità a sforzo normale. C, D mod, D σ C, crit tensione caratteristica di rottura a compressione; coefficiente riduttivo per instabilità di colonna. Per calcolare il coefficiente crit procediamo nel seguente modo: Calcoliamo la snellezza λ: con nel caso in figura: f c,k resistenza caratteristica a compressione parallela alla fibratura; Quando λ rel 0,3 si deve porre crit = 1, altrimenti: ; β coefficiente di imperfezione, che può assumere i seguenti valori: - per legno massiccio β = 0,2; - per legno lamellare β = 0,1. 7

8 Esempio di calcolo a flessione Problema. Progettare la trave in figura. Noti: l = 3,2 m; a = 1,6 m; Carico concentrato Q = 6 kn; legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 1, carichi variabili di lunga durata. L tensioni caratteristiche del materiale valgono a flessione; a taglio Le tensioni di calcolo del materiale, a flessione, risultano: nella quale: D mod il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (legno massiccio) vale σ =1,5 ; il coefficiente correttivo di modello per la Classe di servizio 1 e con carichi variabili di lunga durata, si trova dalla tabella: ateriale Legno massiccio Legno lamellare incollato icrolamellare (LVL) Classe di servizio Valori di k mod Classe di durata del carico Permanente Lunga edia Breve Istantanea 1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10 2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90 e vale: mod =0,70; D mod 0,70x4,15 2 1,94 N/mm 1,50 19,4 dn/cm 2 8

9 Calcolo delle sollecitazioni. Il carico di esercizio sarà: Il taglio dovuto al carico di esercizio risulta pari a Il momento dovuto al carico di esercizio è dato da Abbiamo trascurato in prima approssimazione il contributo del peso proprio g (incognito). Progetto a flessione. Il modulo di resistenza di progetto è dato da: Assumendo si ha: Assunte le dimensioni 12x18 il peso proprio risulta g E = 1,3x9,72 = 12,64 dn/m 15 dn/m Il modulo di resistenza effettivo vale: 9

10 Verifica a flessione e taglio Le sollecitazioni prodotte dal peso proprio g valgono ; A flessione si ha: tot = Q + g = ,20 = 803,20 dn Verificato A taglio è : Vtot = V Q + V g = = 518 dn; Verificato Tabella classi di resistenze del legno Pioppo e conifere Latifoglie C14 C16 C18 C22 C24 C27 C30 C35 C40 D30 D35 D40 D50 D60 D70 Proprietà di resistenza N/mm 2 Flessione s k Trazione parallela alle fibre s T,k Compressione parallela alle fibre s c,k Taglio τ k 1,7 1,8 2,0 2,4 2,5 2,8 3,0 3,4 3,8 3,0 3,4 3,8 4,6 5,3 6,0 Rigidezza N/mm 2 odulo di elasticità medio E 0,medio parallelo alle fibre odulo di elasticità parallelo alle fibre E 0,05 4,7 5,4 6,0 6,7 7,4 8,0 8,0 8,7 9,4 8,0 8,7 9,4 11,8 14,3 16,8 Peso specifico medio dn/m 3 γ